文档内容
第 21 章一元二次方程全章复习攻略与检测卷
【目录】
倍速学习五种方法
【2个概念】
1.一元二次方程定义
2.一元二次方程的根
【1个解法】
一元二次方程的解法
【2个关系】
1.一元二次方程的根的判别式
2.一元二次方程的根与系数的关系
【1个应用】
一元二次方程应用
【3种思想】
1.整体思想
2.转化思想
3.分类讨论思想
【检测卷】
【倍速学习五种方法】
【2个概念】
1.一元二次方程定义
1．（2022秋•巨野县期中）若方程（m+2） +2mx﹣3＝0是关于x的一元二次方程，求m的值．2．（2022秋•汨罗市月考）关于x的方程 是一元二次方程，求m的值．
2.一元二次方程的根
3．（2022秋•保定期末）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0有一个解为x＝0，求k的值．
4．（2023•丰台区校级模拟）已知 x＝1 是关于 x 的方程 x2+2ax+a2＝3 的一个根，求代数式 a（a﹣
1）+a2+5a的值．
【1个解法】
一元二次方程的解法
5．（2023•庐江县模拟）解方程：2（x﹣1）2﹣18＝0
6．（2023•普兰店区一模）解方程：x（x﹣6）＝6．
7．（2022秋•东莞市期末）解方程：x2﹣4x+7＝10．8．（2023•庐江县一模）解方程：
（1）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2； （2）2x2﹣x﹣1＝0．
【2个关系】
1.一元二次方程的根的判别式
9．（2023•陕西模拟）关于x的一元二次方程ax2﹣4x+3＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．
10．（2023•昌平区二模）关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于0，求k的取值范围．
11．（2023•西城区二模）关于x的方程x2﹣3x+m+1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程
的根．
12．（2023•鼓楼区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+2k+1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根大于3，求k的取值范围．13．（2023•城阳区一模）计算：
（1）解方程： ．
（2）关于x的一元二次方程3x2+2x﹣k＝0有实数根，求k的取值范围．
14.（2023•工业园区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0．
（1）若该方程有一个根是x＝2，求m的值；
（2）求证：无论m取什么值，该方程总有两个实数根．
2.一元二次方程的根与系数的关系
15．（2023•珠晖区一模）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，
①当k为何值时？△ABC是等腰三角形；②当k为何值时？△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
16．（2023•庐江县一模）已知关于x的一元二次方程2x2+4x+m＝0．
（1）若x＝1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根；
（2）若x 、x 是方程的两个实数根，且满足 ，求m的值．
1 2
17．（2023•顺庆区校级二模）已知关于x的一元二次方程 x2+（2m+1）x+m2+1＝0 有实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当m＝4时，设方程的根为 x ，x ，求代数式 的值．
1 2
18．（2023•谷城县模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根x ，x ．
1 2
（1）求k的取值范围；
（2）若 + ＝4，求k的值．19．（2023•老河口市模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0．
（1）若方程有实数根，求m的取值范围；
（2）若方程的两实数根分别为x ，x ，且满足 + ＝14．求 +4x ﹣10的值．
1 2 2
【1个应用】
一元二次方程应用
20．（2023•长沙一模）受益于国家对高新技术企业的大力扶持，某新材料公司的利润逐年增高，据统计，
该公司2020年的利润为30亿元，2022年的利润为36.3亿元．
（1）求该企业从2020年至2022年利润的年均增长率；
（2）若2023年保持前两年利润的年均增长率不变，该企业2023年的利润能否超过39.9亿元？
21．（2023•雁塔区校级模拟）如图，在一块长15米、宽10米的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直
的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为126平方米，则修建的路宽应是多少米？22．（2023•合肥模拟）渡江战役纪念馆位于巢湖之滨，犹如一艘乘风破浪的巨型战舰．据统计：2023年2
月份接待人数为30000人，4月份增加到36300人，求2月份到4月份接待人数的月平均增长率；如果
接待人数继续保持这个增长率不变，预测6月份接待人数能否突破43500人？
23．（2023•增城区二模）随着我国数字化阅读方式的接触率和人群持续增多，数字阅读凭借独有的便利
性成为了更快获得优质内容的重要途径．某市2020年数字阅读市场规模为400万元，2022年数字阅读
市场规模为576万元．
（1）求2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率；
（2）若年平均增长率不变，求2023年该市数字阅读市场规模是多少万元？
24．（2023•漳州模拟）某中学为了提高学生的身体素质，决定在2023年5月举办“坚持锻炼，活力无
限”的健身活动，并准备购买一些体育器材为活动做准备．经调查，某公司有 A、B两种系列的体育器
材可供选择，该公司2022年每套A系列体育器材的售价为2500元，经过连续两次降价，2023年4月每
套售价为1600元．
（1）求每套A系列体育器材这两次的平均下降率n；
（2）2023年4月该学校经过招标，决定采购该公司A、B两种系列的体育器材共80套，采购专项经费
总计不超过11.2万元，采购合同规定：每套A系列体育器材售价为1600元，每套B系列体育器材售价
为1500（1﹣n）元，求A系列体育器材最多可购买多少套？25．（2023•杨浦区三模）某商店购进了一种生活用品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的
销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数），部分对应
值如表：
每件售价x（元） 9 11 13
每天的销售量y（件） 105 95 85
（1）求y与x的函数解析式；
（2）如果该商店打算销售这种生活用品每天获得425元的利润，那么每件生活用品的售价应定为多少
元？
26．（2023•灞桥区校级模拟）2023亚洲花卉产业博览会于2023年5月10至12日，在中国进出口交易会
展馆举办，为了迎接盛会的到来，组委会想利用一块长方形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如
图所示，已知停车场的长为52m，宽为28m，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停
车位占地面积为640m2．求通道的宽是多少米？
27．（2023•建邺区一模）为落实“书香中国”的发展战略，某图书馆 2022年藏书量为10万册，计划到2024年藏书量达到14.4万册，求图书馆藏书量的年平均增长率．
【3种思想】
1.整理思想
28．（2022秋•易县期末）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，求代数式a（2a﹣7）+5的值．
29．（2022秋•海淀区校级期中）若a是关于x的一元二次方程x2＝3x+10的根，求代数式（a+4）（a﹣
4）﹣3（a﹣1）的值．
2.转化思想
30．（2022秋•大荔县期末）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，求m3+2m2﹣2025m+2022的值．
3.分类讨论思想
31．（2023•庐江县一模）已知：如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点
出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．
设点P的运动时间为t（ s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（2）是否存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的 ？如果存在，求出相应的t值；
如果不存在，说明理由．【检测卷】
一．选择题（共10小题）
1．下列方程中属于一元二次方程的是（ ）
A． B．3x＝1
C．（a+4）2＝9 D．﹣5x2+3y﹣2＝0
2．用配方法解方程x2+4x+1＝0，经过配方，得到（ ）
A．（x+2）2＝5 B．（x﹣2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x+2）2＝3
3．一元二次方程3x2﹣5x＝0的二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，5 B．3，﹣5 C．3，0 D．5，0
4．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的根，则该三角形的周长为（ ）
A．8 B．10 C．8或10 D．125．关于x的方程（m﹣3）x ﹣mx+6＝0是一元二次方程，则它的一次项系数是（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．3或﹣1
6．已知关于x的一元二次方程2x2−（m+n）x+mn＝0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方
程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
7．设x ，x 是一元二次方程5x2﹣7x﹣3＝0的两个根，则 + 的值是（ ）
1 2
A．﹣ B． C．﹣ D．
8．已知x＝3是关于x的方程x2﹣bx﹣6＝0的一个根，则实数b的值为（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
9．某商店3月份的营业额为15万元，4月份的营业额比3月份的营业额减少了10%，商店经过加强管理，
实施各种措施．使得5，6月份的营业额连续增长，6月份的营业额达到了20万元；设5，6月份的营业
额的平均增长率为x，以题意可列方程为（ ）
A．15（1+x）2＝20 B．20（1+x）2＝15
C．15（1﹣10%）（1+x）2＝20 D．20（1﹣10%）（1+x）2＝15
10．某品牌儿童玩具原价100元，连续两次降价x%后售价为81元，下面所列方程中正确的是（ ）
A．100（1+x%）2＝81 B．100（1+2x%）＝81
C．81（1﹣x%）2＝100 D．100（1﹣x%）2＝81
二．填空题（共6小题）
11．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的一次项系数为 ．
12．对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，min{﹣2，﹣3}
＝﹣3，若min{（x+1）2，x2}＝1，则x＝ ．
13．已知一元二次方程x2+mx﹣2＝0的两个实数根分别为x ，x ，则x •x ＝ ．
1 2 1 2
14．若关于x的一元二次方程x2+kx+2＝0有两个相等的实数根，则k的值为 ．
15．某商场今年1月份销售额为90万元，3月份的销售额达到129.6万元．设2，3月份平均每月销售额增
长的百分率为x，则根据题意可列方程为 ．16．若（a2+b2）（a2+b2﹣8）+16＝0，那么a2+b2的值为 ．
三．解答题（共9小题）
17．解一元二次方程：x2﹣6x+2＝0．
18．求方程中x的值：3x2＝75．
19．解方程：
（1）﹣x2+2x+2＝0． （2）（3x+1）2＝﹣9x﹣3．
20．已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0恰有一个公共实数根，求
的值．
21．已知方程（m﹣5）（m﹣3）xm﹣2+（m﹣3）x+5＝0．
（1）当m为何值时，此方程为一元二次方程？
（2）当m为何值时，此方程为一元一次方程？22．某家禽养殖场，用总长为108m的围栏靠墙角（BC段的墙长25m）围成如图所示的三块矩形区域，矩
形AEHG与矩形CDEF面积都等于矩形BFHG面积的 ，设AD长为xm．
（1）求CD与x之间的函数关系式；
（2）当x为何值时，矩形区域ABCD的面积720m2
23．两年前生产1吨甲种药品的成本是9000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是
7290元，求甲种药品成本的年平均下降率．
24．某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2009年投入1000万元，2011年投入了1210万元，
若教育经费每年增长的百分率相同．
（1）求每年平均增长的百分率；
（2）此年平均增长率，预计2012年该区教育经费应投入多少万元？25．如图，一个正方形花圃ABCD，在一次绿化改造中，该花圃在AB方向延伸了3米，AD方向上被占用
了1米后，变成一个面积为21平方米的矩形花圃．求原来花圃的边长．
