文档文本内容
1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题03 反比例函数中“k”的几何意义的十类综合题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、单反比例函数—“一点一垂”构造三角形 题型二、单反比例函数—“两点单双垂”构造三角形 题型三、单反比例函数—“一点一垂”构造四边形 题型四、单反比例函数—“两点双垂”构造四边形 题型五、双反比例函数—“同侧”构造三角形 题型六、双反比例函数—“同侧”构造四边形 题型七、双反比例函数—“异侧”构造三角形 题型八、双反比例函数—“异侧”构造四边形 题型九、反比例函数中的规律问题 题型十、反比例函数中的解析式 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 分类 具体内容 要点说明 核心 知识 点 矩形面积结论 过反比例函数 𝑦= 𝑘 𝑥(𝑘≠0) 图象上任意一点，分别作x 轴、y 轴的垂 线，两条垂线与坐标轴围成的矩形面积为|𝑘| 三角形面积结 论 过反比例函数 𝑦= 𝑘 𝑥(𝑘≠0) 图象上任意一点作一坐标轴的垂线，该 点、垂足与原点围成的三角形面积为 1 2 |𝑘| k 的符号与面积 无关 无论k 是正数还是负数，围成图形的面积始终为非负数，仅和k 的绝 对值相关 同支多点面积 性质 反比例函数同一分支上任意一点按上述规则得到的矩形/三角形面积 都相等，均为|𝑘|或 1 2 |𝑘| 目 录 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 常见 易错 点 忽略k 的绝对 值，直接把面积 等于k 当𝑘< 0时，直接用面积等于k 会得到负数结果，错误，面积一定是非 负的，应为|𝑘| 混淆矩形和三 角形的面积公 式 错把三角形面积记成|𝑘|、矩形面积记成 1 2 |𝑘|，二者比例关系记错 跨分支图形面 积计算错误 当点分别在反比例函数的两个分支上，组合形成图形时，不会拆分计 算，错误直接套用单点面积公式；如两个分支各一点分别作垂线形成 的矩形面积，实际应为|𝑘1| + |𝑘2|，而非|𝑘1 −𝑘2| 误判图形与k 的 对应关系 将不是由反比例函数上一点作坐标轴垂线围成的图形，强行套用𝑆= |𝑘|结论，导致计算错误 由面积反求k 时 遗漏符号 只根据面积算出|𝑘| = 𝑆，忽略反比例函数所在象限对k 符号的要求， 漏解或符号错误 动点问题中误 用面积定值结 论 点在反比例函数图象上运动时，错误认为任意位置围成的相关图形面 积都等于|𝑘|，实际仅由双垂线或单垂线围成的标准图形面积才是定 值，非标准图形面积会随动点位置改变 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、单反比例函数—“一点一垂”构造三角形 典例1 如图，已知反比例函数 5 ( 0) y x x = 的图象经过点A，连接OA．将线段OA绕点A 逆时针旋转，当点 O 的对应点O落在x 轴上时，OAO 的面积是（ ） A．2.5 B．5 C．10 D．12 3 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式1-1 如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，点B 为x轴上的点，点D是第一象限内的一点，DB x ⊥ 轴，已知线段DB交反比例函数 ( ) 0 k y x x = 的图像于点C，连接OC ，点C 为BD的中点，连接OD ，交反 比例函数图像于点A．若ODC 的面积为5，则k 的值为（ ） A．10 B．5 C．8 D．20 变式1-2 如图，Rt OAB 中， 90 OBA = ，点B 在x 轴正半轴上，AO 、AB 分别与反比例函数 ( 0, 0) k y k x x = 的图象相交于点C 、D，且C 为AO 的中点，过点C 作x 轴的垂线，垂足为E ，连接DE ．若BDE 的面积 为3，则k 的值为____________． 变式1-3 如图，Rt ABO △ 的直角顶点B 在x 轴上，函数 6 ( 0) y x x = − 的图象经过边OA的中点C ，且交AB 于 点D，连接OD ，则 AOD S = △ ______． 4 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 类型二、单反比例函数—“两点单双垂”构造三角形 典例2 如图，在平面直角坐标系中，直线 ( ) 0 y kx k = 与双曲线 2 y x = 交于A，B 两点，AC x ⊥ 轴于点C ， 连接BC 交y 轴于点D，结合图象判断下列结论：①点A与点B 关于原点对称；②点D 是BC 的中点；③ 在 2 y x = 的图象上任取点 ( ) 1 1 , P x y 和点 ( ) 2 2 , Q x y ，如果 1 2 x x ，那么 1 2 y y ；④ 1 2 BOD S = △ ．其中错误结论 的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2-1 如图，A，B 是反比例函数 k y x = 图象上的两点，且AB 过原点O，过点B 作x 轴的垂线，垂足是C， 连接AC ．若ABC 的面积是4，则k 的值是（ ） A．2 B．2 − C．4 D．4 − 变式2-2 如图，正比例函数y x − = 与反比例函数 k y x = 的图象相交于A、B 两点，AC y ⊥ 轴于点C，连接BC ， 若ABC 的面积为6，则k 的值为______． 5 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式2-3 如图，点A，B 在反比例函数 6 y x = 的图象上，且关于原点对称，过点A 作AC x ⊥ 轴于点C，连接 AB ，BC ．则ABC 的面积是________． 题型三、单反比例函数—“一点一垂”构造四边形 典例3 如图，反比例函数 2 y x = 的图象经过矩形OABC的边AB 的中点D，则矩形OABC的面积为（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 变式3-1 如图，P 是反比例函数 ( ) 0 k y x x = 图象上的一点，PA x ⊥ 轴于点A，PB y ⊥ 轴于点B，若矩形OAPB 的面积为2，则k 的值为（ ） 6 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．2 B．3 C．4 D．5 变式3-2 如图，双曲线 k y x = 经过正方形OAPB的顶点P ，已知 3 OA = ，则k =________． 变式3-3 如图，点A，B 是反比例函数 ( ) 0 k y k x = 上的两点，过点B 作BC x ⊥ 轴于点C ，作BD y ⊥ 轴于 点D．若点A的坐标为 1 3 ,t t − ，则矩形ODBC 的面积为_______． 题型四、单反比例函数—“两点双垂”构造四边形 典例4 如图，平行四边形ABCD的顶点A在x 轴的负半轴上，顶点 , , B C D 都在反比例函数 4 y x = 的图象上， 且边BC 经过原点O．则平行四边形ABCD的面积为（ ） 7 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．8 B．10 C．12 D．16 变式4-1 如图，正方形的中心在平面直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点 ( ) 4 , P m m 是正方形 与反比例函数 ( ) 0 k y k x = 图象的一个交点．已知图中阴影部分的面积等于32，则k 的值为（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 变式4-2 如图，平行四边形ABCD的顶点A，C 在反比例函数 ( ) 0 k y k x = 的图象上，顶点B、D 均在y 轴上， AB x 轴，BC 与x 轴交于点E，连接AE DE ， ，若ADE 的面积为6，则k 的值为________． 8 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式4-3 如图，在平面直角坐标系中，直线AB 经过原点O，且与反比例函数 2 y x = − 的图象交于点A，B ， 以AB 为对角线作矩形ACBD，则矩形ACBD的面积为_____． 题型五、双反比例函数—“同侧”构造三角形 典例5 如图，点A 是函数 4 ( 0) y x x = ＞ 的图象上的动点，过点A 作x 轴、y 轴的平行线与函数 2 ( 0) y x x = ＞ 的 图象分别交于点B，C，OA 与BC 交于点D．下列结论中正确的是（ ） A．AB 与AC 一定相等 B．△AOB 与△AOC 的面积一定相等 C．OB 与OC 一定相等 D．△BOC 与△ABC 的面积一定相等 变式5-1 如图，点A是反比例函数 ( ) 6 0 y x x = − 的图象上一点，过点A作AB x ⊥ 轴于点B ，交反比例函数 ( ) 0 k y x x = 的图象于点C ，点P 为y 轴上一点，若ACP 的面积为2，则k 的值为（ ） 9 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．2 − B．3 − C．4 − D．5 − 变式5-2 如图，点A 在反比例函数 ( ) 6 0 y x x = − 的图象上，过点A 作AB x ⊥ 轴，垂足为B，AB 与反比例 函数 ( ) 0 k y x x = 的图象交于点D．若 2 AOD S = ，则k 的值为__________． 变式5-3 如图，点B 为反比例函数 1 1( 0) k y x x + = 的图像上一点，过点B 分别向x 轴，y 轴作垂线，垂足分 别为A，C ，线段BC 被反比例函数 2 ( 0) k y x x = 的图像上一点D 分成两部分，且 1 2 BD CD = ∶ ∶ ，连接AC ， 则ABC 的面积为______． 题型六、双反比例函数—“同侧”构造四边形 典例6 如图，点A在双曲线 3 y x = 上，点B 在双曲线 11 y x = 上，且AB x 轴，点C ，D 在x 轴上．若四边形ADCB 是矩形，则它的面积为（） 10 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．3 B．8 C．11 D．14 变式6-1 反比例函数 k y x = 和 1 y x = 在第一象限内的图象如图所示，当点P 在反比例函数 k y x = 的图象上运动 时，PC x ⊥ 轴于点C，交反比例函数 1 y x = 的图象于点A，PD y ⊥ 轴于点D，交反比例函数 1 y x = 的图象于 点B．下列结论：① ODB OCA S S = △ △ ；②PA与PB始终相等；③ 1 PAOB S k = − 四边形 ；④若PA AC = ，则PB DB = ．其 中正确的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 变式6-2 如图，点A，B 分别在反比例函数 1 k y x = （ 0 x ）， 2 3 y x = − （ 0 x ）的图象上，点C 为y 轴正半 轴上一点，若平行四边形ACOB的面积是6，则k 的值为_______． 变式6-3 如图，点A在函数 ( ) 2 0 y x x = − 的图象上，点B 在函数 ( ) 0 a y x x = 的图象上，且AB x ∥轴，BC x ⊥ 轴于点C ，若四边形ABCO的面积为4 ，则a 的值为_____． 11 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型七、双反比例函数—“异侧”构造三角形 典例7 根据图1 所示的程序框图，得到了y 与x 的函数图象如图2 所示，若M 是y 轴正半轴上任意一点， 过点M 作PQ x ∥ 轴交函数图象于点P ，Q ，连接OP ，OQ ，则下列结论正确的是（） A．OPQ 的面积为1.5 B． 0 x 时， 3 y x = C． 0 x 时，y 随x 的增大而增大 D． POQ 可能等于90 变式7-1 已知反比例函数 ( ) 0 k y x x = 与 ( ) 4 0 y x x = 的图象如图所示，过y 轴正半轴上的任意一点P 作x 轴 的平行线，分别与这两个函数的图象交于M，N 两点，A 是x 轴上的任意一点，连结MA，NA，若AMN 的 面积为8，则k 的值为 （ ） A．6 B．12 C．6 − D．12 − 12 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式7-2 如图，点B 在反比例函数 2 y x = ( 0) x 的图象上，点C 与点B 关于原点对称，过点B 作BA y 轴， 交反比例函数 k y x = ( 0) x 于点A．连接AC ，BC ．若ABC 的面积为6 ，则k 的值为____． 变式7-3 如图，与y 轴平行的直线l 与反比例函数 4 y x = 和 2 y x = − 的图象分别交于A B ，两点，若P 是y 轴上 任意一点，则PAB 的面积为________． 题型八、双反比例函数—“异侧”构造四边形 典例8 如图，四边形OABC是平行四边形，对角线OB 在y 轴上，位于第三象限的点A和第四象限的点C 分 别在反比例函数 1k y x = 和 2k y x = 的图象上，过点A，C 分别作x 轴的垂线，垂足分别为点M ，N ．下列结 论：①ON OM = ；② 1 2 k AM CN k = ；③阴影部分面积是( ) 1 2 1 2 k k + ；④若四边形OABC是菱形，则图中曲线 关于y 轴对称．其中正确的是（ ） 13 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．①④ B．②③ C．②③④ D．①②④ 变式8-1 如图，在矩形ABCD中，点B 、C 在x 轴上，点A、D 分别在反比例函数 4 y x = − 和 k y x = 上，若矩 形ABCD的面积为6，则k 的值是（ ） A．2 − B．2 C．4 − D．4 变式8-2 如图，经过原点O 的直线与反比例函数 ( ) 0 a y a x = 的图象交于A，D 两点（点A 在第一象限）， 点B，C，E 在反比例函数 ( ) 0 b y b x = 的图象上，AB y 轴，AE CD x ∥ ∥轴，五边形ABCDE 的面积为56， 四边形ABCD的面积为32，则a b − 的值为_____，a b 的值为_____． 变式8-3 如图，四边形OABC是平行四边形，对角线OB 在y 轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限 内的点C 分别在双曲线 1k y x = 和 2k y x = 的一支上，分别过点A、C 作x 轴的垂线，垂足分别为M 和N ，则 有以下的结论： ①若B 点坐标为( ) 0,6 ，A点坐标为( ) 2,2 ，则 2 8 k = −； 14 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ②阴影部分的面积为( ) 1 2 1 2 k k + ； ③当 90 AOC = 时， 1 2 k k = ； ④若四边形OABC是菱形，则两双曲线既关于x 轴对称，也关于y 轴对称． 其中正确的结论是_____________（填写正确结论的序号）． 题型九、反比例函数中的规律问题 典例9 如图，在x 轴的正半轴上依次截取 1 1 2 2 3 OA A A A A = = ，过点 1 2 3 , , A A A 分别作x 轴的垂线与反比例函数 ( ) 2 0 y x x = 的图象相交于点 1 2 3 , , P P P ，得 1 1 1 2 2 2 3 3 , , OPA A P A A P A △ △ △ ，并设其面积分别为 1 2 3 , , S S S ，以此类 推，则 2024 S 的值为（ ） A． 1 2024 B． 1 2025 C． 1 4048 D． 1 1012 变式9-1 如图，在x 轴的正半轴依次截取 1 1 2 2 3 OA A A A A = = ，过点 1A ， 2 3 A A ， 分别作x 轴的垂线与反比例函 数 ( ) 0 k y x x = 的图象相交于点 1 2 3 P P P ，， ，得 1 1 1 2 2 2 3 3 ， ， OPA AP A A P A ，并设其面积分别为 1 2 3 S S S ，， ，以此 类推，若 2026 1 2026 S = ，则k 的值为（ ） 15 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．2 B．1 C．-2 D．4 变式9-2 如图，一组等腰三角形的底边均在x 轴的非负半轴上，两腰的交点在反比例函数 1 y x = 的图象上， 且它们的底边都相等．若 1 1 OA B ， 1 2 2 A A B ， 2 3 3 A A B ，… 2025 2026 2026 A A B △ 的面积分别为 1S ，2 S ，3 S ，…，2026 S ， 则 2026 S 的值_________． 变式9-3 如图，在反比例函数 ( ) 2 0 y x x = 的图象上，有点 1P ， 2P ， 3P ，…， nP ， 1 nP + ，它们的横坐标依次 为1，2，3，…，n， 1 n + ．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次 为 1S ， 2 S ， 3 S ，…， n S ， 1 n S + ，则 1 2 3 1 n S S S S + + + ++ = ____________． 题型十、反比例函数中的解析式 典例10 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数 4 y x = 的图象与反比例函数 k y x = 的图象相交于A、B 两 点，过点A 作AC x ⊥ 轴于点C，过点B 作BD x ⊥ 轴于点D，连结AD、BC ．四边形ACBD的面积为8． 16 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当4 k x x 时，x 的取值范围． 变式10-1 如图，直线AB 与反比例函数 k y x = 的图象交于( ) ,2 A m 、( ) 1, B n 两点，与x 轴交于点C ．若BD y ⊥ 轴，垂足为D， BOD △ 面积为6． (1)求k 值； (2)求BOC 的面积． 变式10-2 如图，点 ( ) 2,4 A 在反比例函数 ( ) 0 k y x x = 的图象上，过点A作x 轴的垂线交反比例函数 ( ) 0 m y x x = 的图象于点C ． 17 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求反比例函数 k y x = 的表达式． (2)连接 , OA OC ，若OAC 的面积是3，求m 的值． 变式10-3 如图，已知AD x ∥轴，点A 在反比例函数 ( ) 0 k y k x = 的图象上，将线段AD平移，得到线段BC ， 且点B 恰好落在反比例函数 ( ) 3 0 y k x = 的图象上，点O 为四边形ABCD的中心， 14 ABCD S = 四边形 ． (1)求k 的值； (2)若点D 到x 轴的距离为1，求直线AB 的解析式． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，点A和点B 分别在反比例函数 ( 0) k y x x = 和 ( ) 6 0 y x x = 两个图象上，AB x ∥轴且交y 轴于点P ， 若 : 2: 3 PA PB = ，则k 的值为（ ） A．3 B．3 − C．4 D．4 − 2．如图，点A、B 位于图中所示的双曲线上，且AB x ∥轴，点C、D 在x 轴上，若四边形ABCD为矩形， 则它的面积为（ ） 18 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．4 B．6 C．8 D．12 3．如图，点A 在反比例函数 ( ) 0 k y x x = 的图象上，点B 在反比例函数 ( ) 4 0 y x x − = 的图象上，AB 平行于 x 轴，连接OA OB ， ，若4 6 k ，则AOB 的面积可以是（ ） A．7 2 B．4 C．9 2 D．5 4．如图，已知A、B 是函数 ( ) 0 k y x x = 图象上的两点，点B 位于点A 的左侧，AM ，BN 均垂直于x 轴， 垂足为点M、N，连接AO ，交BN 于点E ．若 1 4 NE NB = ，四边形AMNE 的面积为3，则k 的值为（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 5．在平面直角坐标系中，A、B 两点关于y 轴对称，以AB 为边在x 轴上方作平行四边形ABCD，点D 恰 好落在y 轴上，反比例函数 k y x = 交边CD于点E ，交边BC 于点F ．点P 是平行四边形ABCD内任一点， 连接PA、PB、PC 、PD、PO．若 2 3 DE EC = ∶ ∶，且2 25 AOP PCD S S + = △ △ ，则k 的值为（ ） 19 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．10 B．20 C．10 − D．20 − 6．如图，矩形OABC的边OA、OC 分别在x 、y 轴上，函数 ( 0) k y x x = 的图象经过边BC 的中点E ，交AB 于点D，若四边形ODBC 的面积为12，则k 的值为______． 7．反比例函数 k y x = 在第一象限的图象如图所示，点A在函数的图象上，点B 为x 轴正半轴上一点，连接AO ， AB ，且AO AB = ，若 6 AOB S = ，那么k =____________． 8．如图，在平面直角坐标系中，曲线C 关于原点O 成中心对称，点A 的对称点是点A，AB x ⊥ 轴， D y A ⊥ 轴，点A 在反比例函数 2026 y x = 的图象上，则阴影部分的面积之和为____________． 9．对于反比例函数 ( ) 1 1 0 k y k x = 和 ( ) 2 2 0 k y k x = ，平行于x 轴的直线与两个反比例函数的图象的交点分别 为A，B．若 2 1 6 k k − = ，则AOB 的面积为______． 20 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 ( 0) k y x x = 的图象分别与等腰直角AOB 的直角边AB 和斜 边OB 交于点C ，D，点A在x 轴负半轴上，连接AD，CD，若AD OB ⊥ ，且BCD 的面积为3，则k =________． 11．如图，在平面直角坐标系中，AOP 的顶点P 在y 轴的正半轴上，顶点A落在反比例函数 ( ) 0 k y x x = 上， 且AP OP ⊥ ， 3 AOP S = △ ．点Q 是x 轴的正半轴上一点． (1)求反比例函数的解析式； (2)请用无刻度的直尺和圆规作 AOQ 的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (3)若（2）中所作的角平分线分别交 ( ) 0 k y x x = 的图象，射线PA于点B ，C ，当 3 OP = 时，求点C 的坐标． 12．如图，点A在反比例函数 ( ) 3 0 y x x = 的图象上，点B 在反比例函数 ( ) 0, 0 k y k x x = 的图象上，AB x ⊥ 轴于点M ． 21 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)若点A 的横坐标为3， 2 BM AM = ，直接写出k 的值______； (2)若 : 2:3 = AM MB ，求出此时k 的值． 13．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C 在坐标轴上，顶点B 在反比例函数 ( 0) k y x x = 的 图象上，已知矩形OABC的长OC 和宽OA分别为4，3． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点P 在该反比例函数的图象上，且在BC 的上方，过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为E，F， PE与BC 交于点G．若矩形OEPF 与矩形ABCO不重合部分的面积为6，求点P 的坐标． 14．如图，点A、B 分别是双曲线 ( ) 1 0 y x x = − 和 ( ) 4 0 y x x = 上的两个动点，AB x 轴，过A、B 两点分别 作x 轴的垂线，垂足分别为D、C，连接OA、OB ． (1)四边形ABCD的面积为 ； (2)设点C 的坐标为( ) ,0 m ． ① 当m = 时，四边形ABCD为正方形； ② 当AOB 是直角三角形时，求m 的值． 15．如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在x 轴正半轴，顶点C 在y 轴正半轴， 2 OA OC = ， 点D E 、分别在AB BC 、 上，且 1 1 , 4 4 CE BC AD AB = = ，反比例函数 ( ) 0 k y x x = 的图象经过D E 、两点，连 接OD OE 、 ，四边形ODBE 的面积为24． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求反比例函数解析式； (2)如图2，点F 、G 分别为OA、CB 的中点，点H 在该反比例函数 ( ) 0 k y x x = 的图象上，且点H 的横坐标 大于点G 的横坐标，连接HG 并延长交反比例函数 ( ) 0 k y x x = 图象于点I ，过点H 作HP ⊥直线CF 于点P ， 过点I 作IQ ⊥直线CF 于点Q ． ①请探究HG 与HP的数量关系，并说明理由； ②若 3 2 IQ HP = ，试判断IH HP 的值是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由．
