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专题18 等边三角形专题（解析版）
类型一 手拉手模型与等边三角形
典例1 （2022秋•南昌期中）探究等边三角形“手拉手”问题．
（1）如图1，已知△ABC，△ADE均为等边三角形，点D在线段BC上，且不与点B、点C重合，连接
CE，试判断CE与BA的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC＝60°，则∠ADB+∠ADE
＝ 18 0 度；
（3）如图3，已知点E在等边三角形△ABC外，点E、点B位于线段AC的异侧，连接BE、CE．若
∠BEC＝60°，猜想线段BE、AE、CE三者之间的数量关系，并说明理由．
【思路引领】（1）利用SAS定理证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠ACE＝
60°，根据平行线的判定定理证明结论；
（2）根据题意得到证明∠AEC＝120°，证明△BAD≌△CAE，得到∠ADB＝∠AEC＝120°，进而得到答
案；
（3）在线段BE上取一点H，使得BH＝CE，证明△ABH≌△ACE，得到∠BAH＝∠CAE，AH＝AE，证
明△AEH是等边三角形，根据等边三角形的性质得到AE＝EH，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：（1）CE∥AB，
理由如下：∵△ABC、△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠B＝60°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
{
AB=AC
)
∠BAD=∠CAE ，
AD=AE
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B＝∠ACE＝60°，∴∠BAC＝∠ACE＝60°，
∴AB∥CE；
（2）∵△ABC、△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ADE＝60°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
∵∠AED＝60°，∠DEC＝60°，
∴∠AEC＝120°，
在△BAD和△CAE中，
{
AB=AC
)
∠BAD=∠CAE ，
AD=AE
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ADB＝∠AEC＝120°，
∴∠ADB+∠ADE＝180°，
故答案为：180；
（3）结论：BE＝AE+EC，
理由如下：如图3，在线段BE上取一点H，使得BH＝CE，设AC交BE于点O，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠BAC＝60°，
∵∠BEC＝60°，
∴∠BAO＝∠OEC＝60°，
∵∠AOB＝∠EOC，
∴∠ABH＝∠ACE，
在△ABH和△ACE中，
{
AB=AC
)
∠ABH=∠ACE ，
BH=CE
∴△ABH≌△ACE（SAS），
∴∠BAH＝∠CAE，AH＝AE，
∴∠HAE＝∠BAC＝60°，
∴△AEH是等边三角形，
∴AE＝EH，∴BE＝BH+EH＝EC+AE，即BE＝AE+EC．
【总结提升】本题考查的是等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理
和性质定理、正确作出辅助性是解题的关键．
变式训练
1．如图，△ABD和△ACE都是等边三角形．
（1）求证：BE＝CD；
（2）求∠BFC的度数；
（3）求证：FA平分∠DFE；
（4）求证：AF+BF＝DF．
【思路引领】（1）根据等边三角形的性质可得AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，进而推出
∠DAC＝∠BAE，再结合SAS即可证明△AEB≌△ACD，由全等三角形的性质得出结论；
（2）根据三角形外角的性质可得∠BFC＝∠BDF+∠DBF，再结合全等三角形的性质可得∠ADC＝
∠ABE，至此不难求出结果；
（3）过点A分别作BE，CD的垂线段AM，AN，垂足分别为M，N，根据全等三角形的性质可得S△AEB
＝S△ACD ，进而得出AM＝AN，据此证明结论；
1 1 1
（4）由（3）得NF＝MF，∠AFM= ∠DFE= ∠BFC＝60°，进而可得NF＝MF= AF，再结合全等三
2 2 2
角形的知识可证出BM＝DN，至此问题得解．
【解答】（1）证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠DAC＝∠BAE，
在△AEB和△ACD中，
{
AB=AD
)
∠DAC=∠BAE
AE=AC
∴△AEB≌△ACD（SAS），
∴BE＝DC；
（2）解：∵△AEB≌△ACD，
∴∠ADC＝∠ABE，
∴∠BFC＝∠BDF+∠DBF＝∠BDF+∠DBA+∠ABE＝∠DBA+∠BDF+∠ADC＝120°；
（3）证明：过点A分别作BE，CD的垂线段AM，AN，垂足分别为M，N．
∵△AEB≌△ACD，
∴S△AEB ＝S△ACD ，
∴AM＝AN，
∴AF平分∠DFE．
1 1
（4）证明：由（3）得NF＝MF，∠AFM= ∠DFE= ∠BFC＝60°，
2 2
1
∴NF＝MF= AF，
2
在Rt△AND和Rt△AMB中，
{AD=AB)
，
AM=AN
∴Rt△AND≌Rt△AMB，
∴BM＝DN，∴AF+BF＝BM+NF＝DN+NF＝DF．
【总结提升】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全
等三角形解决问题，属于中考常考题型．
2．△ABC为等边三角形，D为射线BC上一点，∠ADE＝60°，DE与∠ACB的外角平分线交于点E．
（1）如图1，点D在BC上，求证：CA＝CD+CE；
（2）如图2，若D在BC的延长线上，直接写出CA、CD、CE之间的数量关系，
【思路引领】（1）首先在AC上截取CM＝CD，由△ABC为等边三角形，易得△CDM是等边三角形，
继而可证得△ADM≌△EDC，即可得AM＝EC，则可证得CA＝CD+CE；
（2）首先在AC延长线上截取CM＝CD，由△ABC为等边三角形，易得△CDM是等边三角形，继而可
证得△ADM≌△EDC，即可得AM＝EC，则可证得CA＝CE﹣CD．
【解答】证明：（1）在AC上截取CM＝CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴△CDM是等边三角形，
∴MD＝CD＝CM，∠CMD＝∠CDM＝60°，
∴∠AMD＝120°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADE＝∠MDC，
∴∠ADM＝∠EDC，
∵DE与∠ACB的外角平分线交于点E，
∴∠ACE＝60°，
∴∠DCE＝120°＝∠AMD，
在△ADM和△EDC中，
{∠ADM=∠EDC
)
MD=CD ，
∠AMD=∠ECD∴△ADM≌△EDC（ASA），
∴AM＝EC，
∴CA＝CM+AM＝CD+CE；
（2）CA＝CE﹣CD．
证明：在AC的延长线上截取CM＝CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠DCM＝60°，
∴△CDM是等边三角形，
∴MD＝CD＝CM，∠CMD＝∠CDM＝60°，
∵DE与∠ACB的外角平分线交于点E，
∴∠ACE＝∠DCE＝60°，
∴∠ECD＝∠AMD，
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADE＝∠CDM，
∴∠ADM＝∠EDC，
在△ADM和△EDC中，
{∠ADM=∠EDC
)
MD=CD ，
∠AMD=∠ECD
∴△ADM≌△EDC（ASA），
∴AM＝EC，
∴CA＝AM﹣CM＝CE﹣CD．
【总结提升】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
类型二 过等边三角形边上或边的延长线上一点作平行线
典例2（2023春•垦利区期末）已知，△ABC为等边三角形，点D为AC上的一个动点，点E为BC延长线
上一点，且BD＝DE．
（1）如图1，若点D在边AC上，猜想线段AD与CE之间的关系，并说明理由；
（2）如图 2，若点 D 在 AC 的延长线上，（ 1）中的结论是否成立，请说明理由．
【思路引领】（1）求出∠E＝∠CDE，推出CD＝CE，根据等腰三角形性质求出AD＝DC，即可得出答
案；解：（1）AD＝CE，理由：过D作DF∥AB交BC于E，
（2）（1）中的结论仍成立，如图 3，过点 D 作 DP∥BC，交 AB 的延长线于点 P，证明
△BPD≌△DCE，得到PD＝CE，即可得到AD＝CE．
【解答】解：（1）AD＝CE，
证明：如图1，过点D作DP∥BC，交AB于点P，
∵△ABC是等边三角形，
∴△APD也是等边三角形，
∴AP＝PD＝AD，∠APD＝∠ABC＝∠ACB＝∠PDC＝60°，
∵DB＝DE，
∴∠DBC＝∠DEC，
∵DP∥BC，
∴∠PDB＝∠CBD，
∴∠PDB＝∠DEC，
又∠BPD＝∠A+∠ADP＝120°，∠DCE＝∠A+∠ABC＝120°，
即∠BPD＝∠DCE，
在△BPD和△DCE中，∠PDB＝∠DEC，∠BPD＝∠DCE，DB＝DE，∴△BPD≌△DCE，
∴PD＝CE，
∴AD＝CE；
（2）如图3，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P，
∵△ABC是等边三角形，
∴△APD也是等边三角形，
∴AP＝PD＝AD，∠APD＝∠ABC＝∠ACB＝∠PDA＝60°，
∵DB＝DE，
∴∠DBC＝∠DEC，
∵DP∥BC，
∴∠PDB＝∠CBD，
∴∠PDB＝∠DEC，
{
∠PDB=∠DEC
)
在△BPD和△DCE中， ∠P=∠DCE=60° ，
DB=DE
∴△BPD≌△DCE，
∴PD＝CE，
∴AD＝CE．
【总结提升】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判
定与性质，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形．
变式训练1．（2020秋•开福区校级月考）已知：△ABC为等边三角形，点E为射线AC上一点，点D为射线CB上
一点，AD＝DE．
（1）如图1，当E在AC的延长线上且CE＝CD时，求证：BD＝CD；
（2）如图2，当E在AC的延长线上时，AB+BD等于AE吗？请说明理由；
（3）如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE的数量关系，
并证明．
【思路引领】（1）利用△ABC是等边三角形得出角，边关系，利用AD＝DE，得出△CDE是等腰三角
形，证明∠CAD＝30°即可解决问题．
（2）在AB上取BH＝BD，连接DH，利用AHD≌△DCE得出DH＝CE，得出AE＝AB+BD，
（3）在AB上取AF＝AE，连接DF，利用△AFD≌△EFD得出角的关系，得出△BDF是等腰三角形，
根据边的关系得出结论AB＝BD+AE．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，
∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠E，
∵∠ACD＝∠CDE+∠E＝60°，
∴∠E＝30°，
∵DA＝DE，
∴∠DAC＝∠E＝30°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠DAB＝∠CAD，
∵AB＝AC，
∴BD＝DC；
（2）结论：AB+BD＝AE，
理由如下：
如图2，在AB上取BH＝BD，连接DH，∵BH＝BD，∠B＝60°，
∴△BDH为等边三角形，AB﹣BH＝BC﹣BD，即AH＝DC，
∴∠BHD＝60°，BD＝DH，
∵AD＝DE，
∴∠E＝∠CAD，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠ACB﹣∠E，即∠BAD＝∠CDE，
∵∠BHD＝60°，∠ACB＝60°，
∴180°﹣∠BHD＝180°﹣∠ACB，即∠AHD＝∠DCE，
在△AHD和△DCE，
{∠BAD=∠CDE
)
∠AHD=∠DCE ，
AD=DE
∴△AHD≌△DCE（AAS），
∴DH＝CE，
∴BD＝CE，
∴AE＝AC+CE＝AB+BD；
（3）AB＝BD+AE；
如图3，在AB上取AF＝AE，连接DF，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴△AFE是等边三角形，∴∠FAE＝∠FEA＝∠AFE＝60°，
∴EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DEF，
∵AD＝DE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴∠DEF＝∠DAF，
在△AFD和△EFD中，
{AF=EF
)
DF=DF ，
AD=DE
∴△AFD≌△EFD（SSS），
∴∠ADF＝∠EDF，∠DAF＝∠DEF，
∴∠FDB＝∠EDF+∠EDB，∠DFB＝∠DAF+∠ADF，
∵∠EDB＝∠DEF，
∴∠FDB＝∠DFB，
∴DB＝BF，
∵AB＝AF+FB，
∴AB＝BD+AE．
【总结提升】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质，解题的关
键是正确作出辅助线，运用三角形全等找出对应的线段．
2．（2018秋•硚口区期中）如图，在等边△ABC中，D是AB上一点，E是BC延长线上一点，AD＝CE，
DE交AC于点F．
（1）求证：DF＝EF；
HF
（2）过点D作DH⊥AC于点H，求 ．
AC
【思路引领】（1）过点D作DG∥BC交AC于点G，根据全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）根据等边三角形的性质和全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）过点D作DG∥BC交AC于点G，
∴∠ADG＝∠B，∠AGD＝∠ACB，∠FDG＝∠E，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠A＝∠ADG＝∠AGD＝60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴DG＝AD，
∵AD＝CE，
∴DG＝CE，
在△DFG与△EFC中
{∠DFG=∠EFC
)
∠FDG=∠E
DG=CE
∴△DFG≌△EFC（AAS），
∴DF＝EF；
（2）∵△ADG是等边三角形，AD＝DG DH⊥AC，
1
∴AH＝HG= AG，
2
又∵△DFG≌△EFC，
1
∴GF＝FC= GC
2
1 1 1
∴HF＝HG+GF= AG+ GC= AC，
2 2 2
HF 1
∴ =
AC 2
【总结提升】此题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常
用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题
3．如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，F是边AB上的动点，E为直线BC上一点，且∠EDF＝120°．
①如图1，求证：DF＝DE；
BE−BF
②如图2，过点D作DM⊥BC于M，求 的值．
EM
【思路引领】①如图1中，作DH∥BC交AB于H．只要证明△DHF≌△DCE，即可推出DF＝DE．
②如图2中，在BC上取一点H，使得BH＝BF，连接DH，BD．由△DBF≌△DBH，推出DF＝DH，
由DF＝DE，推出DH＝DE，由DM⊥EH，推出HM＝EM，推出BE﹣BF＝BE﹣BH＝HE＝2EM，由此
即可解决问题．
【解答】解：①如图1中，作DH∥BC交AB于H．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
∵DH∥BC，
∴∠AHD＝∠B＝60°，∠ADH＝∠ACB＝60°
∴△AHD是等边三角形，
∴DH＝AD＝DC，∠DHF＝∠DCE＝∠HDC＝120°，
∵∠HDC＝∠FDE＝120°，
∴∠HDF＝∠CDE，
在△DHF和△DCE中，{∠DHF=∠DCE
)
DH=DC ，
∠HDF=∠CDE
∴△DHF≌△DCE，
∴DF＝DE．
②如图2中，在BC上取一点H，使得BH＝BF，连接DH，BD．
∵BA＝BC，AD＝CD，
∴∠DBF＝∠DBH，
在△DBF和△DBH中，
{
BF=BH
)
∠DBF=∠DBH ，
BD=BD
∴△DBF≌△DBH，
∴DF＝DH，
∵DF＝DE，
∴DH＝DE，
∵DM⊥EH，
∴HM＝EM，
∴BE﹣BF＝BE﹣BH＝HE＝2EM，
BE−BF
∴ =2．
EM
【总结提升】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的
关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
