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1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题03 一元二次方程的应用的五类综合题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一元二次方程解决传播问题 题型二、利用一元二次方程解决握手、循环赛问题 题型三、利用一元二次方程解决增长率与营销问题 题型四、利用一元二次方程解决与图形有关的问题 题型五、利用一元二次方程解决动态几何问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：源于实际情景（如面积、利润、增长率、传播问题），需将文字转化为等量关系。 - 解题方法：审题设未知数，找等量关系列方程，解方程后验证根的实际意义（如边长正数、人数整数） 并取舍。 - 易错提醒：忽略单位统一；增长率问题搞错基期与现期；未检验根是否符合实际背景而直接作答。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一元二次方程解决传播问题 典例1 ．（25-26 九年级上·河南焦作·阶段检测）某学校机房有150 台学生电脑和1 台教师电脑，现在教师 电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果1 台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25 台 电脑被感染． (1)每轮感染中平均1 台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？ 【答案】(1)每轮感染中平均1 台电脑会感染4 台电脑 (2)四轮感染后机房内所有电脑都被感染 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 目 录 2 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （1）设每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑，根据“如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25 台电脑被感染”，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）分别求出三轮及四轮感染后感染病毒电脑的数量，结合机房共(150 1) + 台电脑，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑， 依题意得： 2 (1 ) 25 x + = ， 解得： 1 4 x = ， 2 6 x = −（不合题意，舍去）． 答：每轮感染中平均一台电脑会感染4 台电脑． （2）解：经过三轮感染后感染病毒的电脑数量为 ( ) 25 1 4 125 + = （台) ， 经过四轮感染后感染病毒的电脑数量为 ( ) 125 1 4 625 + = （台) ， 625 150 1 + ， 四轮感染后机房内所有电脑都被感染． 题型模版 1.特征：：总量呈“每轮每人都传播给若干人”的指数型增长，通常问经过几轮后的总人数。 2.方法：设每轮每人传播给x 人，第n 轮后总量为a(1+x)n，列方程求解，并检验根的合理性。 变式1-1．（24-25 九年级上·山东临沂·期中）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有2 人患 了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有128 人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ (2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了7 人 (2)第三轮感染后，患流感的共有1024 人 【分析】题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． （1）设每轮传染中平均每人传染了x 人，根据经过两轮传染后共有128 人患了流感，可求出； （2）用第二轮(1 + 每轮传染中平均每人传染的人数) ，可求出第三轮过后，患流感的人数． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了x 人， 由题意得： 128 1 (1 ) 2 x x x + + + = ， 解得： 7 x = ， 9 x = −（不合题意舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了7 人； 3 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）解：第三轮感染的人数 128 7 896 = = （人）， 第三轮感染后，患流感的总人数为：896 128 1024 + = （人）， 答：第三轮感染后，患流感的共有1024 人． 变式1-2．（24-25 九年级上·广东江门·阶段检测）某年，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致， 非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快，某养猪场第一天发现1 头生猪发病，两天后发现共有196 头生猪发病． (1)求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？ (2)若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，3 天后生猪发病头数会超过2500 头吗？ 【答案】(1)每头发病生猪平均每天传染13 头生猪 (2)若疫情得不到有效控制，3 天后生猪发病头数会超过2500 头 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， （1）设每头发病生猪平均每天传染x 头生猪，根据第一天及第三天生猪发病的头数，即可得出关于x 的一 元二次方程，解之即可得出结论； （2）根据3 天后生猪发病头数196（1+每头发病生猪平均每天传染的头数），即可求出结论． 【详解】（1）解：设每头发病生猪平均每天传染x 头生猪， 依题意，得： ( ) 1 1 196 x x x + + + = ， 解得： 1 13 x = ， 2 15 x = − （不合题意，舍去）． 答：每头发病生猪平均每天传染13 头生猪． （2）解：3 天后生猪发病头数为： ( ) 196 1 13 2744 + = （头）， 2744 2500 ， 答：若疫情得不到有效控制，3 天后生猪发病头数会超过2500 头． 变式1-3．（24-25 九年级上·天津河西·期中）某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目 的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x 个支干．请 根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 (2)填空（用含x 的代数式表示）： 4 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为； (3)请继续完成本题的解答： 【答案】(1)7，13，21 (2) 2 2 1 ; ; 1 x x x x + + + ① ② ③ (3)10 个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，还涉及有理数的计算，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）分别求出主干、支干和小分支的总数填表即可； （2）①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：1 x + ；②在每个支干又长出了数目相同的小分支后， 小分支的个数为： 2 x ；③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示 为： 2 1 x x + + ； （3）由题意得 2 1 111 x x + + = ，再解方程即可． 【详解】（1）解：主干长出支干的个数为2 时，则主干、支干和小分支的总数为 2 1 2 2 7 + + = ； 主干长出支干的个数为3 时，则主干、支干和小分支的总数为 2 1 3 3 13 + + = ； 主干长出支干的个数为4 时，则主干、支干和小分支的总数为 2 1 4 4 21 + + = ； 则填表为： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 7 13 21 （2）解：①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：1 x + ； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为： 2 x ； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为： 2 1 x x + + ； （3）解：由题意得， 2 1 111 x x + + = ， 解得： 1 10 x = ， 2 11 x = − （不合题意，舍去） 答：每个支干长出10 个小分支． 题型二、利用一元二次方程解决握手、循环赛问题 典例2 ．（25-26 九年级上·广东东莞·期中）九年级某班在期中考试前，每个同学都向全班其他同学各送一 5 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 张写有祝福的卡片，全班共送了2450张卡片，求班级学生人数． 【答案】50 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设班级学生人数为x 人，则每人送出( ) 1 x − 张卡片，共送出( )1 x x − 张卡片，根据“全班共送了2450张卡片”可列出方程，解方程即可求出答案，此时应注意考虑解的合理性．理 解题意并正确列出方程求解是解题的关键． 【详解】解：设班级学生人数为x 人， 依题意，得：( ) 1 2450 x x − = ， ∴ 2 2450 0 x x − − = ， ∴( )( ) 50 49 0 x x − + = ， 解得： 1 50 x = ， 2 49 x = − （舍去）， ∴班级学生人数为50人． 题型模版 1.特征：涉及“两两之间只发生一次”的互动总数，如握手、单循环赛，不计重复。 2.方法：设有n 个对象，互动总数为 𝑛(𝑛−1) 2 ，列方程求解，取正整数根。 变式2-1．（25-26 九年级上·云南昭通·期中）为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动 会”，其中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之间都比赛一场），共进行了15 场比赛，问 共有多少个队参加“单脚拔河”比赛？ 【答案】共有6 个队参赛． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握单循环赛制的比赛场数公式是解题的关键．设 参赛队伍数量为x ，根据单循环赛制的比赛场数公式，建立方程求解． 【详解】解：设共有x 个队参赛， 由题意可得，1 x( x 1) 15 2 − = ， 解得： 1 2 6, 5 x x = = −（不符合题意舍去）， 答：共有6 个队参赛. 变式2-2．（25-26 八年级下·广西贺州·期中）为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八 年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45 场． (1)问该校八年级共有几个班？ 6 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)篮球比赛胜一场得2 分，负一场得1 分，小奉同学所在的2101 班要想获得不低于14 分的积分，至少要 取得多少场胜利？ 【答案】(1)10 个班 (2)5 场 【分析】（1）该校八年级共有x 个班，利用比赛的总场数= 该校八年级的班数（该校八年级的班数1 2 ) − ， 可列出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设小奉同学所在的2101 班胜了y 场，则负了(9 ) y − 场，利用积分 2 = 胜的场数1 + 负的场数，结合积 分不低于14 分，可列出关于y 的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：该校八年级共有x 个班， 根据题意得：1 ( 1) 45 2 x x − = ， 整理得： 2 90 0 x x − − = ， 解得： 1 10 x = ， 2 9 x = −（不符合题意，舍去）． 答：该校八年级共有10 个班； （2）设小奉同学所在的2101 班胜了y 场，则负了(9 ) y − 场， 根据题意得：2 (9 ) 14 y y + − ， 解得： 5 y≥， y 的最小值为5． 答：小奉同学所在的2101 班至少要取得5 场胜利． 变式2-3．（25-26 九年级上·江西南昌·阶段检测）行知中学举办九年级篮球赛，比赛采用单循环赛制（即每 个队伍与其它参赛队伍各比赛1 场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： (1)若有6 个参赛队伍，按赛制共进行了几场比赛？ (2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明； 【答案】(1)有6 个参赛队伍，按赛制共进行了15 场比赛 7 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)小江说的有道理，理由见解析 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）由题意，得6 个队伍需比赛的局数为 ( ) 6 6 1 15 2 − = ； （2）设有x 个队伍报名参赛，根据题意列方程 ( )1 40 2 x x − = ，然后解方程，根据方程根的情况可得结论． 【详解】（1）解：由题意，得6 个队伍需比赛的局数为 ( ) 6 6 1 15 2 − = ， 答：有6 个参赛队伍，按赛制共进行了15 场比赛； （2）解：小江说的有道理，理由如下： 设有x 个队伍报名参赛，根据题意得 ( )1 40 2 x x − = ， 整理，得： 2 80 0 x x − − = ， 解得： 1 321 2 x = （不是整数，不合题意）， ∴方程的解不符合实际，故小江的说法有道理． 题型三、利用一元二次方程解决增长率与营销问题 典例3 ．（25-26 八年级下·浙江金华·期末）依托金华双龙景区暑期文旅热潮，本地老字号酥饼门店线上线 下销量持续走高．该店7 月份酥饼总销量15 万袋，9 月份销量增长至21.6 万袋． (1)求该门店7 月到9 月酥饼总销量的月平均增长率． (2)门店酥饼进货成本每袋18 元，日常售价25 元/袋时，单日可卖出60 袋．市场调研显示：售价每下调1 元，单日销量多卖出10 袋．门店计划降价清库存，若要单日销售总利润达到400 元，则每袋酥饼需要降价 多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为20% (2)每袋酥饼需要降价2 元 【分析】 （1）设月平均增长率为x ，根据增长规律得到9 月销量的表达式，结合题干给出的9 月销量列方程， 解方程即可得到结果； （2）设每袋酥饼需要降价y 元， 根据题意列一元二次方程，解方程即可得到结果． 【详解】（1）解：设月平均增长率为x ， 由题意得， ( ) 2 15 1 21.6 x + = ， 解得 1 0.2 20% x = = ，或 2 2.2 x = − （不符合题意，舍去） 8 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 答：该门店7 月到9 月酥饼总销量的月平均增长率为20%； （2）解：设每袋酥饼需要降价y 元， 则每袋酥饼的利润为( ) 25 18 y − − 元，单日销售量为( ) 60 10y + 袋， 由题意得，( )( ) 25 18 60 10 400 y y − − + = ， 整理得， 2 2 0 y y − − = ， 解得 1 2 y = ，或 2 1 y = −（不符合题意，舍去） 答：每袋酥饼需要降价2 元． 题型模版 1.特征：涉及连续两次变化（增长/降价），总量按比例变化，求变化率或次数。 2.方法：设平均变化率为x，根据“基础量 × (1 ± x)² = 目标量”列方程，解出x 并取合理解。 变式3-1．（25-26 八年级下·山东泰安·期末）智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模 块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026 年第二季度（4 月至6 月）该品牌智能头盔的销量情况：4 月份销售150 个，6 月份销售216 个． (1)求该店该品牌智能头盔从4 月份到6 月份销售量的平均月增长率； (2)该智能头盔的进价为300 元/个，市场调研发现：当售价为400 元/个时，月销售量为60 个；若售价在此 基础上每上涨2 元/个，则月销售量将减少1 个．为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望 在月销售利润达到6032 元的同时，尽可能让市民享受实惠．请问该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多 少元？ 【答案】(1)20% (2)404 元 【分析】（1）设该品牌智能头盔从4 月份到6 月份销售量的平均月增长率为x ，依题意列出一元二次方程， 解方程即可求解； （2）设该品牌智能头盔的实际售价定为每个y 元，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】 （1）解：设该品牌智能头盔从4 月份到6 月份销售量的平均月增长率为x ，由题意得 ( ) 2 150 1 216 x + = 解得：( ) 2 1 1.44 x + = 1 1.2 x + = 即1 1.2 x + = 或1 1.2 x + = − 1 2 0.2 20%, 2.2 x x = = = − （不合题意，舍去） 9 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 答：该品牌智能头盔从4 月份到6 月份销售量的平均月增长率为20%． （2）解：设该品牌智能头盔的实际售价定为每个y 元，由题意得： ( ) 400 300 60 1 6032 2 y y − − − = 解得 1 416 y = ， 2 404 y = ， 要尽可能让顾客得到实惠， 该品牌智能头盔的实际售价应定为每个404 元． 变式3-2．（25-26 八年级下·安徽合肥·期末）长鑫存储是合肥市政府重大招商引资项目，也是国内专注于 DRAM存储芯片研发、生产与销售的龙头企业，坐落于合肥经开区，实现了存储芯片自主化突破，旗下DDR5 内存产品广泛应用于电脑、服务器等设备．随着技术不断成熟与市场需求增长，企业经营业绩稳步攀升．请 结合以下信息解答问题． (1)长鑫存储2023 年全年营收为90 亿元，2025 年全年营收达到608.4 亿元，求2023 年至2025 年这两年营 收的年平均增长率． (2)某经销商主营长鑫16 GB DDR5 内存条，该内存条进价为240 元/条．经市场调研：当售价定为300 元/条时， 每月可售出200 条；若售价每降低5 元，每月销量可增加25 条．为减少库存，若该经销商每月想要获得12375 元的销售利润，求此时内存条的实际售价． 【答案】(1)年平均增长率为160% (2)内存条实际售价为285 元 【分析】（1）设2023至2025年平均增长率为x ，结合2025 年全年营收达到608.4 亿元，再建立方程求解即 可； （2）设每条内存条降价5x元，可得单件利润：300 5 240 60 5 x x − − = − ，月销量：200 25x + ，进一步列方程求 解即可. 【详解】（1）解：设2023至2025年平均增长率为x ， ∴ 2 90(1 ) 608.4 x + = ， 2 (1 ) 6.76 x + = ， 开平方，得1 2.6 x + = ， 增长率不能为负，故舍去1 2.6 x + = − ， 所以1 2.6 x + = ， 即 1.6 x = ， 10 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 答：年平均增长率为160% ． （2）解：设每条内存条降价5x元，则 单件利润：300 5 240 60 5 x x − − = − ， 月销量：200 25x + ， ∴( )( ) 60 5 200 25 12375 x x − + = ， 化简得： 2 4 3 0 x x − + = ， ( )( ) 1 3 0 x x − − = ， 解得 1 1 x = ， 2 3 x = ． x 越大，销售量越大，库存越少，所以 1 x = 舍去， 当 3 x = 时，售价：300 5 3 285 −= 元， 答：内存条实际售价为285 元． 变式3-3．（25-26 八年级下·安徽滁州·期末）综合与实践 背景 2026 年，随着AI 服务器、消费电子市场持续回暖，合肥长鑫存储的 国产内存芯片订单爆发式增长，产能持续爬坡，相关出货数据不断刷 新纪录，带动了本地模组厂商的销售热潮． 素材1 已知长鑫存储某款DDR5-16G 内存芯片，周一的出货收入为500 万 元，随着下游客户备货需求激增，周三的出货收入达到720 万元． 素材2 为承接国产芯片的消费热潮，合肥本地模组厂商推出“国产芯·合肥 造”DDR5-16G 内存模组套装，已知该套装的物料及加工成本为200 元/套；当定价为500 元/套时，平均每天可售出40 套．调研发现，售 价每降低20 元，平均每天就能多售出8 套，现该厂商计划下调售价， 使平均每天的销售利润达到12000 元． 问题解决 (1)任务1，求从周一到周三，长鑫存储该款DDR5-16G 内存芯片出货收入的日平均增长率； (2)任务2，根据素材2，为尽可能多的售空“国产芯·合肥造”DDR5-16G 内存模组库存，求下调后每套模组的 售价； (3)任务3，根据素材2，该厂商平均每天能否获利16000 元？若能，请求出每套模组应降价多少元；若不能， 11 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 请说明理由． 【答案】(1)长鑫存储该款DDR5-16G 内存芯片出货收入的日平均增长率为20% (2)为售空库存，下调后每套售价为300元 (3)能获利16000元，每套应降价100元 【分析】（1）设日平均增长率为x ，由平均增长率问题列一元二次方程求解即可； （2）设每套模组降价20x 元，由题中等量关系列一元二次方程求解即可； （3）不妨假设能获利16000元，由题中等量关系列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设日平均增长率为x ， 根据题意列方程： ( ) 2 500 1 720 x + = ， 解得 1 0.2 20% x = = ， 2 2.2 x = − （不符合题意，舍去）， ∴长鑫存储该款DDR5-16G 内存芯片出货收入的日平均增长率为20%； （2）解：设每套模组降价20x 元， 则单套利润：( ) 500 20 200 300 20 x x − − = − （元）， 根据利润目标列方程：( )( ) 300 20 40 8 12000 x x − + = ， 解得 1 0 x = （舍去）， 2 10 x = （降价20 200 x = 元，销量最大）， 下调后售价：500 20 10 300 − = （元）， 则为售空库存，下调后每套售价为300元； （3）解：不妨假设能获利16000元， 则列方程：( )( ) 300 20 40 8 16000 x x − + = ， 解得 1 2 5 x x = = ，即降价20 5 100 = （元）， 答：能获利16000元，每套应降价100元． 题型四、利用一元二次方程解决与图形有关的问题 典例4 ．（25-26 九年级上·广东深圳·期末）中国队包揽了2025 年世界无人机足球锦标赛 9 F A A − ，9 F A B − 两个组别的冠、亚军．如图，矩形ABCD是 9 F A B − 级别的比赛场地（半场）平面图，由操作区、起飞区、 比赛区组成．矩形EFGH 为起飞区，距场地左侧边界1m，距右侧边界2m，距上侧和下侧边界均为0.75m， 且长EF 比宽EH 多0.5m． 12 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)设EH 的长度为m x ，则EF 的长度为( ) 0.5 m x + ，AB =______ m ，BC = ______ m （用含x 的代数式表 示） (2)若矩形ABCD的面积为 2 12m ，求EH 的长度． 【答案】(1)( ) 2 x + ，( ) 3 x + ； (2) EH 的长度为1m． 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，正确列出方程是解答本题的关键． （1）根据图形列式即可； （2）根据矩形ABCD的面积为 2 12m 列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵EF 的长度为( ) 0.5 m x + ，起飞区距上侧和下侧边界均为0.75m， ∴ ( ) 0.5 0.75 0.75 2 m AB x x = + + + = + ． ∵EH 的长度为m x ，起飞区距场地左侧边界1m，距右侧边界2m， ∴ ( ) 3 m 1 2 BC x x = + + + ． 故答案为：( ) 2 x + ，( ) 3 x + ； （2）解：∵矩形ABCD的面积为 2 12m ， ∴( )( ) 2 3 12 x x + + = ， ∴ 2 5 6 0 x x + − = ， 解得 1 1 x = ， 2 6 x = −（舍去）， ∴EH 的长度为1m． 题型模版 1.特征：图形面积、体积或边长关系含未知数，常涉及拼接、裁剪或路径宽度问题。 13 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2.方法：用未知数表示相关边长或面积，根据几何公式（如面积和差）列一元二次方程，解后舍去不合题意 的根。 变式4-1．（25-26 九年级上·河南鹤壁·期中）某展览中心新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示、已知 每层长60 米，宽45 米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层的喷漆 面积为1944平方米． (1)求通道的宽是多少米； (2)据调查分析，停车楼剩余72 个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为300元时，可全部租出；每个 车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能 使对外开放的月租金收入为22400 元？ 【答案】(1)通道的宽是3米 (2)当每个车位的月租金上涨20 元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为22400 元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设通道的宽是x 米，根据题意列出方程，解出x 的值即可解答； （2）设每个车位的月租金上涨y 元，根据题意列出方程，解出y 的值，结合优惠大众选择较小的y 的值即 可解答． 【详解】（1）解：设通道的宽是x 米， 根据题意，得( )( ) 60 2 45 3 1944 x x − − = ， 解得 1 3 x = ， 2 42 x = （不符合题意，舍去）， 答：通道的宽是3米； （2）设每个车位月租金上涨y 元， 根据题意，得：( ) 300 72 22400 10 y y + − = ， 解得 1 20 y = ， 2 400 y = ， ∵租金需要优惠大众， ∴ 20 y = ， 答：当每个车位的月租金上涨20 元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为22400 元． 14 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式4-2．（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）某农场有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙MN ，现利 用围墙和木栏围出一块矩形菜地ABCD，菜地左右两边各开一扇宽为1米的门．已知木栏总长为30米，左右 两边的门均不消耗木栏． (1)如图1，当AD MN 时，设AB 长为x 米． ①请用含x 的代数式表示BC 的长，并写出x 的取值范围． ②若围成的菜地面积为96平方米，求AB 的长． (2)如图2 ，当 AD MN 时，围成的菜地面积是否可以达到121平方米？说明理由． 【答案】(1)① 32 2 BC x = − ，11 16 x ；②12； (2)解：不可以，理由如下， 设AB 长为x 米， 当 AD MN 时， ( ) 30 10 2 1 21 2 x BC AD x + − − = = = − ， 则围成的菜地面积 ( ) 2 21 21 x x x x = − = − + ， 2 21 121 x x − + = 2 21 121 0 x x − + = ( ) 2 Δ 21 4 1 121 43 0 = − − = − ， ∴方程 2 21 121 0 x x − + = 无实数根， ∴围成的菜地面积不可以达到121平方米． 【分析】( ) 1 ①根据图形和条件确定边长表达式； ②根据面积公式列出方程求解即可； ( ) 2 根据面积公式列出方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：① ( ) 30 2 1 32 2 BC x x = − − = − ， 15 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 由题意得 32 2 10 32 2 0 x x − − ，解得11 16 x ； ②∵围成的菜地面积为96平方米， ∴( ) 32 2 96 x x − = ，整理得 2 16 48 0 x x − + = ， 解得 1 12 x = ， 2 4 x = （舍去）， ∴AB 的长为12米； （2）略． 变式4-3．（25-26 九年级上·广东佛山·期中）项目化学习 项目主题 劳动基地换新计划 项目背景 学校计划对劳动基地进行整修，综合实践活动小组以设计“劳动基地换新计划”为 主题开展一次项目学习． 信息获取与问题解决 信息1：如图①，原劳动基地形状为矩形ABCD， 25m AB = ， 45m BC = ， 问题1：活动小组提出修建两条等宽且互相垂直的小路，使得余下基地面积为 2 1056m ，则小路宽度应为多少？ 信息2：学校准备扩建基地，如图②，在BA、BC 上进行扩建，扩建后的新劳动 基地仍为矩形若BE的最大长度为32m，BG 的最大长度为52m． 问题2：当 3 CG AE = 时，新劳动基地的面积可以为 2 1800m 吗？若存在，请求出BE 和BG 的长度；若不存在，请说明理由． 16 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】问题1：小路宽度应为1m；问题2：当 3 CG AE = 时，新劳动基地的面积不可以为 2 1800m ．理由见 解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 问题1：设小路宽度应为m x ，依题意列出方程( )( ) 25 45 1056 x x − − = ，解得 1 2 1, 69 25 x x = = （不符合题意， 舍去），即可解答． 问题2：根据新劳动基地的面积为 2 1800m ，列出关于y 的一元二次方程，解之得出y 的值，即可解决问题． 【详解】解：问题1：设小路宽度应为m x ，依题意，得 ( )( ) 25 45 1056 x x − − = ， 即 2 9 0 70 6 x x + − = ， 解得 1 2 1, 69 25 x x = = （不符合题意，舍去）． 答：小路宽度应为1m． 问题2：当 3 CG AE = 时，新劳动基地的面积不可以为 2 1800m ，理由如下： 假设新劳动基地的面积可以为 2 1800m ， 设 m AE y = ，则 3 m CG y = ， 根据题意得：(45 3 )(25 ) 1800 y y + + = ， 整理得： 2 40 225 0 y y + − = ， 解得： 1 2 5 45 y y = = − ， （不符合题意，舍去）， ∴45 3 45 3 5 60 52 y + = + = ，不符合题意，舍去， ∴假设不成立， 即当 3 CG AE = 时，新劳动基地的面积不可以为 2 1800m ． 题型五、利用一元二次方程解决动态几何问题 典例5 ．（25-26 九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形ABCD中， 6cm AB = ， 8cm BC = ，点P 从A开始沿 AB 边向点B 以1cm / s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/ s 的速度移动，P ，Q 两点分别 从A，B 同时出发． 17 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，PBQ 的面积等于 2 8cm ？ ②PBQ 的面积能否等于 2 10cm ？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点P 到达B 后不停止，立即以原速沿BA返回；点Q 到达C 后不停止，继续以原速沿射线BC 方向运动， 直到点P 第一次回到A时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒PBQ 的面积等于 2 6cm ？ 【答案】(1)①经过2 秒或4 秒后，PBQ 的面积等于 2 8cm ；②PBQ 的面积不能等于 2 10cm ； (2)当t 为( ) 3 3 秒或( ) 3 15 + 秒，PBQ 的面积等于 2 6cm ． 【分析】（1）①设运动时间为x 秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x 秒，PBQ 的面积等于 2 10cm ，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设运动时间为x 秒，则 cm AP x = ， 2 cm BQ x = ， 又 6cm AB = ， ∴ ( ) 6 cm BP x = − ， 根据题意，得( ) 1 6 2 8 2 x x − = ， 解得 1 2 x = ， 2 4 x = ． ∴经过2 秒或4 秒后，PBQ 的面积等于 2 8cm ； ②设运动时间为x 秒，PBQ 的面积等于 2 10cm ， 根据题意，得( ) 1 6 2 10 2 x x − = ， 整理得 2 6 10 0 x x + = − ， ∴ ( ) 2 Δ 6 4 10 4 0 = − − = − ， ∴方程无解， ∴PBQ 的面积不能等于 2 10cm ； 18 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）解：设运动的时间为t 秒， ①当0 6 t 时， 6 , 2 PB t BQ t = − = ， 由题意，得( ) 1 6 2 6 2 t t − = ， 解得：1 3 3 t = + ，2 3 3 t = − ； ②当6 12 t 时， 6, 2 PB t BQ t = − = ， 由题意，得 ( ) 1 2 6 6 2 t t − = ， 解得：1 3 15 t = + ，2 3 15 t = − （舍去）， 综上所述，当t 为( ) 3 3 秒或( ) 3 15 + 秒时，PBQ 的面积等于 2 6cm ． 题型模版 1.特征：几何图形中的点、线按速度运动，导致面积或线段长度随时间变化，求特定时刻。 2.方法：设运动时间为t，用含t 的式子表示变化后的边长或面积，根据等量关系列方程，解出t 并检验范围。 变式5-1．（25-26 八年级下·安徽亳州·期中）在Rt ABC △ 中， 90 C = ， 18cm AC = ， 16cm BC = ，点P， Q 都从点C 出发，点P 以1cm / s 的速度沿CA 向A 运动，点Q 从点C 出发，以2cm / s的速度沿CB 向B 运动， 两点同时出发，设运动时间为st ( ) 0 8 t ． (1)当 1s t = 时，求PQ 长． (2)当PCQ 的面积为 2 6cm 时，求t 的值． (3)当 3 5cm PQ = 时，求t 的值． 【答案】(1) 5cm PQ = (2) 6s t = (3) 3s t = 【分析】（1）当 1s t = 时， 1cm CP = ， 2cm CQ = ，根据勾股定理求解即可； （2）根据题意CP tcm = ， 2 cm CQ t = ，由 2 6cm PCQ S = △ 列方程求解即可； （3）根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：当 1s t = 时， 1cm CP = ， 2cm CQ = ， 90 C = ， 19 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( ) 2 2 2 2 1 2 5 cm PQ CP CQ = + = + = ； （2）解： cm CP t = ， 2 cm CQ t = ， 2 6cm PCQ S = △ ， 1 2 6 2 t t = 1 6 t = ，2 6 t = − ， 0 t ， 6s t = ； （3）解：由勾股定理，可得 ( ) ( ) 2 2 2 2 3 5 t t + = ， 解得 3 t = 或 3 t − = ， 0 t ， 3s t = ． 变式5-2．（25-26 九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在矩形ABCD中， 6cm AB = ， 12cm BC = ，点P 从 点A出发沿AB 以1cm/s的速度向点B 移动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 以2cm/s的速度向点C 移动．设运 动时间为t 秒． (1)当 2 t = 时， DPQ △ 的面积为__________ 2 cm ； (2)在运动过程中 DPQ △ 的面积能否为 2 26cm ？如果能，求出t 的值，若不能，请说明理由； 【答案】(1)28 (2) DPQ △ 的面积不能为 2 26cm ，理由见解析 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，一元二次方程的实际应用，理解题意是解题的关键． 20 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （1）根据 DPQ APD BPQ DCQ ABCD S S S S S = − − − 矩形 计算即可； （2 ）由题意得 cm AP t = ， 2 cm BQ t = ，即得 ( ) 6 cm BP t = − ， ( ) 12 2 cm CQ t = − ，进而得到 2 6 36 DPQ APD BPQ DCQ ABCD S S S S S t t = − − − = − + 矩形 ，再根据根的判别式判断方程 2 6 36 26 t t − + = 的解的情况 即可求解． 【详解】（1）解：当 2 t = 时，由题意得 1 2 2cm AP = = ， 2 2 4cm BQ = = ， ∴ 6 2 4cm BP = − = ， 12 4 8cm CQ = − = ， ∴ DPQ APD BPQ DCQ ABCD S S S S S = − − − 矩形 1 1 1 6 12 2 12 4 4 8 6 2 2 2 = − − − 72 12 8 24 = − −− 2 28cm = ， 故答案为：28 ； （2）解： DPQ △ 的面积不能为 2 26cm ，理由如下： 由题意得， cm AP t = ， 2 cm BQ t = ， ∴ ( ) 6 cm BP t = − ， ( ) 12 2 cm CQ t = − ， ∴ DPQ APD BPQ DCQ ABCD S S S S S = − − − 矩形 ( ) ( ) 1 1 1 6 12 12 6 2 12 2 6 2 2 2 t t t t = − − − − − 2 6 36 t t = − + ， 当 DPQ △ 的面积为 2 26cm 时，则 2 6 36 26 t t − + = ， 即 2 6 10 0 t t − + = ， ∵ ( ) 2 Δ 6 4 1 10 4 0 = − − = − ， ∴方程无实数解， ∴ DPQ △ 的面积不能为 2 26cm ． 变式5-3． （24-25 九年级上·贵州遵义·阶段检测）如图A，B ，C ，D 为矩形的四个顶点， 16cm AB = ， 6cm AD = ， 动点P ，Q 分别从点A，C 同时出发，点P 以3 / cm s 的速度向点B 移动，一直到达B 点为止，点Q 以2 / cm s 的速度向D点移动，当点P 到达B 点时点Q 随之停止运动． 21 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1) AP =_______cm，DQ = _______cm（用含t 的代数式表示）； (2)t 为多少时，四边形PBCQ 的面积为 2 33cm ； (3)t 为多少时，点P 和点Q 的距离为10cm． 【答案】(1)3 cm t ；( ) 16 2 cm t − (2)当t 为5 时，四边形PBCQ 的面积为 2 33cm ． (3)当t 为8 5 或24 5 时，点P 和点Q 的距离为10cm 【分析】（1）当运动时间为t s 时，根据点P，Q 的运动方向及运动速度，即可用含t 的代数式表示出各线段 的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t 的一元一次方程，解之即可得出t 的值； （3）过点Q 作QE AB ⊥ 于点E，则 16 5 PE t = − ，利用勾股定理，即可得出关于t 的一元二次方程，解之即 可得出结论． 【详解】（1）解：当运动时间为st 时， 3 cm AP t = ， ( ) 16 3 cm BP t = − ， 2 cm CQ t = ， ( ) 16 2 cm DQ t = − ． 故答案为：3 cm t ；( ) 16 2 cm t − ． （2）依题意得： ( ) 1 16 3 2 6 33 2 t t − + = ， 整理得：16 11 t −= ， 解得： 5 t = ． 答：当t 为5 时，四边形PBCQ 的面积为 2 33cm ． （3）过点Q 作QE AB ⊥ 于点E，则 ( ) 16 3 2 16 5 PE t t t = − − = − ，如图所示． 依题意得： 2 2 2 16 5 6 10 t − + = ， 即( ) 2 2 16 5 8 t − = ， 22 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 解得1 8 5 t = ，2 24 5 t = ． 答：当t 为8 5 或24 5 时，点P 和点Q 的距离为10cm． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．毕业将至，九（1）班全体学生互赠祝福卡，共赠祝福卡1560 张，问：九（1）班共有多少名学生？设 九（1）班共有x 名学生，根据题意可列方程为（ ） A． 2 1560 x = B．( ) 1 1560 x x − = C．( ) 1 1560 x x + = D． ( ) 1 1 1560 2 x x − = 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据每个同学都要送其他( ) 1 x − 名同学一张祝福卡，因 此总赠送祝福卡数是( ) 1 x x − 张，再根据共赠祝福卡1560 张列方程即可． 【详解】解：设九（1）班共有x 名学生， 由题意得：( ) 1 1560 x x − = ， 故选：B． 2．随着科技水平的提高，某种电子产品的价格呈下降趋势，今年的价格恰为两年前的一半．假设该电子产 品每年降价的百分率均为x ，则以下所列方程正确的是（ ） A．( ) 2 1 1 2 x + = B．( ) 2 1 2 x + = C．( ) 2 1 1 2 x − = D．( ) 2 1 2 x − = 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及连续降价问题． 23 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 设两年前的价格为a ，每年降价率为x ，根据今年价格是两年前的一半，列出方程 2 1 (1 ) 2 a x a − = ，即可解答． 【详解】解：设两年前的价格为a ( 0 a )，每年降价的百分率为x ．依题意，得 2 1 (1 ) 2 a x a − = 即( ) 2 1 1 2 x − = ． 故选C． 3．期图1，有一张长32cm、宽16cm的矩形硬纸片，裁去角上2 个小正方形和2 个小矩形（图中阴影部分） 之后，恰好折成如图2 所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是 2 130cm ，则纸盒的高为（ ） A．2cm B．3cm C．4cm D．21cm 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设当纸 盒的高为cm x 时，纸盒的底面积是 2 130cm ，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是 2 130cm ，即可得出 关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：设当纸盒的高为cm x 时，纸盒的底面积是 2 130cm ， 依题意，得：32 2 (16 2 ) 130 2 x x − − = ， 化简，得： 2 24 63 0 x x − + = ， 解得： 1 3 x = ， 2 21 x = ． 当 3 x = 时，16 2 10 0 x − = ，符合题意； 当 21 x = 时，16 2 26 0 x − = − ，不符合题意，舍去， 答：纸盒的底面积是 2 130cm 时，纸盒的高为3cm ． 故选：B． 4．哪吒的乾坤圈工坊以每个30 灵石的进价购入一批迷你风火轮，并以每个50 灵石售出，每日可售出80 个．据调查发现，每个迷你风火轮的售价每降低2 灵石，每日可多售出10 个，若哪吒希望单日盈利达4000 灵石，则需将售价降低多少灵石？若设降价x 灵石，则列出方程为（ ） 24 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．( ) 50 80 10 4000 2 x x − + = B．( ) 50 30 80 10 4000 2 x x − − + = C．( )( ) 50 30 80 10 4000 x x − − + = D．( )( ) 50 2 30 80 10 4000 x x − − + = 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设降价x 灵石，则每个迷你风火轮的利润为( ) 50 30 x − − 元，销售量为80 10 2 x + 个，再根据总利润为4000 灵石列出方程即可． 【详解】解：由题意得，( ) 50 30 80 10 4000 2 x x − − + = ， 故选：B． 5．如图，在 ABC 中， 90 C = ， 4cm AC = ， 3cm BC = ，一动点P 从点C 出发沿着CB 方向以1cm / s 的 速度运动，另一动点Q 从点A 出发沿着AC 边以1cm / s 的速度运动，P ，Q 两点同时出发，运动时间为( )s t ．当 3 5 PQ AB = 时，t = （ ） A．4 2 s 2 + B．4 2 s 2 − C．4 2 s 2 + 或4 2 s 2 − D．4 3 s 2 + 或4 3 s 2 − 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，由题意得， cm AQ CP t = = ，则 ( ) 4 cm CQ AC AQ t = − = − ，由勾股定理得到 5cm AB = ，则 3 3 5 PQ AB cm = = ，则由勾股定理可得 ( ) 2 2 2 3 4 t t = + − ，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得， cm AQ CP t = = ， ∴ ( ) 4 cm CQ AC AQ t = − = − ， 在 ABC 中， 90 C = ， 4cm AC = ， 3cm BC = ，则 2 2 5cm AB AC BC = + = ， 小学 初中 25 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 3 3 5 PQ AB cm = = ， 在Rt CPQ △ 中，由勾股定理得 2 2 2 PQ CQ PC = + ， ∴ ( ) 2 2 2 3 4 t t = + − ， 解得 4 2 2 t + = 或 4 2 2 t − = ， 故选：C． 6．某工厂生产的笔记本，每本成本10 元，由于连续两次降低成本，现在的成本是8.1 元，则平均每次降低 成本的百分率是 ． 【答案】10% 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程． 设平均每次降低成本的百分率为x ，则由题意得， 2 10(1 ) 8.1 x − = ，计算满足要求的x 的值即可． 【详解】解：设平均每次降低成本的百分率为x ， 则由题意得， 2 10(1 ) 8.1 x − = ， 解得 0.1 x = ，或 1.9 x = （不合题意，舍去）， ∵0.1 10% = ， ∴平均每次降低成本的百分率为10% ， 故答案为：10% ． 7．一花店用500 元购进了一批产品，按40%的利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，结果 又一次打折后才售完，经计算，这批产品共盈利67 元，若两次打折相同、则每次打了 折 【答案】9 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系正确列出方程是解题的关键．设每次打 了x 折，根据题意列出方程，解出x 的值即可解答． 【详解】解：设每次打了x 折， 由题意得， ( ) 2 500 1 40% 500 67 10 x + − = ， 解得： 1 9 x = ， 2 9 x = −（舍去）， 每次打了9 折． 故答案为：9． 26 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8．如图，要利用一面墙（墙长为25m）建猪圈，用100m的围栏围成总面积为 2 400m 的三个大小相同的矩形 猪圈，则猪圈的边长AB 为 m． 【答案】20 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设AB 的长度为m x ，则BC 的长度为(100 4 )m x − ．然后根据矩形 的面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：设AB 的长度为m x ，则BC 的长度为(100 4 )m x − ． 根据题意，得(100 4 ) 400 x x − = ， 解得 1 2 20, 5 x x = = ， 则100 4 20 x − = 或100 4 80 x − = ． 80 25 ， 5 x = 舍去， 20m AB = ． 所以，猪圈的边长AB 为是20m． 故答案为：20． 9．化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把 手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49 人恰好 都会做这个实验了，那么1 人每次能手把手教会 名同学． 【答案】6 【详解】解：设1 人每次能手把手教会x 名同学．由题意，得1 ( 1) 49 x x x + + + = ， 解得 1 2 6, 8 x x = = −（不合题意，舍去）， ∴1 人每次能手把手教会6 名同学． 故答案为：6． 10．如图，在平行四边形ABCD中， 8cm 24cm AB BC = = ， ，P Q ， 分别从A C ，同时出发，向D B ，运动， 当一个点到达终点时，两个点同时停止运动，已知点P 的速度为1cm / s ，在运动的过程中，若存在使四边形 APQB 是邻边之比为2:1的平行四边形时刻，则点Q 的速度为 cm/ s ． 27 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】0.5 或5 【分析】本题考查动点问题应用，注意分类思想应用，平行四边形的性质，掌握速度时间与路程的关系， 以及分类思想应用是解题关键．平行四边形的长宽之比为2:1，分两种情况，当 : 2:1 AB AP = 时， 8cm AB = ， : 2:1 AP AB = ， 16cm AP = ，利用AP 求出t，求出CQ 的长，利用vt CQ = 求解即可． 【详解】解：平行四边形的长宽之比为2:1， 当 : 2:1 AB AP = 时， 8cm AB = ， ∴ 4cm AP = ， ∵点P 的速度为1cm / s ， ∴ 4 t = 秒， 设Q 的速度为cm / s v ， ∴ 4 24 4 CQ v = = − ，解得 5cm/ s v = ， 当 : 2:1 AP AB = ， ∴ 2 8 16cm AP = = ， ∴ 16 t = 秒， ∴ 16 24 16 CQ v = = − ， ∴ 0.5cm/s v = ， ∴Q 点运动的速度0.5或5cm/秒． 11．为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的 形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45 场． (1)问该校八年级共有几个班？ (2)篮球比赛胜一场得2 分，负一场得1 分，小奉同学所在的2101 班要想获得不低于14 分的积分，至少要 取得多少场胜利？ 【答案】(1)10 个班 (2)5 场 【分析】（1）该校八年级共有x 个班，利用比赛的总场数= 该校八年级的班数（该校八年级的班数1 2 ) − ， 28 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 可列出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设小奉同学所在的2101 班胜了y 场，则负了(9 ) y − 场，利用积分 2 = 胜的场数1 + 负的场数，结合积 分不低于14 分，可列出关于y 的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：该校八年级共有x 个班， 根据题意得：1 ( 1) 45 2 x x − = ， 整理得： 2 90 0 x x − − = ， 解得： 1 10 x = ， 2 9 x = −（不符合题意，舍去）． 答：该校八年级共有10 个班； （2）设小奉同学所在的2101 班胜了y 场，则负了(9 ) y − 场， 根据题意得：2 (9 ) 14 y y + − ， 解得： 5 y≥， y 的最小值为5． 答：小奉同学所在的2101 班至少要取得5 场胜利． 12．有这么一种核桃，个头不大，外表不类，但平均售价达到22 元一斤，这就是赫章核桃．某核桃种植基 地到2020 年年底已经种植核桃100 亩，到2022 年年底核桃的种植面积达到196 亩． (1)求该基地这两年核桃的种植面积的年平均增长率． (2)经市场调查发现，当核桃的售价为22 元/斤时，每天能售出200 斤，销售单价每降低1 元，每天可多售 出50 斤．为了尽快减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地核桃的平均成本为14 元/斤，若使销售核 桃每天可获利1750 元，则销售单价应降低多少元？ 【答案】(1)该基地这两年核桃的种植面积的年平均增长率为40% (2)销售单价应降低3 元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该基地这两年核桃的种植面积的年平均增长率为x，利用该基地2022 年年底核桃的种植面积= 该基 地2020 年年底核桃的种植面积(1 + 该基地这两年核桃的种植面积的年平均增长率 2) ，可列出关于x 的一元 二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设销售单价应降低y 元，则每斤的销售利润为( ) 22 14 y − − 元，每天能售出( ) 200 50y + 斤，利用总利润 = 每斤的销售利润日销售量，可列出关于y 的一元二次方程，解之可得出y 的值，再结合要尽快减少库存， 即可确定结论． 29 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）解：设该基地这两年核桃的种植面积的年平均增长率为x， 根据题意得： ( ) 2 100 1 196 x + = ， 解得： 1 0.4 40% x = = ， 2 2.4 x = − （不符合题意，舍去）． 答：该基地这两年核桃的种植面积的年平均增长率为40%； （2）销售单价应降低y 元，则每斤的销售利润为( ) 22 14 y − − 元， 根据题意得：( )( ) 22 14 200 50 1750 y y − − + = ， 解得： 1 1 y = ， 2 3 y = ． 又∵要尽快减少库存， ∴ 3 y = ． 答：销售单价应降低3 元． 13．如图，用长为22 米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14 米），围成中间隔有一道篱笆的长方 形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC 上用其他材料做了宽为1 米的两扇小门． (1)设花圃的一边AB 长为x 米，请你用含x 的代数式表示另一边AD的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为45 平方米，求此时花圃的长与宽． (3)建成花圃的面积可能为60 平方米吗？请说明理由． 【答案】(1)24 3x − (2)花圃的长与宽边分别为9 米和5 米 (3)建成花圃的面积不可能为60 平方米 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用； （1）设花圃的宽AB 长为x 米，则 22 3 2 24 3 AD BC x x = = − + = − 米； （2）由矩形面积 45 S = ，列出方程，解方程可得答案； （3）由矩形面积 60 S = ，列出方程，判断方程的解的情况可得答案． 【详解】（1）解：∵长方形花圃的宽AB 长为x 米， ∴另一边AD的长为 22 3 2 24 3 AD BC x x = = − + = − 米， 30 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 故答案为：24 3x − ； （2）解：∵花圃的面积刚好为45 平方米， ∴( ) 3 24 45 x x − + = ， 化简得： 2 8 15 0 x x − + = ， 解得： 1 3 x = ， 2 5 x = ， ∵墙的最大可用长度为14 米， ∴2 24 3 14 x − ， ∴10 22 3 3 x ， ∴ 5 x = ， ∴ 5 AB x = = ， 24 3 9 AD BC x = = − = ， 答：此时花圃的长与宽边分别为9 米和5 米； （3）解：建成花圃的面积不可能为60 平方米，理由如下： ∵花圃的面积刚好为60 平方米， ∴( ) 3 24 60 x x − + = ， 化简得： 2 8 20 0 x x − + = ， ∴ ( ) 2 Δ 8 4 20 16 0 = − − = − ， ∴方程无解， ∴建成花圃的面积不可能为60 平方米． 14．一家工厂为了生产某种特殊材料，决定从供应商处购买甲、乙两种化工原料．已知每桶甲化工原料比 每桶乙化工原料贵4 元，工厂第一次花费800 元采购甲化工原料和240 元采购乙化工原料，发现甲化工原 料的桶数是乙化工原料桶数的2 倍． (1)求每桶甲化工原料与乙化工原料的售价分别为多少元． (2)已知供应商每桶甲化工原料的进价是a 元，每桶乙化工原料的进价是2 3 a元，甲、乙售价不变．为了扩大 生产，工厂决定再次购买这两种化工原料，且第二次购买甲化工原料的数量比第一次购买的数量少10 % a ， 购买的乙化工原料的数量是第一次的3 倍．若供应商第二次共获利368 元，求a 的值． 【答案】(1)每桶甲化工原料的售价为10 元，每桶乙化工原料的售价为6 元 (2)a 的值为6 31 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】本题主要考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系，列出正确的分 式方程和一元二次方程是解题的关键． （1）设每桶甲化工原料的售价为x 元，则每桶乙化工原料的售价为( ) 4 x − 元，根据花费800 元采购甲化工 原料的桶数是花费240 元采购乙化工原料桶数的2 倍．列出分式方程，求解并检验即可得到答案； （2）先求出第一次购买甲、乙化工原料的桶数，根据供应商第二次共获利368 元，列出一元二次方程，解 方程选取符合实际的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：设每桶甲化工原料的售价为x 元，则每桶乙化工原料的售价为( ) 4 x − 元， 根据题意： 2 80 40 4 0 2 x x = − 解得： 10 x = ， 经检验， 10 x = 是原分式方程的解，且符合题意， 则 4 6 x− = （元）， 答：每桶甲化工原料的售价为10 元，每桶乙化工原料的售价为6 元； （2）解：第一次购买甲化工原料800 10 80 = （桶），第一次购买乙化工原料240 6 40 = （桶）， 由题意得，( )( ) ( ) 2 10 80 80 10 % 6 40 3 368 3 a a a − − + − = ， 整理得： 2 30 144 0 a a − + = ， 解得： 6 a = 或 24 a = （舍去，不符合题意）， 答：a 的值为6 ． 15． ABC 中， 90 B ? ? ， 5cm AB = ， 6cm BC = ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1cm/s 的速度移动， 与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2cm/s的速度移动．如果点P 、Q 分别从点A 、B 同时出发， 当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间为t 秒． (1)填空：BQ = __________，PB = __________（用含t 的代数式表示）； (2)是否存在t 的值，使得PBQ 的面积等于 2 4cm ？若存在，请求比此时t 的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在t 的值，使得 5cm PQ = ？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由． 32 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】(1)2tcm，( ) 5 t cm − (2) 1 t = (3) 0 t = 或2 【分析】本题属于三角形综合题，考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，三角 形面积公式的运用．在解答时要注意所求的解使实际问题有意义． （1）根据路程= 速度时间就可以表示出BQ ，AP ．再用AB AP − 就可以求出PB 的值． （2）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出t 的值． （3）在Rt PBQ △ 中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值． 【详解】（1）由题意，得 ( ) 2 BQ t cm = ， ( ) = 5 cm PB t − ． 故答案为：2tcm，( ) 5 t cm − ． （2）由题意，得 ( ) 2 5 4 2 t t − = ， 解得：1 1 t = ，2 4 t = （不符合题意，舍去）， 当 1 t = 时，PBQ 的面积等于 2 4cm ． （3）在Rt PBQ △ 中，由勾股定理，得 2 2 4 5 25 ( ) t t + = − ， 解得：1 0 t = ，2 2 t = ． 0 t = 或2 时， 5 PQ = ． 16．综合与实践：洗衣粉售价方案设计 某厂家生产的一种洗衣粉采用A 、B 两种包装，当前销售的相关信息如下表： 包装规格 A B 含量（千克/袋） 2 1 成本（元/袋） 10 5 售价（元/袋） 25 17 日销量（袋） 60 40 33 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 该厂家经市场调研发现适当提升A 包装洗衣粉售价可以增加每日利润，已知售价每提升1 元会少卖2 袋．一 段时间后，由于产能下降，厂家决定每日定额生产150 千克的洗衣粉（当日全部售出）．另外厂家下调了B 包 装洗衣粉的售价，已知其售价每降低1 元会多卖2 袋． 根据以上信息解决问题：设A 包装洗衣粉每袋售价提高x 元( ) 0 x ． (1)问该厂家每日销售A 包装洗衣粉的利润能否达到1000 元？若能，请求出A 包装洗衣粉的售价；若不能， 请说明理由． (2)当厂家每日定额产销150 千克洗衣粉时，设B 包装洗衣粉每袋售价降低y 元( ) 0 y ． ①求y 关于x 的函数关系． ②请通过计算判断厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润能否达到1450 元？ 【答案】(1)能，A 包装洗衣粉的售价为30 或35 元 (2)① 2 5 y x = −；②见解析，达不到1450 元 【分析】本题主要考查一元二次方程，一次函数的运用． （1）由题意设A 包装洗衣粉每袋售价提高x 元（ 0 x ），则每袋的利润为25 10 15 x x − + = + （元），日销售 量为( ) 60 2x − 袋，由此列方程求解即可； （2）①厂家每日定额产销150 千克洗衣粉，A 包装洗衣粉提价x 元后的日销售量为( ) 60 2x − 袋，每袋量2 千克，B 包装洗衣粉日销量为40 袋，降低y 元后的销量为( ) 40 2y + ，每袋含量为1 千克，由此列式求解即 可； ②A 包装洗衣粉提价后的利润为25 10 15 x x − + = + （元），B 包装洗衣粉降低y 元后的利润为 17 5 12 y y −− = − （元），由此列式求解即可． 【详解】（1）解：能，理由如下， 由题意设A 包装洗衣粉每袋售价提高x 元（ 0 x ），则每袋的利润为 ( ) 25 10 15 x x − + = + （元），日销售量为 ( ) 60 2x − 袋， ∴( )( ) 15 60 2 1000 x x + − = ， 解，得 1 2 5 10 x x = = ， ， ∴25 25 5 30 x + = + = （元）或25 25 10 35 x + = + = （元）， A 包装洗衣粉的售价为30 或35 元； 34 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）解：①厂家每日定额产销150 千克洗衣粉，A 包装洗衣粉提价x 元后的日销售量为( ) 60 2x − 袋，每袋 量2 千克，B 包装洗衣粉日销量为40 袋，降低y 元后的销量为( ) 40 2y + ，每袋含量为1 千克， ∴( ) 2 60 2 40 2 150 x y − + + = ， 化简，得 2 5 y x = −； ②A 包装洗衣粉提价后的利润为 ( ) 25 10 15 x x − + = + （元），B 包装洗衣粉降低y 元后的利润为 ( ) 17 5 12 y y −− = − （元）， ∴日总利润为( )( ) ( )( ) 15 60 2 12 40 2 1450 x x y y + − + − + = ( )( ) ( )( ) 15 60 2 17 2 4 30 x x x x = + − + − + 2 10 38 1410 1450 x x = − + + = ， ∴ 2 5 19 20 0 x x − + = ， 此时 2 19 4 5 20 39 0 = − = − ， ∴达不到1450 元．
