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1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题03 一元二次方程的应用的五类综合题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一元二次方程解决传播问题 题型二、利用一元二次方程解决握手、循环赛问题 题型三、利用一元二次方程解决增长率与营销问题 题型四、利用一元二次方程解决与图形有关的问题 题型五、利用一元二次方程解决动态几何问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：源于实际情景（如面积、利润、增长率、传播问题），需将文字转化为等量关系。 - 解题方法：审题设未知数，找等量关系列方程，解方程后验证根的实际意义（如边长正数、人数整数） 并取舍。 - 易错提醒：忽略单位统一；增长率问题搞错基期与现期；未检验根是否符合实际背景而直接作答。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一元二次方程解决传播问题 典例1 ．（25-26 九年级上·河南焦作·阶段检测）某学校机房有150 台学生电脑和1 台教师电脑，现在教师 电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果1 台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25 台 电脑被感染． (1)每轮感染中平均1 台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？ 题型模版 1.特征：：总量呈“每轮每人都传播给若干人”的指数型增长，通常问经过几轮后的总人数。 2.方法：设每轮每人传播给x 人，第n 轮后总量为a(1+x)n，列方程求解，并检验根的合理性。 目 录 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式1-1．（24-25 九年级上·山东临沂·期中）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有2 人患 了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有128 人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ (2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 变式1-2．（24-25 九年级上·广东江门·阶段检测）某年，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致， 非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快，某养猪场第一天发现1 头生猪发病，两天后发现共有196 头生猪发病． (1)求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？ (2)若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，3 天后生猪发病头数会超过2500 头吗？ 变式1-3．（24-25 九年级上·天津河西·期中）某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目 的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x 个支干．请 根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 (2)填空（用含x 的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为； (3)请继续完成本题的解答： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 7 13 21 题型二、利用一元二次方程解决握手、循环赛问题 典例2 ．（25-26 九年级上·广东东莞·期中）九年级某班在期中考试前，每个同学都向全班其他同学各送一 张写有祝福的卡片，全班共送了2450张卡片，求班级学生人数． 题型模版 1.特征：涉及“两两之间只发生一次”的互动总数，如握手、单循环赛，不计重复。 3 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2.方法：设有n 个对象，互动总数为 𝑛(𝑛−1) 2 ，列方程求解，取正整数根。 变式2-1．（25-26 九年级上·云南昭通·期中）为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动 会”，其中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之间都比赛一场），共进行了15 场比赛，问 共有多少个队参加“单脚拔河”比赛？ 变式2-2．（25-26 八年级下·广西贺州·期中）为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八 年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45 场． (1)问该校八年级共有几个班？ (2)篮球比赛胜一场得2 分，负一场得1 分，小奉同学所在的2101 班要想获得不低于14 分的积分，至少要 取得多少场胜利？ 变式2-3．（25-26 九年级上·江西南昌·阶段检测）行知中学举办九年级篮球赛，比赛采用单循环赛制（即每 个队伍与其它参赛队伍各比赛1 场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： (1)若有6 个参赛队伍，按赛制共进行了几场比赛？ (2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明； 题型三、利用一元二次方程解决增长率与营销问题 典例3 ．（25-26 八年级下·浙江金华·期末）依托金华双龙景区暑期文旅热潮，本地老字号酥饼门店线上线 下销量持续走高．该店7 月份酥饼总销量15 万袋，9 月份销量增长至21.6 万袋． (1)求该门店7 月到9 月酥饼总销量的月平均增长率． (2)门店酥饼进货成本每袋18 元，日常售价25 元/袋时，单日可卖出60 袋．市场调研显示：售价每下调1 元，单日销量多卖出10 袋．门店计划降价清库存，若要单日销售总利润达到400 元，则每袋酥饼需要降价 多少元？ 题型模版 1.特征：涉及连续两次变化（增长/降价），总量按比例变化，求变化率或次数。 4 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2.方法：设平均变化率为x，根据“基础量 × (1 ± x)² = 目标量”列方程，解出x 并取合理解。 变式3-1．（25-26 八年级下·山东泰安·期末）智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模 块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026 年第二季度（4 月至6 月）该品牌智能头盔的销量情况：4 月份销售150 个，6 月份销售216 个． (1)求该店该品牌智能头盔从4 月份到6 月份销售量的平均月增长率； (2)该智能头盔的进价为300 元/个，市场调研发现：当售价为400 元/个时，月销售量为60 个；若售价在此 基础上每上涨2 元/个，则月销售量将减少1 个．为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望 在月销售利润达到6032 元的同时，尽可能让市民享受实惠．请问该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多 少元？ 变式3-2．（25-26 八年级下·安徽合肥·期末）长鑫存储是合肥市政府重大招商引资项目，也是国内专注于 DRAM存储芯片研发、生产与销售的龙头企业，坐落于合肥经开区，实现了存储芯片自主化突破，旗下DDR5 内存产品广泛应用于电脑、服务器等设备．随着技术不断成熟与市场需求增长，企业经营业绩稳步攀升．请 结合以下信息解答问题． (1)长鑫存储2023 年全年营收为90 亿元，2025 年全年营收达到608.4 亿元，求2023 年至2025 年这两年营 收的年平均增长率． (2)某经销商主营长鑫16 GB DDR5 内存条，该内存条进价为240 元/条．经市场调研：当售价定为300 元/条时， 每月可售出200 条；若售价每降低5 元，每月销量可增加25 条．为减少库存，若该经销商每月想要获得12375 元的销售利润，求此时内存条的实际售价． 变式3-3．（25-26 八年级下·安徽滁州·期末）综合与实践 背景 2026 年，随着AI 服务器、消费电子市场持续回暖，合肥长鑫存储的 国产内存芯片订单爆发式增长，产能持续爬坡，相关出货数据不断刷 新纪录，带动了本地模组厂商的销售热潮． 素材1 已知长鑫存储某款DDR5-16G 内存芯片，周一的出货收入为500 万 元，随着下游客户备货需求激增，周三的出货收入达到720 万元． 素材2 为承接国产芯片的消费热潮，合肥本地模组厂商推出“国产芯·合肥 造”DDR5-16G 内存模组套装，已知该套装的物料及加工成本为200 元/套；当定价为500 元/套时，平均每天可售出40 套．调研发现，售 5 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 价每降低20 元，平均每天就能多售出8 套，现该厂商计划下调售价， 使平均每天的销售利润达到12000 元． 问题解决 (1)任务1，求从周一到周三，长鑫存储该款DDR5-16G 内存芯片出货收入的日平均增长率； (2)任务2，根据素材2，为尽可能多的售空“国产芯·合肥造”DDR5-16G 内存模组库存，求下调后每套模组的 售价； (3)任务3，根据素材2，该厂商平均每天能否获利16000 元？若能，请求出每套模组应降价多少元；若不能， 请说明理由． 题型四、利用一元二次方程解决与图形有关的问题 典例4 ．（25-26 九年级上·广东深圳·期末）中国队包揽了2025 年世界无人机足球锦标赛 9 F A A − ，9 F A B − 两个组别的冠、亚军．如图，矩形ABCD是 9 F A B − 级别的比赛场地（半场）平面图，由操作区、起飞区、 比赛区组成．矩形EFGH 为起飞区，距场地左侧边界1m，距右侧边界2m，距上侧和下侧边界均为0.75m， 且长EF 比宽EH 多0.5m． (1)设EH 的长度为m x ，则EF 的长度为( ) 0.5 m x + ，AB =______ m ，BC = ______ m （用含x 的代数式表 示） (2)若矩形ABCD的面积为 2 12m ，求EH 的长度． 题型模版 1.特征：图形面积、体积或边长关系含未知数，常涉及拼接、裁剪或路径宽度问题。 2.方法：用未知数表示相关边长或面积，根据几何公式（如面积和差）列一元二次方程，解后舍去不合题意 的根。 变式4-1．（25-26 九年级上·河南鹤壁·期中）某展览中心新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示、已知 每层长60 米，宽45 米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层的喷漆 6 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 面积为1944平方米． (1)求通道的宽是多少米； (2)据调查分析，停车楼剩余72 个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为300元时，可全部租出；每个 车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能 使对外开放的月租金收入为22400 元？ 变式4-2．（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）某农场有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙MN ，现利 用围墙和木栏围出一块矩形菜地ABCD，菜地左右两边各开一扇宽为1米的门．已知木栏总长为30米，左右 两边的门均不消耗木栏． (1)如图1，当AD MN 时，设AB 长为x 米． ①请用含x 的代数式表示BC 的长，并写出x 的取值范围． ②若围成的菜地面积为96平方米，求AB 的长． (2)如图2 ，当 AD MN 时，围成的菜地面积是否可以达到121平方米？说明理由． 变式4-3．（25-26 九年级上·广东佛山·期中）项目化学习 项目主题 劳动基地换新计划 项目背景 学校计划对劳动基地进行整修，综合实践活动小组以设计“劳动基地换新计划”为 主题开展一次项目学习． 信息获取与问题解决 信息1：如图①，原劳动基地形状为矩形ABCD， 25m AB = ， 45m BC = ， 问题1：活动小组提出修建两条等宽且互相垂直的小路，使得余下基地面积为 2 1056m ，则小路宽度应为多少？ 7 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 信息2：学校准备扩建基地，如图②，在BA、BC 上进行扩建，扩建后的新劳动 基地仍为矩形若BE的最大长度为32m，BG 的最大长度为52m． 问题2：当 3 CG AE = 时，新劳动基地的面积可以为 2 1800m 吗？若存在，请求出BE 和BG 的长度；若不存在，请说明理由． 题型五、利用一元二次方程解决动态几何问题 典例5 ．（25-26 九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形ABCD中， 6cm AB = ， 8cm BC = ，点P 从A开始沿 AB 边向点B 以1cm / s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/ s 的速度移动，P ，Q 两点分别 从A，B 同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，PBQ 的面积等于 2 8cm ？ ②PBQ 的面积能否等于 2 10cm ？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点P 到达B 后不停止，立即以原速沿BA返回；点Q 到达C 后不停止，继续以原速沿射线BC 方向运动， 直到点P 第一次回到A时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒PBQ 的面积等于 2 6cm ？ 8 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型模版 1.特征：几何图形中的点、线按速度运动，导致面积或线段长度随时间变化，求特定时刻。 2.方法：设运动时间为t，用含t 的式子表示变化后的边长或面积，根据等量关系列方程，解出t 并检验范围。 变式5-1．（25-26 八年级下·安徽亳州·期中）在Rt ABC △ 中， 90 C = ， 18cm AC = ， 16cm BC = ，点P， Q 都从点C 出发，点P 以1cm / s 的速度沿CA 向A 运动，点Q 从点C 出发，以2cm / s的速度沿CB 向B 运动， 两点同时出发，设运动时间为st ( ) 0 8 t ． (1)当 1s t = 时，求PQ 长． (2)当PCQ 的面积为 2 6cm 时，求t 的值． (3)当 3 5cm PQ = 时，求t 的值． 变式5-2．（25-26 九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在矩形ABCD中， 6cm AB = ， 12cm BC = ，点P 从 点A出发沿AB 以1cm/s的速度向点B 移动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 以2cm/s的速度向点C 移动．设运 动时间为t 秒． (1)当 2 t = 时， DPQ △ 的面积为__________ 2 cm ； (2)在运动过程中 DPQ △ 的面积能否为 2 26cm ？如果能，求出t 的值，若不能，请说明理由； 变式5-3． （24-25 九年级上·贵州遵义·阶段检测）如图A，B ，C ，D 为矩形的四个顶点， 16cm AB = ， 6cm AD = ， 动点P ，Q 分别从点A，C 同时出发，点P 以3 / cm s 的速度向点B 移动，一直到达B 点为止，点Q 以2 / cm s 的速度向D点移动，当点P 到达B 点时点Q 随之停止运动． 9 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1) AP =_______cm，DQ = _______cm（用含t 的代数式表示）； (2)t 为多少时，四边形PBCQ 的面积为 2 33cm ； (3)t 为多少时，点P 和点Q 的距离为10cm． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．毕业将至，九（1）班全体学生互赠祝福卡，共赠祝福卡1560 张，问：九（1）班共有多少名学生？设 九（1）班共有x 名学生，根据题意可列方程为（ ） A． 2 1560 x = B．( ) 1 1560 x x − = C．( ) 1 1560 x x + = D． ( ) 1 1 1560 2 x x − = 2．随着科技水平的提高，某种电子产品的价格呈下降趋势，今年的价格恰为两年前的一半．假设该电子产 品每年降价的百分率均为x ，则以下所列方程正确的是（ ） A．( ) 2 1 1 2 x + = B．( ) 2 1 2 x + = C．( ) 2 1 1 2 x − = D．( ) 2 1 2 x − = 3．期图1，有一张长32cm、宽16cm的矩形硬纸片，裁去角上2 个小正方形和2 个小矩形（图中阴影部分） 之后，恰好折成如图2 所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是 2 130cm ，则纸盒的高为（ ） A．2cm B．3cm C．4cm D．21cm 4．哪吒的乾坤圈工坊以每个30 灵石的进价购入一批迷你风火轮，并以每个50 灵石售出，每日可售出80 个．据调查发现，每个迷你风火轮的售价每降低2 灵石，每日可多售出10 个，若哪吒希望单日盈利达4000 灵石，则需将售价降低多少灵石？若设降价x 灵石，则列出方程为（ ） A．( ) 50 80 10 4000 2 x x − + = B．( ) 50 30 80 10 4000 2 x x − − + = C．( )( ) 50 30 80 10 4000 x x − − + = D．( )( ) 50 2 30 80 10 4000 x x − − + = 5．如图，在 ABC 中， 90 C = ， 4cm AC = ， 3cm BC = ，一动点P 从点C 出发沿着CB 方向以1cm / s 的 速度运动，另一动点Q 从点A 出发沿着AC 边以1cm / s 的速度运动，P ，Q 两点同时出发，运动时间为( )s t ．当 10 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 5 PQ AB = 时，t = （ ） A．4 2 s 2 + B．4 2 s 2 − C．4 2 s 2 + 或4 2 s 2 − D．4 3 s 2 + 或4 3 s 2 − 6．某工厂生产的笔记本，每本成本10 元，由于连续两次降低成本，现在的成本是8.1 元，则平均每次降低 成本的百分率是 ． 7．一花店用500 元购进了一批产品，按40%的利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，结果 又一次打折后才售完，经计算，这批产品共盈利67 元，若两次打折相同、则每次打了 折 8．如图，要利用一面墙（墙长为25m）建猪圈，用100m的围栏围成总面积为 2 400m 的三个大小相同的矩形 猪圈，则猪圈的边长AB 为 m． 9．化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把 手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49 人恰好 都会做这个实验了，那么1 人每次能手把手教会 名同学． 10．如图，在平行四边形ABCD中， 8cm 24cm AB BC = = ， ，P Q ， 分别从A C ，同时出发，向D B ，运动， 当一个点到达终点时，两个点同时停止运动，已知点P 的速度为1cm / s ，在运动的过程中，若存在使四边形 APQB 是邻边之比为2:1的平行四边形时刻，则点Q 的速度为 cm/ s ． 11．为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的 形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45 场． 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)问该校八年级共有几个班？ (2)篮球比赛胜一场得2 分，负一场得1 分，小奉同学所在的2101 班要想获得不低于14 分的积分，至少要 取得多少场胜利？ 12．有这么一种核桃，个头不大，外表不类，但平均售价达到22 元一斤，这就是赫章核桃．某核桃种植基 地到2020 年年底已经种植核桃100 亩，到2022 年年底核桃的种植面积达到196 亩． (1)求该基地这两年核桃的种植面积的年平均增长率． (2)经市场调查发现，当核桃的售价为22 元/斤时，每天能售出200 斤，销售单价每降低1 元，每天可多售 出50 斤．为了尽快减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地核桃的平均成本为14 元/斤，若使销售核 桃每天可获利1750 元，则销售单价应降低多少元？ 13．如图，用长为22 米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14 米），围成中间隔有一道篱笆的长方 形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC 上用其他材料做了宽为1 米的两扇小门． (1)设花圃的一边AB 长为x 米，请你用含x 的代数式表示另一边AD的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为45 平方米，求此时花圃的长与宽． (3)建成花圃的面积可能为60 平方米吗？请说明理由． 14．一家工厂为了生产某种特殊材料，决定从供应商处购买甲、乙两种化工原料．已知每桶甲化工原料比 每桶乙化工原料贵4 元，工厂第一次花费800 元采购甲化工原料和240 元采购乙化工原料，发现甲化工原 料的桶数是乙化工原料桶数的2 倍． (1)求每桶甲化工原料与乙化工原料的售价分别为多少元． (2)已知供应商每桶甲化工原料的进价是a 元，每桶乙化工原料的进价是2 3 a元，甲、乙售价不变．为了扩大 生产，工厂决定再次购买这两种化工原料，且第二次购买甲化工原料的数量比第一次购买的数量少10 % a ， 购买的乙化工原料的数量是第一次的3 倍．若供应商第二次共获利368 元，求a 的值． 15． ABC 中， 90 B ? ? ， 5cm AB = ， 6cm BC = ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1cm/s 的速度移动， 与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2cm/s的速度移动．如果点P 、Q 分别从点A 、B 同时出发， 当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间为t 秒． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)填空：BQ = __________，PB = __________（用含t 的代数式表示）； (2)是否存在t 的值，使得PBQ 的面积等于 2 4cm ？若存在，请求比此时t 的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在t 的值，使得 5cm PQ = ？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由． 16．综合与实践：洗衣粉售价方案设计 某厂家生产的一种洗衣粉采用A 、B 两种包装，当前销售的相关信息如下表： 包装规格 A B 含量（千克/袋） 2 1 成本（元/袋） 10 5 售价（元/袋） 25 17 日销量（袋） 60 40 该厂家经市场调研发现适当提升A 包装洗衣粉售价可以增加每日利润，已知售价每提升1 元会少卖2 袋．一 段时间后，由于产能下降，厂家决定每日定额生产150 千克的洗衣粉（当日全部售出）．另外厂家下调了B 包 装洗衣粉的售价，已知其售价每降低1 元会多卖2 袋． 根据以上信息解决问题：设A 包装洗衣粉每袋售价提高x 元( ) 0 x ． (1)问该厂家每日销售A 包装洗衣粉的利润能否达到1000 元？若能，请求出A 包装洗衣粉的售价；若不能， 请说明理由． (2)当厂家每日定额产销150 千克洗衣粉时，设B 包装洗衣粉每袋售价降低y 元( ) 0 y ． ①求y 关于x 的函数关系． ②请通过计算判断厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润能否达到1450 元？
