文档文本内容
1 / 8
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
专题02 一元二次方程的解法
常考题型·精准突破
题型1 直接开平方法解一元二次方程
题型2 配方法解一元二次方程（重）
题型3 公式法解一元二次方程（重）
题型4 因式分解法解一元二次方程（高频）
题型5 十字相乘法解一元二次方程（难）
题型6 换元法解一元二次方程（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 直接开平方法解一元二次方程
1．（26-27 九年级·全国·暑假作业）解方程：(
)
(
)
2
2
3
1
4 2
3
x
x
−
=
+
2．（25-26 八年级下·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程：
(1)
2
2
(3
1)
(
1)
x
x
−
=
+
．
(2)
2
6(
1)
54
0
x −
−
= ．
3．（2026 八年级下·全国·专题练习）用直接开平方法解方程：
(1)(
)
2
2
2
6
x −
=
；
(2) (
)
2
3
1
6
0
x −
−
=
；
(3)(
)(
)
3
3
9
x
x
+
−
=
；
(4)(
)
(
)
2
2
2
1
2
x +
=
+
．
◆题型2 配方法解一元二次方程
4．（25-26 九年级上·北京·阶段检测）用配方法解下列方程
(1)
2
15
8
x
x
+
=
(2)
2
3
1
2 3
x
x
+ =
5．（26-27 八年级·上海·暑假作业）解方程：
2 / 8
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)
2
2
1
0
x
x
−
−=
（用配方法）
(2)(
)(
)
5
1
12
x
x
+
+
=
（用配方法）
6．（25-26 九年级上·湖北十堰·阶段检测）用配方法解方程：
(1)
2
4 2
2
0
x
x
−
−
=
．
(2)
2
3
5
1
0
x
x
−
−=
．
◆题型3 公式法解一元二次方程
7．（25-26 八年级下·甘肃兰州·期末）解方程：
2
2
5
1
0
x
x
−
−=
．
8．（25-26 八年级·全国·暑假作业）用公式法解下列方程．
(1)
2
3
7
0
x
x
−
−
=
；
(2)
(
)
2
5
2
1
x
x
−
=
+
；
(3)
2
2
5
5
0
x
x
+
−
=
．
9．（2026 八年级下·全国·专题练习）用公式法解方程：
(1)
2
4
1
0
x
x
−
+ =
(2)
2
5
4
1
x
x
=
−
(3)
2
2
2
1
0
x
x
−
−=
(4)
5
4
8
2
x x
−
=
．
◆题型4 因式分解法解一元二次方程
10．（25-26 九年级上·江西九江·阶段检测）解方程：
(1)
2
2
1
0
x
x
+
+ =
．
(2) (
)
(
)
2
3
3
3
x
x x
−
=
−
．
11．（26-27 九年级·全国·暑假作业）解方程：
(1)
2
4
0
x
x
−
=
；
(2)
2
4
5
0
x
x−
−
=
．
12．（25-26 八年级下·河北石家庄·期末）解下列一元二次方程：
(1)
2
2
3
0
x
x
−
−
=
(2) (
)
(
)
2
4
1
1
0
x
x x
−
+
−
=
◆题型5 十字相乘法解一元二次方程
13．（24-25 九年级上·吉林·阶段检测）阅读与理解：
3 / 8
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（1）将
2
2
3
2
x
x
−
−
进行因式分解，我们可以按下面的方法解答
解：①竖分二次项与常数项：
2
2
2
x
x x
=
，2
( 2) 1
−= −
．
②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）；
③横向写出两因式：
2
2
3
2
(2
1)(
2)
x
x
x
x
−
−
=
+
−
．
我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字乘法．
（2）例：解方程
2
3
2
0
x
x
−
+
=
．
解：(
2)(
1)
0
x
x
−
−
=
，
2
0
x
−
= ，或
1
0
x −= ，
1
2
x
=
，
2
1
x = ．
请用上述方法解答下列问题．
（3）①因式分解：
2
4
3
x
x
−
+
=__________，
2
3
4
4
x
x
−
−
= __________．
②解方程：
2
5
4
0
x
x
−
+
=
．
③直接写出方程
2
2024
2019
5
0
x
x
+
−
=
的解．
14．（25-26 八年级下·北京·课后作业）阅读下列材料：
（1）将
2
2
35
x
x
+
−
分解因式，我们可以按下面的方法解答：
解：步骤：①竖分二次项与常数项：
2
x
x x
=
，
(
) (
)
35
5
7
−
= −
+
．
②交叉相乘，验中间项：
(
)
7
5
2
x
x
x
+ −
=
．
③横向写出两因式：
(
)(
)
2
2
35
7
5
x
x
x
x
+
−
=
+
−
．
我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．
（2）根据乘法原理：若
0
ab =
，则
0
a =
或
0
b =
．
试用上述方法和原理解下列方程：
①
2
10
21
0
x
x
−
+
=
；
②
2
5
6
0
x
x−
−
=
；
③
2
3
2
1
0
x
x
-
-
=
；
④
2
2
6
0
x
x
+
−
=
．
15．（25-26 八年级下·浙江绍兴·期中）将
2
2
35
x
x
+
−
分解因式，我们可以按下面方法：
①竖分二次项与常数项：
2
x
x x
=
，
(
) (
)
35
5
7
−
= −
+
．
4 / 8
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：
③横向写出两因式：
(
)(
)
2
2
35
7
5
x
x
x
x
+
−
=
+
−
．
我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”．
根据乘法原理：若
0
ab =
，则
0
a =
或
0
b =
．所以方程
2
2
35
0
x
x
+
−
=
可以这样求解：方程左边因式分解得
(
)(
)
7
5
0
x
x
+
−
=
，所以原方程的解为
1
7
x = −，
2
5
x =
．
【解决问题】
(1)分解因式：
2
5
4
x
x
+
+
= （x + ）（x + ）
(2)试用上述方法和原理解下列方程：
①
2
10
21
0
x
x
−
+
=
；
②
2
2024
2019
5
0
x
x
+
−
=
．
◆题型6 换元法解一元二次方程
16．（25-26 八年级下·山东烟台·期中）为解方程(
)
(
)
2
2
2
1
5
1
4
0
x
x
−
−
−
+
=
，我们可以将
2
1
x −看作一个整体，
然后设
2
1
x
y
−=
，那么原方程可化为
2
5
4
0
y
y
−
+
=
①解得
1
2
1,
4
y
y
=
=
．
当
1
y = 时，
2
1
1
x −= ，
2
2
x
=
，
2
x
=
；
当
4
y =
时，
2
1
4
x −=
，
2
5
x
=
，
5
x
=
．
故原方程的解为
1
2
3
4
2,
2,
5,
5
x
x
x
x
=
= −
=
= −
．
在由原方程得到①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学方法．
根据以上阅读理解，解答下列问题：
(1)利用换元法解方程：(
)
(
)
2
2
2
4
12
0
x
x
x
x
−
−
−
−
= ；
(2)若实数a 、b 满足(
)(
)
2
3
a
b
a
b
+
+
−
= ，求a
b
+
的值．
17．（25-26 八年级下·安徽滁州·期末）阅读材料：
为解方程
(
)
2
2
2
(
1)
5
1
4
0
x
x
−
−
−
+
=
，我们可以将(
)
2
1
x −
视为一个整体，然后设
2
1
x
y
−=
，则
2
2
2
(
1)
x
y
−
=
，
原方程可化为
2
5
4
0
y
y
−
+
=
，①
解得
1
4
y =
，
2
1
y = ．
当
4
y =
时，
2
1
4
x −=
，
2
5
x
=
，
5
x
=
．
5 / 8
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
当
1
y = 时，
2
1
1
x −= ，
2
2
x
=
，
2
x
=
．
原方程的解为
1
2
x =
，
2
2
x = −
，
3
5
x =
，
4
5
x = −
．
以上方法就叫换元法，体现了转化的思想．
请仿照材料解决问题：
(1)解方程：
2
2
2
(
2 )
5
10
6
0
x
x
x
x
−
−
+
−
=
．
(2)若四个连续正整数的积为120，求出这四个连续的正整数．
18．（25-26 八年级下·江苏盐城·阶段检测）【阅读材料】
解方程：
4
2
5
4
0
x
x
−
+
=
，
这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设
2x
y
=
，则
4
2
x
y
=
，
于是原方程可转化为：
2
5
4
0
y
y
−
+
=
，
解得：
1
1
y = ，
2
4
y =
．
当
1
y = 时，
2
1
x = ，所以
1
x = ；
当
4
y =
时，
2
4
x =
，所以
2
x = ，
所以原方程有四个根：
1
1
x = ，
2
1
x = −，
3
2
x =
，
4
2
x = −，
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
【解决问题】
(1)在解方程(
)
(
)
2
2
2
4
12
0
x
x
x
x
+
−
+
−
=
时，若设
2
y
x
x
=
+
，则原方程可转化为______，解得原方程的根为
______；
(2)若(
)(
)
2
2
2
2
3
3
8
m
n
m
n
+
−
+
+
=
，则
2
2
m
n
+
= ______；
(3)参照上面解题的思想方法解方程：
2
(
)
6
9
0
2
2
x
x
x
x
−
+
=
−
−
．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（25-26 八年级下·山东威海·期末）将一元二次方程
2
0
x
x
−
=
配方后变形为(
)
2
x
a
b
+
=
，则a 的值为（ ）
A．－1
B．1
C．1
2
D．
1
2
−
6 / 8
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
2．（25-26 八年级下·河北张家口·期末）用公式法解方程
2
1
2
x
x
−=
时，得
(
)
4
4
1
2
x
−
−
= □
，则“”处应
填（ ）
A．1
B．1
−
C．2
D．2
−
3．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知关于x 的一元二次方程
(
)
2
0
m x
h
k
−
−
=
（m，h，k 均为常数且
0
m
）
的解是
1
2
x =
，
2
5
x =
，则关于x 的一元二次方程
(
)
2
1
m x
h
k
+
+
=
的解是（ ）
A．
1
2
2
5
x
x
= −
= −
，
B．
1
2
4
1
x
x
−
−
=
=
，
C．
1
2
1
4
x
x
=
=
，
D．
1
2
3
6
x
x
= −
= −
，
二、填空题
4．（2026·陕西西安·模拟预测）方程
2
6
9
0
x
x
−
+
=
的根是______．
5．
（25-26 八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x 的方程
2
0
x
mx
n
−
+
=
通过配方可变形为
2
1
15
4
16
x
=
−
，则m
n
的值为_____．
6．（25-26 九年级下·山东烟台·期末）已知一元二次方程
2
(
)
a x
m
n
+
=
（
0
a
）的两根分别为3
−、1，则一
元二次方程
2
(
2)
0
a x
m
n
+
−
−
=
（
0
a
）的两根分别为________．
三、解答题
7．（25-26 九年级上·河北·阶段检测）解方程．
(1)
2
4
5
0
x
x−
−
=
(2)
2
2
2
1
0
x
x
−
−=
(3)
2
4
5
x
x
+
=
；
(4)(
)
(
)
2
3
2
3
x
x x
−
=
−
8．（25-26 八年级下·辽宁盘锦·期末）解方程：
(1) (
)
(
)
2
2
4
1
2
x
x
−
=
+
(2)(
)
(
)
2
5
4
5
0
x
x
−
+
−
=
(3)
2
8
2
0
x
x
+
−
=
(4)
2
2
3
4
0
x
x
−
−
=
．
9．（25-26 八年级下·山东泰安·期末）用适当的方法解下列方程：
(1)
2
4(
1)
36
x −
=
；
(2)
2
3
4
1
0
x
x
−
−=
；
(3)
2
(3
1)
6
2
x
x
−
=
−
；
(4)(
)(
)
1
3
8
x
x
−
−
=
7 / 8
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
10．（25-26 八年级下·山东烟台·期末）小明与小颖两位同学解方程(
)
(
)
2
5
2
2
x
x
−
=
−
的过程如图：
小明：
两边同除以(
)
2
x −
，
得5
2
x
=
−
，
解得
7
x =
．
小颖：
移项，得(
) (
)
2
5
2
2
0
x
x
−
−
−
=
，
提取公因式，得(
)(
)
2
5
2
0
x
x
−
−
−
=
．
2
0
x
−
= 或5
2
0
x
−
−
= ．
解得
1
2
2,
3
x
x
=
=
．
(1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程；
(2)请结合上述解题过程归纳总结：形如
2
mx
nx
=
的一元二次方程的一般解法．
11．（25-26 八年级下·全国·暑假作业）阅读下列材料：
(1)将
2
2
35
x
x
+
−
分解因式，我们可以按下面方法解答：
解：步骤：①竖分二次项与常数项
2
35
7
5
x
x
x
−
+
−
②交叉相乘，验中项：
(
)
7
5
2
x
x
x
+ −
=
．
③横向写出两因式：
(
)(
)
2
2
35
7
5
x
x
x
x
+
−
=
+
−
．
注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法．
(2)根据乘法原理：若
0
ab =
，则
0
a =
或
0
b =
．
①
2
10
21
0
x
x
−
+
=
；
②
2
2
8
x
x
+
= ．
12．（25-26 九年级上·贵州遵义·期中）阅读材料，解答问题．
解方程：(
)
(
)
2
4
1
10 4
1
24
0
x
x
−
−
−
+
=
．
解：把4
1
x- 视为一个整体，设4
1
x
y
−=
，
则原方程化为
2
10
24
0
y
y
−
+
=
，
解得
1
6
y =
，
2
4
y =
．
4
1
6
x
−=
或4
1
4
x −=
．
1
7
4
x
=
，
2
5
4
x =
．
以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
(1)
4
2
3
2
0
x
x
−
+
=
．
(2)(
)
2
2
2
2
5
10
6
0
x
x
x
x
−
−
+
−
=
．
8 / 8
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
