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1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题04 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线的四种模型 常考题型·精准突破 题型1 三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型（难） 题型2 三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型（难） 题型3 三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型（难） 题型4 三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 1． 【答案】（1）解：∵ , OB OC 平分 ABC 和 ACB ， 60 , 40 ABC ACB = = ， ∴ 1 1 1 1 60 30 , 40 20 2 2 2 2 OBC ABC OCB ACB = = = = = = ， ∴在 OBC △ 中， 180 BOC OBC OCB = − − 180 30 20 = − − 130 = ， ∴ BOC 的度数为130； （2）解：在 ABC 中， 180 ABC ACB A + = −， ∵ , OB OC 平分 ABC 和 ACB ， ∴ 1 1 , 2 2 OBC ABC OCB ACB = = ， ∴在 OBC △ 中， 180 O OBC OCB = − − 1 1 180 2 2 ABC ACB = − − ( ) 1 180 2 ABC ACB = − + ( ) 1 180 180 2 A = − − 1 180 90 2 A = − + 1 90 2 A = + ． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2． 【答案】（1）解：∵ 120 BDC = ， ∴ 180 180 120 60 DBC DCB BDC + = − = − = ， ∵ 30 ABD = ， 40 ACD = ， ∴ 30 40 60 130 ABD ACD DBC DCB + + + = + + = ， ∴ 130 ABC ACB + = ， ∴ 180 180 130 50 A ABC ACB = − − = − = ； （2）解：①∵ 110 BDC = ， ∴ 180 180 110 70 DBC DCB BDC + = − = − = ， ∵BD和CD分别平分 ABC 和 ACB ， ∴ 2 2 ABC DBC ACB DCB = = ， ， ∴ ( ) 2 140 ABC ACB DBC DCB + = + = ， ∴ 180 180 140 40 A ABC ACB = − − = − = ； ②∵ BDC = ， ∴ 180 180 DBC DCB BDC + = − = − ， ∵BD和CD分别平分 ABC 和 ACB ， ∴ 2 2 ABC DBC ACB DCB = = ， ， ∴ ( ) ( ) 2 2 180 ABC ACB DBC DCB + = + = − ， ∴ ( ) 180 180 2 180 2 180 A ABC ACB = − + = − − = − （ ） ． 3． 【答案】（1）解：∵当 2 n = 时， ( ) ( ) 1 1 1 1 180 2 2 G BC GCB ABC ACB A + = + = − ， ∴ ( ) ( ) 1 1 1 1 1 180 180 180 90 2 2 BGC G BC GCB A A = − + = − − = + ； （2）解：∵当 3 n = 时， ( ) ( ) 2 2 2 2 180 3 3 G BC G CB ABC ACB A + = + = − ， ∴ 2 2 2 2 180 ( ) 180 (180 ) 60 3 3 3 BG C ABC ACB A A = − + = − − = + ； 故答案为： 2 60 3 A + ； （3）解：由 2 3 n n = = ， 可知， 1 180 1 n n BG C A n n − − = + ． 故答案为：180 1 n A n n − + ． 3 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ◆题型2 三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 4． 【答案】（1）解： 1 25 2 D A = = ，理由见（2）； 故答案为：25． （2）解： 1 2 D A = ，证明如下： 如图， 5 6 = ， ∴1 3 A D += + ， ∵ 1 2, 3 4 = = ， ∴ 2 4 A D +=+ ， 又∵ 4 2 D = + ， ∴ 2 2 A D D +=++， ∴ 1 2 D A = ； （3）解：由（2）结论可知： 1 2 G D = ， 又 1 2 D A = ， ∴ 1 1 1 1 2 2 2 4 G D A A = = = ， 即 1 4 G A = ． 5． 【答案】解：（1）①∵P 是 ABC 内角 ABC 和外角 ACD 的平分线的交点， ∴ 1 1 , 2 2 PBC ABC PCD ACD = = ， ∵ PCD 是 PBC △ 外角， ACD 是 ABC 外角， ∴ ( ) 1 1 30 2 2 P PCD PBC ACD ABC A = − = − = = ； ②∵P 是 ABC 内角 ABC 和外角 ACD 的平分线的交点， 4 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 1 1 , 2 2 PBC ABC PCD ACD = = ， ∵ PCD 是 PBC △ 外角， ACD 是 ABC 外角， ∴ ( ) 1 1 2 2 P PCD PBC ACD ABC A = − = − = ； （2） 1 P A n = ． 证明：∵ PCD 是 PBC △ 外角， ACD 是 ABC 外角， ∴ ( ) 1 1 1 1 P PCD PBC ACD ABC ACD ABC A n n n n = − = − = − = ； （3）∵P 是 ABC 内角 ABC 和外角 ACE 的平分线的交点， ∴由（1）②得 1 18 2 BPC A = = ； ∵P 是CDE 内角 CDE 和外角 ACE 的平分线的交点， ∴由（1）②得 1 20 2 DPC E = = ； ∴ 38 BPD BPC DPC = + = ． 故答案为：38． 6． 【答案】（1）解：∵ 40 A = ， 60 B = ， ∴ 180 40 60 80 ACB = − − = ， ∵CP 平分 ACB ， ∴ 1 1 80 40 2 2 PCB PCA ACB = = = = ， ∵DE BC ∥ ， ∴ 60 ADE B = = ， 40 PGD PCB = = ， ∵DP平分 ADE ， ∴ 1 1 60 30 2 2 PDG ADE = = = ， ∴ 180 180 30 40 110 DPC PDG PGD = − − = − − = ， ∵ 80 ACB = ， ∴ 180 80 100 ACF = − = ， ∵CQ 平分 ACF ， ∴ 1 1 100 50 2 2 ACQ ACF = = = ， ∴ 40 50 90 PCQ PCA ACQ = + = + = ， ∴ 110 90 20 Q DPG PCQ = − = − = ， 5 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴综上所述， 110 DPC = ， 20 Q = ； 故答案为：110；20 ； （2）解：∵ A = ， ∴ 180 B ACB + = − ， ∵CP 平分 ACB ， ∴ 1 2 PCB PCA ACB = = ， ∵DE BC ∥ ， ∴ ADE B =， 1 2 PGD PCB ACB = = ， ∵DP平分 ADE ， ∴ 1 1 2 2 PDG ADE B = = ， ∴ ( ) 180 DPC PDG PGD = − + ， ( ) 180 PDG PGD = − + 1 1 180 2 2 B ACB = − + ( ) 1 180 2 B ACB = − + ( ) 1 180 180 2 = − − 1 90 2 α = + ， ∵CQ 平分 ACF ， ∴ 1 2 ACQ ACF = ， ∴ 1 1 1 180 90 2 2 2 PCQ PCA ACQ ACB ACF = + = + = = ， ∴ 1 1 90 90 2 2 Q DPG PCQ = − = + − = ， ∴综上所述， 1 90 2 DPC + = ， 1 2 Q = ． ◆题型3 三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 7． 【答案】（1）解：∵ 80 A = ， 6 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 180 100 ABC ACB A + = −= ， ∵BG CG 、 分别是 ABC 的内角 ABC 、 ACB 的平分线， ∴ 1 1 , 2 2 GBC ABC GCB ACB = = ， ∴ 1 1 50 2 2 GBC GCB ABC ACB + = + = ， ∴ 180 130 BGC GBC GCB = − − = ； （2）解： 1 90 2 A − ，证明见解析： ∵ 180 , 180 DBC ABC ECB ACB = − = − ， ∴ ( ) 180 180 360 DBC ECB ABC ACB ABC ACB + = − + − = − + ， ∵ 180 ABC ACB A + = −， ∴ ( ) 360 180 180 DBC ECB A A + = − − = + ， ∵两外角 DBC 、 ECB 的平分线交于点F ， ∴ 1 1 , 2 2 CBF DBC BCF BCE = = ， ∴ 1 1 1 90 2 2 2 CBF BCF DBC BCE A + = + = + ， ∴ 1 180 90 2 BFC FBC FCB A = − − = − ． 8． 【答案】（1）解：∵ 100 A = ， ∴ 180 100 80 ABC ACB + = − = ， ∵BP、CP 分别平分 ABC 、 ACB ， ∴ 1 2 CBP ABC = ， 1 2 BCP ACB = ， ∴ 1 1 40 2 2 CBP BCP ABC ACB + = + = ， ∴ ( ) 180 140 BPC CBP BCP = − + = ； 故答案为：140 ②∵N 是 ABC 两外角平分线的交点，延长 , BP NC 交于点M． ∴ 1 1 2 2 ACM DCM BCN FCN ACD BCF = = = = = ， ∵ 1 2 MCD M CBM M ABC = + = + ， ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 MCD ACD A ABC A ABC = = + = + ， ∴ 1 2 M A = ， 7 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 即 2 A M = ， 故答案为： 2 A M = （2）解： 180 BPC N + = ；理由如下： ∵BP、BN 分别平分 ABC 、 CBE ， ∴ 1 2 CBP ABC = ， 1 2 CBE CBN = ， ∴ ( ) 1 1 1 1 180 90 2 2 2 2 CBP CBN ABC CBE ABC CBE + = + = + = = ， 即 90 PBN = ， 同理得： 90 PCN = ， ∴ 360 180 BPC N PBN PCN + = − − = ； （3）解：∵CN 为 ABC 的外角 FCB 的角平分线， ∴CM 是 ABC 的外角 ACD 的平分线， ∴ 2 ACD MCD = ， ∵BM 平分 ABC ， ∴ 2 ABC MBC = ， ∵ MCD MBC M = + ， ∴2 2 2 MCD MBC M = + ，即 2 ACD ABC M = + ， 又∵ ACD ABC A = +， ∴ 2 A M = ， 根据解析（2）可知： 90 MBN = ， ∴ 90 M N + = ， 如果BMN 中，存在一个内角等于另一个内角的3 倍，那么分四种情况： 若 3 90 MBN M = = ，则 30 M = ， ∴ 2 60 A M = = ； 若 3 90 NBM N = = ，则 30 N = ， ∴ 60 M = ， ∴ 2 120 A M = = ； 若 3 N M = ，则 22.5 M = ， ∴ 45 A = ； 若 3 M N = ，则 67.5 M = ， ∴ 135 A = ； 综上所述， A 的度数是60或120或45或135． 9． 【答案】（1）解： 80 A = ． 8 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 100 ABC ACB + = ， ∵点P 是 ABC 和 ACB 的平分线的交点， ( ) 1 1 180 180 100 130 2 2 BPC ABC ACB = − + = − = ； （2）∵外角 MBC ， NCB 的角平分线交于点Q， ( ) 1 2 QBC QCB MBC NCB + = + ， ( ) 1 = 360 2 ABC ACB − − ， ( ) 1 180 2 A = + ， 1 90 2 A = + ， 1 1 180 90 90 2 2 Q A A = − + = − ， ∵ A = ， 1 90 2 = − Q ； （3）延长BC 至F， CQ 为 ABC 的外角 NCB 的角平分线， CE 是 ABC 的外角 ACF 的平分线， 2 ACF ECF = ， BE 平分 ABC ， 2 ABC EBC = ， ECF EBC E = + ， 2 2 2 ECF EBC E = + ， 即 2 ACF ABC E = + ， 又 ACF ABC A = + ， 2 A E = ，即 1 2 = E A； 9 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 EBQ EBC CBQ = + ， 1 1 2 2 ABC MBC = + ， ( ) 1 90 2 ABC A ACB = ++ = ． 如果 BQE △ 中，存在一个内角等于另一个内角的2 倍，那么分四种情况： ① 2 90 EBQ E = = ，则 45 E = ， 2 90 A E = = ； ② 2 90 EBQ Q = = ，则 45 Q = ， 45 E = ， 2 90 A E = = ； ③ 2 Q E = ，则 1 90 2 A A − = ，解得 60 A = ； ④ 2 E Q = ，则1 1 2 90 2 2 A A = − ，解得 120 A = ． 综上所述， A 的度数是90或60或120． ◆题型4 三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 10． 【答案】（1）证明：在 ABC 中， ( ) 180 BAC B C = − + ， AE 是 ABC 的平分线， ( ) 1 1 90 2 2 EAC BAC B C = = − + ， AD 是 ABC 的高， 90 ADC = ， 在Rt ACD △ 中， 90 CAD C = − ， ( ) ( ) ( ) 1 1 90 90 2 2 DAE EAC CAD B C C C B = − = − + − − = − ； （2）解： EFD 与 C B ， 之间的等量关系是： ( ) 1 2 EFD C B = − ，理由如下： 过点A作AH BC ⊥ 于点H ，如图2 所示： 由1 （）可知： ( ) 1 2 EAH C B = − ， FD BC ⊥ 于点D AH BC ⊥ ， 于点H ， 10 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 FD AH ， EFD EAH = ， ( ) 1 2 EFD C B = − ； （3）解： EFD 与 C B ， 之间的等量关系是： ( ) 1 2 EFD C B = − ，理由如下： 过点A作AK BC ⊥ 于点K ，如图3所示： 由1 （）可知： ( ) 1 2 EAK C B = − ， FD BC ⊥ 于点D AK BC ⊥ ， 于点K ， FD AK ， EFD EAK = ， ( ) 1 2 EFD C B = − ． 11． 【答案】（1）如图1， 180 180 35 65 80 BAC B C = −− = − − = ， ∵AD平分 BAC ， ∴ 1 40 2 BAD BAC = = ， ∵AE BC ⊥ ， ∴ 90 AEB = ， ∴ 90 55 BAE B = −= ， ∴ 55 40 15 DAE BAE BAD = − = − = . （2）如图2，作AH BC ⊥ 于点H，由（1）可得 15 DAH = ， ∵FE BC ⊥ ， ∴AH EF ∥ ， ∴ 15 DFE DAH = = . （3）如图3，作AH BC ⊥ 于点H，由（1）可得 15 DAH = ， ∵FE BC ⊥ ， 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴AH EF ∥ ， ∴ 15 DFE DAH = = . 12． 【答案】（1）解： 70 A = ， 40 B = ， 180 70 ACB A B = −−= ， CE 平分 ACB ， 1 35 2 ACE ACB = = ， CD AB ⊥ ， 70 A = ， 90 20 ACD A = −= ， 15 DCE ACE ACD = − = ， 故答案为：15； （2）解： ( ) 1 2 DCE A B = − ，理由如下： 如图1， 180 ACB B A ++= ， 180 ACB B A = −−， CE 平分 BCA ， ( ) 1 1 180 2 2 ACE BCA A B = = −− ， CD BA ⊥ ， 90 ADC = ， 90 ACD A = −， DCE ACE ACD = − 12 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( ) ( ) 1 180 90 2 A B A = −− − − 1 1 2 2 A B = − ( ) 1 2 A B = − ； （3）解：如图2 ， A = ， B = ， 180 ACB B A ++= ， 180 180 ACB B A = − − = − − ， CE 平分 ACB ， ( ) 1 1 180 2 2 ACE ACB = = − − ， ( ) 1 1 1 180 90 2 2 2 DEC A ACE = + = + − − = + − ， DF AB ⊥ ， 90 FDE = ， 1 1 1 1 90 90 2 2 2 2 DFE DEC FDE = − = + − − = − ， 即 DFE 的度数为( ) 1 2 − ， 故答案为：( ) 1 2 − ． 13 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．C 2．B 3．A 4．C 5．B 二、填空题 6．42/42 度 7．5/5度 8．75 9． 1 90 4 x + 10． 2025 45 2 三、解答题 11． 【答案】（1）解：∵AE 是边BC 上的高， ∴ 90 AEB = ， ∴ 180 60 BAE B AEB − − = = ， ∵ 20 DAE = ， ∴ 40 BAD BAE DAE − = = ， ∵AD是 BAC 的平分线， ∴ 2 80 BAC BAD = = ， ∴ 180 70 C B BAC − − = = ． (2) 2 C B F − = ，理由如下： ∵AE 是边BC 上的高， ∴AE BC ⊥ ， 90 AEB = ， ∴ 180 90 BAE B AEB B − − − = = ， ∴ 90 BAD BAE DAE B DAE − − − = = ， ∵AD是 ABC 的平分线， ∴ 2 180 2 2 BAC BAD B DAE − − = = ， ∴ 180 2 C B BAC B DAE − − = = + ， ∵FG BC ⊥ ，AE BC ⊥ ， ∴FG AE ∥ ， 14 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ F DAE = ， ∴ 2 C B F = + ，即 2 C B F − = ． 12． 【答案】（1）解： AE 平分 BAC ，BE平分 CBD ， 2 BAC BAE = ， 2 CBD DBE = ∠ ∠ ． DBE = E BAE + ， 2 2 2 DBE E BAE = + ． 2 CBD E BAC = + ， CBD = C BAC + ， ∴2 E BAC C BAC + = + 1 45 2 E C = = 度． （2）解： AE 平分 BAC ，BE平分 CBD ， 2 BAC BAE = ， 2 CBD DBE = ∠ ∠ ． DBE = E BAE + ， 2 2 2 DBE E BAE = + ． 2 CBD E BAC = + ， CBD = C BAC + ， ∴2 E BAC C BAC + = + 1 1 2 2 E C m = = ． （3）解：∵ 1 4 CAE BAC = ， 1 4 CBE CBD = ， ∴ 3 4 BAE BAC = ， 3 4 DBE CBD = ， DBE = E BAE + ， 4 3 3 4 CBD E BAC = + ． 4 3 CBD E BAC = + ， CBD = C BAC + ， ∴4 3 E BAC C BAC + = + ∴4 3 E C = ，即 3 3 4 4 E C m = = ． 13． 【答案】（1）解：∵ 80 ABC = ， 50 ACB = ，点P 是 ABC 和 ACB 的平分线的交点， 15 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 1 40 2 PBC ABC ， 1 25 2 BCP ACB = = ， ∵ 180 BCP P PBC ++ = ， ∴ 180 180 40 25 115 P BCP PBC = − − = − − = ． （2）解：∵ A = ， ∴ 180 180 ABC ACB A + = −= − ， ( ) ( ) 360 360 180 180 MBC NCB ABC ACB + = − + = − − = + ， ①∵ ABC 与 ACB 的角平分线BP与CP 相交于点P， ∴ 1 2 PBC ABC = ， 1 2 BCP ACB = ， ∴ ( ) ( ) 1 1 1 180 90 2 2 2 PBC BCP ABC ACB + = + = − = − ， ∵ 180 BCP P PBC ++ = ， ∴ ( ) 1 1 180 180 90 90 2 2 P BCP PBC = − + = − − = + ． ②∵ MBC 与 NCB 的角平分线相交于点Q， ∴ 1 2 QBC MBC = ， 1 2 BCQ NCB = ， ∴ ( ) ( ) 1 1 1 180 90 2 2 2 QBC BCQ MBC NCB + = + = + = + ， ∵ 180 QBC Q QCB + + = ， ∴ ( ) 1 1 180 180 90 90 2 2 Q QBC QCB = − + = − + = − ． （3）解：如图：延长BC 至D， ∵CQ 为ABC 的外角 NCB 的角平分线， ∴ BCQ NCQ = , ∵ BCQ DCR = ， NCQ ACR = , ∴ ACR DCR = , ∴CR 是ABC 的外角 ACD 的平分线， 16 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 2 ACD RCD = ， ∵BR平分 ABC ， ∴ 2 ABC RBC = ， ∵ RCD RBC R = +， ∴2 2 RCD RBC R = + ，即 2 ACD ABC R = + ， 又∵ ACD ABC A = +， ∴ 2 A R = ，即 1 2 R A = ； 由（2）可知 1 90 2 Q A = − ∵在BQR 中，除 RBQ 外，若一个内角是另一个内角的3 倍， ∴①当 3 Q R = 时，即 1 1 90 3 2 2 A A − = ，解得： 45 A = ； ②当 3 R Q = 时，即1 1 3 90 2 2 A A = − ，解得： 135 A = ； 综上所述， A 的度数是45或135． 14． 【答案】（1）解：∵ 90 AOB = ， 40 BAO = ， ∴ 180 180 90 40 50 ABO AOB BAO = − − = − − = ， ∵BC 平分 ABO ∠ ， ∴ 1 25 2 ABC ABO = = ； (2) 45 ADO BCE = + ，证明如下： ∵BC 平分 ABO ∠ ， ∴ 1 2 ABC OBC ABO = = ， ∵CE OB ∥ ， ∴ 1 2 BCE OBC ABO = = ， ∵AC 平分 BAO ， ∴ 1 2 BAD DAO BAO = = ， ∵ 90 AOB = ， ∴ 180 90 BAO AOB ABO ABO = − − = − ， ∴ ADO ABO BAD = + 1 2 ABO BAO = + 17 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( ) 1 90 2 ABO ABO = + − 1 45 2 ABO 45 BCE = + ； （3）解：如下图， ∵ 90 AOB = ， ∴ 180 90 BOK AOB = − = ， ∵ON 平分 BOK ， ∴ 1 45 2 BON BOK = = ， ∵AM AN ⊥ ， ∴ 90 MAN = ， ∵ M N ，且 180 90 M N MAN + = − = ， ∴ N M MAN ， 当 3 MAN N = 时，则 1 30 3 N MAN = = ， ∴ 30 45 75 ADO N BON = + = + = ， ∴ 180 15 DAO ADO AOB = − − = ∴ 2 30 BAO DAO = = ； 当 3 M N = 时，则 3 90 M N N N + = + = ， ∴ 22.5 N = ∴ 22.5 45 67.5 ADO N BON = + = + = ， ∴ 180 22.5 DAO ADO AOB = − − = ∴ 2 45 BAO DAO = = ； 当 3 MAN M = 时，则 1 30 3 M MAN = = ， ∴ 90 60 N M = − = ， ∴ N M ，不合题意，舍去． 综上所述， BAO 的度数为30或45． 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 15． 【答案】（1）解：如图①，∵BP平分 ABC ，CP 平分 ACB ， ∴ 1 1 2 2 ABP CBP ABC ACP BCP ACB = = = = ∠ ∠ ∠ ，∠ ∠ ∠ ， ∵ 180 180 80 100 ABC ACB A + = −= − = ， ∴ ( ) ( ) 1 180 180 130 2 P CBP BCP ABC ACB = − + = − + = ； 如图②，∵BM 平分 ABC ，CM 平分外角 ACD ， ∴ 1 1 2 2 CBM ABM ABC DCM ACM ACD = = = = ， ， ∵ ACD A ABC = + ， DCM M CBM = + ， ∴ ( ) 2 2 2 DCM ACD A CBM M CBM = = + = + ， 整理得， 2 A M = ； （2）解：∵BN 平分外角 EBC ，CN 平分外角 FCB ， ∴ 1 1 , 2 2 CBN EBN CBE BCN FCN BCF = = = = ， ∵ 180 ABC ACB A + = −， ∴ ( ) 180 180 360 180 CBE BCF ABC ACB ABC ACB A + = − + − = − + = + ， ∴ ( ) ( ) 1 1 180 180 90 2 2 N CBN BCN CBE BCF A = − + = − + = − ， ∴ 1 90 2 N A = − ； （3）解：由题意知， ( ) 1 1 1 90 2 2 2 NBM CBN CBP CBE ABC CBE ABC = + = + = + = ， 1 90 2 N A = − ， 2 A M = ， ∴当在BMN 中，存在一个内角等于另一个内角的2 倍，分① 2 NBM M = ，② 2 NBM N = ，③ 2 M N = ，④ 2 N M = ，四种情况求解： ①当 2 NBM M = 时， 2 90 A M NBM = = = ； ②当 2 NBM N = 时，2 90 N = ，则 ( ) 2 90 90 A N = − = ； ③当 2 M N = 时，1 1 2 90 2 2 A A = − ，解得， 120 A = ； ④当 2 N M = 时， 1 90 2 A A − = ，解得， 60 A = ； 综上所述， A 的度数为60或90或120．
