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2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
数学（一）
本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1．设全集 U＝{－2，0，－1，1，2}，集合 ，B＝{−1，1}，则
（ ）
A．{－2，0} B．{－2，2} C．{－2，0，2} D．{0，1，2}
2．已知复数 ，且 ，，其中a，b为实数，则 （ ）
A．－2 B．0 C．2 D．3
3．已知向量 ， 夹角的余弦值为 ，且 ， ，则 （ ）
A．－36 B．－12 C．6 D．36
4．为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某高中团委举办了共青团史知识竞赛（满分100分），其中高
一、高二、高三年级参赛的共青团员的人数分别为 800，600，600．现用分层抽样的方法从三个年级中抽取
样本，经计算可得高一、高二年级共青团员成绩的样本平均数分别为 85，90，全校共青团员成绩的样本平均
数为88，则高三年级共青团员成绩的样本平均数为（ ）
A．87 B．89 C．90 D．91
5．已知抛物线 的焦点为 F，点 M 在 C 上，点 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
6．古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施 2子安贝（古印
度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月31天计算，记此人第n日布施了
子安贝（其中1≤n≤31， ），数列 的前n项和为 ．若关于n的不等式
恒成立，则实数t的取值范围为（ ）
A． B． C． D．7．在三棱锥A－BCD中， ，∠ADC＝∠ABC＝90°，平面ABC⊥平面ACD，三
棱锥 A－BCD 的所有顶点都在球 O 的球面上，E，F 分别在线段 OB，CD 上运动（端点除外），
．当三棱锥E－ACF的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A．π B． C． D．2π
8．已知双曲线 （a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F ，F ，M，N 在 C 上，且
1 2
， ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在直三棱柱 中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝3， ，E，F 分别满足
， ，则（ ）
A．E，F，A，B四点共面 B．BC⊥平面BEF
1
C．异面直线AE与BB 所成的角大于60° D．存在过AB的平面与平面EFC平行
1
11．某中学积极响应国家“双减”政策，大力创新体育课堂，其中在课外活动课上有一项“投实心球”游戏，
其规则是：将某空地划分成①②③④四块不重叠的区域，学生将实心球投进区域①或者②一次，或者投进区
域③两次，或者投进区域④三次，即认为游戏胜利，否则游戏失败．已知小张同学每次都能将实心球投进这
块空地，他投进区域①与②的概率均为p（0＜p＜1），投进区域③的概率是投进区域①的概率的4倍，每次
投实心球的结果相互独立．记小张同学第二次投完实心球后恰好胜利的概率为 P ，第四次投完实心球后恰好
1
胜利的概率为P，则（ ）
2A． B．
C． D．若 ，则p的取值范围为
12．已知函数 f（x），g（x）的定义域均为 R．且满足 ， ，
，则（ ）
A． B．
C． 的图像关于点（3，1）对称 D．
三、填空题：s本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 的展开式中除常数项外的各项系数和为______．
14．过三点A（－2，0），B（－4，2），C（2，－2）中的两点且圆心在直线y＝3x上的圆的标准方程为
______．（写出一个满足条件的方程即可）
15．已知函数 （ ， ）在区间 内单调，在区间 内不单调，
则ω的值为______．
16．已知 和 是函数 的两个极值点，且 ，则m的取值
范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
记正项数列 的前n项积为 ，且 ．
（1）证明：数列 是等差数列；
（2）记 ，求数列 的前2n项和 ．
18．（12分）
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．（1）证明： ；
（2）若 ， ，求△ABC的面积．
19．（12分）
如 图 ， 在 四 棱 锥 P － ABCD 中 ， 底 面 ABCD 为 直 角 梯 形 ， ， AD⊥ CD ， AD⊥ PA ，
， ．
（1）证明：平面PBD⊥平面PAD；
（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．
20．（12分）
5G技术对社会和国家十分重要，从战略地位来看，业界一般将其定义为继蒸汽机革命、电气革命和计算机革
命后的第四次工业革命．某科技公司生产一种5G手机的核心部件，下表统计了该公司2017－2021年在该部
件上的研发投入x（单位：千万元）与收益y（单位：亿元）的数据，结果如下：
年份 2017 2018 2019 2020 2021
研发投入x 2 3 4 5 6
收益y 2 3 3 3 4
（1）求研发投入x与收益y的相关系数r（精确到0.01）；
（2）由表格可知y与x线性相关，试建立y关于x的线性回归方程，并估计当x为9千万元时，该公司生产
这种5G手机的核心部件的收益为多少亿元；
（3）现从表格中的5组数据中随机抽取2组数据并结合公司的其他信息作进一步调研，记其中抽中研发投入
超出4千万元的组数为X，求X的分布列及数学期望．
参考公式及数据：对于一组数据 （i＝1，2，3，⋯，n），相关系数 ，
其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， ，．
21．（12分）
已知椭圆 （a＞b＞0）的右焦点为F，过F作一条直线交C于R，S两点，线段RS长度的最小
值为3，C的离心率为 ．
（1）求C的方程；
（2）不过C的左顶点A的直线l与C相交于P，Q两点，且直线AP与AQ的斜率之积恰好等于 ．试问直
线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
22．（12分）
已知函数 （ ）．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若函数 有两个不同的零点，求a的取值范围．
数学(一)
一、选择题
1．B【解析】由已知得 ，所以 ，故 ．故选B项．
2．C【解析】由题意得 ，即 ，所以 解得
所以 ．故选C项．
3．A【解析】
．故选A
项．
4．C【解析】设高三年级共青团员成绩的样本平均数为x，则 ，解得 ．故选C项．
5．B【解析】由题意知点 A 为 C 的准线与 x 轴的交点，如图，过点 M 作 MN 垂直于准线于点 N，令
，则 ，由抛物线的定义可得 ，所以 ，
所以 ．又 ，所以∠MAF＝∠AMN，所以 ．在△AMF中，由正
弦定理得 ，所以 ，所以
．故选B项．
6．B【解析】由题意可知，数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，故 (1≤n≤31)，所以
． 由 ， 得 ， 整 理 得
对任意1≤n≤31，且 恒成立，又 ，当且仅当
，即n＝2时等号成立，所以t＜15，即实数t的取值范围是 ．故选B项．
7．C【解析】 如图，取 AC 的中点 O，连接 OF，OB，因为∠ ADC ＝∠ABC＝90°，所以
，即O为球心，则球O的半径R＝2．又AB＝BC，所以OB⊥AC，又平面
ABC⊥平面ACD，平面 平面ACD＝AC，所以OB⊥平面ACD．设CF＝x，则 ，所以
， 所 以 三 棱 锥 E － ACF 的 体 积，
当 时 ， V 取 得 最 大 值 ． 由 于 OA ＝ OB ＝ OC ＝ OD ， 在 △ COF 中 ， 由 余 弦 定 理 得
，根据球的性质可知，当OF垂直于截面时，截面圆的面
积最小，设此时截面圆的半径为r，所以 ，则截面面积的最小值为
．故选C项．
8 ． D 【 解 析 】 由 可 知 ， 点 F 是 △ MNF 的 外 心 ， 由 得
1 2
，即 ，所以点F 是△MNF 的重心，所以△MNF 是
1 2 2
等边三角形，由对称性可知MN⊥FF ．且 ，∠MF N＝120°，不妨设M在第二象限，所
1 2 1
以点M的横坐标为 ，纵坐标为 ，故点 ．又点M在双
曲线 (a＞0，b＞0)上，所以 ，即 ，整理得
所以 ，解得 ，所以 ，又e＞1，所以 ．故选D项．二、选择题
9．BCD【解析】对于A项， ，故A项错误；对于B项，由a＞0与b＞c，得ab＞ac，故B项正确；
对于C项，由题a＞0＞b＞c，得－b＜－c，所以0＜a－b＜a－c，所以 ，所以 ，故
C项正确；对于D项，由题得0＜－b＜－c，所以(－b)2＜(－c)2，即b2＜c2，故D项正确．故选BCD项．
10．ABD【解析】对于A项，由题得 ，所以 ，又 ，所以 ，所
以E，F，A，B四点共面，A项正确；对于B项，易知 ， ，
所以 ，所以∠BCB＝∠BBF，所以∠BCB＋∠FBC＝∠BBF＋∠FBC＝90°，所以
1 1 1 1
FB⊥BC，易证得BC⊥EF， ，所以BC⊥平面BEF，B项正确；对于C项，易知∠AAE为异
1 1 1 1
面直线AE与BB 所成的角，而 ，所以∠AAE＜60°，C项
1 1
错误；对于D项，因为 ， 平面EFC， 平面EFC，所以 平面EFC，故存在过AB
的平面与平面EFC平行，D项正确．故选ABD项．
11．AC【解析】小张同学投进区域③的概率为4p，投进区域④的概率为1－6p，故0＜p＜16，A项正确；小
张同学第二次投完实心球后，恰好游戏过关包含“第一次未投中区域①或者②，第二次投中区域①或者②”
和“第一次与第二次均投中区域③”两个事件，则概率 ，B项错误；
第四次投完实心球后，恰好游戏胜利，则游戏胜利需前三次投完后有一次投进区域③且有两次投进区域④，
因此 ，C项正确；
，令2p(12p－1)(18p－5)＞0，得 或 ，又 ，所以 ，D项错误．故选
AC项．
12．BC【解析】因为g(4－x)＋g(x)＝0，所以y＝g(x)的图像关于点(2，0)对称，所以g(2－x)＝－g(x＋2)，因
为g(x)＋f(x－4)＝5，所以g(x＋2)＋f(x－2)＝5，即g(x＋2)＝5－f(x－2)，因为f(x)－g(2－x)＝3，所以f(x)＋
g(x＋2)＝3，代入得f(x)＋[5－f(x－2)]＝3，即f(x)－f(x－2)＝－2，A项错误；因为定义域为R的函数g(x)的图
像关于点(2，0)对称，所以g(2)＝0，B项正确；因为g(x)＋f(x－4)＝5，所以g(x＋4)＋f(x)＝5，与f(x)－g(2－
x)＝3，联立得g(x＋4)＋g(2－x)＝2，所以y＝g(x)的图像关于点(3，1)对称，C项正确；由f(x)－g(2－x)＝3，
得f(0)－g(2)＝3，即f(0)＝3，f(2)＝－2＋f(0)＝1．因为g(x＋4)＋g(2－x)＝2，所以2g（3）＝2，所以g（3）
＝1，所以f(1)＝3－g（3）＝2．记a ＝f(2n−1)，b ＝f(2n)，则数列 是以2为首项，－2为公差的等差数
n n
列，数列 是以1为首项，－2为公差的等差数列，故a＝2＋(n−1)(−2)＝−2n＋4，b＝1＋(n－1)(－2)＝－
n n
2n＋3，所以 ，D项错误．故选BC项．
三、填空题
13．－5231【解析】 展开式的通项公式为 ．令
，得r＝6，则展开式的常数项是 ．令x＝1，得展开式中各项系数和为(1－3)7
＝－128，所以展开式中除常数项外的各项系数和为－128－5103＝－5231．
14．(x－2)2＋(y－6)2＝52或(x＋1)2＋(y＋3)2＝10或(x－1)2＋(y－3)2＝26(写出符合要求的一个答案即可)【解
析】若圆过A，B两点，则线段AB的中垂线方程为 ，即y＝x＋4，与y＝3x联立得圆
心坐标为(2，6)，半径为 ，所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y－6)2＝52；若圆过A，C两
点，则线段AC的中垂线方程为 ，即y＝2x－1，与y＝3x联立得圆心坐标为(－1，－
3)，半径为 ，所以圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋3)2＝10；若圆过B，C两点，则线段BC的中垂线方程为 ，即 ，与y＝3x联立得圆心坐标为(1，3)，半径为
，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝26．
15．2【解析】依题意得 ，即 ．因为当 时， ，
所 以 ( ) ， 则 ( ) ， 解 得
( )，令k＝0，则1≤ω≤2，而 ，故 ，又ω∈Z，所以ω＝2，经检
验，ω＝2符合题意．
16． 【解析】 ，故x＝x 和x＝x 是函数f′(x)＝0的两个零点，即是方程eˣ−2mx
1 2
＝0的两个根，又f′(0)＝1，所以x≠0，x≠0，所以x＝x 和x＝x 是方程 的两个根，所以函数
1 2 1 2
的图像与直线y＝2m有两个不同的交点，且交点的横坐标分别为x ，x ．由于 ，
1 2
所以当x＜0或0＜x＜1时，g′(x)＜0，当x＞1时，g′(x)＞0，故g(x)在区间(－∞，0)，(0，1)内单调递减，在
区间(1，＋∞)内单调递增，且当x＞0时， ，作出g(x)的图像如图所示：
由图可知x，x＞0，且2m＞e，因为x≥3x，所以取x＝3x，并令x＝t(t＞0)，则x＝3t，所以 ，解
1 2 2 1 2 1 1 2得 ，此时 ，故 ，即m的取值范围是 ．
四、解答题
17．（1）证明：由题意得 (n≥2)，因为 ，所以 (n≥2)，即
(n≥2)，所以 (n≥2)．
当n＝1时，a＝T，所以 ，解得T＝3，故 是以3为首项，2为公差的等差数列．
1 1 1
（2）解：由（1）可知， ，所以
，所以
18．（1）证明：由题意得 ，
即 ，由正、余弦定理得 ，
整理得 ，即 ，又a＞0，b＞0，c＞0，所以b＋c＝2a，所以2a－b＝c．
（2）解：由（1）得 ，由 得 ，
由余弦定理得 ，
即 ，所以 ，
所以△ABC的面积 ．
19．（1）证明：因为PA2＋PB2＝4＝AB2，所以PA⊥PB．因为AD⊥CD， ，所以AD⊥AB，
又AD⊥PA， ，
所以AD⊥平面PAB，又 平面PAB，所以PB⊥AD，
又 ，所以PB⊥平面PAD．
因为 平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAD．
（2）解：取AB中点O，连接PO，OC，由PA＝PB，得PO⊥AB，
又AD⊥平面PAB， 平面PAB，所以AD⊥PO，又 ，所以PO⊥平面ABCD，又OB，
平面ABCD，所以PO⊥OB，PO⊥OC．
由O为AB的中点，AB＝2CD，四边形ABCD是直角梯形，可知四边形AOCD为矩形，所以OB⊥OC．
以O为坐标原点， ， ， 的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 B(1，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，1)，A(－1，0，0)， ， ，
．
设平面PBC的法向量为 ，则 ，则 令b＝1，则 ．
设直线PA与平面PBC所成的角为θ，则 ，
即直线PA与平面PBC所成角的正弦值为 ．
20．解：（1）由题可得 ， ，
，，
所以 ．
（2）因为 ， ，
所以y关于x的线性回归方程为 ．
当x＝9时， ，所以此时该公司生产这种5G手机的核心部件收益估计为5亿元．
（3）易知X的可能取值为0，1，2，
， ， ，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以 ．
21．解：（1）根据题意得 ，解得
所以C的方程为 ．
（2）由（1）可知A(－2，0)，当直线l斜率存在时，设直线l方程为y＝kx＋m，P(x，y)，Q(x，y)，
1 1 2 2
联立 消去y整理得 ， ，所以 ， ．
因为 ，所以
，
所以 ，
即 ，
所以 ，即 ，所以m＝2k或 ，均符合 ．
当m＝2k时，直线l：y＝kx＋2k恒过定点(－2，0)，因为直线不过点A，所以舍去；
当 时，直线 恒过定点 ．
当直线斜率不存在时，设直线l：x＝x，不妨设P(x，y)，则Q(x，－y)，
0 0 0 0 0
则 ，且 ，
解得 或x＝－2(舍去)；
0
此时直线l过定点 ，综上，直线l恒过定点 ．
22．解：（1）当a＝2时， ，
所以 ，又f(1)＝0，f′(1)＝1，所以所求切线方程为y＝x－1．
（2） (x＞0)，所以 ，
当a≥0时，由g′(x)＜0，得x∈(0，1)，由g′(x)＞0，得x∈(1，＋∞)，
所以g(x)在区间(0，1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增，
所以若g(x)有两个不同的零点，则必有 ，即a＞2．
当x∈(1，＋∞)时， ，
因为 ，当x∈(0，1)时，－1＜x2－2x＜0，
所以 ，
所以 ，
所以g(x)在区间(0，1)，(1，＋∞)内各有一个零点，故a＞2满足题意；
当a＝－1时，因为g′(x)≤0，所以g(x)在区间(0，＋∞)内单调递减，所以g(x)至多有一个零点，不符合题意；
当－1＜a＜0时，因为当 时，g′(x)＜0，当 时，g′(x)＞0，
所以g(x)在区间(0，1)内单调递减，在区间 内单调递增，在区间 内单调递减，
所以g(x)的极小值为 ，所以g(x)至多有一个零点，不符合题意；
当a＜－1时．因为当 时，g′(x)＜0，当 时，g′(x)＞0，
所以g(x)在区间 内单调递减，在区间 内单调递增，在区间(1，＋∞)内单调递减，
所以g(x)的极小值为 ，
所以g(x)至多有一个零点，不符合题意．
综上，a的取值范围是(2，＋∞)．
