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专题04 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线的四种模型
常考题型·精准突破
题型1 三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型（难）
题型2 三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型（难）
题型3 三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型（难）
题型4 三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型
模型总结：
1）两内角平分线的夹角模型
图1 图2 图3
条件：如图1，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线BP，CP 交于点P；结论：
1
90
2
P
A
=
+
.
证明：∵∠ABC 和∠ACB 的平分线BP，CP 交于点P，∴
1
2
PBC
ABC
=
，
1
2
PCB
ACB
=
.
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°- 1
2
（∠ABC+∠ACB）=180°- 1
2
（180°-∠A）=90°+ 1
2
∠A.
2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1
条件：如图2，BP、CP 平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D.
证明：∵BP、CP 平分∠ABC、∠DCB，∴
1
2
PBC
ABC
=
，
1
2
PCB
DCB
=
.
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°- 1
2
（∠ABC+∠DCB）=180°- 1
2
（360°-∠A-∠D）= 1
2
（∠A+∠D）.
即：2∠P=∠A+∠D.
3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2
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条件：如图3，CP、DP 平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：2
180
P
A
B
E
= ++−
.
证明：∵CP、DP 平分∠BCD、∠CDE，∴
1
2
PCD
BCD
=
，
1
2
PDC
CDE
=
.
∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°- 1
2
（∠BCD+∠CDE）=180°- 1
2
（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠
E-90°.即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°.
1．（25-26 八年级上·广东肇庆·月考）在
ABC
中，
ABC
和
ACB
的平分线相交于点O．
(1)若
60 ,
40
ABC
ACB
=
=
，求
BOC
的度数；
(2)求证：
1
90
2
O
A
=
+
2．（25-26 八年级上·山东滨州·月考）数学活动课上，小明运用已有的研究经验，对“在
ABC
的内部有一点
D，分别连接BD和CD．”所形成的图形展开研究．
(1)如图1，若
120
30
40
BDC
ABD
ACD
=
=
=
，
，
，求
A
的度数；
(2)如图2，BD和CD分别平分
ABC
和
ACB
．
①若
110
BDC
=
，求
A
的度数；
②若
BDC
=
，请直接写出
A
的度数（用含α 的式子表示）．
3．
（25-26 八年级上·安徽阜阳·月考）在
ABC
中，已知
ABC
的n 等分线与
ACB
的n 等分线相交于点
1
n
G −，
试猜想：
1
n
BG
C
−
与
A
的数量关系．（
2
n
且n 为整数）
(1)如图1，当
2
n =
时，探究
1
BG C
与
A
的数量关系；
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(2)如图2，当
3
n = 时，
2
BG C
与
A
的数量关系：
2
BG C
=________；
(3)如图3，猜想
1
n
BG
C
−
与
A
的数量关系：
1
n
BG
C
−
=________．（用含n 的式子表示）
◆题型2 三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型
模型总结：
图1 图2
1）一个内角一个外角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：
1
2
P
A
=
．
证明：∵BP、CP 平分∠ABC、∠ACD，∴
1
2
PBC
ABC
=
，
1
2
PCD
ACD
=
.
∴∠P=∠PCD-∠PBC=
1
2 （∠ACD-∠ABC）=
1
2 ∠A.
2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）
条件：如图2，A
=
，∠ABC、∠ACD 的平分线相交于点
1P ，
1
1
,
PBC
PCD
的平分线相交于点
2P ，
2P BC
，
2PCD
的平分线相交于点
3P ……以此类推；结论：
nP
的度数是2n
．
证明：∵BP1、CP1 平分∠ABC、∠ACD，∴
1
2
PBC
ABC
=
，
1
2
PCD
ACD
=
.
∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC= 1
2
（∠ACD-∠ABC）= 1
2
∠A= 1
2.同理：∠P2= 1
2
∠P1=
2
1
2 ，∠Pn=
2n
4．（25-26 八年级上·广东东莞·月考）如图1，在
ABC
中，
ABC
的平分线与
ABC
的外角
ACE
的平分
线相交于点D．
(1)若
50
A
=
，则
D
=______；
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(2)判断
D
与
A
的数量关系，并加以证明；
(3)若
DBC
的平分线与
DBC
△
的外角
DCE
的平分线相交于点G （如图2），直接写出
G
与
A
的数量
关系．
5．（25-26 八年级上·吉林·月考）（1）【探究发现】如图①，在
ABC
中，点P 是内角
ABC
和外角
ACD
的
平分线的交点．
①若
60
A
=
，求
P
的度数：
②试猜想
P
与
A
之间的数量关系，并直接写出结论（不需证明）：
（2）【迁移拓展】如图②，在
ABC
中，点P 是内角
ABC
和外角
ACD
的n 等分线的交点，即
1
1
,
PBC
ABC
PCD
ACD
n
n
=
=
，试猜想
P
与
A
之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）【应用创新】如图③，AD
BE
、
相交于点C，ABC
CDE
ACE
、
、
的平分线交于点P，若
36
A
=
，
40
E
=
，则
BPD
=________度．
6．（25-26 八年级上·山东临沂·月考）如图，在
ABC
中，点D 在AB 上，过点D 作DE
BC
∥
，交AC 于点
E，DP平分
ADE
，交
ACB
的平分线于点P，CP 与DE 相交于点G，点F 在BC 的延长线上，ACF
的
平分线CQ 与DP相交于点Q．
(1)若
40
A
=
，
60
B
=
，则
DPC
=______，
Q
= ______；
(2)若
A
=
，当
B
的度数发生变化时，
DPC
、
Q
的度数是否发生变化？若要变化，说明理由；若不
变化，求出
DPC
、
Q
的度数（用的代数式表示）．
◆题型3 三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型
模型总结：
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图1 图2 图3
1）两外角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC 中，BO，CO 是△ABC 的外角平分线；结论：
1
90
2
O
A
=
−
．
证明：∵BO、CO 平分∠CBE、∠BCF，∴
1
2
OBC
EBC
=
，
1
2
OCB
BCF
=
.
∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°- 1
2
（∠EBC+∠BCF）=180°- 1
2
（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A）
=180°- 1
2
（180°+∠A）=90°+ 1
2
∠A.
2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
条件：如图2，BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACB 的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD 平分∠CAD.
证明：如图3，过点D 作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，
∵BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACB 的外角，
∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD 平分∠CAD.
7．（25-26 八年级上·广东江门·月考）如图，BG
CG
、
分别是
ABC
的内角
ABC
、
ACB
的平分线，两外
角
DBC
、
ECB
的平分线交于点F ，
(1)若
80
A
=
，求
BGC
的度数．
(2)若用含有
A
的式子表示
BFC
，则
BFC
= ______，并给予证明．
8．（25-26 八年级上·山东济宁·月考）如图，点 P 是
ABC
两内角平分线的交点，N 是
ABC
两外角平分线
的交点，延长
,
BP NC 交于点M．
E
D
C
B
A
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(1)①若
100
A
=
，则
________;
BPC
=
②
,
A
M
的数量关系是 ；
(2)请探索证明
BPC
与
N
之间的数量关系；
(3)在
BMN
中，存在一个内角等于另一个内角的3 倍时，求
A
的度数．
9．（25-26 八年级上·浙江宁波·期中）如图①，在
ABC
中，
ABC
与
ACB
的平分线相交于点P ．
(1)如果
80
A
=
，求
BPC
的度数；
(2)如图②，作
ABC
外角
MBC
，
NCB
的角平分线交于点Q ，已知
A
=
，求
Q
（用表示）．
(3)如图③，延长线段BP、QC 交于点E ，当
A
=___________时，
BQE
△
中存在一个内角等于另一个内角
的2 倍（直接写出
A
的度数）．
◆题型4 三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型
模型总结：
1）条件：如图1，在ABC
中，AD，AE 分别是ABC
的高和角平分线，结论：
(
)
1
2
DAE
C
B
=
−
．
2）条件：如图2，F 为ABC
的角平分线AE 的延长线上的一点，FD
BC
⊥
于D，结论：
1 (
)
2
DFA
C
B
=
−
．
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图1 图2
1）证明：∵AE 平分
BAC
，∴
1
2
EAC
BAC
=
，
∵
180
BAC
B
C
=
−−
，∴
(
)
1
1
1
0
1
90
2
8
2
2
B
C
B
C
EAC
−−
−
−
=
=
，
∴
EAD
EAC
DAC
=
−
(
)
1
1
0
90
9
2
2
B
C
C
=
−
−
−
−
(
)
1
2
C
B
=
−
；
2）证明：如图，过A 作AG
BC
⊥
于G ，由（2）可知：
1 (
)
2
EAG
C
B
=
−
，
AG
BC
⊥
，
90
AGB
=
，
FD
BC
⊥
，
90
FDC
=
，
AGD
FDC
=
，
FD
AG
∥
，
AFD
EAG
=
，
1 (
)
2
AFD
C
B
=
−
．
10．（25-26 八年级上·全国·期中）如图1，AD，AE 分别是
ABC
的高和角平分线(
)
C
B
．
(1)求证：
(
)
1
2
DAE
C
B
=
−
；
(2)如图2 ，若点F 为AE 上一点，且FD
BC
⊥
于点D ，试推导
EFD
与
C
，
B
之间的等量关系；
(3)当点F 在AE 的延长线上时，且FD
BC
⊥
于点D ，其余条件都不变，请直接写出
EFD
与
C
，
B
之
间的等量关系．
11．
（25-26 八年级上·山西忻州·月考）
（1）如图1，在
ABC
中，点D，E 在边BC 上，AD平分
BAC
，AE
BC
⊥
，
35
B
=
，
65
C =
∠
，求
DAE
的度数；
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（2）如图2，若把（1）中的条件“ AE
BC
⊥
”变成“点F 为DA的延长线上一点，FE
BC
⊥
”，其他条件不变，
求
DFE
的度数；
（3）若把（1）中的条件“ AE
BC
⊥
”变成“点F 为AD 的延长线上一点，FE
BC
⊥
”，其他条件不变，请画出
相应的图形，并求出
DFE
的度数．
12．（24-25 八年级上·河南信阳·期末）在
ABC
中，CE 平分
ACB
，
A
B
．
(1)如图1，若CD
AB
⊥
于点D ，
70
A
=
，
40
B
=
，则
DCE
的度数为______；
(2)如图1，若CD
AB
⊥
于点D ，猜想并写出
A
、
B
、
DCE
之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图2 ，设
A
=
，
B
=
，当点F 在射线EF 上时( 不与点E 重合) ，且DF
AB
⊥
于点D ，直接写出
DFE
的度数为： ______.( 用含、的式子表示) ．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（25-26 八年级上·湖北武汉·期末）如图，在ABC
中，
110
A
=
，1
2
= ，3
4
= ，则x 的值为（ ）
A．135
B．140
C．145
D．150
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2．（25-26 八年级上·浙江金华·期末）如图，在ABC
中，
70
C
=
，F 在AB 延长线上，
CAB
的角平分
线与
CBF
的角平分线交于点E ，则
E
的度数为（ ）
A．30
B．35
C．40
D．45
3．（25-26 七年级下·四川达州·期末）如图，在ABC
中，AE 是
BAC
的平分线，F 是AE 延长线上一点，
且
⊥
FD
BC于点D，
28
B
=
，
18
F
=
，则
BAC
= （ ）
A．88°
B．85°
C．65°
D．72°
4．（25-26 八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形ABCD中，
230
D
C
+
=
，
DAB
的平分线与外角
CBE
的平分线相交于点F ，则
F
的度数为（ ）
A．10
B．15
C．25°
D．30
5．（25-26 七年级下·重庆·期中）如图，直线AB
CD
，E 、F 分别为直线AB 、CD上的点，P 为直线AB 上
方一点．若
BEP
的角平分线与
DFP
的角平分线交于点H ，
EPF
的角平分线与
PFC
的角平分线交于
点G ，PG 交EH 于点M ，
55 ,
20
GFP
PMH
EHF
=
−
=
，则下列结论：
①
90
GFH
=
；②
PFH
PEH
EHF
−
=
；③
110
PGF
=
；④
PEM
EPM
=
．正确的个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
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二、填空题
6．
（25-26 七年级下·山西晋中·期末）如图，在ABC
中，AD
BC
⊥
，AE 平分
BAC
，若1
35
=
，2
22
=
，
则
B
=________．
7．
（24-25 七年级下·上海·阶段检测）如图，在ABC
中，BO、CO分别平分
ABC
和
ACB
，过点O 作DE
BC
∥
，
分别交边AB 、AC 于点D 和点E，如果
70 ,
50
BAC
ABC
=
=
，那么
EOC
BOD
−
=______ ．
8．（2026 七年级下·江苏·专题练习）如图，在ABC
中，E 为ABC
角平分线AM 的延长线上一点，过点E
作ED
BC
⊥
于点D，若
45
B
=
，
2
=
CAE
E
，则
C
的度数为________ ．
9．（25-26 七年级下·四川成都·期中）如图所示，ABC
中，A
x
= ，BP，CP ，BM ，CM 分别是
ABC
，
ACD
，
PBC
，
PCB
的平分线，则
M
的度数为_________（结果用x 表示）
10．（25-26 七年级下·山东东营·期末）如图，在ABC
中，
90
C
=
，CAB
的角平分线和外角
CBD
的平
分线交于
1P ，
1PAB
的平分线和外角
1PBD
的平分线交于
2P ，
2P AB
的平分线和外角
2P BD
的平分线交于
3P ，…，则
2026
P
= ____________________．
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三、解答题
11．（25-26 七年级下·山东潍坊·阶段检测）在ABC
中，C
B
，AE 是边BC 上的高，AD是
BAC
的平
分线．
(1)如图①，若
20
DAE
=
，
30
B
=
，求
C
的度数；
(2)如图②，若F 是AD的延长线上一点，FG
BC
⊥
于点G ，试探究
F
与
C
，B
之间的数量关系，并说
明理由．
12．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）【问题再现】如图①，在ABC
中，CAB
的平分线AE 与外角
CBD
的平分线BE交于点E ．若
90
C
=
，求
E
的度数．
【问题解决】
(1)小明根据题目中的条件，写出了如下不完整的求解过程：
AE
平分
BAC
，BE平分
CBD
，
2
BAC
BAE
=
，
2
CBD
DBE
=
∠
∠
．
DBE
=
______
BAE
+
，
2
2
2
DBE
E
BAE
=
+
．
CBD
=
______
BAC
+
，
1
2
E
C
=
= ______度．
将小明的过程补充完整．
【应用】
(2)如图②，在ABC
中，
CAB
的平分线AE 与外角
CBD
的平分线BE交于点E ．设
C
的度数为m ，求
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E
的度数．（用含m 的代数式表示）
【拓展】
(3)如图③，在ABC
中，C
为锐角，BAC
内部的射线AE 与外角
CBD
内部的射线BE交于点E（
E
为
锐角）．若
1
4
CAE
BAC
=
，
1
4
CBE
CBD
=
，设
C
的度数为m ，则
E
的大小为______．（用含m 的
代数式表示）
13．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）在ABC
中，
ABC
与
ACB
的角平分线BP与CP 相交于点P．
(1)如图1，若
80
ABC
=
，
50
ACB
=
，求
P
的度数；
(2)如图2，延长AB 至M，延长AC 至N，MBC
与
NCB
的角平分线相交于点Q，若
(0
180 )
A
=
．
①用含的代数式表示
P
的大小为__________°；
②用含的代数式表示Q 的大小为__________°；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长BP、QC 交于点R．在BQR
中，除
RBQ
外，若一个内角是另一个内
角的3 倍，直接写出
A
的大小．
14．（25-26 七年级下·北京·期末）已知，在AOB
中，
90
AOB
=
，AC ，BC 分别平分
BAO
与
ABO
∠
．
(1)如图1，当
40
BAO
=
时，则
ABC
= ___________；
(2)如图2，延长AC 与OB 交于点D ，过C 作CE
OB
∥
交AB 于点E ，用等式表示
ADO
与
BCE
的数量关
系，并证明；
(3)如图3，AOB
的外角平分线ON 与AC 的延长线交于点N ，过点A作AM
AN
⊥
交ON 的反向延长线于点
M ，
M
N
．在AMN
中，如果有一个角的度数是另一个角的3 倍，请直接写出
BAO
的度数．
15．（25-26 七年级下·河南南阳·期末）【教材探究】小明同学在完成华师版数学七下第92、93 页第4、5、6
题时发现了一些有趣的结论，让我们一起探索吧．
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(1)如图①，在ABC
中，BP平分
ABC
，CP 平分
ACB
．若
80
A
=
，则
P
= ____________；如图②，
BM 平分
ABC
，CM 平分外角
ACD
，则
A
与
M
的数量关系是____________；
【继续探索】
(2)如图③，BN 平分外角
EBC
，CN 平分外角
FCB
．请探索
A
与
N
之间的数量关系；
【拓展应用】
(3)如图④，点P 是ABC
两内角平分线的交点，点N 是ABC
两外角平分线的交点，延长BP、NC 交于点
M ．在BMN
中，存在一个内角等于另一个内角的2 倍，求
A
的度数．
