专题26.1反比例函数（解析版）_初中数学人教版_9下-初中数学人教版_06习题试卷_1同步练习_同步练习（第2套）

专题26.1 反比例函数 1.反比例函数：形如y＝ （k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。其他形式xy=k 2.函数 （k是常数，k 0）的图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图 形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线y=x和 y=-x。对称中心是：原点 k＞0 k＜0 3.函数 （k是常数，k 0）性质： （1）x的取值范围是x 0，y的取值范围是y 0； （2）当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x 的增大而减小。 （3）当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，y随x 的增大而增大。 4.反比例函数解析式的确定： 确定解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数 中，只有一个待定系数，因此只需要一 对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。 5.反比例函数中反比例系数的k几何意义： 如图，过反比例函数 图像上任一点 P作x轴、y轴的垂线 PM，PN，则所得的矩形 PMON的面积S=PM PN= 。所以|k|的几何意义是：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。 【例题1】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 ABC的顶点A.B分别在x轴、y轴的正半轴上， ∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝ （x＞0）的图象上，若AB＝1，则k的值为（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】根据题意可以求得OA和AC的长，从而可以求得点C的坐标，进而求得k的值，本题得以解决． ∵等腰直角三角形ABC的顶点A.B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，AB＝1， ∴∠BAC＝∠BAO＝45°， ∴OA＝OB＝ ，AC＝ ， ∴点C的坐标为（ ， ）， ∵点C在函数y＝ （x＞0）的图象上，∴k＝ ＝1 故选：A． 【例题2】如图，点A，C分别是正比例函数y＝x的图象与反比例函数y=4/x的图象的交点，过A点作 AD⊥x轴于点D，过C点作CB⊥x轴于点B，则四边形ABCD的面积为 ． 【答案】8 【解析】∵A、C是两函数图象的交点， ∴A、C关于原点对称， ∵CD⊥x轴，AB⊥x轴， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴S△AOB ＝S△BOC ＝S△DOC ＝S△AOD ， 又∵反比例函数y 的图象上， ∴S△AOB ＝S△BOC ＝S△DOC ＝S△AOD 4＝2， ∴S四边形ABCD ＝4S△AOB ＝4×2＝8， 故答案为：8． k 【例题3】如图，反比例函数 y= 的图象经过点A(－1，－2).则当 x＞1时，函数值 y的取值范围是 x （ ）A. y＞1 B.0＜y＜1 C. y＞2 D.0＜ y＜2 【答案】D k 【解析】根据点在图象上，点的坐标满足方程的关系，由函数 y= 的图象经过点A(－1,－2)，可求出k 的 x 值，从而求出函数关系式。再由反比例函数图象关于原点对称的特点求出点 A关于原点的对称点B（1， 2），从而得知，当x＞1时，函数值y的取值范围是0＜y＜2。故选D。 4 【例题4】若一次函数的图象经过反比例函数 y   图象上的两点（1，m）和（n，2），则这个一次函 x 数的解析式是 . 【答案】y2x2 4 【解析】一次函数的图象经过反比例函数 y   图象上的两点（1，m）和（n，2），先代入求出m，n x 的值，再用待定系数法可求出函数关系式： 4 ∵（1，m）和（n，2）在函数 y   图象上， x ∴满足函数解析式，代入就得到m=－4，n=－2。 ∴点的坐标是（1，－4）和（－2，2）。 设直线的解析式是 ，根据题意得到 kb4 ykxb  2kb2 解得k2。  b2 ∴一次函数的解析式是y2x2。 【例题5】如图，点P是反比例函数图象上的一点，过点 P分别向x轴、y轴作垂线，若阴影部分面积为 3，则这个反比例函数的关系式是______． 【答案】y=-3/x 【解析】设点P的坐标为（x，y）． ∵P（x，y）在反比例函数y=k/x的图象，∴k=xy， ∴|xy|=3， ∵点P在第二象限， ∴k=-3， ∴y=-3/x（x＜0） 【例题6】已知ab＜0，一次函数y＝ax﹣b与反比例函数y＝ 在同一直角坐标系中的图象可能（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据反比例函数图象确定b的符号，结合已知条件求得a的符号，由a、b的符号确定一次函数图 象所经过的象限． 若反比例函数y＝ 经过第一、三象限，则a＞0．所以b＜0．则一次函数y＝ax﹣b的图象应该经过第一、 二、三象限； 若反比例函数y＝ 经过第二、四象限，则a＜0．所以b＞0．则一次函数y＝ax﹣b的图象应该经过第二、 三、四象限． 故选项A正确。 【点拨】考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 【例题7】如图，直线y＝﹣3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为边在直线AB的左侧作正方形 ABDC，反比例函数y＝ 的图象经过点D，则k的值是（ ）A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6 【答案】D 【解析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据全等三角形的判定和性质可以求得点 D的坐标，从而可 以求得k的值． 作DF⊥x轴，交x轴于点F，作EB⊥y轴交DF于点E， ∵直线y＝﹣3x+3， ∴当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝1， ∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，3）， ∵BD＝BA，∠BED＝∠BOA，∠EBD＝∠OBA， ∴△BED≌△BOA（AAS）， ∴BE＝BO＝3，ED＝OA＝1， ∴DF＝2， ∴点D的坐标为（﹣3，2）， ∵反比例函数y＝ 的图象经过点D， ∴2＝ ，得k＝﹣6， 【点拨】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据全等三角形的判定和性质可以求得点 D的坐标，从而可 以求得k的值． 【例题8】如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．（1）求点D的坐标；（2）求经过点C的反比例函数解析式． 【答案】见解析。 【解析】菱形的四边相等，对边平行，根据此可求出D点的坐标；求出C点的坐标，设出反比例函数的解 析式，根据C点的坐标可求出确定函数式。 （1） ∵A（0，4），B（﹣3，0）， ∴OA=4，OB=3。 ∴AB=5。 在菱形ABCD中，AD=AB=5, ∴OD=1。 ∴D（0，1） 。 （2）∵BC∥AD, BC=AB=5，∴C（－3，－5）。 k 设经过点C的反比例函数解析式为y ， x k k 把（－3，－5）代入y 中，得：5 ， ∴k 15。 x 3 15 ∴经过点C的反比例函数解析式为y 。 x 一、选择题 1.若A（x，y）、B（x，y）都在函数y＝ 的图象上，且x＜0＜x，则（ ） 1 1 2 2 1 2 A．y＜y B．y＝y C．y＞y D．y＝﹣y 1 2 1 2 1 2 1 2 【答案】A 【解析】根据题意和反比例函数的性质可以解答本题． ∵函数y＝ ， ∴该函数图象在第一、三象限、在每个象限内y随x的增大而减小， ∵A（x，y）、B（x，y）都在函数y＝ 的图象上，且x＜0＜x， 1 1 2 2 1 2 ∴y＜y， 1 2 【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质 解答． 2．当矩形面积一定时，下列图象中能表示它的长y和宽x之间函数关系的是（ ）A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意得到xy＝矩形面积（定值），故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x、y实际 意义x、y应＞0，其图象在第一象限；于是得到结论． 解：∵根据题意xy＝矩形面积（定值）， ∴y是x的反比例函数，（x＞0，y＞0）． 【点拨】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的 关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限． k 3.已知点P（－1，4）在反比例函数y k 0的图象上，则k 的值是（ ） x 1 1 A．－ B． C．4 D．－4 4 4 【答案】D k 【解析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，把点P的坐标代入y ，即可求出k 4。故选 x D。 4.某反比例函数图象经过点 ，则下列各点中此函数图象也经过的点是（ ） 1 ， 6 A． B． C． D． 3 ， 2 3 ， 2 2 ， 3 【答案】A k 6 【解析】根据反比例函数的表达式，设为 y ，把1 ， 6代入可得k=6，从而得出 y=－ ，因此知 x x 6 3 ， 2在y=－ 上。故选A。 x 1 5.对于反比例函数y ，下列说法正确的是（ ） x A．图象经过点（1，－1） B．图象位于第二、四象限 C．图象是中心对称图形 D．当x＜0时， y 随x的增大而增大【答案】C 【解析】根据反比例函数的图象性质： 1 A．因为1 ，所以图象不经过点（1，－1），选项错误； 1 B．图象位于第一、三象限，选项错误； C．图象是中心对称图形，选项正确； D．当x＜0时， y 随x的增大而减小。 故选C。 m2 6.若函数y 的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（ ） x A．m＞﹣2 B．m＜﹣2 C．m＞2 D．m＜2 【答案】B 【解析】根据反比例函数的性质，可得m+2＜0，从而得出m的取值范围：m＜﹣2。故选B。 7.如图，某反比例函数的图象过点M（﹣2，1），则此反比例函数表达式为 （ ） 2 2 1 1 A. y  B. y  C. y  D. y  x x 2x 2x 【答案】B k 【解析】设反比例函数的解析式为y ，由已知，函数图象经过点M（﹣2，1）， x k 所以1 ，即k=2。 2 2 ∴反比例函数解析式为y  。故选B。 x 8.如图，l 是反比例函数y＝在第一象限内的图象，且经过点A (1，2) ．l 关于x轴对 1 1 称的图象为l，那么l 的函数表达式为（ ） 2 2 A．y＝(x＜0) B．y＝(x＞0) C．y＝－(x＜0) D．y＝－(x＞0)【答案】D 【解析】考点是反比例函数的性质，轴对称的性质。 ∵A（1，2）关于x轴的对称点为（1，－2）． ∴l 的解析式为y＝－。 2 ∵l 是反比例函数y＝在第一象限内的图象，∴以x＞0。故选D。 1 9.在反比例函数y＝的图象上有A(x ，y)，B(x ，y)两点，当x ＜x ＜0时，y ＜y ，则m的取值范围是 （ 1 1 2 2 1 2 1 2 ） A. m＜0 B. m＞0 C. m＜ D. m＞ 【答案】D k 【解析】对于反比例函数y ， x 若k<0，当x＜x＜0时，y＜y；若k>0，当x＜x＜0时，y＞y。 1 2 1 2 1 2 1 2 所以，有1－2 m＜0，即 m＞ 。故选D。 10. 已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象 大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵根据题意，得xy=20， 20 ∴y= x>0, y>0。故选B。 x 11.点A(－1，y)、B(2，y)都在双曲线y＝上，且y＞y，则m的取值范围是（ ） 1 2 1 2 A．m＜0 B．m＞0 C．m＞－ D．m＜－ 【答案】D 【解析】考点有曲线上点的坐标与方程的关系，解一元一次不等式。 将A（－1，y），B（2，y）两点分别代入双曲线y=，求出 y 与y 的表达式： 1 2 1 2 32m y 2m3，y  。 1 2 2 32m 由y＞y 得， 2m3> ， 1 2 2解得m＜－。故选D。 2 3 12. 如图，点A是反比例函数y= （x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y= 的图象于点 x x B，以AB为边作▱ABCD，其中C、D在x轴上，则S 为（ ） □ABCD A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 【答案】D 【解析】考点有反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的性质。 设A的纵坐标是a，则B的纵坐标也是a． 2 2 2 2 3 把y=a代入y= 得，a= ，则x= ，，即A的横坐标是 ；同理可得：B的横坐标是： 。 x x a a a ∴AB=2  3 5。∴S =5 ×a=5。故选D。   = □ABCD a  a a a 3 k 13. 如图，点A在反比例函数y= x>0的图象上，点B在反比例函数y= x>0的图象上，AB⊥x轴 x x 于点M，且AM：MB=1：2，则k的值为（ ） A． 3 B．－6 C．2 D．6 【答案】B 【解析】如图，连接OA、OB．3 k ∵点A在反比例函数y= x>0的图象上，点B在反比例函数y= x>0的图象上，AB⊥x轴于点M， x x 3 k 3 k ∴S = ，S = 。∴S ：S = ： =3：|k|。 △AOM △BOM △AOM △BOM 2 2 2 2 ∵S ：S =AM：MB=1：2，∴3：|k|=1：2。∴|k|=6。 △AOM △BOM k ∵反比例函数y= x>0的图象在第四象限，∴k＜0。∴k=－6。故选B。 x 4 k 14.如图，已知点A在反比例函数y= 图象上，点B在反比例函数y= (k≠0)的图象上，AB∥x轴，分别 x x 1 过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为C、D，若OC= OD，则k的值为（ ） 3 A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 4 1 k 【解析】由已知，设点A（x， ），∵OC= OD，∴B（3x， ）。 x 3 3x 4 k ∴ = ，解得k=12。故选B。 x 3x 2 15. 如图，A，B是函数y 的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记 x 为S，则（ ）A．S=2 B．S=4 C．2＜S＜4 D．S＞4 【答案】B 【解析】设点A的坐标为（x，y），则B（－x，－y），xy=2。∴AC=2y，BC=2x。 ∴△ABC的面积=2x×2y÷2=2xy=2×2=4。故选B。 二、填空题 16.如图，在矩形OABC中，OA＝2，OC＝4，F是BC边的一个动点（F不与B，C重合），过点F的反比 例函数y＝ （k＞0）的图象与AB边交于点E，使△EFC的面积最大的k的值是 ． 【答案】4 【解析】由题意知E，F两点坐标分别为E（2， ），F（ ，4）， ∴S ＝ CF•BE △EFC ＝ × （4﹣ ） ＝ k﹣ k2 ＝﹣ （k2﹣8k+16﹣16） ＝﹣ （k﹣4）2+1，∵F是BC边的一个动点（F不与B，C重合）， ∴0＜ ＜2，解得0＜k＜8， ∴当k＝4时，S 有最大值，此时S ＝1． △EFC 最大值 故答案为4． 【点拨】根据反比例函数图象上点的坐标特征表示出 E，F两点的坐标，再利用三角形的面积公式表示出 △EFC的面积，得到关于k的二次函数，然后利用二次函数的性质求出最值即可． 1 3 17. 如图，点A在双曲线y= 上，点B在双曲线y= 上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形 x x ABDC为矩形， 则它的面积为 【答案】2 【解析】过A点作AE⊥y轴，垂足为E， 1 ∵点A在双曲线y= 上，∴四边形AEOD的面积为1。 x 3 ∵点B在双曲线y= 上，且AB∥x轴， x ∴四边形BEOC的面积为3。 ∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3－1=2。 18．如图，在平面直角坐标系中，反比例y＝ （k＞0）的图象和△ABC都在第一象限内，AB＝AC＝ ， BC∥x轴，且BC＝4，点A的坐标为（3，5）．若将△ABC向下平移m个单位长度，A，C两点同时落在 反比例函数图象上，则m的值为 ．【答案】 【解析】∵AB＝AC＝ ，BC＝4，点A（3，5）． ∴B（1， ），C（5， ）， 将△ABC向下平移m个单位长度， ∴A（3，5﹣m），C（5， ﹣m）， ∵A，C两点同时落在反比例函数图象上， ∴3（5﹣m）＝5（ ﹣m）， ∴m＝ 19．如图，一直线经过原点O，且与反比例函数y＝ （k＞0）相交于点A、点B，过点A作AC⊥y轴，垂 足为C，连接BC．若△ABC面积为8，则k＝ ． 【答案】8 【解析】首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的 中点，故△BOC的面积等于△AOC的面积，都等于4，然后由反比例函数y＝ 的比例系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于 |k|，从而求出k的值． ∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点， ∴A、B两点关于原点对称， ∴OA＝OB， ∴△BOC的面积＝△AOC的面积＝8÷2＝4， 又∵A是反比例函数y＝ 图象上的点，且AC⊥y轴于点C， ∴△AOC的面积＝ |k|， ∴ |k|＝4， ∵k＞0， ∴k＝8． 【点拨】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到反比例函数的比例系数 k的几何意义： 反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S的关系， 即S＝ |k|． 三、解答题 20.如图，在△ABO中，已知A(0，4)，B(－2，0)， D为线段AB的中点. （1）求点D的坐标； （2）求经过点D的反比例函数解析式. 【答案】见解析。 【解析】（1）∵A(0，4)，B(－2，0)，∴OB=2，OA=4。1 1 过点D作DE⊥x轴于点E，则DE OA2,BE OB1 2 2 ∴OE=1。∴D（－1，2）。 k （2）设经过点D的反比例函数解析式为y 。 x k k 把（－1，2）代入y 中，得：2 。 ∴k 2。 x 1 2 ∴经过点D的反比例函数解析式为y 。 x k 21. 如图，已知反比例函数y （k≠0）的图象经过点（－2，8）． x （1）求这个反比例函数的解析式； （2）若（2，y），（4，y）是这个反比例函数图象上的两个点，请比较y、y 的大小，并说明理由． 1 2 1 2 16 【答案】（1）y （2）y＜y。理由见解析。 1 2 x k k 【解析】（1）把（－2，8）代入y ，得8 ，解得：k=－16。 x 2 16 ∴这个反比例函数的解析式为y 。 x （2）y＜y。理由如下： 1 2 ∵k=－16＜0，∴在每一个象限内，函数值y随x的增大而增大。 ∵点（2，y），（4，y）都在第四象限，且2＜4， 1 2 ∴y＜y。 1 222.如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象交于点A（﹣1，4）和点B （a，1）． （1）求反比例函数的表达式和a、b的值； （2）若A、O两点关于直线l对称，请连接AO，并求出直线l与线段AO的交点坐标． 【答案】（1）y=﹣ ，a=-4、b=5；（2）（﹣ ，2）． 【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、解二元一次方程组以 及中点坐标公式，解题的关键是：由点的坐标利用待定系数法求函数系数；得出点 M为线段AO的中点． 本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，巧妙的利用了中点坐标公式降低了难度． （1）∵点A（﹣1，4）在反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象上， ∴k=﹣1×4=﹣4， ∴反比例函数解析式为y=﹣ ． 把点A（﹣1，4）、B（a，1）分别代入y=x+b中， 得： ，解得： ． （2）连接AO，设线段AO与直线l相交于点M，如图所示． ∵A、O两点关于直线l对称，∴点M为线段OA的中点， ∵点A（﹣1，4）、O（0，0）， ∴点M的坐标为（﹣1/2，2）． ∴直线l与线段AO的交点坐标为（﹣1/2，2）． 23．如图所示，已知一次函数y＝﹣2x+8的图象与坐标轴交于A，B两点，并与反比例函数y＝ 的图象相 切于点C． （1）切点C的坐标是 ； （2）若点M为线段BC的中点，将一次函数y＝﹣2x+8的图象向左平移m（m＞0）个单位后，点C和点 M平移后的对应点同时落在另一个反比例函数y＝ 的图象上时，求k的值． 【答案】（1）（2，4），（2）k＝4 【解析】（1）将一次函数解析式与反比例函数解析式组成方程组，求解即可； （2）先求出点M坐标，再求出点C和点M平移后的对应点的坐标，列出方程可求m和k的值． 解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+8的图象与反比例函数y＝ 的图象相切于点C ∴﹣2x+8＝ ∴x＝2， ， ∴点C坐标为（2，4） 故答案为：（2，4）； （2）∵一次函数y＝﹣2x+8的图象与坐标轴交于A，B两点， ∴点B（4，0） ∵点M为线段BC的中点， ∴点M（3，2） ∴点C和点M平移后的对应点坐标分别为（2﹣m，4），（3﹣m，2） ∴k＝4（2﹣m）＝2（3﹣m） ∴m＝1 ∴k＝4【点拨】本题是反比例函数与一次函数的综合题，一次函数的性质和反比例函数的性质，由点的坐标在函 数图象上列等式可解决问题． 24．如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣ 的图象交于A、B两点， 且与x轴交于点C，与y轴交于点D，A点的横坐标与B点的纵坐标都是3． （1）求一次函数的表达式； （2）求△AOB的面积； （3）写出不等式kx+b＞﹣ 的解集． 【答案】见解析。 【解析】（1）∵一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣ 的图象交于A、B 两点， 且与x轴交于点C，与y轴交于点D，A点的横坐标与B点的纵坐标都是3， ∴3＝﹣ ， 解得：x＝﹣4， y＝﹣ ＝﹣4， 故B（﹣4，3），A（3，﹣4）， 把A，B点代入y＝kx+b得： ， 解得： ， 故直线解析式为：y＝﹣x﹣1； （2）y＝﹣x﹣1，当y＝0时，x＝﹣1， 故C点坐标为：（﹣1，0），则△AOB的面积为： ×1×3+ ×1×4＝ ； （3）不等式kx+b＞﹣ 的解集为：x＜﹣4或0＜x＜3．