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专题02 一元二次方程的解法
常考题型·精准突破
题型1 直接开平方法解一元二次方程
题型2 配方法解一元二次方程（重）
题型3 公式法解一元二次方程（重）
题型4 因式分解法解一元二次方程（高频）
题型5 十字相乘法解一元二次方程（难）
题型6 换元法解一元二次方程（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 直接开平方法解一元二次方程
1．（26-27 九年级·全国·暑假作业）解方程：(
)
(
)
2
2
3
1
4 2
3
x
x
−
=
+
【答案】
1
5
7
x
−
=
，
2
7
x = −
【分析】利用直接开平方法得出两个一元一次方程，解一元一次方程即可得出答案．
【详解】解：(
)
(
)
2
2
3
1
4 2
3
x
x
−
=
+
∴
(
)
3
1
2 2
3
x
x
−=
+
，
则3
1
4
6
x
x
−= −
−或3
1
4
6
x
x
−=
+ ，
解得：
1
5
7
x
−
=
，
2
7
x = −．
2．（25-26 八年级下·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程：
(1)
2
2
(3
1)
(
1)
x
x
−
=
+
．
(2)
2
6(
1)
54
0
x −
−
= ．
【答案】(1)
1
1
x = ，
2
0
x =
(2)
1
4
x =
，
2
2
x = −
【分析】（1）用直接开平方法解答即可；
（2）用直接开平方法解答即可．
【详解】（1）解：（1）
2
2
(3
1)
(
1)
x
x
−
=
+
，
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(
)
3
1
1
x
x
−=
+
，
2
2
x
=
或4
0
x =
，
解得
1
1
x = ，
2
0
x =
．
（2）
2
6(
1)
54
0
x −
−
=
，
2
6(
1)
54
x
−
=
，
2
(
1)
9
x
−
=
，
1
3
x
−= ，
解得
1
4
x =
，
2
2
x = −．
3．（2026 八年级下·全国·专题练习）用直接开平方法解方程：
(1)(
)
2
2
2
6
x −
=
；
(2) (
)
2
3
1
6
0
x −
−
=
；
(3)(
)(
)
3
3
9
x
x
+
−
=
；
(4)(
)
(
)
2
2
2
1
2
x +
=
+
．
【答案】(1)
1
2
3
x =
+
，
2
2
3
x =
−
(2)
1
1
2
x = +
，
2
1
2
x = −
(3)
1
3 2
x =
，
2
3 2
x = −
(4)
1
1
x = ，
2
1
2 2
x
−
=
−
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、
因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）利用直接开平方法求解可得；
（2）利用直接开平方法求解可得；
（3）先整理成
2
18
x =
，再直接开平方可得；
（4）利用直接开平方法求解可得．
【详解】（1）解：∵(
)
2
2
2
6
x −
=
，
∴
2
2
6
x −
=
，
解得
1
2
3
x =
+
，
2
2
3
x =
−
；
（2）解：∵(
)
2
3
1
6
0
x −
−
=
，
整理得(
)
2
1
2
x −
=
，
∴
1
2
x −=
，
∴
1
1
2
x = +
，
2
1
2
x = −
；
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（3）解：∵(
)(
)
3
3
9
x
x
+
−
=
，
∴
2
9
9
x −
=
，
则
2
18
x =
，
∴
3 2
x =
，即
1
3 2
x =
，
2
3 2
x = −
；
（4）解：∵(
)
(
)
2
2
2
1
2
x +
=
+
．
∴
2
1
2
x+
= +
或
2
1
2
x+
= −−
，
解得
1
1
x = ，
2
1
2 2
x
−
=
−
．
◆题型2 配方法解一元二次方程
4．（25-26 九年级上·北京·阶段检测）用配方法解下列方程
(1)
2
15
8
x
x
+
=
(2)
2
3
1
2 3
x
x
+ =
【答案】(1)
1
5
x = ，
2
3
x =
(2)
1
2
3
3
x
x
=
=
【分析】本题考查用配方法解一元二次方程．先将方程整理为标准形式，第二题先将二次项系数化为1，再
通过配方将方程化为完全平方等于常数的形式，最后用直接开平方法求解即可．
【详解】（1）解：
2
15
8
x
x
+
=
移项得
2
8
15
x
x
−
= −
配方，方程两边同时加16 得
2
8
16
15 16
x
x
−
+
= −
+
整理得
2
(
4)
1
x −
=
开方得
4
1
x −
=
解得
1
5
x = ，
2
3
x =
．
（2）解：
2
3
1
2 3
x
x
+ =
移项得
2
3
2 3
1
x
x
−
= −
二次项系数化为1 得
2
2 3
1
3
3
x
x
−
= −
配方，方程两边同时加
2
3
3
得
2
2
2
2 3
3
1
3
3
3
3
3
x
x
−
+
= −
+
整理得
2
3
0
3
x
−
=
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解得
1
2
3
3
x
x
=
=
．
5．（26-27 八年级·上海·暑假作业）解方程：
(1)
2
2
1
0
x
x
−
−=
（用配方法）
(2)(
)(
)
5
1
12
x
x
+
+
=
（用配方法）
【答案】(1)
1
1
2
x = +
，
2
1
2
x = −
(2)
1
7
x = −，
2
1
x =
【分析】（1）将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平
方式，再开方求解即可；
（2）先展开左侧并整理成一元二次方程的一般形式，后续按照配方法的步骤，移常数项、配方、开方求解
即可．
【详解】（1）解：原方程化为
2
2
1
x
x
−
= ，
2
2
1
2
x
x
−
+ =
，
2
(
1)
2
x −
= ，即
1
2
x −=
，
1
1
2
x = +
，
2
1
2
x = −
；
（2）解：原方程化为
2
6
5
12
x
x
+
+
=
，
2
6
7
x
x
+
=
，
2
6
9
16
x
x
+
+
=
，
2
(
3)
16
x +
=
，即
3
4
x + = ，
1
7
x = −，
2
1
x = ；
6．（25-26 九年级上·湖北十堰·阶段检测）用配方法解方程：
(1)
2
4 2
2
0
x
x
−
−
=
．
(2)
2
3
5
1
0
x
x
−
−=
．
【答案】(1)
1
2 2
10
x =
+
，
2
2 2
10
x =
−
(2)
1
5
37
6
x
+
=
，
2
5
37
6
x
−
=
【分析】用配方法解一元二次方程的一般步骤：①化二次项系数为1，当二次项系数不是1 时，方程两边
同时除以二次项系数；②加上一次项系数一半的平方，使其成为完全平方式，但又要使此方程的等式关系
不变，故在右侧同时加上一次项系数一半的平方；③配方后将原方程化为(
)
2
x
m
n
+
=
的形式，再用直接开
平方的方法解方程．
【详解】（1）解：
2
4 2
2
0
x
x
−
−
=
2
4 2
2
x
x
−
=
2
4 2
8
10
x
x
−
+ =
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(
)
2
2 2
10
x −
=
∴
2 2
10
x −
=
，
∴
1
2 2
10
x =
+
，
2
2 2
10
x =
−
；
（2）解：
2
3
5
1
0
x
x
−
−=
2
5
1
3
3
x
x
−
=
2
25
1
25
36
3
36
5
3
x
x +
=
+
−
2
5
37
6
36
x
−
=
∴
5
37
6
6
x −
=
，
∴
1
5
37
6
x
+
=
，
2
5
37
6
x
−
=
．
◆题型3 公式法解一元二次方程
7．（25-26 八年级下·甘肃兰州·期末）解方程：
2
2
5
1
0
x
x
−
−=
．
【答案】
1
5
33
4
x
+
=
，
2
5
33
4
x
−
=
【详解】解：在方程
2
2
5
1
0
x
x
−
−=
中，
2
a =
，
5
b = −，
1
c
−
=
，
2
2
Δ
4
( 5)
4 2 ( 1)
25 8
33
0
b
ac
=
−
= −
−−
=
+ =
，
∴
Δ
5
33
2
4
b
x
a
−
=
=
，
1
5
33
4
x
+
=
，
2
5
33
4
x
−
=
．
8．（25-26 八年级·全国·暑假作业）用公式法解下列方程．
(1)
2
3
7
0
x
x
−
−
=
；
(2)
(
)
2
5
2
1
x
x
−
=
+
；
(3)
2
2
5
5
0
x
x
+
−
=
．
【答案】(1)
1
2
3
37
3
37
,
2
2
x
x
+
−
=
=
(2)
1
2
1
2 2,
1
2 2
x
x
= +
= −
(3)
1
2
5 ,
5
2
x
x
=
= −
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【详解】（1）解：
2
3
7
0
x
x
−
−
=
，
1,
3,
7
a
b
c
=
= −
= −，
2
4
9
28
37
0
b
ac
−
=
+
=
，
2
4
3
37
3
37
2
2 1
2
b
b
ac
x
a
−
−
=
=
=
，
1
2
3
37
3
37
,
2
2
x
x
+
−
=
=
；
（2）解：方程整理得：
2
2
7
0
x
x
−
−
=
，
1,
2,
7
a
b
c
=
= −
= −，
2
4
4
28
32
0
b
ac
−
=
+
=
，
2
32
1
2 2
2
x
=
=
，
1
2
1
2 2,
1
2 2
x
x
= +
= −
；
（3）解：
2
2
5
5
0
x
x
+
−
=
，
2,
5,
5
a
b
c
=
=
= −，
2
4
5
40
45
0
b
ac
−
=
+
=
，
5
3 5 ,
4
x
−
=
1
2
5 ,
5
2
x
x
=
= −
．
9．（2026 八年级下·全国·专题练习）用公式法解方程：
(1)
2
4
1
0
x
x
−
+ =
(2)
2
5
4
1
x
x
=
−
(3)
2
2
2
1
0
x
x
−
−=
(4)
5
4
8
2
x x
−
=
．
【答案】(1)
1
2
2
3
2
3
x
x
=
+
=
−
，
(2)该方程在实数范围内无解
(3)
1
2
1
3
1
3
2
2
x
x
+
−
=
=
，
(4)
1
2
5
57
5
57
4
4
x
x
+
−
=
=
，
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，掌握公式法解一元二次方程并正确计算是解题的关键．
（1）（2）（3）（4）各方程整理为一般形式，找出a，b，c 的值，计算出根的判别式的值与0 作比较，判断
出方程根的情况，当判别式大于等于0 时，代入求根公式，即可求解．
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【详解】（1）解：
2
4
1
0
x
x
−
+ = ，
1
4
1
a
b
c
=
= −
=
，
，
，
(
)
2
2
4
4
4 1 1
12
0
b
ac
=
−
= −
−=
＞，
故该方程有两个不相等的实数根，
(
)
2
4
12
4
2
3
2
2
b
b
ac
x
a
−−
−
−
=
=
=
，
1
2
3
3
2
2
x
x
=
+
=
−
，
．
（2）解：
2
5
4
1
x
x
=
−，
化简得
2
5
4
1
0
x
x
−
+ =
，
5
4
1
a
b
c
=
= −
=
，
，
，
(
)
2
2
4
4
4 5 1
4
0
b
ac
=
−
= −
−= −
，
故该方程在实数范围内无解．
（3）解：
2
2
2
1
0
x
x
−
−=
，
2
2
1
a
b
c
=
= −
= −
，
，
，
(
)
(
)
2
2
4
2
4 2
1
12
0
b
ac
=
−
= −
−−
=
＞，
故该方程有两个不相等的实数根，
(
)
2
2
12
4
1
3
2
4
2
b
b
ac
x
a
−−
−
−
=
=
=
，
1
2
1
3
1
3
2
2
x
x
+
−
=
=
，
．
（4）解：
5
4
8
2
x x
−
=
，
化简得
2
2
5
4
0
x
x
−
−
=
，
2
5
4
a
b
c
=
= −
= −
，
，
，
(
)
(
)
2
2
4
5
4 2
4
57
0
b
ac
=
−
= −
−−
=
＞，
故该方程有两个不相等的实数根，
(
)
2
5
57
4
5
57
2
4
4
b
b
ac
x
a
−−
−
−
=
=
=
，
1
2
5
57
5
57
4
4
x
x
+
−
=
=
，
．
◆题型4 因式分解法解一元二次方程
10．（25-26 九年级上·江西九江·阶段检测）解方程：
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(1)
2
2
1
0
x
x
+
+ =
．
(2) (
)
(
)
2
3
3
3
x
x x
−
=
−
．
【答案】(1)
1
2
1
x
x
=
= −
(2)
1
3
x = ，
2
2
3
x =
【分析】（1）左边为完全平方式，因式分解后即可得解；
（2）移项后，根据因式分解法求一元二次方程的步骤求解即可．
【详解】（1）解：
2
2
1
0
x
x
+
+ =
，
因式分解得
2
(
1)
0
x +
=
，
∴
1
0
x+ =
，
解得：
1
2
1
x
x
=
= −．
（2）解：(
)
(
)
2
3
3
3
x
x x
−
=
−
，
移项得2(
3)
3 (
3)
0
x
x x
−
−
−
=
，
提取公因式得(
3)(2
3 )
0
x
x
−
−
=
，
∴
3
0
x−
=
或2 3
0
x
−
=
，
解得
1
3
x = ，
2
2
3
x =
．
11．（26-27 九年级·全国·暑假作业）解方程：
(1)
2
4
0
x
x
−
=
；
(2)
2
4
5
0
x
x−
−
=
．
【答案】(1)
1
0
x =
，
2
4
x =
(2)
1
5
x = ，
2
1
x = −
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：
2
4
0
x
x
−
=
因式分解得，(
)
4
0
x x −
=
，
∴
0
x =
或
4
0
x−
=
，
解得：
1
0
x =
，
2
4
x =
．
（2）解：
2
4
5
0
x
x−
−
=
因式分解得，(
)(
)
5
1
0
x
x
−
+
=
，
∴
5
0
x −=
或
1
0
x + = ，
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解得：
1
5
x = ，
2
1
x = −．
12．（25-26 八年级下·河北石家庄·期末）解下列一元二次方程：
(1)
2
2
3
0
x
x
−
−
=
(2) (
)
(
)
2
4
1
1
0
x
x x
−
+
−
=
【答案】(1)
1
3
x = ，
2
1
x = −
(2)
1
1
x = ，
2
4
5
x =
【分析】（1）对二次三项式十字相乘分解因式；
（2）提取公因式分解因式，分别令每个因式等于0 即可得到方程的根．
【详解】（1）解：
2
2
3
0
x
x
−
−
=
因式分解得(
3)(
1)
0
x
x
−
+
=
3
0
x
−= 或
1
0
x + =
解得
1
3
x = ，
2
1
x = −
（2）解：(
)
(
)
2
4
1
1
0
x
x x
−
+
−
=
提取公因式得(
1)[4(
1)
]
0
x
x
x
−
−
+
=
整理得(
)(
)
1 5
4
0
x
x
−
−
=
1
0
x
−=
或5
4
0
x −
=
解得
1
1
x = ，
2
4
5
x =
◆题型5 十字相乘法解一元二次方程
13．（24-25 九年级上·吉林·阶段检测）阅读与理解：
（1）将
2
2
3
2
x
x
−
−
进行因式分解，我们可以按下面的方法解答
解：①竖分二次项与常数项：
2
2
2
x
x x
=
，2
( 2) 1
−= −
．
②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）；
③横向写出两因式：
2
2
3
2
(2
1)(
2)
x
x
x
x
−
−
=
+
−
．
我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字乘法．
（2）例：解方程
2
3
2
0
x
x
−
+
=
．
解：(
2)(
1)
0
x
x
−
−
=
，
2
0
x
−
= ，或
1
0
x −= ，
1
2
x
=
，
2
1
x = ．
请用上述方法解答下列问题．
（3）①因式分解：
2
4
3
x
x
−
+
=__________，
2
3
4
4
x
x
−
−
= __________．
②解方程：
2
5
4
0
x
x
−
+
=
．
③直接写出方程
2
2024
2019
5
0
x
x
+
−
=
的解．
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【答案】①(
)(
)
3
1
x
x
−
−
，(
)(
)
3
2
2
x
x
+
−
②
1
2
4
1
x
x
=
=
，
③
1
5
2024
x =
，
2
1
x = −
【分析】本题考查了因式分解以及运用因式分解法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（3）由（1）（2）得，直接作答①；
②③先把一个多项式分解成两个多项式相乘的形式，再令每个因式为0，进行计算，即可作答．
【详解】解：由（1）（2）得
（3）①
(
)(
)
2
4
3
3
1
x
x
x
x
−
+
=
−
−
；
(
)(
)
2
3
4
4
3
2
2
x
x
x
x
−
−
=
+
−
；
故答案为：(
)(
)
3
1
x
x
−
−
，(
)(
)
3
2
2
x
x
+
−
；
②
2
5
4
0
x
x
−
+
=
．
∴(
)(
)
4
1
0
x
x
−
−
=
，
∴
4
0
1
0
x
x
−
=
−=
，
，
∴
1
4
x =
或
2
1
x = ；
③
2
2024
2019
5
0
x
x
+
−
=
，
∴(
)(
)
2024
5
1
0
x
x
−
+
=
，
∴2024
5
0
x −=
或
1
0
x + = ，
∴
1
5
2024
x =
，
2
1
x = −．
14．（25-26 八年级下·北京·课后作业）阅读下列材料：
（1）将
2
2
35
x
x
+
−
分解因式，我们可以按下面的方法解答：
解：步骤：①竖分二次项与常数项：
2
x
x x
=
，
(
) (
)
35
5
7
−
= −
+
．
②交叉相乘，验中间项：
(
)
7
5
2
x
x
x
+ −
=
．
③横向写出两因式：
(
)(
)
2
2
35
7
5
x
x
x
x
+
−
=
+
−
．
我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．
（2）根据乘法原理：若
0
ab =
，则
0
a =
或
0
b =
．
试用上述方法和原理解下列方程：
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①
2
10
21
0
x
x
−
+
=
；
②
2
5
6
0
x
x−
−
=
；
③
2
3
2
1
0
x
x
-
-
=
；
④
2
2
6
0
x
x
+
−
=
．
【答案】①
1
3
x = ，
2
7
x =
；②
1
1
x = −，
2
6
x = ；③
1
1
x = ，
2
1
3
x = −
；④
1
2
x = −，
2
3
2
x =
【分析】利用十字相乘法因式分解求解．
【详解】解：①
2
10
21
0
x
x
−
+
=
，
因式分解得：(
)(
)
3
7
0
x
x
−
−
=
，
∴
3
0
x −= 或
7
0
x −
=
，
解得：
1
3
x = ，
2
7
x =
；
②
2
5
6
0
x
x−
−
=
，
因式分解得：(
)(
)
1
6
0
x
x
+
−
=
，
∴
1
0
x + = 或
6
0
x −
= ，
解得：
1
1
x = −，
2
6
x = ；
③
2
3
2
1
0
x
x
-
-
=
，
因式分解得：(
)(
)
3
1
1
0
x
x−
+
=
，
∴
1
0
x −= 或3
1
0
x+ =
，
解得：
1
1
x = ，
2
1
3
x = −
；
④
2
2
6
0
x
x
+
−
=
，
因式分解得：(
)(
)
2
3
2
0
x
x
−
+
=
∴
2
0
x +
=
或2
3
0
x−
=
解得：
1
2
x = −，
2
3
2
x =
．
15．（25-26 八年级下·浙江绍兴·期中）将
2
2
35
x
x
+
−
分解因式，我们可以按下面方法：
①竖分二次项与常数项：
2
x
x x
=
，
(
) (
)
35
5
7
−
= −
+
．
②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：
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③横向写出两因式：
(
)(
)
2
2
35
7
5
x
x
x
x
+
−
=
+
−
．
我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”．
根据乘法原理：若
0
ab =
，则
0
a =
或
0
b =
．所以方程
2
2
35
0
x
x
+
−
=
可以这样求解：方程左边因式分解得
(
)(
)
7
5
0
x
x
+
−
=
，所以原方程的解为
1
7
x = −，
2
5
x =
．
【解决问题】
(1)分解因式：
2
5
4
x
x
+
+
= （x + ）（x + ）
(2)试用上述方法和原理解下列方程：
①
2
10
21
0
x
x
−
+
=
；
②
2
2024
2019
5
0
x
x
+
−
=
．
【答案】(1)1，4
(2)①
1
7
x =
，
2
3
x =
；②
1
5
2024
x =
，
2
1
x = −
【分析】（1）根据十字相乘法分解即可；
（2）根据十字相乘法求解即可．
【详解】（1）解：
(
)(
)
2
5
4
1
4
x
x
x
x
+
+
=
+
+
；
（2）解：①
2
10
21
0
x
x
−
+
=
，
(
)
7
3
10
x
x
x
−
+ −
= −
，
∴(
)(
)
7
3
0
x
x
−
−
=
，
∴原方程的解为
1
7
x =
，
2
3
x =
；
②
2
2024
2019
5
0
x
x
+
−
=
，
5
2024
2019
x
x
x
−
+
=
，
∴(
)(
)
2024
5
1
0
x
x
−
+
=
，
∴原方程的解为
1
5
2024
x =
，
2
1
x = −．
◆题型6 换元法解一元二次方程
16．（25-26 八年级下·山东烟台·期中）为解方程(
)
(
)
2
2
2
1
5
1
4
0
x
x
−
−
−
+
=
，我们可以将
2
1
x −看作一个整体，
然后设
2
1
x
y
−=
，那么原方程可化为
2
5
4
0
y
y
−
+
=
①解得
1
2
1,
4
y
y
=
=
．
当
1
y = 时，
2
1
1
x −= ，
2
2
x
=
，
2
x
=
；
当
4
y =
时，
2
1
4
x −=
，
2
5
x
=
，
5
x
=
．
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故原方程的解为
1
2
3
4
2,
2,
5,
5
x
x
x
x
=
= −
=
= −
．
在由原方程得到①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学方法．
根据以上阅读理解，解答下列问题：
(1)利用换元法解方程：(
)
(
)
2
2
2
4
12
0
x
x
x
x
−
−
−
−
= ；
(2)若实数a 、b 满足(
)(
)
2
3
a
b
a
b
+
+
−
= ，求a
b
+
的值．
【答案】(1)
1
3
x = ，
2
2
x = −
(2)3
【分析】（1）设
2x
x
t
−
= ，将原方程转化为
2
4
12
0
t
t
−
−
=
，然后利用因式分解法求出
2
0
t +
=
或
6
0
t −
=
，
然后分别判断求解即可；
（2）设
0
a
b
m
+
=
，将(
)(
)
2
3
a
b
a
b
+
+
−
= 转化为
(
)
2
3
m m −
=
，然后求解判断即可．
【详解】（1）解：(
)
(
)
2
2
2
4
12
0
x
x
x
x
−
−
−
−
=
设
2x
x
t
−
=
∴原方程可化为
2
4
12
0
t
t
−
−
=
(
)(
)
2
6
0
t
t
+
−
=
2
0
t +
=
或
6
0
t −
=
解得
2
t
−
=
或
6
t =
当
2
t
−
=
时，
2
2
x
x
−
= −
∴
2
2
0
x
x
−
+
=
∴
(
)
2
Δ
1
4 1 2
7
0
−
= −
−
=
∴方程无实数根；
当
6
t =
时，
2
6
x
x
−
=
∴
2
6
0
x
x
−
−
=
∴(
)(
)
2
3
0
x
x
+
−
=
∴
2
0
x +
=
或
3
0
x −=
解得
1
3
x = ，
2
2
x = −；
（2）解：设
0
a
b
m
+
=
∵(
)(
)
2
3
a
b
a
b
+
+
−
=
∴
(
)
2
3
m m −
=
∴
2
2
3
0
m
m−
−
=
∴(
)(
)
1
3
0
m
m
+
−
=
∴
1
0
m+ =
或
3
0
m−
=
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解得
1
m = −（舍去）或
3
m =
∴
3
a
b
+
=
．
17．（25-26 八年级下·安徽滁州·期末）阅读材料：
为解方程
(
)
2
2
2
(
1)
5
1
4
0
x
x
−
−
−
+
=
，我们可以将(
)
2
1
x −
视为一个整体，然后设
2
1
x
y
−=
，则
2
2
2
(
1)
x
y
−
=
，
原方程可化为
2
5
4
0
y
y
−
+
=
，①
解得
1
4
y =
，
2
1
y = ．
当
4
y =
时，
2
1
4
x −=
，
2
5
x
=
，
5
x
=
．
当
1
y = 时，
2
1
1
x −= ，
2
2
x
=
，
2
x
=
．
原方程的解为
1
2
x =
，
2
2
x = −
，
3
5
x =
，
4
5
x = −
．
以上方法就叫换元法，体现了转化的思想．
请仿照材料解决问题：
(1)解方程：
2
2
2
(
2 )
5
10
6
0
x
x
x
x
−
−
+
−
=
．
(2)若四个连续正整数的积为120，求出这四个连续的正整数．
【答案】(1)原方程的解为
1
1
7
x = +
，
2
1
7
x = −
，
3
4
1
x
x
=
=
(2)这四个整数为2，3，4，5
【分析】（1）将原方程整理，设
2
2
y
x
x
=
−
，则原方程可化为
2
5
6
0
y
y
−
−
=
，利用因式分解法解方程，再求
x．
（2）设最小数为x ，由题意得(
)(
)(
)
1
2
3
120
x x
x
x
+
+
+
=
，即(
)(
)
2
2
3
3
2
120
x
x
x
x
+
+
+
=
，设
2
3
x
x
y
+
= ，则
(
)
2
120
y y +
=
再利用因式分解法解一元二次方程，最后再求出x 即可．
【详解】（1）解：原方程整理得
(
)
2
2
2
(
2 )
5
2
6
0
x
x
x
x
−
−
−
−
=
，
设
2
2
y
x
x
=
−
，
则原方程可化为
2
5
6
0
y
y
−
−
=
，
因式分解得(
)(
)
6
1
0
y
y
−
+
=
，
解得
1
6
y =
，
2
1
y = −，
当
6
y =
时，
2
2
6
x
x
−
=
，配方，得
2
(
1)
7
x −
=
，
解得
1
1
7
x = +
，
2
1
7
x = −
，
当
1
y
−
=
时，
2
2
1
x
x
−
= −，配方，得
2
(
1)
0
x −
=
，
解得
3
4
1
x
x
=
= ，
原方程的解为
1
1
7
x = +
，
2
1
7
x = −
，
3
4
1
x
x
=
= ．
（2）解：设最小数为x ，
由题意得(
)(
)(
)
1
2
3
120
x x
x
x
+
+
+
=
，
15 / 25
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即(
)(
)
2
2
3
3
2
120
x
x
x
x
+
+
+
=
，
设
2
3
x
x
y
+
= ，
则(
)
2
120
y y +
=
，即
2
2
120
0
y
y
+
−
=
，
因式分解得(
)(
)
12
10
0
y
y
+
−
=
，
1
12
y
= −
，
2
10
y =
，
x
为正整数，
2
3
10
x
x
+
=
，即
2
3
10
0
x
x
+
−
=
，
因式分解得(
)(
)
2
5
0
x
x
-
+
=
，
解得
1
2
x =
，
2
5(
x = −
舍去) ．
这四个整数为2,3,4,5．
18．（25-26 八年级下·江苏盐城·阶段检测）【阅读材料】
解方程：
4
2
5
4
0
x
x
−
+
=
，
这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设
2x
y
=
，则
4
2
x
y
=
，
于是原方程可转化为：
2
5
4
0
y
y
−
+
=
，
解得：
1
1
y = ，
2
4
y =
．
当
1
y = 时，
2
1
x = ，所以
1
x = ；
当
4
y =
时，
2
4
x =
，所以
2
x = ，
所以原方程有四个根：
1
1
x = ，
2
1
x = −，
3
2
x =
，
4
2
x = −，
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
【解决问题】
(1)在解方程(
)
(
)
2
2
2
4
12
0
x
x
x
x
+
−
+
−
=
时，若设
2
y
x
x
=
+
，则原方程可转化为______，解得原方程的根为
______；
(2)若(
)(
)
2
2
2
2
3
3
8
m
n
m
n
+
−
+
+
=
，则
2
2
m
n
+
= ______；
(3)参照上面解题的思想方法解方程：
2
(
)
6
9
0
2
2
x
x
x
x
−
+
=
−
−
．
【答案】(1)
2
4
12
0
y
y
−
−
=
，
1
3
x = −，
2
2
x =
(2)
17
(3)
3
x =
【分析】（1）直接代入得关于y 的方程，即可得到结果；
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（2 ）设
2
2
t
m
n
=
+
，则原方程可转化为(
)(
)
3
3
8
t
t
−
+
=
，t 的方程得出
17
t =
，即可求解；
（3）设
2
x
y
x
=
−
，则原方程可转化为
2
6
9
0
y
y
−
+
=
，求出
3
y =
，即可得出关于x 的方程，然后解关于x 的
分式方程，即可求解．
【详解】（1）解：设
2
y
x
x
=
+
，代入原方程直接替换，得转化后的方程：
2
4
12
0
y
y
−
−
=
，
因式分解得(
6)(
2)
0
y
y
−
+
=
，
解得
1
2
6,
2
y
y
−
=
=
；
6
y =
时，
2
6
x
x
+
= ，即
2
6
0
x
x−
+
=
，
因式分解得(
3)(
2)
0
x
x
+
−
=
，
解得
3
x
−
=
或
2
x =
，
2
y = −时，
2
2
0
x
x
+
+
=
，
判别式
1 8
7
0
= −= −
，无实根，
∴原方程的根为
1
2
3,
2
x
x
−
=
=
；
（2）解：设
2
2
t
m
n
=
+
，由平方非负性得
0
t
，
原方程可化为(
3)(
3)
8
t
t
−
+
=
，
展开得
2
9
8
t −
=
，
2
17
t =
，
结合
0
t
得
17
t =
，即
2
2
17
m
n
+
=
；
（3）解：设
(
)
2
2
x
y
x
x−
=
，
原方程转化为：
2
6
9
0
y
y
−
+
=
，
2
(
3)
0
y−
=
，
解得
3
y =
，
∴
3
2
x
x
=
−
，
两边乘
2
x−
得
3(
2)
x
x
=
−
，
解得
3
x = ，
检验：
3
x = 时分母
2
1
0
x−
=
，
∴
3
x = 是原方程的解．
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综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（25-26 八年级下·山东威海·期末）将一元二次方程
2
0
x
x
−
=
配方后变形为(
)
2
x
a
b
+
=
，则a 的值为（ ）
A．－1
B．1
C．1
2
D．
1
2
−
【答案】D
【详解】解：∵
2
0
x
x
−
=
方程两边同时加1
4 得
2
1
1
4
4
x
x
−+
=
，
整理为完全平方形式得
2
1
1
2
4
x
−
=
，
对比
2
(
)
x
a
b
+
=
，可得
1
2
a
−
=
．
2．（25-26 八年级下·河北张家口·期末）用公式法解方程
2
1
2
x
x
−=
时，得
(
)
4
4
1
2
x
−
−
= □
，则“”处应
填（ ）
A．1
B．1
−
C．2
D．2
−
【答案】C
【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定, ,
a b c 的值，再对照求根公式即可得到方框内的
数值．
【详解】解： ∵
2
1
2
x
x
−=
，
∴ 移项得
2
2
1
0
x
x
−
−=
，
此处
1
a = ，
2
b = −，
1
c
−
=
，
(
)
(
)
(
)
2
2
( 2)
4 1
1
2
4
4
1
2 1
2
x
−−
−
−−
−−
=
=
，
对比题干给出的式子，可知处应填2 ．
3．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知关于x 的一元二次方程
(
)
2
0
m x
h
k
−
−
=
（m，h，k 均为常数且
0
m
）
的解是
1
2
x =
，
2
5
x =
，则关于x 的一元二次方程
(
)
2
1
m x
h
k
+
+
=
的解是（ ）
A．
1
2
2
5
x
x
= −
= −
，
B．
1
2
4
1
x
x
−
−
=
=
，
C．
1
2
1
4
x
x
=
=
，
D．
1
2
3
6
x
x
= −
= −
，
【答案】D
【分析】本题利用一元二次方程根的性质求出h ，再将h 代入新方程即可求解．
【详解】解：由题意，关于x 的一元二次方程
(
)
2
0
m x
h
k
−
−
=
有解，
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解方程得
k
x
h
m
=
，
∵一元二次方程
2
(
)
m x
h
k
−
=
（
0
m
）的解是
1
2
x =
，
2
5
x =
，
∴2
k
h
m
=
−
，5
k
h
m
=
+
，
∴
2
5
3.5
2
h
+
=
=
，
将
2
x =
，
3.5
h =
代入原方程得
2
(2 3.5)
2.25
k
m =
−
=
，
对于方程
2
(
1)
m x
h
k
+
+
=
，
整理得：
2
(
1)
2.25
k
x
h
m
+
+
=
=
，
代入
3 5
h = . 得
4.5
1.5
x+
=
，
解得
1
3
x = −，
2
6
x = −．
二、填空题
4．（2026·陕西西安·模拟预测）方程
2
6
9
0
x
x
−
+
=
的根是______．
【答案】
3
x =
【分析】将方程左边利用完全平方公式变形，再通过直接开平方法求解一元二次方程即可．
【详解】解：
2
6
9
0
x
x
−
+
=
，
(
)
2
3
0
x −
=
，
直接开平方得
3
0
x −= ，
解得
1
2
3
x
x
=
=
．
5．
（25-26 八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x 的方程
2
0
x
mx
n
−
+
=
通过配方可变形为
2
1
15
4
16
x
=
−
，则m
n
的值为_____．
【答案】
4
7
−
【分析】将配方后的方程展开整理为一元二次方程的一般形式，与原方程对比系数得到m 和n 的值，代入
计算即可．
【详解】解：
2
1
15
4
16
x
=
−
，
∴
2
1
1
15
2
16
16
x
x
−
+
=
，
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即
2
1
7
0
2
8
x
x
−
−
=
，
∵方程
2
0
x
mx
n
−
+
=
通过配方可变形为
2
1
15
4
16
x
=
−
，
∴
1
7
,
2
8
m
n
=
= −
，
∴
7
7
8
1
4
2
m
n
= −
−
=
．
6．（25-26 九年级下·山东烟台·期末）已知一元二次方程
2
(
)
a x
m
n
+
=
（
0
a
）的两根分别为3
−、1，则一
元二次方程
2
(
2)
0
a x
m
n
+
−
−
=
（
0
a
）的两根分别为________．
【答案】
1
1
x = −，
2
3
x =
/
1
3
x = ，
2
1
x = −
【分析】利用换元思路，将所求方程整理为与原方程形式相同的一元二次方程，根据原方程的根得到对应
关系式，即可求解．
【详解】解：将所求方程
(
)
2
(
2)
0
0
a x
m
n
a
+
−
−
=
移项变形得
(
)
2
2
a
x
m
n
−
+
=
，
∵一元二次方程
(
)
2
(
)
0
a x
m
n a
+
=
的两根分别为3
−，1，
∴可得
2
3
x −
= −或
2
1
x−
= ，
解得
1
3
2
1
x = −+
= −，
1
1 2
3
x = +
=
，
∴一元二次方程
(
)
2
(
2)
0
0
a x
m
n
a
+
−
−
=
的两根分别为
1
1
x = −，
2
3
x =
．
三、解答题
7．（25-26 九年级上·河北·阶段检测）解方程．
(1)
2
4
5
0
x
x−
−
=
(2)
2
2
2
1
0
x
x
−
−=
(3)
2
4
5
x
x
+
=
；
(4)(
)
(
)
2
3
2
3
x
x x
−
=
−
【答案】(1)
1
5
x = ，
2
1
x = −
(2)
1
1
3
2
x
+
=
，
2
1
3
2
x
−
=
(3)
1
1
x = ，
2
5
x = −
(4)
1
3
x = ，
2
3
x = −
【详解】（1）解：
2
4
5
0
x
x−
−
=
(
)(
)
5
1
0
x
x
−
+
=
5
0
x −=
或
1
0
x + =
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∴
1
5
x = ，
2
1
x = −；
（2）解：
2
2
2
1
0
x
x
−
−=
2,
2,
1
a
b
c
=
= −
= −
(
)
(
)
2
2
4
2
4 2
1
12
0
b
ac
−
= −
−−
=
∴
2
12
1
3
2 2
2
x
=
=
∴
1
1
3
2
x
+
=
，
2
1
3
2
x
−
=
；
（3）解：
2
4
5
x
x
+
=
2
4
5
0
x
x−
+
=
(
)(
)
5
1
0
x
x
+
−
=
5
0
x+ =
或
1
0
x −=
∴
1
1
x = ，
2
5
x = −；
（4）解：(
)
(
)
2
3
2
3
x
x x
−
=
−
(
)
(
)
2
3
2
3
0
x
x x
−
−
−
=
(
)(
)
3
3
2
0
x
x
x
−
−−
=
3
0
x −= 或
3
0
x
−−=
∴
1
3
x = ，
2
3
x = −．
8．（25-26 八年级下·辽宁盘锦·期末）解方程：
(1) (
)
(
)
2
2
4
1
2
x
x
−
=
+
(2)(
)
(
)
2
5
4
5
0
x
x
−
+
−
=
(3)
2
8
2
0
x
x
+
−
=
(4)
2
2
3
4
0
x
x
−
−
=
．
【答案】(1)
1
4
x =
，
2
0
x =
；
(2)
1
5
x = ，
2
1
x = ；
(3)
1
4
3 2
x = −+
，
2
4
3 2
x = −−
；
(4)
1
3
41
4
x
+
=
，
2
3
41
4
x
−
=
；
【详解】（1）解：(
)
(
)
2
2
4
1
2
x
x
−
=
+
(
)
(
)
2
2
2
1
2
x
x
−
=
+
，
(
)
(
)
2
1
2
x
x
−
=
+
，
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即(
)
2
1
2
x
x
−
=
+
或(
)
(
)
2
1
2
x
x
−
= −
+
，
解得
1
4
x =
，
2
0
x =
；
（2）解：(
)
(
)
2
5
4
5
0
x
x
−
+
−
=
，
(
)(
)
5
5
4
0
x
x
−
−+
=
，
5
0
x −=
或
1
0
x −= ，
∴
1
5
x = ，
2
1
x = ；
（3）解：
2
8
2
0
x
x
+
−
=
，
2
8
2
x
x
+
=
，
2
8
16
18
x
x
+
+
=
，
(
)
2
4
18
x +
=
，
4
3 2
x+
=
，
即
4
3 2
x+
=
或
4
3 2
x+
= −
，
∴
1
4
3 2
x = −+
，
2
4
3 2
x = −−
；
（4）解：
2
2
3
4
0
x
x
−
−
=
2,
3,
4
a
b
c
=
= −
= −，
(
)
(
)
2
3
4
2
4
41
0
= −
−
−
=
，
∴方程有两个不相等的实数根，
3
41
3
41
2 2
4
x
=
=
，
∴
1
3
41
4
x
+
=
，
2
3
41
4
x
−
=
；
9．（25-26 八年级下·山东泰安·期末）用适当的方法解下列方程：
(1)
2
4(
1)
36
x −
=
；
(2)
2
3
4
1
0
x
x
−
−=
；
(3)
2
(3
1)
6
2
x
x
−
=
−
；
(4)(
)(
)
1
3
8
x
x
−
−
=
【答案】(1)
1
2
4
2
x
x
=
= −
，
(2)
1
2
7
3
x
−
=
，
2
2
7
3
x
+
=
(3)
1
2
1
1
3
x
x
=
=
，
(4)
1
2
5
1
x
x
=
= −
，
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【分析】( )
1 利用直接开平方法解答即可；
( )
2 利用公式法解答即可；
( )
3 把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可；
( )
4 把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可．
【详解】（1）解：∵
2
4(
1)
36
x −
=
，
∴(
)
2
1
9
x −
=
，
∴
1
3
x−= ，
∴
1
2
4
2
x
x
=
= −
，
；
（2）解：
3
a = ，
4
b = −，
1
c
−
=
，
∵
(
)
(
)
2
Δ
4
4 3
1
28
0
= −
−−
=
，
∴
4
28
4
2 7
2
7
2 3
6
3
x
=
=
=
，
∴
1
2
7
3
x
−
=
，
2
2
7
3
x
+
=
；
（3）解：∵
2
(3
1)
6
2
x
x
−
=
−
，
∴(
)
(
)
2
3
1
2 3
1
0
x
x
−
−
−
=
，
∴(
)(
)
3
1 3
1
2
0
x
x
−
−−
=
，
即(
)(
)
3
1 3
3
0
x
x
−
−
=
，
∴3
1
0
x −= 或3
3
0
x−=
，
∴
1
1
3
x =
，
2
1
x = ；
（4）解：方程整理成一般式为
2
4
5
0
x
x−
−
=
，
∴(
)(
)
5
1
0
x
x
−
+
=
，
∴
5
0
x −=
或
1
0
x + = ，
∴
1
2
5
1
x
x
=
= −
，
．
10．（25-26 八年级下·山东烟台·期末）小明与小颖两位同学解方程(
)
(
)
2
5
2
2
x
x
−
=
−
的过程如图：
小明：
两边同除以(
)
2
x −
，
得5
2
x
=
−
，
解得
7
x =
．
小颖：
移项，得(
) (
)
2
5
2
2
0
x
x
−
−
−
=
，
提取公因式，得(
)(
)
2
5
2
0
x
x
−
−
−
=
．
2
0
x
−
= 或5
2
0
x
−
−
= ．
小学
初中
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解得
1
2
2,
3
x
x
=
=
．
(1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程；
(2)请结合上述解题过程归纳总结：形如
2
mx
nx
=
的一元二次方程的一般解法．
【答案】(1)小明和小颖的解法都不正确．
正确的解答过程：整理得：(
)
(
)
2
2
5
2
0
x
x
−
−
−
=
，
∴(
) (
)
2
2
5
0
x
x
−
−
−
=
，即(
)(
)
2
2
5
0
x
x
−
−
−
=
，
∴(
)(
)
2
7
0
x
x
−
−
=
，
2
0
x
−
= 或
7
0
x −
=
，
1
2
2,
7
x
x
=
=
．
(2)先移项将其整理为
2
0
mx
nx
−
=
的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一
次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解．
【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程的方法和步骤进行分析即可得到答案；
（2）根据因式分解法的一般步骤：移项，提取公因式，因式为零，求解，据此即可解答．
【详解】（1）解：小明错误的原因是未考虑
2
0
x−
=
的情况，直接除以
2
x−
导致漏解，小颖错误的原因是
提取公因式去括号时符号出错，正确的解答过程详见答案．
（2）解：先移项将其整理为
2
0
mx
nx
−
=
的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个
一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解．
11．（25-26 八年级下·全国·暑假作业）阅读下列材料：
(1)将
2
2
35
x
x
+
−
分解因式，我们可以按下面方法解答：
解：步骤：①竖分二次项与常数项
2
35
7
5
x
x
x
−
+
−
②交叉相乘，验中项：
(
)
7
5
2
x
x
x
+ −
=
．
③横向写出两因式：
(
)(
)
2
2
35
7
5
x
x
x
x
+
−
=
+
−
．
注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法．
(2)根据乘法原理：若
0
ab =
，则
0
a =
或
0
b =
．
①
2
10
21
0
x
x
−
+
=
；
②
2
2
8
x
x
+
= ．
【答案】(1)
1
2
3,
7
x
x
=
=
(2)
1
2
2,
4
x
x
−
=
=
【分析】本题考查一元二次方程−因式分解法，解题的关键是掌握十字相乘法因式分解．
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（1）利用十字相乘法因式分解求解；
（2）利用十字相乘法因式分解求解．
【详解】（1）解：
2
10
21
0
x
x
−
+
=
，
(
7)(
3)
0
x
x
−
−
=
，
7
0
x
−
= ，
3
0
x −= ，
1
7
x
=
，
2
3
x =
；
（2）解：
2
2
8
x
x
+
=
，
2
2
8
0
x
x
+
−
=
，
(
)(
)
4
2
0
x
x
+
−
=
，
1
2
2,
4
x
x
=
= −．
12．（25-26 九年级上·贵州遵义·期中）阅读材料，解答问题．
解方程：(
)
(
)
2
4
1
10 4
1
24
0
x
x
−
−
−
+
=
．
解：把4
1
x- 视为一个整体，设4
1
x
y
−=
，
则原方程化为
2
10
24
0
y
y
−
+
=
，
解得
1
6
y =
，
2
4
y =
．
4
1
6
x
−=
或4
1
4
x −=
．
1
7
4
x
=
，
2
5
4
x =
．
以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
(1)
4
2
3
2
0
x
x
−
+
=
．
(2)(
)
2
2
2
2
5
10
6
0
x
x
x
x
−
−
+
−
=
．
【答案】(1)
1
1
x = ，
2
1
x = −，
3
2
x =
，
4
2
x = −
(2)
1
1
7
x = +
，
2
1
7
x = −
，
3
4
1
x
x
=
=
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程的方法，熟练运用换元法降次是解题的关键．
（1）设
2
y
x
=
，将方程转化为关于y 的一元二次方程求解，再解关于x 的方程；
（2）设
2
2
y
x
x
=
−
，将方程转化为关于y 的一元二次方程求解，再解关于x 的方程．
【详解】（1）解：设
2
y
x
=
，则原方程化为
2
3
2
0
y
y
−
+
=
，
(
)(
)
1
2
0
y
y
−
−
=
，
1
0
y
−=
或
2
0
y −
=
，
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1
y
= 或
2
y =
，
2
1
x
= 或
2
2
x =
，
原方程的解为
1
1
x = ，
2
1
x
−
=
，
3
2
x =
，
4
2
x = −
；
（2）解：原方程为(
)
2
2
2
2
5
10
6
0
x
x
x
x
−
−
+
−
=
，
即(
)
(
)
2
2
2
2
5
2
6
0
x
x
x
x
−
−
−
−
=
，
设
2
2
y
x
x
=
−
，则原方程化为
2
5
6
0
y
y
−
−
=
，
(
)(
)
6
1
0
y
y
−
+
=
，
6
0
y
−
=
或
1
0
y + =
，
6
y
=
或
1
y
−
=
，
2
2
6
x
x
−
=
或
2
2
1
x
x
−
= −，
对于
2
2
6
x
x
−
=
，即
2
2
6
0
x
x
−
−
=
，
(
)
(
)
2
Δ
2
4 1
6
4
24
28
= −
−−
=
+
=
，
2
28
2
2 7
1
7
2
2
x
=
=
=
，
对于
2
2
1
x
x
−
= −，即
2
2
1
0
x
x
−
+ =
，
(
)
2
1
0
x −
=
，
3
4
1
x
x
=
= ，
原方程的解为
1
1
7
x = +
，
2
1
7
x = −
，
3
4
1
x
x
=
= ．
