1 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
专题04 全等三角形性质和判定的五类综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、全等三角形性质和判定求解的多解问题
题型二、全等三角形性质和判定求多结论问题
题型三、全等三角形性质和判定求动点中的最值问题
题型四、全等三角形性质和判定的综合问题
题型五、全等三角形性质和判定的新定义型综合问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
- 题型特征：涉及边角对应关系证明、线段或角相等、图形变换（平移/旋转/翻折）中的全等。
- 解题方法：判定用SSS、SAS、ASA、AAS、HL（Rt△）；性质用于导边导角；找隐含条件（公共边、
对顶角、等角加减）。
- 易错提醒：SAS 中夹角必须是对应边夹角；判定时误用SSA；对应顶点未对准致边角错配。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、全等三角形性质和判定求解的多解问题
典例1（25-26 八年级上·福建莆田·阶段检测）如图，已知四边形
中，
厘米，
厘米，
厘米，
，点E 为线段
的中点．如果点P 在线段
上以3 厘米/秒的速度由B 点向C 点
运动，同时，点Q 在线段
上由C 点向D 点运动．当点Q 的运动速度为___________厘米/秒时，能够使
与以C、P、Q 三点所构成的三角形全等．
目 录
2 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】3 或
【分析】设点P 运动的时间为t 秒，则
，
，分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相
等，即可得到点Q 的运动速度．
【详解】解：设点P 运动的时间为t 秒，则
，
，
，点E 为线段
的中点，
．
，
①当
，
时，
与
全等，
此时，
，
解得：
，
，
点Q 的运动速度为
厘米/秒；
②当
，
时，
与
全等，
此时，
，
解得：
，
点Q 的运动速度为
厘米/秒；
点Q 的运动速度为3 厘米/秒或
厘米/秒时，能够使
与以C、P、Q 三点所构成的三角形全等．
题型模版
1.特征：已知两边一角或两角一边，但对应顺序未定，导致多个满足全等的三角形。
2.方法：分类讨论对应顶点顺序（如SAS、ASA、AAS），按不同情况分别作图或列方程求解并验证。
变式1-1（26-27 八年级上·江苏南京·开学考试）如图，
，
，
，如果点
在
线段
上以
的速度由
点向
点运动，同时，点
从
点出发以
的速度沿射线
运动，经
过秒后，若以
、
、
为顶点的三角形与以
、
、
为顶点的三角形全等，则
的值是________ ．
3 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】或
【分析】已知
，两个三角形全等存在两种对应情况：
；
，分别根
据全等三角形对应边相等列方程求解，进而求出
．
【详解】由题意得：
，
，
，
，
与
全等，
分两种情况：
情况1：
，
此时对应边：
，
，
由
得
，
解得
，
由
得
，
将
代入，得
，
解得
；
情况2：
，
此时对应边：
，
，
由
得
，
解得
，
由
得
，
将
代入，得
，
解得
，
综上，
的值为或
．
变式1-2（25-26 七年级下·广东梅州·期末）如图，在
中，
是
上的一点，
，
，
，动点
从点
出发向点
运动，速度为1，同时动点
从点
出发向点
匀速运动，连接
、
，
4 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
在运动过程中，存在某一时刻使
与
全等，则点
的运动速度为________．
【答案】或
【分析】利用全等三角形的性质，设运动时间为，点
的运动速度为，则有
，
，分两种情况
和
，分别计算出点
的运动速度．
【详解】解：设运动时间为，点
的运动速度为，
则
，
∴
，
∵
，当
时，
，
，
∴
，
，
∴
，
，
∴点
的运动速度为
，
当
时，
，
，
∴
，
，
解得
，
∴点
的运动速度为
，
综上，点
的运动速度为或
．
变式1-3（25-26 七年级下·宁夏银川·期末）如图，
，垂足为点A，
，
，射
线
，垂足为点B，一动点E 从B 点出发以
的速度沿射线
运动，点D 为射线
上一动
点，随着E 点运动而运动，且始终保持
，当点
离开点
后，运动_____ 时，
与
全等．
【答案】2 或4
5 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【分析】根据题意
和
这两种情况，根据全等三角形的性质讨论求解即可．
【详解】解：∵
，
，
∴
；
∴当
与
全等时，只存在
和
这两种情况，
当
时，则
，
∴运动时间为
；
当
时，则
，
∴运动时间为
；
综上所述，当运动
或
时，
与
全等．
题型二、全等三角形性质和判定求多结论问题
典例2（25-26 七年级下·福建宁德·期中）如图，在
中，
，垂足为点
，
，点
在
线段
上，连接
并延长交
于点
，若
时，则下列结论中：①
；②
；③
；④
，其中正确的是_____．
【答案】①③④
【分析】利用全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理求解．
【详解】解：①∵
，
∴
，
又∵
，
，
∴
，
∴
，故①正确；
②根据给出条件，无法得出
，故②错误；
③∵
，
∴
，
6 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵
，且
，
∴
，
即
，
∴
，故③正确；
④如图所示，过点
作
于点
，过点
作
于点
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
即
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，故④正确．
综上，正确选项为①③④．
题型模版
1.特征：题干给出多个结论，需判断正误，常综合全等判定与性质进行推理论证。
2.方法：先找全等三角形，利用判定定理（SAS、ASA 等）证明，再由全等性质（对应边角相等）逐一验证
各结论。
变式2-1（25-26 七年级下·山东菏泽·期末）如图，
，
，
于点B，
于点D，E、F 分别是
、
上的点，且
，下列结论中①
，②
，③
平分
，④
平分
，⑤
．其中正确的结论有_________
7 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】③⑤
【分析】由
、
分别是
、
上的任意点，可知
与
不一定相等，
与
也不一定全等，
可判断①错误，②错误；延长
到点
，使
，连接
，先证明
，得
，
，
，由
，
，可以推导出
，则
，
即可证明
，得
，因为
，所以
，可判断③正确，
因为
，所以
，可判断⑤正确；由
平分
结合
，
推出与
、
分别是
、
上的任意点互相矛盾，可得④错误．
【详解】解：
、
分别是
、
上的任意点，
与
不一定相等，故①错误；
于点
，
于点
，
，
，
的另一个条件是
，
与
不一定相等，
与
不一定全等，故②错误；
延长
到点
，使
，连接
，则
，
，
在
和
中，
8 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
，
，
，
平分
，故③⑤正确；
若
平分
，而
，
，与
、
分别是
、
上的任意点矛盾，故④错误；
综上可知，正确的结论有③⑤．
变式2-2（25-26 七年级下·河南开封·期末）如图，在
中，
，
，D，E 是
边BC 上两点，过点A 作
，垂足是A，过点C 作
，垂足是C，交
于点F，连接
，
其中
．下列结论：①
；②
；③若
，
．则
；
④
．其中正确的是______．（填序号）
【答案】②③/③②
【分析】证明
即可判断①，证明
，即可得到
9 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，即可判断②；根据
得到
，根据
即可判断③；根据
得到
，由
，
即可判断④．
【详解】解：∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
；
∴
,
但是无法证明
，
∴
不一定成立；
故①错误；
∵
，
∴
，
∴
，
故②正确；
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
故③正确；
∵
10 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∵
，
，
∴
，故④错误；
综上可知，正确的是②③．
变式2-3（25-26 七年级下·吉林长春·期中）如图，在
中，
，
是
的高，
是
的中线，
平分
交
于点
，交
于点
，给出以下结论：①
；②
；
③
；④
，上述结论中，所有正确结论的序号是_____．
【答案】②③④
【分析】作
于点M，结合角平分线的性质定理和垂心段最短可判断①错误；根据直角三角形两锐
角互余判断②；根据角平分线的定义、等角的余角相等及对顶角相等判断③；根据三角形中线的性质判断④．
【详解】解：如图，作
于点M，
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，故①错误；
，
在
中，
，故②正确；
，
，
，
，
11 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，
平分
，
，
，
，
，故③正确；
是
的中线，
，
，故④正确；
综上所述，正确的结论是②③④．
题型三、全等三角形性质和判定求动点中的最值问题
典例3（25-26 七年级下·甘肃张掖·期末）如图，在锐角三角形
中，
，
的面积为6，
平分
．若
、
分别是
、
上的动点，则
的最小值为________．
【答案】3
【分析】在
上取点
，使得
，连接
、
，过点
作
于点
，利用三角形面积公
式求出
，再证明
，得到
，则当
、
、
三点共线，且
时，
有最小值为
的长，即可得解．
【详解】解：如图，在
上取点
，使得
，连接
、
，过点
作
于点
，
在锐角三角形
中，
，
的面积为6，
，
12 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，
平分
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
当
、
、
三点共线，且
时，
有最小值为
的长，
的最小值为3．
题型模版
1.特征：动点运动中构造全等三角形，求线段或面积最值，常结合二次函数或几何不等式。
2.方法：利用全等转化线段（如等量代换），将最值化为二次函数顶点或垂线段最短，结合动点范围求解。
变式3-1（25-26 八年级上·湖北武汉·期末）如图，在
中，
分别为边
上的动点，且
，连接
．当
取最小值时，
_____．
【答案】18
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短，添加辅助线构造全等三角形，利用两
点之间线段最短得到
取最小值时点
的位置是解题的关键．
如图，在
下方作
，且使得
，则
，
，可证得
，则
，
，进而可知当点
在
上时，
取得最小值，此
时，
，即可求解．
【详解】解：如图，在
下方作
，且使得
，则
，
，
13 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
又∵
，
∴
，则
，
∴
，则
，
即，当点
在
上时，
取得最小值，
此时，
，
故答案为：18．
变式3-2（25-26 七年级下·陕西汉中·期末）如图，
是
的角平分线，
于点
，
是
的中线，动点
在
边上，连接
．若
，
的面积是3，则
的最小值为______________．
【答案】2
【分析】因为
是
的中线，所以
和
面积相等，可先求出
的面积．已知
的
面积和
的长度，结合
，用三角形面积公式可求出
的长度．因为
是角平分线，根据角平
分线的性质，点D 到
和
的距离相等，可得D 到
的距离等于
．因为G 在
上，根据垂线段
最短，
的最小值即为D 到
的距离．
【详解】解：∵
是
的中线，
，
∴
．
∵
，
，
，
14 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
解得
．
∵
是
的角平分线，
∴点
到
的距离等于
．
又∵点
在
上，
∴
的最小值就是点
到
的距离，
即
．
变式3-3（25-26 八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在
中，
，
，
，
，
平分
交
于点D，点E，F 分别是
，
上的动点，则：
（1）
的长为______；
（2）
的最小值为______．
【答案】
【分析】本题主要考查垂线段最短问题、角平分线的性质等知识点，解决本题的关键是正确作出辅助线，
借助面积法列方程求解．
（1）过点
作
，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知
，再根据
列方程求出
的长；
过点
作
交
于点
，作
交
于点
，此时有
，利用面积法列
方程求出
的长度即为
的最小值．
【详解】（1）解：如下图所示，过点
作
，
平分
交
于点
，
，
，
15 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，
，
，
，
，
解得：
，
故答案为：
；
（2）解：如下图所示，过点
作
交
于点
，作
交
于点
，连
，
平分
交
于点
，
点
与点
关于
对称，
在
中，
，
，
，
解得：
，
由“两点之间线段最短”知，
的最小值为
，
故答案为：
．
题型四、全等三角形性质和判定的综合问题
典例4（26-27 八年级上·全国·开学考试）如图，
，
，点D 在
边上，
和
相交
于点O．
(1)若
，求
的度数；
(2)若
，求证：
．
16 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】(1)
(2)证明：∵
，
∴
，
由（1）可知：
，
又∵
，
∴
，
∴
，即
，
在
和
中，
，
∴
．
【分析】（1）在
和
中，利用三角形内角和定理可得
，从而得到答案；
（2）先证明
，再利用
可证得
．
【详解】（1）解：∵
，点D 在
边上，
和
相交于点O，
∴
，
又∵
，
，
∴
；
（2）略．
题型模版
1.特征：综合运用全等判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）与性质（对应边角相等）解决复杂几何证明或
计算。
2.方法：从结论出发逆推需证的全等，再结合已知条件选择适当判定定理，由全等得对应关系完成证明。
变式4-1（26-27 八年级上·湖北武汉·开学考试）如图，点F，G 分别在
的
，
边上，C，B
依次为
延长线上两点，
，
，
．
17 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)求证：
；
(2)若
，
，求
的度数，并直接写出当
时，
．
【答案】(1)证明：
，
．
．
，
，
．
．
(2)
；
【分析】（1）先由
，得
，又因为
，
，即可证明
；
（2）由
，再结合对顶角相等，三角形内角和性质得
，根据
，故
，最后运用三角形外角性质列式计算，即可作答．
【详解】（1）证明：略
（2）解：
，
．
，
，
，
．
（三角形外角性质）．
变式4-2（25-26 七年级下·广东茂名·期末）如图，在
中，
，
，点D 为直
线
上方一点，且
，
，
(1)求证：
18 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(2)若
，
，求
的长．
【答案】(1)证明：
，
，
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
；
(2)
【分析】（1）由题意易得
，则有
，然后根据全等三角形的判定
定理可进行求证；
（2）由（1）可知
，
，然后问题可求解．
【详解】（1）略
（2）解：
，
，
，
．
变式4-3（25-26 七年级下·重庆·期末）已知
，连接
，点
在
上（点
不与点
，点
重
合），连接
，
．
(1)如图1，若
，
，求
的度数；
(2)如图2，点
是
的内角平分线的交点，连接
，
，点
是
的外角平分线的交点，连接
，请探究
与
的数量关系；
(3)如图3，若
，点
是
的中点，求证：
．
19 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】(1)
(2)
(3)延长
至点
，使得
，如图所示：
∵点
是
的中点，
∴
∵
∴
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
【分析】（1）先过点
作
，再结合平行线的性质，得
，即可
作答；
（2）根据角平分线的定义，以及三角形的内角和性质得
，同理得
，再结合平行线的性质，得
，整理得
，最
后代入
计算，即可作答．
（3）运用倍长中线法进行证明
，得出
，再根据
，
，
20 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
证明
，即可作答．
【详解】（1）解：过点
作
，如图所示：
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
（2）解：
，
过程如下：
∵点
是
内角平分线交点，
∴
∴
∵
，
则
延长
至点
，如图所示：
∵点
是
外角平分线交点，
∴
，
∵
∴
21 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
∵
∴
则
，
，
即
，
∵
∴
，
故
．
（3）略
题型五、全等三角形性质和判定的新定义型综合问题
典例5（25-26 七年级上·山东济宁·期中）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友
三角形”．
22 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（一）性质探究：如图1，在
中，D 是
边上的一点，那么
和
是“朋友三角形”．求证：
．
（二）知识应用：如图2，正方形
的边长为4，点
在
上，点F 在
上，
，
与
交
于点O．
（1）请说出
所有的朋友三角形，并说明理由；
（2）连接
，若
和
是“朋友三角形”则四边形
的面积为___________．
【答案】
（一）∵
和
是“朋友三角形”，
∴
为
的中点，
∴
，
设
到
的距离为
，
∴
，
，
∴
．
（二）（1）
的朋友三角形是
与
，理由如下：
∵四边形
是正方形，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
又∵正方形
，
∴
，
23 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∴
，
∴
，
同理
，
∴
，
，
∴
与
、
是“朋友三角形”．
（2）8
【分析】本题考查全等三角形的证明及性质，能够理解题干涉及的新定义是解题关键；
（一）根据“朋友三角形”得到
为
的中点，再通过中线的性质可证；
（二）（1）先证得
，进而得到
，再通过平行线性质和角度等量代换可得到
，进而
，同理可得
，再通过“朋友三角形”定义即可求解；（2）通过“朋
友三角形”定义得到
，再通过三角形面积公式算出
，再通过面积的和
差关系即可求解．
【详解】解：（一） 略
（二）（1） 略
（2）∵
和
是“朋友三角形”，
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
题型模版
1.特征：引入新概念（如“等补点”），将全等与定义结合，求值或证明，重理解与迁移。
2.方法：透彻理解新定义，将其转化为全等条件（如边角关系），选择合适的判定定理证明或列方程求解。
变式5-1（25-26 八年级上·福建龙岩·期中）【定义】我们把三角形被一边上的中线分成的两个三角形叫做
“友好三角形”．
【性质】如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．
24 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【理解】如图1，在
中，
是
边上的中线，那么
和
是“友好三角形”，并且
．
【应用】如图2，
和
是“友好三角形”，
，
与
相交于点D．
（1）求证：
和
是“友好三角形”；
（2）若
的面积为1，点P 是直线
上的一动点，连接
，当图中出现一个三角形和
是
“友好三角形”时，求出此时
的面积．
【类比学习】根据上面学习知识的活动与经验，回答下面问题：
（3）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰
中，
，则它的特征值
．
【答案】（1）证明：∵
和
是“友好三角形”，
∴D 是
的中点，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
是
的边
上的中线，
∴
和
是“友好三角形”；
（2）2 或4；
（3）
或
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质及等腰三角形的性质等知识，理解题中新
概念是解题的关键．
25 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（1）由题意得点D 是
的中点，再证明
，得
，从而可证结论成立；
（2）分两种情况：当点P 在线段
的延长线上时；当点P 在线段
的反向延长线上时；利用“友好三
角形”的意义即可求解；
（3）分
是顶角与底角两种情况考虑，利用三角形内角和求出底角或顶角即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：当点P 在线段
的延长线上时，如图2，
当
时，
和
是“友好三角形”,
∴
，
∵
，
∴
，
∴
；
当点P 在线段
的反向延长线上时，如图3，
当
和
是“友好三角形”时,则
，
∴
，
∴
，
∴
；
26 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
综上，
的面积为2 或4；
（3）解：当
是顶角时，则底角为
，
∴
；
当
是底角时，则顶角为
，
∴
；
综上，k 的值为
或
；
故答案为：
或
．
变式5-2（25-26 八年级上·广东江门·阶段检测）（1）理解定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形
叫做偏等积三角形．
如图1，在
中，
，
，
．
①若
是
上一点，
，则
与
______偏等积三角形（填“是”或“不是”）；
②若
为
上一点，当
的长为______时，
与
是偏等积三角形；
（2）运用定义：如图2，
为
上一点，
与
是偏等积三角形，
，
，且线段
的长为偶数，则
的长为______；
（3）拓展加深：
①如图3，
，
，
．
求证：
与
是偏等积三角形；
②如图4，
与
是偏等积三角形，
，
，求证：
．
27 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】（1）①是；②3；
（2）6；
（3）①
与
是偏等积三角形．
理由：如图3，
，
，
，
，
，
，
，
与
不全等，
作
于点F，
交
的延长线于点G，则
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
与
面积相等，
与
是偏等积三角形．
②作
，交
的延长线于点
，作
于点
，
28 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵
与
是偏等积三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∴
．
【分析】本题考查三角形的中线，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，熟练掌握新定义，合理
添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键．
（1）根据三角形的中线平分面积，结合新定义进行求解和判断即可；
（2）过C 作
交
的延长线于E，根据
与
是偏等积三角形，且
与
在
、
边上的高相等，则有
，再证明
，得
，再根据三角形的三
边关系可知
，进而可求解；
（3）①先证明
，再由
，
，说明
与
不全等，作
于点F，
交
的延长线于点G，可证明
得
，即可证明
与
面积相等，
即可解答．
②作
，交
的延长线于点
，作
于点
，根据新定义，推出
，证明
，得到
，进而得到
．
【详解】解：（1）①∵点
是
上一点，且
，
又∵
，
∴
，
29 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
即：
为
的中点，
∴
为
的中线，
∴
，
∵
，
∴
不全等，
∴
与
是偏等积三角形；
故答案为：是；
②∵三角形的中线平分三角形的面积，
∴当
为
的中线时，
与
是偏等积三角形，此时
；
故当
时，
与
是偏等积三角形；
故答案为：3；
（2）如图2，过C 作
交
的延长线于E，
与
是偏等积三角形，且
与
在
、
边上的高相等，
，
在
和
中，
，
，
，
，
，
，
，
线段
的长为偶数，
；
（3）①略
30 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
②略
变式5-3（23-24 七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）【阅读理解】
定义：在同一平面内，点A，B 分别在射线
，
上，过点A 垂直
的直线与过点B 垂直
的直线
交于点Q，则我们把
称为
的“边垂角”．
【迁移运用】
(1)如图1，
，
分别是
的两条高，两条高交于点 F，根据定义，我们知道
是
的“边
垂角”或
是
的“边垂角”，
的“边垂角”是 ；
(2)若
是
的“边垂角”，则
与
的数量关系是 ；
(3)若
是
的“边垂角”，且
．
①如图2，已知
，
交
于点E，点C关于直线
对称点为点F，连接
，
，且
，
，求证：
；
对于上述问题，小明有这样的想法：在
上截取
，连接
，如图3．你明白小明的做法吗？接
下来请你求证
．
②如图4，若
，直接写出四边形ABDC 的面积．
【答案】(1)
(2)
或
(3)
①延长
交于点
，
是
的“边垂角”，
，
，
，
，
，
31 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，
，
，
，
，
，
，
点
关于直线
对称点为点
，
，
，
；
②
【分析】（1）根据“边垂角”的定义即可得到答案；
（2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论；
（3）①延长
交于点
，先证明
，再证明
，依据题意得出
，即可得到结论；
②连接
，过点
作
与
延长交于点
，根据等腰三角形性质证明即可得到答案．
【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义，
的“边垂角”是
；
（2）解：若
是
的“边垂角”，分两种情况
①如图，
是
的“边垂角”，
，
，
，
，
32 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
②如图，
是
的“边垂角”，
，
，
，
，
综上所述，
与
的数量关系是
或
；
（3）解：①略．
②连接
，过点
作
与
延长交于点
，
是
的“边垂角”，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
33 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
过点
作
于点
，
，
，
．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
一、单选题
1．（25-26 八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图所示，在ABC
中，
80
ABC
=
，BD平分
ABC
，P 为线
段BD上一动点，Q 为边AB 上一动点，当AP
PQ
+
的值最小时，
APB
的度数是（ ）
A．120
B．125
C．130
D．135
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理，
直角三角形的性质，解题的关键是找出使AP
PQ
+
最小时点P 的位置．在BC 上截取BE
BQ
=
，连接PE，
证明PBQ
PBE
≌
，得出PE
PQ
=
，说明AP
PQ
AP
PE
+
=
+
，找出当A、P、E 在同一直线上，且AE
BC
⊥
时，AP
PE
+
最小，即AP
PQ
+
最小，过点A 作AE
BC
⊥
于点E，交BD于点P，根据三角形内角和，求出
结果即可．
【详解】解：在BC 上截取BE
BQ
=
，连接PE，如图，
BD
平分
ABC
，
34 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
1
40
2
ABD
CBD
ABC
\ ?
?
?
? ，
BP
BP
=
，
PBQ
PBE
\
≌
，
PE
PQ
=
，
=
AP
PQ
AP
PE
+
+
，
∴当A、P、E 在同一直线上，且AE
BC
⊥
时，AP
PE
+
最小，即AP
PQ
+
最小，过点A 作AE
BC
⊥
于点E，
交BD于点P，如下图，
90 ,
80
AEB
ABE
?
靶
=
?
，
90
80
10
BAE
\ ?
?
?
? ，
180
130
APB
ABP
BAP
\ ?
? ?
?
? ，
故选：C．
2．（25-26 八年级上·安徽六安·阶段检测）如图，动点C 与线段AB 构成ABC
，其边长满足
8,
2
2,
2
4
AB
CA
a
CB
a
=
=
+
=
−．点D 在
ACB
的平分线上，且
90
ADC
=
，则ABD
的面积的最大值为（ ）
A．12
B．13
C．14
D．15
【答案】A
【分析】延长AD
CB
、
交于点E ，首先利用“ASA ”证明ACD
ECD
≌
，由全等三角形的性质可得
2
2
AC
EC
a
=
=
+
，AD
ED
=
，进而可求得
6
BE =
，结合三角形中线的性质知
:
1:2
ABD
ABE
S
S
=
，确定ABE
面积的最大值，即可获得答案．
本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题
关键．
【详解】解： 如下图，延长AD
CB
、
交于点E ，
35 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵CD为
ACB
的平分线，
∴
ACD
ECD
=
，
在ACD
和ECD
中，
90
ACD
ECD
CD
CD
ADC
EDC
=
=
=
=
，
∴
(ASA)
ACD
ECD
≌
，
∴
2
2
AC
EC
a
=
=
+
，AD
ED
=
，
∵
2
4
CB
a
=
−，
∴
(
)
2
2
2
4
6
BE
a
a
=
+
−
−
=
，
∵AD
ED
=
，
∴
:
1:2
ABD
ABE
S
S
=
，
当BE
AB
⊥
时，ABE
的面积取最大值，
即
max
1 8 6
24
2
ABE
S
=
=
，
∴
max
12
ABD
S
=
．
故选A．
3．
（25-26 八年级上·江苏苏州·期中）如图，AO
OM
⊥
，
6
OA =
，点B 为射线OM 上的一个动点，分别以OB ，
AB 为直角边，点B 为直角顶点，在OM 两侧作等腰Rt
OBF
△
、等腰Rt
ABE
△
，连接EF 交OM 于P 点，当
点B 在射线OM 上移动时，则PB的长度为（ ）
36 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
A．4
B．3
C．2
D．2.5
【答案】B
【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造
全等三角形，灵活运用有关定理来分析或解答．
过点E 作EN
BM
⊥
，垂足为点N ，首先证明
ABO
BEN
≌
△
△
，得到BO
NE
=
；进而证明BPF
NPE
≌
，即
可解决问题．
【详解】解：如图，过点E 作EN
BM
⊥
，垂足为点N ，
90
AOB
ABE
BNE
=
=
=
，
90
ABO
BAO
ABO
NBE
+
=
+
=
，
BAO
NBE
=
，
ABE
、BFO
均为等腰直角三角形，
AB
BE
=
，BF
BO
=
；
在ABO
与BEN
中，
BAO
NBE
AOB
BNE
AB
BE
=
=
=
，
(
)
AAS
ABO
BEN
≌
，
BO
NE
=
，BN
AO
=
；
BO
BF
=
，
BF
NE
=
，
37 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
在BPF
与
NPE
△
中，
FBP
ENP
FPB
EPN
BF
NE
=
=
=
，
(
)
AAS
BPF
NPE
≌
，
1
2
BP
NP
BN
=
=
；而BN
AO
=
，
1
1
6
3
2
2
BP
AO
=
=
=
，
故选B．
4．（25-26 八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，ABC
中，AB
AC
，AD是ABC
中线，有下面四个结论：
①ABD
与ACD
的面积相等；②
(
)
1
2
AD
AB
AC
+
；③若点P 是线段AD上的一个动点（点P 不与点
,
A D
重合），连接
,
PB PC ，则ABP
的面积比ACP
的面积大；④点
,
P Q 是
,
A D 所在直线上的两个动点（点P 与
点Q 不重合），若DP
DQ
=
，连接
,
PB QC ，则PB
QC
．所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④
B．①②④
C．②③
D．①④
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，利用三角形中线的性质及倍长中线的思想是解决问题的关
键．根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；延长AD至E ，使
1
2
AD
DE
AE
=
=
，易证得
ACD
EBD
≌
，利用三角形三边关系可对②进行判断；再次根据三角形中线定义和三角形面积公式可对③
进行判断；由DP
DQ
=
，BD
CD
=
，
CDQ
BDP
=
，易证得CDQ
BDP
≌
，可得
CQD
BPD
=
，即
可对④进行判断.
【详解】解：∵AD是ABC
中线，
∴BD
CD
=
∴ABD
与ACD
的面积相等，故①正确，
延长AD至E ，使
1
2
AD
DE
AE
=
=
，如图
38 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵
,
ADC
EDB BD
CD
=
=
，
∴
(
)
ACD
EBD SAS
≌
∴AC
BE
=
则在ABE
中，AE
AB
BE
AB
AC
+
=
+
，
∴
(
)
1
2
AD
AB
AC
+
，故②正确；
点P 是线段AD上的一个动点(点P 不与点
,
A D 重合)，连接
,
PB PC ，如图
∵BD
CD
=
，
∴
PBD
PCD
S
S
=
，
又∵ABD
与ACD
的面积相等，
∴ABP
的面积和ACP
的面积相等，故③不正确，
点
,
P Q 是
,
A D 所在直线上的两个动点(点P 与点Q 不重合)，若DP
DQ
=
，连接
,
PB QC ，如图，
由DP
DQ
=
，BD
CD
=
，
CDQ
BDP
=
，
∴
(
)
SAS
CDQ
BDP
≌
，
∴
CQD
BPD
=
，
∴PB
QC
，故④正确，
39 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
故选：B.
二、填空题
5．（25-26 八年级下·全国·课后作业）如图，AB
BC
⊥
，DC
BC
⊥
，垂足分别为B ，C ，
6
AB =
，
8
BC = ，
2
CD =
，点P 为BC 边上一动点，当BP =________时，形成的Rt ABP
与Rt
PCD
△
全等．
【答案】2
【分析】根据题意首先要找出与BP对应的边，结合已知条件可知BP与CD相等时，由SAS 可判定
ABP
PCD
≌
，据此即可求出BP的值．
【详解】解：∵
6
AB =
，
2
CD =
，AB
BC
⊥
，DC
BC
⊥
，
∴AB
CD
，
90
B
C
=
=
，
∴只有BP
CD
=
、AB
CP
=
时，Rt ABP
与Rt
PCD
△
全等，
∵
2
CD =
，BP
CD
=
，
∴
2
BP =
，此时
8 2
6
CP
BC
BP
AB
=
−
= −
=
=
，
在ABP
与PCD
中，
90
AB
PC
B
C
BP
CD
=
=
=
=
，
∴
(
)
ABP
PCD SAS
≌
，
∴当
2
BP =
时，形成的Rt ABP
与Rt
PCD
△
全等．
6．
（25-26 七年级下·广东深圳·期中）如图，在ABC
中，AC
BC
=
，
4
AB =
，ABC
的面积为10，作AD
AC
⊥
，
且AD
AC
=
，连接BD，点E 为射线AB 上的动点，当DE 的长度最短时，BDE
的面积为________．
40 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】1
【分析】先结合垂线段最短，得DE
AB
⊥
的延长线，再证明
(
)
HL
CHA
CHB
≌
，得
2
AH =
，
5
CHA
CHB
S
S
=
=
，
又因为AD
AC
=
，证明
(
)
AAS
CAH
ADE
≌
，故
2
5
ADE
CAH
DE
AH
S
S
=
=
=
=
,
，最后把数值代入
ADE
ADB
BDE
S
S
S
=
−
计算，即可作答．
【详解】解：依题意，当DE 的长度最短时，即DE
AB
⊥
的延长线，如图所示：
过点C 作CH
AB
⊥
，
∴
90
CHA
CHB
=
=
，
∵
C
C
A
H
CH
C
B
=
=
,
，
∴
(
)
HL
CHA
CHB
≌
，
∴
1
1
4
2
2
2
AH
BH
AB
=
=
=
=
，
1
1 10
5
2
2
CHA
CHB
ABC
S
S
S
=
=
=
=
，
∵AD
AC
⊥
，
∴
90
CAH
DAE
+
=
，
∵DE
AB
⊥
的延长线，
∴
90
AED
CHA
=
=
，
∴
90
ADE
DAE
+
=
，
∴
CAH
ADE
=
，
∵AD
AC
=
故
(
)
AAS
CAH
ADE
≌
，
∴
2
5
ADE
CAH
DE
AH
S
S
=
=
=
=
,
，
则
1
1
4 2
4
2
2
ADB
S
AB DE
=
=
=
，
∴
5
4
1
BDE
ADE
ADB
S
S
S
=
−
= −
=
．
41 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
7．（25-26 八年级上·湖北武汉·期末）如图，在ABC
中，
6,
90 ,
,
AC
BAC
E D
=
=
分别为边
,
AB AC 上的动
点，且AE
CD
=
，连接
,
BD CE ．当CE
BD
+
取最小值时，
BDC
AEC
S
S
+
=
_____．
【答案】18
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短，添加辅助线构造全等三角形，利用两
点之间线段最短得到CE
BD
+
取最小值时点D 的位置是解题的关键．
如图，在AC 下方作CF
AC
⊥
，且使得
6
AC
CF
=
=
，则
90
BAC
DCF
=
=
，AB
CF
∥
，可证得
(
)
SAS
ACE
CFD
≌
，则
AEC
DCF
S
S
=
，CE
FD
=
，进而可知当点D 在BF 上时，CE
BD
+
取得最小值，此
时，
BDC
AEC
BDC
D
BC
CF
F
S
S
S
S
S
+
=
+
=
△
△
，即可求解．
【详解】解：如图，在AC 下方作CF
AC
⊥
，且使得
6
AC
CF
=
=
，则
90
BAC
DCF
=
=
，AB
CF
∥
，
又∵AE
CD
=
，
∴
(
)
SAS
ACE
CFD
≌
，则
AEC
DCF
S
S
=
，
∴CE
FD
=
，则CE
BD
FD
BD
BF
+
=
+
，
即，当点D在BF 上时，CE
BD
+
取得最小值，
此时，
1
1
6 6
18
2
2
BDC
AEC
BDC
BCF
DCF
S
C
A
S
C
S
F
S
S
=
=
=
+
=
=
+
△
△
，
故答案为：18．
8．（25-26 七年级下·江西景德镇·期末）如图，在ABC
中
90
A
=
，
12cm
AB =
，
5cm
AC =
，过点B 作
BM
AB
⊥
．动点E 从A 点出发以3cm/s 的速度沿射线AB 运动，动点D 在射线BM 上，随着E 点的运动而
运动，始终保持ED
CB
=
．若点E 的运动时间为t 秒（
0
t
），则当以B，E，D 为顶点的三角形与ABC
全
42 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
等时，t 的值为________秒．
【答案】7
3 、17
3 、8
【分析】分当E 在线段AB 上，或当E 在线段AB 延长线上，由HL证明这两个三角形全等，再结合对应边
相等进行列式计算即可．
【详解】解：∵CA
AB
⊥
，BM
AB
⊥
，
∴
90
CAB
DBE
=
=
，
①当E 在线段AB 上时，
如图：若
5
BE
AC
=
=
，
∵ED
CB
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
DEB
BCA
≌
，
∵
3 cm
AE
t
=
，
∴
(
)
12
3 cm
BE
AB
AE
t
=
−
=
−
，
∴12 3
5
t
−
=
，解得：
7
3
t =
；
若
12
BE
AB
=
=
，此时点E 和点A 重合，不符合题意；
②当E 在线段AB 延长线上时，
如图：若
5
BE
AC
=
=
，
43 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
(
)
Rt
Rt
HL
DEB
BCA
≌
，
∵
3
12 5 17cm
AE
t
AB
BE
=
=
+
=
+ =
，
∴
17
3
t =
；
如图：若
12
BE
AB
=
=
，
∵ED
CB
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
DEB
CBA
≌
，
∵
3
12 12
24cm
AE
t
AB
BE
=
=
+
=
+
=
，
∴
8
t =
．
∴当
7
3
t =
或17
3 或8 秒时，DEB
与BCA
全等．
三、解答题
9．（25-26 八年级上·广东江门·期中）如图，
90
B
=
，AB
DF
∥
，
4cm
AB =
，
10cm
BD =
，点C 是线段BD
上一动点，点E 是直线DF 上一动点，且始终保持AC
CE
⊥
．
(1)如图1，求证：
ACB
CED
=
．
44 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(2)利用图2 画图并解答：若AC
CE
=
，试求BC 的长．
【答案】(1)
证明：∵AC
CE
⊥
，
∴
90
ACB
ECD
+
=
，
又∵
90
B
=
，AB
DF
∥
，
∴
90
D
=
，
∴
90
A
ACB
ECD
CED
+
=
+
=
，
∴
ACB
CED
=
．
(2)
如图所示为所求：
BC 的长为6cm
【分析】本题考查了全等三角形的判定及全等三角形对应边相等的性质的运用，本题中求证ABC
CDE
≌
是
解题的关键．
（1）根据
90
EDC
=
，得出
90
CED
ECD
+
=
，再根据
90
ACE
=
，得出
90
ACB
ECD
+
=
，最后
根据同角的余角相等，即可得出
ACB
CED
=
；
（2）先判定ABC
CDE
≌
，得出DE
BC
=
，
4cm
AB
CD
=
=
，进而得出
(
)
10
4
6 cm
BC
BD
CD
=
−
=
−
=
，根
据全等三角形的对应边相等，即可得出
6cm
DE =
．
【详解】（1）略
（2）解：在ABC
和
CDE
△
中，
90
B
D
ACB
CED
AC
CE
=
=
=
=
，
∴
(
)
ABC
CDE AAS
≌
，
45 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴BC
DE
=
，AB
CD
=
，
∵
4cm
AB =
，
10cm
BD =
，
∴
(
)
10
4
6 cm
BC
BD
CD
=
−
=
−
=
．
10．
（25-26 八年级上·全国·课后作业）如图①，在Rt
ABC
△
中，
90
9cm
12cm
15cm
C
BC
AC
AB
=
=
=
=
，
，
，
，
现有一动点P ，从点A出发，沿着三角形的边AC
CB
BA
→
→
运动，回到点A停止，速度为3cm / s，设运
动时间为st ．
(1)如图①，当t = ___________时，
APC
△
的面积等于ABC
面积的一半；
(2)如图②，在DEF
中，
90
6cm
7cm
E
DE
DF
D
A
=
=
=
=
，
，
，
．在ABC
的边上，若另外有一个动
点Q ，与点P 同时从点A出发，沿着边AB
BC
CA
→
→
运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时
刻，恰好APQ
DEF
≌
，求点Q 的运动速度．
【答案】(1)11
2 或19
2
(2) 29 cm / s
10
或7 cm / s
2
【分析】（1）根据题意，
1
54
2
ABC
S
AC BC
=
=
，动点的速度为3cm / s，设运动时间为st ，在AC 上运动的
时长为
( )
1
12
4 s
3
3
AC
t =
=
=
，在BC 上运动的时长为
( )
2
9
3 s
3
3
BC
t =
=
=
，在AB 上运动的时长为
( )
2
15
5 s
3
3
AB
t =
=
=
，根据运动时间，分类解答即可．
（2）根据APQ
DEF
≌
，分类情况讨论解答即可．
【详解】（1）解：根据题意，
1
54
2
ABC
S
AC BC
=
=
，动点的速度为3cm / s，设运动时间为st ，在AC 上运
动的时长为
( )
1
12
4 s
3
3
AC
t =
=
=
，在BC 上运动的时长为
( )
2
9
3 s
3
3
BC
t =
=
=
，在AB 上运动的时长为
( )
2
15
5 s
3
3
AB
t =
=
=
，
当0
4
t
时，点P 在AC 上运动，此时
APC
△
不存在；
小学
初中
46 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
当4<
7
t
时，点P 在BC 上运动，此时
APC
△
存在，如图所示，
根据题意，运动总路程长为
(
)
3 cm
t
，
(
)(
)
3
12
cm
CP
t
=
−
，
∵
APC
△
的面积等于ABC
面积的一半，
∴
(
)
1
1
1
·
12
3
12 =
54
2
2
2
AC CP
t
=
−
，
解得
( )
11 s
2
t =
；
当7<
12
t
时，点P 在AB 上运动，此时
APC
△
存在，如图所示，
根据题意，运动总路程长为
(
)
3 cm
t
，此时
(
)(
)
12 15
9
3
36
3
cm
AP
t
t
=
+
+
−
=
−
，
∵
APC
△
的面积等于ABC
面积的一半，
∴
1
2
AP
BP
AB
=
=
，
∴
15
36
3
2
t
−
=
，
解得
( )
19 s
2
t =
；
故当
( )
19 s
2
t =
或
( )
11 s
2
t =
时，
APC
△
的面积等于ABC
面积的一半，
故答案为：11
2 或19
2 ．
（2）分情况讨论：
当点P 在AC 上运动，点Q 在AB 上运动，且满足APQ
DEF
≌
，
∵
90
E
=
，
6cm
DE =
，
7cm
DF =
，
D
A
= ．
47 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
6cm
AP
DE
=
=
，
7cm
AQ
DF
=
=
，
∵动点P 的速度为3cm / s，
∴动点P 的运动时间为6 =2s
3
，
∴动点Q 的运动时间为6 =2s
3
，
∴动点Q 的运动速度为7 cm / s
2
；
当点P 在BC 上运动，点Q 在AB 上运动，不满足
D
A
= ，不存在；
当点P 在AB 上运动，点Q 在AC 上运动，满足
D
A
= ，存在；
∵
90
E
=
，
6cm
DE =
，
7cm
DF =
，
D
A
= ．
∴
6cm
AP
DE
=
=
，
7cm
AQ
DF
=
=
，
∵动点P 的速度为3cm / s，
∴动点P 的运动时间为36
6 =10s
3
−
，
∴动点Q 的运动时间为10s ，
点Q 的运动路程为
(
)
36
7
29 cm
−
=
，
∴动点Q 的运动速度为29 cm / s
10
；
综上所述，点Q 的速度为29 cm / s
10
或7 cm / s
2
11．（24-25 八年级上·福建泉州·期末）如图，已知ABC
中，
90
C
=
，
45
ABC
=
．点E 为ABC
边BC
48 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
上的动点，过A 作AF
AE
⊥
，且AF
AE
=
，连结BF 交直线AC 于点P．
(1)求证：AC
BC
=
；
(2)若
2
BC =
，点E 为BC 的中点，请求出AP
CP 的值；
(3)若点E 为射线CB 上的动点，
5
4
BC
BE =
，试求出AP
CP 的值．
【答案】(1)
证明：
90
ACB
=
，
45
ABC
=
180
45
BAC
ACB
ABC
=
−
−
=
ABC
BAC
=
AC
BC
=
；
(2)
3
AP
CP =
(3) 3
2 或7
2
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，正确构造全等三
角形是解题的关键．
（1）由三角形内角和以及等角对等边即可证明；
（2）过F 点作DF
AC
⊥
于D 点，先证明
(
)
AAS
ADF
ECA
≌
，再证明
(
)
AAS
DPF
CPB
≌
，即可求解；
（3）不防设
5 ,
4
BC
x BE
x
=
=
，则
5
AC
BC
x
=
=
，①当点E 在ABC
边BC 上时，则CE
BC
BE
x
=
−
= ，则
1
2
2
DP
CP
CD
x
=
=
=
，则
3
AP
AC
CP
x
=
−
=
，即可求解；②当点E 在边CB 的延长线上时，则
9
CE
BC
BE
x
=
+
=
，同（2）的方法可证得，此时
1
2
2
DP
CP
CD
x
=
=
=
，则
7
AP
AC
CP
x
=
+
=
，继而可求
解．
【详解】（1）略
（2）解：过F 点作DF
AC
⊥
于D 点，如图：
49 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
90
ADF
=
，
90
DAF
AFD
+
=
∵AF
AE
⊥
90
DAF
CAE
+
=
AFD
CAE
=
90
C
=
，
90
ADF
PDF
=
=
C
ADF
PDF
=
=
在ADF
和ECA中
ADF
ACB
AFD
CAE
AF
AE
=
=
=
(
)
AAS
ADF
ECA
≌
,
AD
CE DF
AC
=
=
2
AC
BC
=
=
，点E 为BC 的中点
1
AD
CE
=
=
1
CD
AC
AD
=
−
=
,
AC
BC DF
AC
=
=
2
DF
BC
=
=
在DPF
和
CPB
△
中
PDF
C
DPF
BPC
DF
BC
=
=
=
(
)
AAS
DPF
CPB
≌
DP
CP
=
1
1
2
2
DP
CP
CD
=
=
=
3
2
AP
AC
CP
=
−
=
50 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
3
AP
CP
= ；
（3）解：
5
4
BC
BE =
∴不防设
5 ,
4
BC
x BE
x
=
=
，则
5
AC
BC
x
=
=
①当点E 在ABC
边BC 上时，则CE
BC
BE
x
=
−
= ，
由（2）得，
,
ADF
ECA
DPF
CBP
△
≌△
△
≌△
,
AD
CE
x
DP
CP
=
=
=
4
CD
AC
AD
x
=
−
=
1
2
2
DP
CP
CD
x
=
=
=
3
AP
AC
CP
x
=
−
=
3
3
2
2
AP
x
CP
x
=
=
②当点E 在边CB 的延长线上时，则
9
CE
BC
BE
x
=
+
=
，
同（2）的方法可证得，
,
ADF
ECA
DPF
CBP
△
≌△
△
≌△
9 ,
AD
CE
x DP
CP
=
=
=
4
CD
AD
AC
x
=
−
=
1
2
2
DP
CP
CD
x
=
=
=
7
AP
AC
CP
x
=
+
=
7
7
2
2
AP
x
CP
x
=
=
综上所述，AP
CP 的值为3
2 或7
2 ．
12．
（25-26 八年级上·江苏泰州·阶段检测）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫作积等三角形．
(1)【初步尝试】如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
13
AB =
，
12
BC =
，
5
AC =
，点P 为AC 上一点，当AP =
51 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
_____时，ABP
与
CBP
△
为积等三角形．
(2)【理解运用】如图，ABD
与ACD
为积等三角形，若
3
AB =
，
5
AC =
，且线段AD长为正偶数，求AD
的长．
(3)【综合应用】如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，分别以AC ，AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，
连接EG，求证：AEG
和ABC
为积等三角形．
【答案】(1) 5
2
(2) 2
(3)
证明：如图，过点E 作EH
GA
⊥
，交GA的延长线于点H，
∵四边形ACFG 和ABDE 四边形均为正方形，
∴
90?
AB
AE
AG
AC
GAC
=
=
=
；
；
∴
90?
90?
HAE
BAH
BAH
BAC
+
=
+
=
，
∴
BAC
EAH
=
在ABC
和AEH
中
52 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
90?
ACB
AHE
BAC
EAH
AB
AE
=
=
=
=
∴
(AAS)
ABC
AEH
≌
∴BC
EH
=
∵
1
·
2
ABC
S
AC BC
=
△
；
1
1
2
2
AEG
S
AG EH
AC BC
=
=
△
∴
ABC
AEG
S
S
=
∵ABC
是直角三角形，AEG
为钝角三角形，
∴AEG
和ABC
为不全等，
∴AEG
和ABC
为积等三角形．
【分析】（1）利用三角形中线的性质及积等三角形的定义即可解决问题；
（2）过点C 作CE
AB
，交AD的延长线于点E，证明
(AAS)
ADB
EDC
≌
，推出
3
AD
DE
AB
EC
=
=
=
，
，
利用三角形的三边关系即可解决问题；
（3）过点E 作EH
GA
⊥
，交延长线于点H，先证明
(AAS)
ABC
AEH
≌
，得到BC
EH
=
，依据三角形的
面积公式可知
ABC
AEG
S
S
=
，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可．
【详解】（1）解：如图1，Rt
ABC
△
中，
90
C
=
∴
1
·
2
ABP
S
AP BC
=
；
1
·
2
CBP
S
CP BC
=
∵ABP
与
CBP
△
不全等，ABP
与
CBP
△
为积等三角形，
∴
1
1
·
·
2
2
ABP
CBP
S
AP BC
S
CP BC
=
=
=
∴
1
5
2
2
AP
CP
AC
=
=
=
故答案为：5
2 ；
（2）如图，过点C 作CE
AB
，交AD的延长线于点E，
53 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵ABD
与ACD
为积等三角形，
∴BD
CD
=
∵AB
EC
∴
BAD
E
=
∵
ADB
EDC
=
∴
(AAS)
ADB
EDC
≌
∴
3
AD
DE
AB
EC
=
=
=
，
∴
2
AE
AD
=
∵
5
AC =
∵AC
CE
AE
AC
CE
−
+
∴5 3
2
5 3
AD
−
+
∴2
2
8
AD
∴1
4
AD
∵线段AD长为正偶数
∴
2
AD =
.
（3）略
13．（25-26 八年级上·广西南宁·期中）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做
积等三角形．
【初步尝试】（1）如图1，在ABC
中，AB
AC
，
4
BC =
，P 为边BC 上一点，若ABP
与ACP
是积等
54 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
三角形，则BP的长为__________．
【理解运用】（2）如图2，ABD
与ACD
为积等三角形，若
2
AB =
，
4
AC =
．
①求AD的取值范围；
②当AD的长度为正整数时，则
________
AD =
．
【综合应用】（3）如图3，在Rt
ABC
△
中
90
BAC
=
，AB
AC
=
，过点C 作MN
AC
⊥
，点D 是射线CM 上
一点，以AD为边作Rt
ADE
△
，
=90
DAE
，AD
AE
=
，连接BE．请判断BAE
与ACD
是否为积等三角
形，并说明理由．
【答案】（1）2；（2）①1
3
AD
；②2；（3）是积等三角形，理由见解析
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关
键是正确寻找全等三角形解决问题.
（1）利用三角形的中线的性质即可解决问题；
（2）证明
≌
ADB
NDC ，推出
2
=
=
AB
NC
，利用三角形的三边关系即可解决问题；
（3）过点E 作EH
AB
⊥
于点H ，先证明
≌
HAE
CAD , 则
,
=
=
AC
AH EH
CD ，然后再依据积等三角形的
定义进行证明即可.
【详解】（1）解：过点A作AH
BC
⊥
于H ，
ABP
与ABP
是积等三角形，
=
ABP
ACP
S
S
，
1
1
2
2
BP AH
CP AH
=
，
BP
CP
=
，
BP
CP
BC
+
=
，
2
BP
CP
=
=
；
故答案为：2；
（2）①解：如图2，延长AD至N ，使DN
AD
=
，连接CN ，
ABD
与ACD
为积等三角形，
BD
CD
=
，
55 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
在ADB
和NDC 中，
BD
CD
ADB
CDN
AD
DN
=
=
=
，
≌
ADB
NDC ，
2
=
=
AB
NC
，
在ACN
中AC
CN
AN
AC
CN
−
+
，
4
AC =
，
4 2
4
2
−
+
AN
，
2
6
AN
，
2
2
6
AD
，
1
3
AD
，
②
AD
为正整数，
2
AD
=
；
故答案为：2；
（3）是积等三角形，
证明：如图3，过点E 作EH
AB
⊥
于点H ，
MN
AC
⊥
，
90
=
=
ACD
AHE
，
90
BAC
DAE
=
=
，
90
=
=
CAH
DAE
，
−
=
−
CAH
DAH
DAE
DAH ，
EAH
DAC
=
，
在
HAE
△
和CAD
中，
56 / 56
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
EHA
ACD
EAH
DAC
AE
AD
=
=
=
，
HAE
CAD
△
≌△
，
,
AC
AH EH
CD
=
=
，
1
1
,
2
2
BAE
ACD
S
AB EH S
AC CD
=
=
，
AB
AC
=
∵
，
1
2
ACD
S
AB CD
=
，
=
BAE
ACD
S
S
，
ABE
与ACD
为积等三角形．
