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专题03 反比例函数中“k”的几何意义的十类综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、单反比例函数—“一点一垂”构造三角形
题型二、单反比例函数—“两点单双垂”构造三角形
题型三、单反比例函数—“一点一垂”构造四边形
题型四、单反比例函数—“两点双垂”构造四边形
题型五、双反比例函数—“同侧”构造三角形
题型六、双反比例函数—“同侧”构造四边形
题型七、双反比例函数—“异侧”构造三角形
题型八、双反比例函数—“异侧”构造四边形
题型九、反比例函数中的规律问题
题型十、反比例函数中的解析式
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移
分类
具体内容
要点说明
核心
知识
点
矩形面积结论
过反比例函数 𝑦=
𝑘
𝑥(𝑘≠0) 图象上任意一点，分别作x 轴、y 轴的垂
线，两条垂线与坐标轴围成的矩形面积为|𝑘|
三角形面积结
论
过反比例函数 𝑦=
𝑘
𝑥(𝑘≠0) 图象上任意一点作一坐标轴的垂线，该
点、垂足与原点围成的三角形面积为
1
2 |𝑘|
k 的符号与面积
无关
无论k 是正数还是负数，围成图形的面积始终为非负数，仅和k 的绝
对值相关
同支多点面积
性质
反比例函数同一分支上任意一点按上述规则得到的矩形/三角形面积
都相等，均为|𝑘|或
1
2 |𝑘|
目 录
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常见
易错
点
忽略k 的绝对
值，直接把面积
等于k
当𝑘< 0时，直接用面积等于k 会得到负数结果，错误，面积一定是非
负的，应为|𝑘|
混淆矩形和三
角形的面积公
式
错把三角形面积记成|𝑘|、矩形面积记成
1
2 |𝑘|，二者比例关系记错
跨分支图形面
积计算错误
当点分别在反比例函数的两个分支上，组合形成图形时，不会拆分计
算，错误直接套用单点面积公式；如两个分支各一点分别作垂线形成
的矩形面积，实际应为|𝑘1| + |𝑘2|，而非|𝑘1 −𝑘2|
误判图形与k 的
对应关系
将不是由反比例函数上一点作坐标轴垂线围成的图形，强行套用𝑆=
|𝑘|结论，导致计算错误
由面积反求k 时
遗漏符号
只根据面积算出|𝑘| = 𝑆，忽略反比例函数所在象限对k 符号的要求，
漏解或符号错误
动点问题中误
用面积定值结
论
点在反比例函数图象上运动时，错误认为任意位置围成的相关图形面
积都等于|𝑘|，实际仅由双垂线或单垂线围成的标准图形面积才是定
值，非标准图形面积会随动点位置改变
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、单反比例函数—“一点一垂”构造三角形
典例1 如图，已知反比例函数
5 (
0)
y
x
x
=
的图象经过点A，连接OA．将线段OA绕点A 逆时针旋转，当点
O 的对应点O落在x 轴上时，OAO
的面积是（ ）
A．2.5
B．5
C．10
D．12
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【答案】B
【分析】由旋转的性质可得OA
OA
=
，过点A作AC
x
⊥
轴于点C ，根据等腰三角形三线合一的性质可得
OC
O C
=
，从而得出
2
OAO
AOC
S
S
=
，再利用反比例函数k 的几何意义求出
AOC
S
即可得出结果．
【详解】解：如图，过点A作AC
x
⊥
轴于点C ，
由旋转的性质可得OA
OA
=
，
OAO
是等腰三角形，
AC
OO
⊥
，
OC
O C
=
，
2
OAO
AOC
S
S
=
，
反比例函数
5 (
0)
y
x
x
=
的图象经过点A，
5
2.5
2
2
AOC
k
S
=
=
=
，
2 2.5
5
OAO
S
=
=
．
变式1-1 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点B 为x轴上的点，点D是第一象限内的一点，DB
x
⊥
轴，已知线段DB交反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图像于点C，连接OC ，点C 为BD的中点，连接OD ，交反
比例函数图像于点A．若ODC
的面积为5，则k 的值为（ ）
A．10
B．5
C．8
D．20
【答案】A
【分析】利用三角形中线性质得出
OBC
ODC
S
S
=
，结合反比例函数k 的几何意义求解．
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【详解】解：∵C 为BD中点，且ODC
的面积为5，
∴BC
CD
=
，
∴
5
OBC
ODC
S
S
=
=
，
∵DB
x
⊥
轴，点C 在反比例函数
k
y
x
=
图像上，
∴
1
5
2
OBC
S
k
=
=
，
∴
10
k =
，解得
10
k =
，
∵该反比例函数的图像在第一象限，
∴
0
k ，
∴
10
k =
．
变式1-2如图，Rt OAB
中，
90
OBA
=
，点B 在x 轴正半轴上，AO 、AB 分别与反比例函数
(
0,
0)
k
y
k
x
x
=
的图象相交于点C 、D，且C 为AO 的中点，过点C 作x 轴的垂线，垂足为E ，连接DE ．若BDE
的面积
为3，则k 的值为____________．
【答案】12
【分析】设
, k
C a a
，根据C 为AO 的中点，得到
2
2 , k
A
a a
，则
2 , 2
k
D
a
a
，再根据BDE
的面积为3，列
方程求解即可．
【详解】解：设
, k
C a a
，
∵C 为AO 的中点，
∴
2
2 , k
A
a a
，
当
2
x
a
=
时，
2
k
y
a
=
，
∴
2 , 2
k
D
a
a
，
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∴
2
BE
a
a
a
=
−
=
，
2
k
DB
a
=
，
∴
1
1
3
2
2
2
4
BDE
k
k
S
BE BD
a
a
=
=
=
=
，
∴
12
k =
．
变式1-3 如图，Rt
ABO
△
的直角顶点B 在x 轴上，函数
6 (
0)
y
x
x
= −
的图象经过边OA的中点C ，且交AB 于
点D，连接OD ，则
AOD
S
=
△
______．
【答案】9
【分析】设
6
,
C a
a
−
，得到
12
2 ,
A
a
a
−
，求出
3
2 ,
D
a
a
−
，即
3
BD
a
= −
，然后得到
9
AD
AB
BD
a
=
−
= −
，
求出
1
3
BD
AD =
，得到
1
3
BOD
AOD
S
BD
S
AD
=
=
，进而求解即可．
【详解】解：∵函数
6 (
0)
y
x
x
= −
的图象经过边OA的中点C
∴设
6
,
C a
a
−
∴
12
2 ,
A
a
a
−
∵Rt
ABO
△
的直角顶点B 在x 轴上
∴AB
x
⊥
轴
∴点D 的横坐标为2a
将
2
x
a
=
代入
6
6
3
2
y
x
a
a
= −
= −
= −
∴
3
2 ,
D
a
a
−
，即
3
BD
a
= −
∴
12
3
9
AD
AB
BD
a
a
a
=
−
= −
−−
= −
∴
3
1
9
3
BD
a
AD
a
−
=
=
−
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∴
1
1
2
1
3
2
BOD
AOD
BD BO
S
BD
S
AD
AD BO
=
=
=
∴
6
3
3
9
2
AOD
BOD
S
S
−
=
=
=
．
类型二、单反比例函数—“两点单双垂”构造三角形
典例2 如图，在平面直角坐标系中，直线
(
)
0
y
kx k
=
与双曲线
2
y
x
=
交于A，B 两点，AC
x
⊥
轴于点C ，
连接BC 交y 轴于点D，结合图象判断下列结论：①点A与点B 关于原点对称；②点D 是BC 的中点；③在
2
y
x
=
的图象上任取点
(
)
1
1
,
P x y
和点
(
)
2
2
,
Q x
y
，如果
1
2
x
x
，那么
1
2
y
y
；④
1
2
BOD
S
=
△
．其中错误结论的个
数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】根据一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质逐项判断即可求解，掌握反比例函数
的性质是解题的关键．
【详解】解：∵直线
(
)
0
y
kx k
=
与双曲线
2
y
x
=
交于A，B 两点，
∴点A与点B 关于原点对称，故①正确；
∵点A与点B 关于原点对称，
∴OA
OB
=
，
∵DO
x
⊥
轴，AC
x
⊥
轴，
∴
//
OD AC ，
∴
1
BO
BD
AO
CD
=
= ，
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∴BD
CD
=
，
∴点D是BC 的中点，故②正确；
∵
2
0
k =
，
∴在每一象限内，y 随x 的增大而减小，对任意
1
2
x
x
，不满足
1
2
y
y
，故③错误；
∵AC
x
⊥
轴，
∴
1
1
2
AOC
S
k
=
=
，
∵点A与点B 关于原点对称，
∴
1
AOC
BOC
S
S
=
=
，
∵点D是BC 的中点，
∴
1
1
2
2
BOD
COD
BOC
S
S
S
=
=
=
，故④正确；
∴错误结论有1 个，
故选：A．
变式2-1 如图，A，B 是反比例函数
k
y
x
=
图象上的两点，且AB 过原点O，过点B 作x 轴的垂线，垂足是C，
连接AC ．若ABC
的面积是4，则k 的值是（ ）
A．2
B．2
−
C．4
D．4
−
【答案】D
【分析】根据反比例函数图象性质可知点
,
A B 关于点O 对称，由ABC
的面积是4，说明
2
OBC
S
＝，再根据
反比例函数比例系数的几何意义结合图象位置即可求解．
【详解】解：
,
A B
是反比例函数
k
y
x
=
图象上的两点，且AB 过原点O，
根据反比例函数的对称性得：点
,
A B 关于点O 对称，
OA OB
＝
，
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OBC
的边OB 上的高与OAC
的边OA上的高相同，ABC
的面积是4，
2
1
2
OBC
OAC
ABC
S
S
S
=
＝
＝，
BC
x
⊥
轴，
根据反比例函数比例系数的几何意义得：
2
1
2
OBC
S
k
=
＝，
4
k
＝，
该反比例函数的图象在第二、四象限，
4
k
−
＝
．
变式2-2 如图，正比例函数y
x
−
=
与反比例函数
k
y
x
=
的图象相交于A、B 两点，AC
y
⊥
轴于点C，连接BC ，
若ABC
的面积为6，则k 的值为______．
【答案】6
−
【分析】由正比例函数y
x
−
=
与反比例函数
k
y
x
=
的图象相交于A、B 两点，则点A与点B 关于原点对称，
所以
AOC
BOC
S
S
=
，根据反比例函数比例系数k 的几何意义结合ABC
的面积为6，即可解答．
【详解】解：正比例函数y
x
−
=
与反比例函数
k
y
x
=
的图象相交于A、B 两点，
点A与点B 关于原点对称，
AOC
BOC
S
S
=
，
AC
y
⊥
轴于点C ，
ABC
的面积
1
2
2
6
2
AOC
S
k
=
=
=
，
解得
6
k = ，
∵反比例函数
k
y
x
=
的图象位于二、四象限，
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∴
0
k
，
∴
6
k = −．
变式2-3 如图，点A，B 在反比例函数
6
y
x
=
的图象上，且关于原点对称，过点A 作AC
x
⊥
轴于点C，连接
AB ，BC ．则ABC
的面积是________．
【答案】6
【分析】本题考查反比例函数与几何综合，设点B 坐标为
6
,
m m
，且
0
m
，根据A、B 关于原点对称，得
6
,
A
m
m
−
−
，再根据
(
)
1
2
ABC
B
A
S
AC
x
x
=
−
△
即可求解．
【详解】解：根据题意，设点B 坐标为：
6
,
m m
，且
0
m
，
∵A、B 关于原点对称，
∴点A 坐标为：
6
,
m
m
−
−
，
∵过点A 作AC
x
⊥
轴于点C，
∴点C 坐标为：(
)
,0
m
−
，
6
AC
m
=
，
∴
(
)
(
)
1
1 6
1 6 2
6
2
2
2
ABC
B
A
S
AC
x
x
m
m
m
m
m
=
−
=
−−
=
=
，
故答案为：6．
题型三、单反比例函数—“一点一垂”构造四边形
典例3 如图，反比例函数
2
y
x
=
的图象经过矩形OABC的边AB 的中点D，则矩形OABC的面积为（ ）
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A．4
B．5
C．6
D．8
【答案】A
【分析】设点D的坐标为( , )
x y ，根据反比例函数系数k 的几何意义可得
2
xy =
，即
2
OA AD
=
，再根据D 为
AB 中点可得
2
AB
AD
=
，进而求出矩形面积．
【详解】解：设点D的坐标为( , )
x y
∵点D在反比例函数
2
y
x
=
的图象上
∴
2
xy =
由图可知OA
x
=
，AD
y
=
∴
2
OA AD
=
∵D是AB 的中点
∴
2
AB
AD
=
∴
2
2(
)
2 2
4
OABC
S
OA AB
OA
AD
OA AD
=
=
=
=
=
矩形
．
变式3-1 如图，P 是反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
图象上的一点，PA
x
⊥
轴于点A，PB
y
⊥
轴于点B，若矩形OAPB
的面积为2，则k 的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【分析】由四边形OAPB的面积可求得k ，又因反比例函数的图象在第一象限，即可得
0
k ，写出k 的值即
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可．
【详解】解：点P 是反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
图象上的一点，分别过点P 作PA
x
⊥
轴于点A，PB
y
⊥
轴于
点B，若四边形OAPB的面积为2，
矩形OAPB的面积
2
S
k
=
=
，
2
k
= ，
又反比例函数的图象在第一象限，
0
k
，
2
k
=
．
变式3-2 如图，双曲线
k
y
x
=
经过正方形OAPB的顶点P ，已知
3
OA =
，则k =________．
【答案】3
【分析】根据反比例函数的“k ”的几何意义求解即可．
【详解】解：∵四边形OAPB是正方形，
∴
3
OB
OA
=
=
，
∴
3
OAPB
S
OA OB
=
=
正方形
，
∵点P 在双曲线
k
y
x
=
上，
∴
3
k = ，
又∵双曲线在第三象限，
∴
3
k = ．
变式3-3 如图，点A，B 是反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
上的两点，过点B 作BC
x
⊥
轴于点C ，作BD
y
⊥
轴于
点D．若点A的坐标为
1
3 ,t
t
−
，则矩形ODBC 的面积为_______．
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【答案】3
【分析】将点A代入反比例函数解析式即可求出k 值，即可求解．
【详解】解：将点A代入反比例函数解析式，
得：1
3
k
t
t
−=
，
解得：
3
k = −，
则反比例函数的解析式为：
3
y
x
−
=
，
∴
3
xy = −
设点(
)
,
B m n ，
∴BD
m
=
，BC
n
=
，
∴矩形ODBC 的面积为：
·
3
BC BD
m
n
mn
=
=
=
．
题型四、单反比例函数—“两点双垂”构造四边形
典例4 如图，平行四边形ABCD的顶点A在x 轴的负半轴上，顶点
,
,
B C D 都在反比例函数
4
y
x
=
的图象上，
且边BC 经过原点O．则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．8
B．10
C．12
D．16
【答案】C
【分析】设点C 的坐标为
4
,
m m
，根据反比例函数的中心对称性可得点B 的坐标，再设点A的坐标为(
)
,0
a
，
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利用平行四边形的性质，表示出点D 的坐标，代入反比例函数解析式得到a 与m 的关系，最后根据三角形
面积公式和平行四边形面积与三角形面积的关系求解．
【详解】解：设点C 的坐标为
4
,
(
0)
m
m
m
，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，且边BC 经过原点O，
∴点B 与点C 关于原点对称，
∴
4
,
B
m
m
−
−
，且O为BC 的中点，
∴
2
ABC
ABO
S
S
=
，
∴
2
4
ABC
ABO
ABCD
S
S
S
=
=
平行四边形
，
设
(
)
,0
A a
，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，且设点
(
)
,
D p q ，
2
2
4
4
0
2
2
a
m
p
m
q
m
m
+
−
=
+
+
=
，
整理得：
2
2
8
p
m
q
m
=
+
=
，
∴点
8
2 ,
D a
m m
+
，
∵点D在反比例函数
4
y
x
=
的图象上，
∴(
) 8
2
4
a
m
m
+
=
， 整理得：(
)
2
2
a
m
m
+
=
，即2
4
a
m
m
+
=
，
∴2
3
a
m
= −
，即
3
2
a
m
= −
．
∵A在x 轴负半轴，
∴
0
a
，符合题意．
∴
(
)
1
1
4
1 3
4
|
|
3
2
2
2 2
ABO
B
S
OA y
a
m
m
m
=
=
−
=
=
．
∴
4
4 3
12
ABO
ABCD
S
S
=
=
=
平行四边形
．
故选：C．
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变式4-1 如图，正方形的中心在平面直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点(
)
4 ,
P
m m 是正方形
与反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
图象的一个交点．已知图中阴影部分的面积等于32，则k 的值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】D
【分析】首先求出
(
)
4 ,
A
m m ，然后由对称性得到(
)
2
4
32
m
=
，求出
2
2
m =
，然后将(
)
4 ,
P
m m 代入
k
y
x
=
求解
即可．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，且正方形的中心在平面直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，(
)
4 ,
P
m m ，
∴
(
)
4 ,
A
m m
∵正方形和反比例函数图象都关于原点对称
∴图中阴影部分的面积等于正方形AEOF 的面积
∴(
)
2
4
32
m
=
∴
2
2
m =
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将
(
)
4 ,
P
m m 代入
k
y
x
=
得，
4
m
m
k
=
∴
2
4
8
k
m
=
= ．
变式4-2 如图，平行四边形ABCD的顶点A，C 在反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
的图象上，顶点B、D 均在y 轴上，
AB
x
轴，BC 与x 轴交于点E，连接AE
DE
，
，若ADE
的面积为6，则k 的值为________．
【答案】6
−
【分析】连接OA，根据平行四边形的性质得出
6
ABD
ADE
S
S
=
=
，根据中心对称的性质得出OB
OD
=
，然后
利用双曲线上的点和坐标轴构成的直角三角形的面积与系数的关系求解．
【详解】解：如图，连接OA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD
BC
，
∴
6
ABD
ADE
S
S
=
=
，
∵双曲线和平行四边形都是中心对称图形，
∴点A和点C 关于原点对称，
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∴OB
OD
=
，
则
1
3
2
AOB
ABD
S
S
=
=
，
∴
2
2 3
6
AOB
k
S
=
=
=
，
又该双曲线位于第二、四象限，
∴
6
k
−
=
．
变式4-3 如图，在平面直角坐标系中，直线AB 经过原点O，且与反比例函数
2
y
x
= −
的图象交于点A，B ，
以AB 为对角线作矩形ACBD，则矩形ACBD的面积为_____．
【答案】8
【分析】本题考查了反比例函数的对称性，反比例函数k 的几何意义，矩形的性质等，熟知反比例函数的对
称性是解题的关键．设
2
,
A a
a
−
，则
2
,
B
a a
−
，然后根据矩形的性质求解即可．
【详解】解：设
2
,
A a
a
−
，
∵直线AB 经过原点O，且与反比例函数
2
y
x
= −
的图象交于点A，B ，
∴
2
,
B
a a
−
，
∴矩形ACBD的面积为(
)
2
2
4
2
8
a
a
a
a
a
a
−−
−
−
= −
−
=
，
故答案为：8．
题型五、双反比例函数—“同侧”构造三角形
典例5 如图，点A 是函数
4 (
0)
y
x
x
=
＞
的图象上的动点，过点A 作x 轴、y 轴的平行线与函数
2 (
0)
y
x
x
=
＞
的
图象分别交于点B，C，OA 与BC 交于点D．下列结论中正确的是（ ）
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A．AB 与AC 一定相等
B．△AOB 与△AOC 的面积一定相等
C．OB 与OC 一定相等
D．△BOC 与△ABC 的面积一定相等
【答案】B
【分析】根据反比例函数中k 的几何意义与方程思想将点的坐标设出来，利用点与点之间的距离求线段进行
求解．
【详解】解：如图所示，延长AB 交y 轴于点E ，延长AC 交x 轴于点F ，
∵点A在反比例函数
4 (
0)
y
x
x
=
＞
图像上，点
,
B C 在反比例函数
2 (
0)
y
x
x
=
＞
的图像上，且AC
y
∥轴，AB
x
轴，
∴
2
4
1,
2
2
2
BOE
COF
AOE
AOF
S
S
S
S
=
=
=
=
=
=
，
∵
1,
1
AOB
AOE
BOE
AOC
AOF
COF
S
S
S
S
S
S
=
−
=
=
−
=
，
∴
AOB
AOC
S
S
=
；
设点
(
)
4
,
0
A a
a
a
，则点
(
)
1
4
2
4
,
,
,
,
0,
,
,0
2
B
a
C a
E
F a
a
a
a
，
A，
1
1
4
2
2
,
2
2
AB
a
a
a AC
a
a
a
=
−
=
=
−
=
，a 不确定，
∴
,
AB AC 之间的关系无法确定，不符合题意；
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B，
AOB
AOC
S
S
=
，符合题意；
C，∵
4
2
1
,
,
,
2
OE
CF
BE
a OF
a
a
a
=
=
=
=
，
∴
2
2
2
2
2
2
2
2
16
4
,
4
a
OB
BE
OE
OC
CF
OF
a
a
a
=
+
=
+
=
+
=
+
，
∵a 不确定，
∴
,
OB OC 之间的关系无法确定，不符合题意；
D，∵
1
1
1
2
1
2
2
2
2
ABC
S
AB AC
a
a
=
=
=
，
1
1
1
1
4
1
2
1
3
1
2
2
2
2
2
2
2
2
BOC
ABC
S
AB OE
AC OF
S
a
a
a
a
=
+
−
=
+
−
=
，
∴不符合题意．
变式5-1 如图，点A是反比例函数
(
)
6
0
y
x
x
= −
的图象上一点，过点A作AB
x
⊥
轴于点B ，交反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象于点C ，点P 为y 轴上一点，若ACP
的面积为2，则k 的值为（ ）
A．2
−
B．3
−
C．4
−
D．5
−
【答案】A
【分析】连接OA、OC ，根据AC
x
⊥
轴可知AC
y
轴，利用平行线间的距离相等可得
ACP
ACO
S
S
=
，再根
据反比例函数系数k 的几何意义，利用
ACO
ABO
CBO
S
S
S
=
−
建立方程求解即可．
【详解】解：如图，连接OA、OC ，
AB
x
⊥
轴，P 为y 轴上一点，
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AC
y
轴，
点P 、点O到直线AC 的距离相等，
ACP
ACO
S
S
=
，
2
ACP
S
=
，
2
ACO
S
=
，
点A在反比例函数
6
y
x
= −
的图象上，点C 在反比例函数
k
y
x
=
的图象上，且图象在第四象限，
1
6
3
2
ABO
S
=
−
=
，
1
1
2
2
CBO
S
k
k
=
= −
，
由图可知
ACO
ABO
CBO
S
S
S
=
−
，
1
3 (
)
2
2 k
−−
=
，
解得
2
k
−
=
．
变式5-2 如图，点A 在反比例函数
(
)
6
0
y
x
x
= −
的图象上，过点A 作AB
x
⊥
轴，垂足为B，AB 与反比例
函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象交于点D．若
2
AOD
S
=
，则k 的值为__________．
【答案】2
−
【分析】根据反比例函数k 的几何意义得
6 =3,
2
2
AOB
DOB
k
S
S
−
=
=
，结合
2
AOD
S
=
，可得
3
2
2
AOB
DOB
k
S
S
−
=
−
=
，进而可求出k 的值．
【详解】解：∵点A 在反比例函数
(
)
6
0
y
x
x
= −
的图象上，点D 在反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象上，AB
x
⊥
轴，
∴
6 =3,
2
2
AOB
DOB
k
S
S
−
=
=
，
∵
2
AOD
S
=
，
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∴
3
2
2
AOB
DOB
k
S
S
−
=
−
=
，
∴
2
k =
，
∵
0
k
，
∴
2
k
−
=
．
变式5-3 如图，点B 为反比例函数
1
1(
0)
k
y
x
x
+
=
的图像上一点，过点B 分别向x 轴，y 轴作垂线，垂足分
别为A，C ，线段BC 被反比例函数
2
(
0)
k
y
x
x
=
的图像上一点D 分成两部分，且
1 2
BD CD =
∶
∶
，连接AC ，
则ABC
的面积为______．
【答案】3
2
【分析】设点B 的横坐标为m ，根据垂线定义及线段比例关系表示出点D 的横坐标，利用点B 、D 纵坐标
相等建立关于k 的方程求出k 值，最后根据三角形面积公式求解．
【详解】解：设点B 的坐标为
1
, k
m
m
+
，其中
0
m
，
过点B 分别向x 轴，y 轴作垂线，垂足分别为
,
A C ，
BC
y
⊥
轴，AB
x
⊥
轴，
点C 的坐标为
1
0, k
m
+
，点A的坐标为(
)
,0
m
，
BC
的长度为0
m
m
−
= −
，
点D在线段BC 上，且
1 2
BD CD =
:
:
，
(
)
2
2
2
3
3
3
CD
BC
m
m
=
=
−
= −
，
点D的横坐标为
2
2
0
3
3
m
m
−−
=
，
点D在反比例函数
2
k
y
x
=
的图象上，且点D 的纵坐标与点B 相同，
点D的坐标为2
1
,
3
k
m
m
+
，
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1
2
3
k
k
m
m
+
=
，
整理得：
3
1
2
k
k
+ =
，
解得：
2
k =
，
1
3
y
x
=
，
AB
BC
⊥
，
ABC
为直角三角形，
1
1
1
1
1
2
2
2
ABC
k
S
AB BC
m
k
m
+
=
=
=
+
，
2
k =
，
1
3
2 1
2
2
ABC
S
=
+
=
．
题型六、双反比例函数—“同侧”构造四边形
典例6 如图，点A在双曲线
3
y
x
=
上，点B 在双曲线
11
y
x
=
上，且AB
x
轴，点C ，D 在x 轴上．若四边形ADCB
是矩形，则它的面积为（）
A．3
B．8
C．11
D．14
【答案】B
【分析】延长BA交y 轴于点E，则四边形AEOD 是矩形，四边形BEOC 是矩形，根据反比例函数比例系数
的几何意义可得四边形AEOD 的面积为3，四边形BEOC 的面积为11，即可求解．
【详解】解：如图，延长BA交y 轴于点E，
∵AB
x
轴，
∴AE
y
⊥
轴，
∴四边形AEOD 是矩形，四边形BEOC 是矩形，
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点A在双曲线
3
y
x
=
上，
四边形AEOD 的面积为3，
点B 在双曲线
11
y
x
=
上，
四边形BEOC 的面积为11，
矩形ABCD的面积为11 3
8
−= ．
变式6-1 反比例函数
k
y
x
=
和
1
y
x
=
在第一象限内的图象如图所示，当点P 在反比例函数
k
y
x
=
的图象上运动
时，PC
x
⊥
轴于点C，交反比例函数
1
y
x
=
的图象于点A，PD
y
⊥
轴于点D，交反比例函数
1
y
x
=
的图象于
点B．下列结论：①
ODB
OCA
S
S
=
△
△
；②PA与PB始终相等；③
1
PAOB
S
k
=
−
四边形
；④若PA
AC
=
，则PB
DB
=
．其
中正确的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k 的几何意义是解答此题的关键．
利用反比例函数系数的几何意义即可得
1
2
OBD
OAC
S
S
=
=
△
△
，故①正确；设点P 的坐标为
, k
m m
，则
1
,
A m m
，
,
m k
B
k
m
，可得
1,
k
mk
m
PA
PB
m
k
−
−
=
=
，故②错误；
1
PCOD
OBD
OAC
PAOB
S
S
S
S
k
=
−
−
=
−
长方形
四边形
△
△
，故③正
确；连接OP ，利用反比例函数系数的几何意义可得
2
1
ODP
OPC
OAC
S
S
S
=
=
=
△
△
，从而得到
2
ODP
OBD
S
S
=
△
，
故④正确．
【详解】解：∵A
B
、是反比例函数
1
y
x
=
上的点，PC
x
⊥
轴，PD
y
⊥
轴，
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∴
1
2
OBD
OAC
S
S
=
=
△
△
，故①正确；
设点P 的坐标为
, k
m m
，则
1
,
A m m
，
,
m k
B
k
m
，
∴
1
1,
k
k
m
mk
m
PA
PB
m
m
m
m
k
k
−
−
=
−
=
=
−
=
，
∴无法确定PA和PB的大小关系，故②错误；
根据题意得：长方形PCOD的面积是k，
∴
1
PCOD
OBD
OAC
PAOB
S
S
S
S
k
=
−
−
=
−
长方形
四边形
△
△
，故③正确；
如图，连接OP ，
∵PA
AC
=
，
∴
2
PC
AC
=
，
∴
1
2
2
1
2
ODP
OPC
OAC
S
S
S
=
=
=
=
△
△
，
∴
2
ODP
OBD
S
S
=
△
，
∴
2
PD
BD
=
，
即PB
DB
=
，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：C．
变式6-2 如图，点A，B 分别在反比例函数
1
k
y
x
=
（
0
x
），
2
3
y
x
= −
（
0
x
）的图象上，点C 为y 轴正半
轴上一点，若平行四边形ACOB的面积是6，则k 的值为_______．
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【答案】9
−
【分析】根据平行四边形的性质求出
1
6
3
2
AOB
S
=
=
，根据反比例函数k 的几何意义求出
3
2
BOD
S
=
，进而求
出
9
2
AOD
BOD
AOB
S
S
S
=
+
=
，然后根据
1
2
AOD
S
k
=
求解即可．
【详解】解：如图，延长AB 交x 轴于点D，连接OA，
∵平行四边形ACOB的面积是6，
∴
1
6
3
2
AOB
S
=
=
．AD
OC
，
∴CO
OD
⊥
，
∴AD
OD
⊥
．
∵点B 在反比例函数
2
3
y
x
= −
的图象上，
∴
1
3
3
2
2
BOD
S
=
−
=
，
∴
3
9
3
2
2
AOD
BOD
AOB
S
S
S
=
+
=
+ =
．
∵点A 在反比例函数
1
k
y
x
=
的图象上，
∴
1
2
AOD
S
k
=
．
∴
9
2
9
2
k =
=
．
∵反比例函数
1
k
y
x
=
的图象在第二象限，
∴
9
= −
k
．
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变式6-3 如图，点A在函数
(
)
2
0
y
x
x
= −
的图象上，点B 在函数
(
)
0
a
y
x
x
=
的图象上，且AB
x
∥轴，BC
x
⊥
轴于点C ，若四边形ABCO的面积为4 ，则a 的值为_____．
【答案】5
−
【分析】延长BA交y 轴于点D ，根据反比例函数k 值的几何意义得到
1
ADO
S
=
，
OCBD
S
a
=
矩形
，根据四边形
ABCO的面积等于
ADO
OCBD
S
S
−
矩形
得到方程，求解即可．
【详解】解：延长BA交y 轴于点D ，
∵AB
x
∥轴，
∴DA
y
⊥
轴，
∵点A 在函数
(
)
2
0
y
x
x
= −
的图象上，
∴
1
1
2
2
1
2
2
ADO
S
=
−
=
=
，
∵BC
x
⊥
轴于点C，DB
y
⊥
轴，点B 在函数
(
)
0
a
y
x
x
=
的图象上，
∴
OCBD
S
a
=
矩形
，
∵
4
ADO
ABCO
OCBD
S
S
S
=
−
=
四边形
矩形
，
∴
1
4
a −=
，
∴
5
a = ，
∵由图可知函数
(
)
0
a
y
x
x
=
的图象位于第四象限，
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∴
5
a
−
=
．
题型七、双反比例函数—“异侧”构造三角形
典例7 根据图1 所示的程序框图，得到了y 与x 的函数图象如图2 所示，若M 是y 轴正半轴上任意一点，
过点M 作PQ
x
∥
轴交函数图象于点P ，Q ，连接OP ，OQ ，则下列结论正确的是（）
A．OPQ
的面积为1.5
B．
0
x
时，
3
y
x
=
C．
0
x
时，y 随x 的增大而增大
D．
POQ
可能等于90
【答案】D
【分析】根据程序框图确定
0
x
和
0
x
时的函数解析式，利用反比例函数的性质判断选项B、C；利用反
比例函数k 的几何意义计算
OPQ
△
的面积判断选项A；设点P 、Q 的坐标，利用勾股定理构建方程判断选
项D．
【详解】解：由程序框图可知：当
0
x
时，
3
y
x
−
=
；当
0
x
时，
6
y
x
=
．选项B 错误；
当
0
x
时，
6
y
x
=
，
6
0
k =
，
y
随x 的增大而减小，选项C 错误；
设
(
)
1,
P x y ，
(
)
2,
Q x
y ，其中
0
y
，
点P 在
3
y
x
−
=
上，点Q 在
6
y
x
=
上，
1
3
x y
−
=
，
2
6
x y =
，
1
2
1
1
1
1
|
|
|
|
3
6
4.5
2
2
2
2
OPQ
OPM
OQM
S
S
S
x y
x y
=
+
=
+
=
+
=
，选项A 错误
设
3 ,
P
h
h
−
，
6 ,
Q
h
h
(
0
h
)，
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若
90
POQ
=
，
则
2
2
2
OP
OQ
PQ
+
=
，
即
2
2
2
2
2
3
6
6
3
[(
)
] [
)
(
)
h
h
h
h
h
h
−
+
+
+
=
+
，
整理得：
2
2
2
2
2
9
36
81
h
h
h
h
h
+
+
+
=
，
2
2
36
2h
h
=
，
4
18
h =
，
0
h
，
4 18
h
=
，方程有解，
POQ
可能等于90，
选项D 正确．故选：D．
变式7-1 已知反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
与
(
)
4
0
y
x
x
=
的图象如图所示，过y 轴正半轴上的任意一点P 作x 轴
的平行线，分别与这两个函数的图象交于M，N 两点，A 是x 轴上的任意一点，连结MA，NA，若AMN
的
面积为8，则k 的值为 （ ）
A．6
B．12
C．6
−
D．12
−
【答案】D
【分析】连接OM ，ON ，根据MN
x
轴，可得
8
OMN
AMN
S
S
=
=
，再根据k 的几何意义，即可求解．
【详解】解：连接OM ，ON ，
点N 在
(
)
4
0
y
x
x
=
的图象上，MN
x
轴，
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1
4
2
2
OPN
S
=
=
，
MN
x
轴，A 是x 轴上的任意一点，
8
AMN
S
=
，
8
OMN
AMN
S
S
=
=
，
6
M
OM
OP
OPN
N
S
S
S
=
−
=
，
点M 在
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象上，MN
x
轴，
2
OPM
k
S
=
，
6
2
k =
，解得
12
k =
，
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象在第二象限，即
0
k
，
12
k
−
=
．
变式7-2 如图，点B 在反比例函数
2
y
x
=
(
0)
x
的图象上，点C 与点B 关于原点对称，过点B 作BA
y
轴，
交反比例函数
k
y
x
=
(
0)
x
于点A．连接AC ，BC ．若ABC
的面积为6 ，则k 的值为____．
【答案】4
−
【分析】利用中心对称性质得出O为BC 中点，从而将ABC
的面积转化为AOB
的面积；再根据AB
y
轴，
将AOB
分割为AOH
和BOH
，结合反比例函数k 的几何意义建立方程求解．
【详解】解：连接AO ，
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设AB 交x 轴于点H ，
∵点C 与点B 关于原点对称，
∴O为BC 的中点，即OB
OC
=
，
∴
1
2
AOB
ABC
S
S
=
，
∵
6
ABC
S
=
△
，
∴
3
AOB
S
=
，
∵BA
y
∥
轴，
∴AB
x
⊥
轴，
∴
AOB
AOH
BOH
S
S
S
=
+
，
∵点B 在反比例函数
2
y
x
=
的图象上，
∴
1
2
1
2
BOH
S
=
=
，
3 1
2
AOH
AOB
BOH
S
S
S
=
−
= −=
，
∵点A在反比例函数
k
y
x
=
的图象上，
∴
1
2
2
AOH
S
k
=
=
，
∴|
| 4
k =
，
∵反比例函数
k
y
x
=
的图象在第二象限，
∴
0
k
，
∴
4
k = −．
变式7-3 如图，与y 轴平行的直线l 与反比例函数
4
y
x
=
和
2
y
x
= −
的图象分别交于A B
，两点，若P 是y 轴上
任意一点，则PAB
的面积为________．
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【答案】3
【分析】连接
,
OA OB，记直线l 与x 轴交于点C ，根据反比例函数k 的几何意义得
2
4
3
2
2
OAB
OAC
OBC
S
S
S
−
=
+
=
+
=
，由直线l 与y 轴平行得
PAB
OAB
S
S
=
．
【详解】解：如图，连接
,
OA OB ，记直线l 与x 轴交于点C ，
根据k 的几何意义，得
2
4
3
2
2
OAB
OAC
OBC
S
S
S
−
=
+
=
+
=
，
直线l 与y 轴平行，
PAB
与OAB
同底等高，
3
PAB
OAB
S
S
=
=
．
题型八、双反比例函数—“异侧”构造四边形
典例8 如图，四边形OABC是平行四边形，对角线OB 在y 轴上，位于第三象限的点A和第四象限的点C 分
别在反比例函数
1k
y
x
=
和
2k
y
x
=
的图象上，过点A，C 分别作x 轴的垂线，垂足分别为点M ，N ．下列结
论：①ON
OM
=
；②
1
2
k
AM
CN
k
=
；③阴影部分面积是(
)
1
2
1
2 k
k
+
；④若四边形OABC是菱形，则图中曲线关
于y 轴对称．其中正确的是（ ）
A．①④
B．②③
C．②③④
D．①②④
【答案】D
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【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数与几何综合、矩形的判定
与性质，由平行四边形的性质可得OA
BC
=
，OA
BC
∥
，则
AOB
CBO
=
，作CE
y
⊥
轴于点E ，AF
y
⊥
轴于点F ，证明
(
)
AAS
AOF
CBE
≌
，得出CE
AF
=
，证明四边形AFOM 、CEON 均为矩形，得出AF
OM
=
，
CE
ON
=
，即可判断①；由题意可得
1
1
1
2
2
AMO
S
OM AM
k
=
=
，
2
1
1
2
2
CNO
S
ON CN
k
=
=
，即可判断②③；
由菱形的性质即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵四边形OABC为平行四边形，
∴OA
BC
=
，OA
BC
∥
，
∴
AOB
CBO
=
，
如图，作CE
y
⊥
轴于点E ，AF
y
⊥
轴于点F ，
，
则
90
AFO
CEB
CEO
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
AOF
CBE
≌
，
∴CE
AF
=
，
∵过点A，C 分别作x 轴的垂线，垂足分别为点M ，N ．
∴
90
AMO
FOM
AFO
=
=
=
，
90
CNO
EON
CEO
=
=
=
，
∴四边形AFOM 、CEON 均为矩形，
∴AF
OM
=
，CE
ON
=
，
∴OM
ON
=
，故①正确；
由题意可得：
1
1
1
2
2
AMO
S
OM AM
k
=
=
，
2
1
1
2
2
CNO
S
ON CN
k
=
=
，
∴
1
2
1
1
2
2
1
1
2
2
OM AM
k
ON CN
k
=
，
∴
1
2
k
AM
CN
k
=
，故②正确；
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阴影部分面积是
(
)
1
2
1
2
1
1
1
2
2
2
AMO
CNO
S
S
k
k
k
k
+
=
+
=
+
，故③错误；
若四边形OABC是菱形，则
AOB
COB
=
，AO
CO
=
，
∴若四边形OABC是菱形，则图中曲线关于y 轴对称，故④正确；
综上所述，正确的有①②④，
故选：D．
变式8-1 如图，在矩形ABCD中，点B 、C 在x 轴上，点A、D 分别在反比例函数
4
y
x
= −
和
k
y
x
=
上，若矩
形ABCD的面积为6，则k 的值是（ ）
A．2
−
B．2
C．4
−
D．4
【答案】B
【分析】设AD与y 轴交于点E ，根据反比例函数k 的几何意义可知，矩形ABOE 的面积为
4
−
，矩形DCOE
的面积为k ，由矩形ABCD的面积为6 建立方程求解即可．
【详解】解：如图，设AD与y 轴交于点E ，
四边形ABCD是矩形，点B 、C 在x 轴上，
AB
x
⊥
轴，DC
x
⊥
轴，AD
x
∥轴，
四边形ABOE 和四边形DCOE 均为矩形．
点A在反比例函数
4
y
x
= −
的图象上，
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4
4
ABOE
S
= −
=
矩形
．
点D在反比例函数
k
y
x
=
的图象上，且图象在第一象限，
0
k
，
DCOE
S
k
k
=
=
矩形
．
6
ABCD
ABOE
DCOE
S
S
S
=
+
=
矩形
矩形
矩形
，
4
6
k
+
=
，
2
k
=
．
变式8-2 如图，经过原点O 的直线与反比例函数
(
)
0
a
y
a
x
=
的图象交于A，D 两点（点A 在第一象限），
点B，C，E 在反比例函数
(
)
0
b
y
b
x
=
的图象上，AB
y
轴，AE
CD
x
∥
∥轴，五边形ABCDE 的面积为56，
四边形ABCD的面积为32，则a
b
−
的值为_____，a
b 的值为_____．
【答案】 24
3
−
【分析】本题考查反比例函数的性质以及与几何综合，设
, a
A t t
，由A D
、
关于原点对称，得
,
a
D
t
t
−−
，
由AB
y
轴，则
A
B
x
x
=
，由AE
CD
x
∥
∥轴，得
A
E
y
y
=
，
C
D
y
y
=
，可分别得B、C、D、E 的坐标，再根
据条件中的面积关系列出方程即可．
【详解】解：由题意知，A D
、
关于原点对称，
设
, a
A t t
，则
,
a
D
t
t
−−
，
AB
y
∥
轴，
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, b
B t t
，
AE
CD
x
∥
∥轴，
,
b a
E
a
t
t
，
,
b
a
C
a
t
t
−
−
，即
,
bt a
E
a
t
，
,
bt
a
C
a
t
−
−
，
又五边形ABCDE 的面积为56，四边形ABCD的面积为32，
1
S
56
32
2
ADE
bt
a
a
t
a
t
t
=
−
+
=
−
，
解得
24
a
b
−
=
，
如图，延长AB 、DC 交于点G，则AB
DC
⊥
，
,
a
G t
t
−
，
(
)
ABCD
1
1
S
S
S
+
32
2
2
ADG
BCG
a
a
b
a
bt
t
t
t
t
t
t
t
a
=
−
=
+
+
−
+
=
四边形
，
(
)
2
2
32
2
a
b
a
a
+
−
=
，
又
24
a
b
−
=
，即
24
b
a
=
−
，
(
)
2
2
24
2
32
2
a
a
a
−
−
=
，即
(
)
2
2
4
2
24
64
a
a
a
−
−
=
，
解得
18
a =
，
6
b
= −，
3
a
b
= −．
变式8-3 如图，四边形OABC是平行四边形，对角线OB 在y 轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限
内的点C 分别在双曲线
1k
y
x
=
和
2k
y
x
=
的一支上，分别过点A、C 作x 轴的垂线，垂足分别为M 和N ，则
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有以下的结论：
①若B 点坐标为(
)
0,6 ，A点坐标为(
)
2,2 ，则
2
8
k = −；
②阴影部分的面积为(
)
1
2
1
2 k
k
+
；
③当
90
AOC
=
时，
1
2
k
k
=
；
④若四边形OABC是菱形，则两双曲线既关于x 轴对称，也关于y 轴对称．
其中正确的结论是_____________（填写正确结论的序号）．
【答案】①④
【详解】解：①过点A作AD
y
⊥
轴于点D ，过点C 作CE
y
⊥
轴于点E ，
四边形OABC是平行四边形，
OC
AB
=
，OC
AB
，
ABO
COB
=
，
在CEO
和ADB
中，
90
CEO
ADB
BOC
ABO
OC
AB
=
=
=
=
CEO
ADB
≌
(
)
AAS ，
CE
AD
=
，OE
BD
=
，
B 点坐标为(
)
0,6 ，A点坐标为(
)
2,2 ，
2
AD
CE
=
=
，
4
BD
OE
=
=
，
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点C 的坐标为(
)
2 4
−，，
把C (
)
2 4
−，代入
2k
y
x
=
得：
2
8
k = −，结论符合题意
②点C 在双曲线
2k
y
x
=
的一支上，点A在双曲线
1k
y
x
=
的一支上，
2
0
k
，
1
0
k
，
2
2
1
1
|
|
2
2
CON
S
k
k
=
= −
，
1
1
1
1
|
|
2
2
AOM
S
k
k
=
=
，
阴影部分的面积为(
)
1
2
1
2 k
k
−
，结论不符合题意．
③当
90
AOC
=
时，
OABC
是矩形，
OC 不一定等于OA,
CON
与AOM
不一定全等，
1
|
|
k 不一定等于
2
|
|
k
，结论不符合题意．
④连结AC 交y 轴于点G ，
四边形OABC是菱形，
CG
AG
=
，OB
AC
⊥
，
点A、C 关于y 轴对称，
如图所示的两个图像关于y 轴对称，
双曲线
1k
y
x
=
和
2k
y
x
=
各自关于原点对称，
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两双曲线既关于x 轴对称，也关于y 轴对称，结论符合题意．
题型九、反比例函数中的规律问题
典例9 如图，在x 轴的正半轴上依次截取
1
1
2
2
3
OA
A A
A A
=
=
，过点
1
2
3
,
,
A A
A 分别作x 轴的垂线与反比例函数
(
)
2
0
y
x
x
=
的图象相交于点
1
2
3
,
,
P P P ，得
1
1
1
2
2
2
3
3
,
,
OPA
A P A
A P A
△
△
△
，并设其面积分别为
1
2
3
,
,
S S
S ，以此类
推，则
2024
S
的值为（ ）
A．
1
2024
B．
1
2025
C．
1
4048
D．
1
1012
【答案】A
【分析】连接
2
3
4
,
,
OP OP OP ，根据反比例函数的几何性质，可得
1 1
2
2
3
3
4
4
1
1
OP A
OP A
OP A
OP A
S
S
S
S
S
=
=
=
=
=
，又
1
1
2
2
3
3
4
OA
A A
A A
A A
=
=
=
，可得到
1 2
2
2
1
1
2
A P A
S
S
S
=
=
，3
1
1
3
S
S
=
，4
1
1
4
S
S
=
，按此规律，可得
2024
1
1
1
2024
2024
S
S
=
=
．
【详解】解：连接
2
3
4
,
,
OP OP OP ，如图所示，
1P ，2P ，3P ，4P 是反比例函数
2
y
x
=
的图象上的点，1 1
2
2
3
3
4
4
A P
A P
A P
A P
，
，
，
都垂直于x 轴，
1 1
1
1
1 1
1
1
2
1
2
2
OP A
S
S
OA A P
=
=
=
=
，根据反比例函数的几何性质可得，
1 1
2
2
3
3
4
4
1
1
OP A
OP A
OP A
OP A
S
S
S
S
S
=
=
=
=
=
，
1
1
2
2
3
3
4
OA
A A
A A
A A
=
=
=
，
1 2
2
2
1
1
2
A P A
S
S
S
=
=
，
3
1
1
3
S
S
=
，
4
1
1
4
S
S
=
，依此规律，可得
2024
1
1
1
2024
2024
S
S
=
=
．
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变式9-1 如图，在x 轴的正半轴依次截取
1
1
2
2
3
OA
A A
A A
=
=
，过点
1A ，
2
3
A
A
，
分别作x 轴的垂线与反比例函
数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象相交于点
1
2
3
P
P
P
，，
，得
1
1
1 2
2
2
3
3
，
，
OPA
AP A
A P A
，并设其面积分别为
1
2
3
S
S
S
，，
，以此
类推，若
2026
1
2026
S
=
，则k 的值为（ ）
A．2
B．1
C．-2
D．4
【答案】A
【分析】本题考查的是反比例函数综合题，根据题意作出辅助线，利用反比例函数系数k 的几何意义求解是
解答此题的关键．
连接
2
3
4
OP
OP
OP
，
，
，再根据反比例函数
k
y
x
=
中k 的几何意义进行解答即可．
【详解】解：连接
2
3
4
OP
OP
OP
，
，
，
∵点
1P ，
2P ，
3P ，
4P 是反比例函数
k
y
x
=
的图象上的点，
1 1
2
2
3
3
4
4
AP
A P
A P
A P
、
、
、
都垂直于x 轴，
∴
1 1
2 2
3 3
4 4
1
2
2
A PO
A P O
A PO
A P O
k
S
S
S
S
k
=
=
=
=
=
△
△
△
△
，
∵
1
1
2
2
3
3
4
OA
A A
A A
A A
=
=
=
，
∴
2
1
1
2
S
S
=
，
3
1
1
3
S
S
=
，
4
1
8
1
1
4
4
2
k
S
S
k
=
=
=
．
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以此类推
2026
1
1
1
2026
4052
2026
k
S
S
=
=
=
，解得
2
k =
．
故选：A．
变式9-2 如图，一组等腰三角形的底边均在x 轴的非负半轴上，两腰的交点在反比例函数
1
y
x
=
的图象上，
且它们的底边都相等．若
1
1
OA B
，
1
2
2
A A B
，
2
3
3
A A B
，…
2025
2026
2026
A
A
B
△
的面积分别为
1S ，2
S ，3S ，…，2026
S
，
则
2026
S
的值_________．
【答案】
1
4051
【分析】分别过点
1
B ，
2
B ，
3
B ，，
n
B 作x 轴的垂线，垂足分别为
1
C ，
2
C ，
3
C ，，
n
C ，设
1
1
,
B
m m
，
则
(
)
1
,0
C
m
，
(
)
2 3 ,0
C
m
，
(
)
3 5 ,0
C
m
，，
(
)
2
1
,0
n
C
n
m
−
，分别求出
1S ，2
S ，3S ，…，总结得出
1
2
1
n
S
n
=
−，
最后将
2026
n =
代入即可解题．
【详解】解：分别过点
1
B ，
2
B ，
3
B ，，
n
B 作x 轴的垂线，垂足分别为
1
C ，
2
C ，
3
C ，，
n
C ．
设
1
1
,
B
m m
，则
(
)
1
,0
C
m
，
(
)
2 3 ,0
C
m
，
(
)
3 5 ,0
C
m
，，
(
)
2
,0
n
C
mn
m
−
，
1
1
1
2
1
2
S
m
m
=
= ，
2
1
1
1
2
2
3
3
S
m
m
=
=
，
3
1
1
1
2
2
5
5
S
m
m
=
=
，
4
1
1
1
2
2
7
7
S
m
m
=
=
，
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…，依次类推，
(
)
1
1
1
2
2
2
1
2
1
n
S
m
n
m
n
=
=
−
−，
∴
2026
1
1
2 2026 1
4051
S
=
=
−
．
变式9-3 如图，在反比例函数
(
)
2
0
y
x
x
=
的图象上，有点
1P ，
2P ，
3P ，…，
nP ，
1
nP + ，它们的横坐标依次
为1，2，3，…，n，
1
n + ．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依
次为
1S ，
2S ，
3S ，…，
n
S ，
1
n
S + ，则
1
2
3
1
n
S
S
S
S +
+
+
++
= ____________．
【答案】2
1
n
n +
【分析】根据题意阴影矩形的一边长都为1，将面积为
2
3
1
,
,
,
n
S S
S +
的矩形向左平移到
1S 下方，则有：
1
1
2
3
1
n
DABP
S
S
S
S
S
+
+
+
+
+
=
矩形
，最后利用
1
1
DABP
OCP D
OABC
S
S
S
S
=
=
−
矩形
矩
矩形
阴影
形
计算即可．
【详解】解：
1
2
3
1
,
,
,
,
,
n
n
P P P
P P +
等点，它们的横坐标依次为1，2 ，3，…，n，
1
n + ，
阴影矩形的一边长都为1，如图：
由题意得：
1PD
y
⊥
轴，
1PC
x
⊥
轴，
1
nP A
y
+
⊥
轴，交
1PC 于点B ，
将面积为
2
3
1
,
,
,
n
S S
S +
的矩形向左平移到
1S 下方，
∴
1
1
2
3
1
n
DABP
S
S
S
S
S
+
+
+
+
+
=
矩形
，
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当
1
x
n
=
+ 时，
2
1
y
n
=
+ ，即
2
1
OA
n
=
+ ，
2
1
OABC
S
OA OC
n
=
=
+
矩形
，
根据反比例函数k 值的几何意义得：
1
2
OCPD
S
=
矩形
，
1
1
2
2
2
1
1
DABP
OCPD
OABC
n
S
S
S
S
n
n
=
=
−
=
−
=
+
+
阴影
矩形
矩形
矩形
．
题型十、反比例函数中的解析式
典例10 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数
4
y
x
=
的图象与反比例函数
k
y
x
=
的图象相交于A、B 两
点，过点A 作AC
x
⊥
轴于点C，过点B 作BD
x
⊥
轴于点D，连结AD、BC ．四边形ACBD的面积为8．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出当4
k
x
x
时，x 的取值范围．
【答案】(1)
4
y
x
=
(2)
1
x −或0
1
x
【分析】（1）可证明四边形ACBD是平行四边形，则
1
2
4
AOC
ACBD
S
S
=
=
四边形
，
2
4
AOC
k
S
=
=
，则题目可解；
（2）观察图像得不等式的解集；
【详解】（1）解：正比例函数的图象和反比例函数的图象都关于原点中心对称，
∴点A 与点B 关于原点中心对称．
∴OA
OB
=
．
∵AC
x
⊥
轴于点C，BD
x
⊥
轴于点D，
90 .
ACO
BDO
=
=
又∵
AOC
BOD
=
，
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∴AOC
BOD
≌
．
∴OC
OD
=
．
∴四边形ACBD是平行四边形．
1
2
4
AOC
ACBD
S
S
=
=
四边形
2
4
AOC
k
S
=
=
∴反比例函数的解析式为
4
y
x
=
（2）解：由图象可知
1
x −或0
1
x
．
变式10-1 如图，直线AB 与反比例函数
k
y
x
=
的图象交于(
)
,2
A m
、(
)
1,
B
n 两点，与x 轴交于点C ．若BD
y
⊥
轴，垂足为D，
BOD
△
面积为6．
(1)求k 值；
(2)求BOC
的面积．
【答案】(1)12
(2)42
【分析】（1）根据反比例函数k 的几何意义，即可求解；
（2）根据（1）得出反比例函数解析式为
12
y
x
=
，进而求得
(
)
6,2
A
，(
)
1,12
B
，直线AB 的解析式为
2
14
= −
+
y
x
，
进而得出
(
)
7,0
C
，再根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：∵BD
y
⊥
轴，垂足为D，
BOD
△
面积为6
∴
2
12
BOD
k
S
=
=
∵反比例函数图象在第一象限
∴
0
k
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∴
12
k =
；
（2）解：由（1）可得反比例函数解析式为
12
y
x
=
∵
(
)
,2
A m
，
(
)
1,
B
n 在
12
y
x
=
图像上，
∴
2
12
m
=
，1
12
n
=
，
解得：
6,
12
m
n
=
=
∴
(
)
6,2
A
，
(
)
1,12
B
设直线AB 的解析式为
(
)
0
y
kx
b k
=
+
，代入
(
)
6,2
A
，
(
)
1,12
B
得
2
6
12
k
b
k
b
=
+
=
+
，解得：
2
14
k
b
= −
=
∴直线AB 的解析式为
2
14
= −
+
y
x
当
0
y =
时，0
2
14
x
= −
+
解得：
7
x =
∴
(
)
7,0
C
∴
7
OC =
∴
1
1
7 12
42
2
2
BOC
B
S
OC
y
=
=
=
变式10-2 如图，点
(
)
2,4
A
在反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象上，过点A作x 轴的垂线交反比例函数
(
)
0
m
y
x
x
=
的图象于点C ．
(1)求反比例函数
k
y
x
=
的表达式．
(2)连接
,
OA OC ，若OAC
的面积是3，求m 的值．
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【答案】(1)
(
)
8
0
y
x
x
=
；
(2)
2
m =
【分析】（1）将点
(
)
2,4
A
代入
(
)
0
k
y
x
x
=
，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）延长AC 交x 轴于点D，根据反比例函数k 的意义得出
1 8
4
2
AOD
S
=
=
，
2
COD
m
S
=
，根据OAC
的面
积是3，建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象经过点
(
)
2,4
A
，
4
2
k
=
，
8
k
=
反比例函数
k
y
x
=
的表达式为
(
)
8
0
y
x
x
=
．
（2）解：延长AC 交x 轴于点D ，由题意得AD
x
⊥
轴，
点A在反比例函数
(
)
8
0
y
x
x
=
的图象上，
1 8
4
2
AOD
S
=
=
．
点C 在反比例函数
(
)
0
m
y
x
x
=
的图象上，
2
COD
m
S
=
，
4
3
2
AOC
AOD
COD
m
S
S
S
=
−
=
−
=
，
解得
2
m =
．
变式10-3 如图，已知AD
x
∥轴，点A 在反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
的图象上，将线段AD平移，得到线段BC ，
且点B 恰好落在反比例函数
(
)
3
0
y
k
x
=
的图象上，点O 为四边形ABCD的中心，
14
ABCD
S
=
四边形
．
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(1)求k 的值；
(2)若点D 到x 轴的距离为1，求直线AB 的解析式．
【答案】(1) 4
−
(2)
2
7
y
x
= −
+
【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及反比例函数k 的几何意义，反比例函数与一次函数的综合，
熟练掌握反比例函数与几何的综合是解题的关键．
(1) 设AD，BC 分别交y 轴于点E，F，连接OA，OB ，OC ，由点O 是平行四边形ABCD的中心，
14
ABCD
S
=
四边形
，得
7
3
2
2
2
COF
S
=
−
=
，证明
(
)
ASA
AOE
COF
≌
，得
2
AOE
COF
S
S
=
=
，进而可求k．
(2) 根据点D 到x 轴的距离为1，AD
x
∥轴，点O 是平行四边形ABCD的中心，分别求得点A 、点 B 的
坐标，用待定系数法即可求解．
【详解】（1）解：如图，设AD，BC 分别交y 轴于点E，F，连接OA，OB ，OC ，
AD
x
∥
轴，
AD
y
⊥
轴，
∴由平移知BC
y
⊥
轴，
则
1
3
3
2
2
BOF
S
=
=
．
由平移可知四边形ABCD是平行四边形，
∵点O 是平行四边形ABCD的中心，
14
ABCD
S
=
四边形
，
1
7
14
4
2
BOC
S
=
=
，
7
3
2
2
2
COF
S
=
−
=
．
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∵点O 是平行四边形ABCD的中心，
BC
AD
，AO
CO
=
，
FCO
EAO
=
，
AOE
COF
=
，
(
)
ASA
AOE
COF
≌
△
△
，
2
AOE
COF
S
S
=
=
，
4
k
=
．
∵函数
(
0)
k
y
x
x
=
的图象在第四象限，
0
k
，
4
k
= −．
（2）解：∵点D 到x 轴的距离为1，AD
x
∥轴，点O 是平行四边形ABCD的中心，
∴点A 的纵坐标为1
−，
∴ 点 B 的纵坐标为1．
将
1
y
−
=
代入
4
y
x
−
=
，得
4
x = ，
(
)
4, 1
A
−
．
将
1
y = 代入
3
y
x
=
，得
3
x =
，
(
)
3,1
B
．
设直线AB 的解析式为y
ax
b
=
+
，
将
(
)
4, 1
A
−
，
(
)
3,1
B
分别代入，
得
4
1
{ 3
1
a
b
a
b
+
= −
+
=
，
，
解得
2
{
7
a
b
= −
=
，
，
∴直线AB 的解析式为
2
7
y
x
= −
+
．
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压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．如图，点A和点B 分别在反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
和
(
)
6
0
y
x
x
=
两个图象上，AB
x
∥轴且交y 轴于点P ，
若
:
2: 3
PA PB =
，则k 的值为（ ）
A．3
B．3
−
C．4
D．4
−
【答案】D
【分析】过点A作AC
x
⊥
轴于点C ，过点B 作BD
x
⊥
轴于点D ，证明四边形ACOP和四边形BDOP是矩形，
且AC
OP
BD
=
=
，
ACOP
S
k
k
=
= −
矩形
，
6
BDOP
S
=
矩形
，则
:
:
2:3
ACOP
BDOP
S
S
PA OP PB OP
=
=
矩形
矩形
，据此即
可求出答案．
【详解】解：过点A作AC
x
⊥
轴于点C ，过点B 作BD
x
⊥
轴于点D ，
则
90
ACO
BDO
=
=
，
∵AB
x
∥轴且交y 轴于点P ，
∴
180
90
90
APO
BPO
=
=
−
=
，
∴四边形ACOP和四边形BDOP是矩形，且AC
OP
BD
=
=
，
∵矩形ACOP的顶点A，矩形BDOP的顶点B 分别在反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
和
(
)
6
0
y
x
x
=
的图象上，
∴
ACOP
S
k
k
=
= −
矩形
，
6
BDOP
S
=
矩形
，
∵
:
2: 3
PA PB =
，
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∴
:
:
2:3
ACOP
BDOP
S
S
PA OP PB OP
=
=
矩形
矩形
，
∴2:3
:6
k
= −
，
解得：
4
k = −．
2．如图，点A、B 位于图中所示的双曲线上，且AB
x
∥轴，点C、D 在x 轴上，若四边形ABCD为矩形，
则它的面积为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．12
【答案】C
【分析】延长BA交y 轴于E，则BE
y
⊥
轴，推出四边形AEOD 和四边形BEOC 都是矩形，根据反比例函数
的几何意义求解即可．
【详解】解：延长BA交y 轴于E，则BE
y
⊥
轴，如图：
∵四边形ABCD为矩形，
∴四边形AEOD 和四边形BEOC 都是矩形，
∵点A 在双曲线
4
y
x
=
上，
∴矩形AEOD 的面积为4，
∵点B 在双曲线
12
y
x
=
上，且AB
x
∥轴，
∴矩形BEOC 的面积为12，
∴矩形ABCD的面积为12 4
8
−
= ．
3．如图，点A 在反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象上，点B 在反比例函数
(
)
4
0
y
x
x
−
=
的图象上，AB 平行于
x 轴，连接OA OB
，
，若4
6
k
，则AOB
的面积可以是（ ）
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A．7
2
B．4
C．9
2
D．5
【答案】C
【分析】设
,
k
A
a
a
，
4 ,
B
a
a
−
，将
AOB
的面积表示出来，建立面积与k 的函数关系，结合k 的取值范
围即可求解．
【详解】解：∵ 点A在反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
的图象上，
点B 在反比例函数
4 (
0)
y
x
x
−
=
的图象上，
∴设
,
k
A
a
a
，
∵AB 平行x 轴，
∴
4 ,
B
a
a
−
，
∴
1
1
4
4
2
2
2
2
2
AOB
k
k
k
S
AB
a
a
a
a
−
+
=
=
−
=
=
+
，
∵4
6
k
，
∴2
3
2
k
，
∴4
2
5
2
k
+
， 即 4
5
AOB
S
，只有9
2 符合题意．
4．如图，已知A、B 是函数
(
)
0
k
y
x
x
=
图象上的两点，点B 位于点A 的左侧，AM ，BN 均垂直于x 轴，
垂足为点M、N，连接AO ，交BN 于点E ．若
1
4
NE
NB
=
，四边形AMNE 的面积为3，则k 的值为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
【答案】D
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【分析】先设点B 坐标为(
)
,a b ，用a 、b 表示出OEN
的面积，再根据四边形AMNE 的面积列方程求得k 的
值便可．
【详解】解：设点B 坐标为(
)
,a b ，则ON
a
=
，BN
b
=
，k
ab
=
，
1
4
NE
NB
=
，
1
4
NE
b
=
，
1
1
1
2
8
8
OEN
S
ON EN
ab
k
=
=
=
，
AM
x
⊥
轴于M ，
1
2
OAM
S
k
=
，
四边形AMNE 的面积为3，
1
1
3
2
8
k
k
−
= ，
解得
8
k = ．
5．在平面直角坐标系中，A、B 两点关于y 轴对称，以AB 为边在x 轴上方作平行四边形ABCD，点D 恰好
落在y 轴上，反比例函数
k
y
x
=
交边CD于点E ，交边BC 于点F ．点P 是平行四边形ABCD内任一点，连接
PA、PB、PC 、PD、PO．若
2 3
DE EC =
∶
∶，且2
25
AOP
PCD
S
S
+
=
△
△
，则k 的值为（ ）
A．10
B．20
C．10
−
D．20
−
【答案】D
【分析】连接OE ，过点P 作x 轴的垂线，交AB 于点H ，交CD于点G ，先求出平行四边形ABCD得面积，
再求出OED
的面积，根据反比例函数k 的几何意义即可求出k 的值．
【详解】解：如图，连接OE ，过点P 作x 轴的垂线，交AB 于点H ，交CD于点G ，
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∵A、B 两点关于y 轴对称，
∴AO
BO
=
，
∴
2
ABP
AOP
S
S
=
，
∵2
25
AOP
PCD
S
S
+
=
△
△
，
∴
25
ABP
CDP
S
S
+
=
，
∴1
1
1
25
2
2
2
AB PH
CD PG
CD GH
+
=
=
，
∴
50
CD GH
=
．
∴
50
CD OD
=
．
∵
2 3
DE EC =
∶
∶，
∴
2
5
DE
CD
=
，
∴
1
1
2
1 50
10
2
2
5
5
OED
S
DE OD
CD OD
=
=
=
=
．
∴
2
20
OED
k
S
=
=
，
∵反比例函数经过第二象限，
∴
0
k
，
∴
20
k = −
．
6．如图，矩形OABC的边OA、OC 分别在x 、y 轴上，函数
(
0)
k
y
x
x
=
的图象经过边BC 的中点E ，交AB
于点D，若四边形ODBC 的面积为12，则k 的值为______．
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【答案】8
【分析】根据矩形的性质与三角形中线的性质解得
OAD
OCE
OBD
OBE
S
S
S
S
=
=
=
，再根据四边形ODBC 的面
积为12求出
OCE
S
，直接根据反比例函数“k ”的几何意义求解即可．
【详解】解：连接OB 、OE ，如图所示：
四边形OABC是矩形，
90
OAD
OCE
DBE
=
=
=
，
OAB
S
OBC
S
=
，
D
、E 在反比例函数y = (
0)
x
的图象上，
∴
OAD
OCE
S
S
=
△
△
，
∴
OBD
OBE
S
S
=
，
∵点E 是BC 的中点，
∴BE
EC
=
，
∴
OCE
OBE
S
S
=
△
△
，
∵
3
12
OCE
OBE
OBD
OCE
ODBC
S
S
S
S
S
=
+
+
=
=
四边形
，
∴
4
OCE
S
=
，即1
4
2 k =
，
∵图象在第一象限，即
0
k
，
8
k
= ．
7．反比例函数
k
y
x
=
在第一象限的图象如图所示，点A在函数的图象上，点B 为x 轴正半轴上一点，连接AO ，
AB ，且AO
AB
=
，若
6
AOB
S
=
，那么k =____________．
【答案】6
【分析】作AD
OB
⊥
交OB 于点D，根据等腰三角形三线合一得到OD
DB
=
，根据三角形面积公式求出
6
OD
AD
= ，根据k 的几何意义及反比例函数所在象限作答即可．
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【详解】解：如图，作AD
OB
⊥
交OB 于点D，
∵AO
AB
=
，
∴OD
DB
=
，
∵
6
AOB
S
=
，
∴1
6
2 OB
AD
=
，
即1
2
6
2
OD
AD
=
∴
6
OD
AD
= ，
∴
6
k
OD
AD
=
=
，
∵反比例函数
k
y
x
=
经过第一象限，
∴
0
k ，
即
6
k =
．
8．如图，在平面直角坐标系中，曲线C 关于原点O 成中心对称，点A 的对称点是点A，AB
x
⊥
轴，
D
y
A
⊥
轴，点A 在反比例函数
2026
y
x
=
的图象上，则阴影部分的面积之和为____________．
【答案】2026
【分析】将第三象限的阴影部分绕着点O 旋转180后与第一象限的阴影部分拼成矩形OBAE ，然后根据反
比例函数比例系数的几何意义求解即可．
【详解】解：如图，将第三象限的阴影部分绕着点O 旋转180后与第一象限的阴影部分拼成矩形OBAE ．
点A 在反比例函数
2026
y
x
=
的图象上，
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∴
2026
OBAE
S
=
矩形
，
阴影部分的面积之和为2026．
9．对于反比例函数
(
)
1
1
0
k
y
k
x
=
和
(
)
2
2
0
k
y
k
x
=
，平行于x 轴的直线与两个反比例函数的图象的交点分别
为A，B．若
2
1
6
k
k
−
=
，则AOB
的面积为______．
【答案】3
【分析】设直线AB 交y 轴于点C ，根据反比例函数系数k 的几何意义，将AOB
的面积转化为AOC
与
BOC
的面积之和，即可得出结果.
【详解】解：设直线AB 交y 轴于点C ，
AB
x
轴，
AB
y
⊥
轴，
∴
1
1 |
|
2
AOC
S
k
=
，
2
1 |
|
2
BOC
S
k
=
，
1
0
k
，
2
0
k
，
1
1
|
|
k
k
−
=
，
2
2
|
|
k
k
=
，
(
)
(
)
1
2
2
1
1
1
1
2
2
2
AOB
AOC
BOC
S
S
S
k
k
k
k
=
+
=
−
+
=
−
；
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2
1
6
k
k
−
=
，
1
6
3
2
AOB
S
=
=
.
10．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
的图象分别与等腰直角AOB
的直角边AB 和斜
边OB 交于点C ，D，点A在x 轴负半轴上，连接AD，CD，若AD
OB
⊥
，且BCD
的面积为3，则k =________．
【答案】
4
−
【分析】作DE
AO
⊥
，连接CO，根据等腰直角三角形的性质得
3
CDO
BCD
S
S
=
=
，再设点
( , )
k
D a a ，则点
2
(2 ,
)
k
B
a a
，即可求出
2
DEO
k
S
= −
，
2
ABO
S
k
= −
，同理
2
ACO
k
S
= −
，最后根据
BCD
CDO
CAO
ABO
S
S
S
S
+
+
=
求
出答案．
【详解】解：过点D 作DE
AO
⊥
，交x 轴于点E，
∵等腰直角AOB
，AD
BO
⊥
，
∴BD
DO
=
，则点D 是BO的中点．
1
2
AE
EO
AO
=
=
，
2
AB
DE
=
，
∵
3
BCD
S
=
，
∴
3
CDO
BCD
S
S
=
=
．
设点
( , )
k
D a a ，
∴𝐸𝑂= −೦೦ ,
k
DE
a
=
，
∴
2
2 ,
k
AO
a AB
a
= −
=
，
∴
1
(
)
2
2
DEO
k
k
S
a
a
=
−
= −
，
1
2
( 2 )
2
2
ABO
k
S
a
k
a
=
−
= −
，同理
2
ACO
k
S
= −
，
∴
BCD
CDO
CAO
ABO
S
S
S
S
+
+
=
，
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即3 3 (
)
2
2
k
k
+ + −
= −
，
解得
4
k = −．
11．如图，在平面直角坐标系中，AOP
的顶点P 在y 轴的正半轴上，顶点A落在反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
上，
且AP
OP
⊥
，
3
AOP
S
=
△
．点Q 是x 轴的正半轴上一点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作
AOQ
的平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
(3)若（2）中所作的角平分线分别交
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象，射线PA于点B ，C ，当
3
OP =
时，求点C 的坐标．
【答案】(1)
(
)
6
0
y
x
x
=
；
(2)以原点为圆心，以适当长为半径作弧交角的两边OA
OQ
，
，再分别以两个交点为圆心，以大于两个交点
之间的距离一半的长为半径作弧，两弧相交于一点，连接原点与该交点并延长，即为角平分线．如图所示
(3)点C 的坐标为(
)
13
2,3
+
【分析】（1）因为AP
OP
⊥
，所以AOP
的面积等于1
2
k
∣∣，结合面积值和
0
x
的范围确定k ，即可得到反
比例函数解析式．
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（2）以O为圆心作弧交角的两边，再分别以两个交点为圆心，以大于两个交点之间的距离一半的长为半径
作弧得到交点，连接O与该交点并延长，即为角平分线．
（3）首先根据
3
OP = 得到点A的纵坐标，代入反比例函数解析式求出点A的坐标，求出OA长，再利用角
平分线和平行线的性质证明OAC
是等腰三角形，得到AC 的长；即可得到PC 的长，即可得到点C 的坐标．
【详解】（1）解：
3
AOP
S
=
△
，AP
OP
⊥
，
1
3
2 k
= ，
6
k
= ，
反比例函数的解析式为
(
)
6
0
y
x
x
=
；
（2）略
（3）解：
PA x
∥轴，
3
OP =
，
点A的纵坐标为3，
将
3
y =
代入
6
y
x
=
，
得
2
x =
，
(
)
2,3
A
，
在Rt APO
中，
2
PA =
，
3
OP =
，
2
2
13
OA
AP
OP
=
+
=
，
OC
平分
AOQ
，
AOC
QOC
=
，
PA x
∥轴，
ACO
QOC
=
，
AOC
ACO
=
，
13
AC
AO
=
=
，
13
2
PC
AC
PA
=
+
=
+ ，
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点C 的坐标为(
)
13
2,3
+
．
12．如图，点A在反比例函数
(
)
3
0
y
x
x
=
的图象上，点B 在反比例函数
(
)
0,
0
k
y
k
x
x
=
的图象上，AB
x
⊥
轴于点M ．
(1)若点A 的横坐标为3，
2
BM
AM
=
，直接写出k 的值______；
(2)若
:
2:3
=
AM MB
，求出此时k 的值．
【答案】(1) 6
−
(2) 4.5
−
【分析】（1）根据A点的横坐标求出其纵坐标，结合已知条件即可求出B 点的横纵坐标，从而求出k 值．
（2）利用A点和B 点与各自函数的关系可求出其横纵坐标的乘积，将其转化成线段关系，利用三角形的面
积公式，表示出AOM
和BOM
的面积，利用等底关系和结合
:
2:3
=
AM MB
，将其面积比转化为线段比，
即可求出k 的值．
【详解】（1）解：A横坐标是3，A在反比例函数
(
)
3
0
y
x
x
=
上，
A
的纵坐标为
3
1
3
y =
=
，
1
AM
= ，
2
BM
AM
=
2
BM
=
，
B
在第四象限，
B
的纵坐标为2
−，
AB
x
⊥
，
A
和B 的横坐标相等，
B
的横坐标为3，
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(
)
3, 2
B
−
，
2 3
6
k
= −= −．
（2）解：连接OA，OB ，如图所示，
AB
x
⊥
轴，A在反比例函数
(
)
3
0
y
x
x
=
上，
3
xy
= ，
3
AM OM
=
，
1
1
S
3
2
2
2
3
AOM
AM OM
=
=
=
，
同理，
2
BOM
k
S
=
，
3
:
:
3:
2
2
AOM
BOM
k
S
S
k
=
=
:
2:3
AM MB =
S
:S
:
2:3
AOM
BOM
AM MB
=
=
，
3:
2:3
k
=
，
4.5
k
=
．
0
k
，
4.5
k
= −
．
【点睛】本题考查了反比例函数中点的坐标和k 值的关系，以及反比例函数中三角形面积问题，解题的关键
在于点的坐标的乘积结果可以转化成面积的线段乘积关系．
13．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C 在坐标轴上，顶点B 在反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
的
图象上，已知矩形OABC的长OC 和宽OA分别为4，3．
小学
初中
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(1)求反比例函数的表达式；
(2)若点P 在该反比例函数的图象上，且在BC 的上方，过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为E，F，
PE与BC 交于点G．若矩形OEPF 与矩形ABCO不重合部分的面积为6，求点P 的坐标．
【答案】(1)
(
)
12
0
y
x
x
=
(2) 9
4
16
, 3
【分析】（1）根据反比例函数k 的几何意义求解即可；
（2）设
12
,
P a a
，根据矩形OEPF 与矩形ABCO不重合部分的面积为6 列方程求解即可．
【详解】（1）解：矩形OABC的长OC 和宽OA分别为4，3，
4
3
12
OABC
S
=
=
矩形
，
点B 在反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
的图象上，
12
k
=
，
反比例函数的表达式为
12 (
0)
y
x
x
=
；
（2）解：设
12
,
P a a
，
则PF
OE
a
=
= ，
12
OF
a
=
，
3
AE
a
= −
，
12
4
CF
a
=
−，
矩形OEPF 与矩形ABCO不重合部分的面积为6，
(
)
12
4
4 3
6
a
a
a
−
+
−
=
，
解得
9
4
a =
，
12
12
16
9
3
4
a
=
=
，
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点P 的坐标为9
4
16
, 3
．
14．如图，点A、B 分别是双曲线
(
)
1
0
y
x
x
= −
和
(
)
4
0
y
x
x
=
上的两个动点，AB
x
轴，过A、B 两点分别
作x 轴的垂线，垂足分别为D、C，连接OA、OB ．
(1)四边形ABCD的面积为 ；
(2)设点C 的坐标为(
)
,0
m
．
① 当m = 时，四边形ABCD为正方形；
② 当AOB
是直角三角形时，求m 的值．
【答案】(1)5
(2)①4
5
5
；②m 的值为2 2
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，反比例函数系数的几何意义，正方形的性质，勾股定理，熟
练掌握相应知识是解题的关键．
（1）由反比例函数系数的几何意义即可求解；
（2）①由四边形ABCD为正方形可得
5
AB
AD
BC
CD
=
=
=
=
，则点B 的纵坐标为5 ，利用函数解析式
即可求得点B 的横坐标，即可得m 的值；
②由点
(
)
,0
C m
，可得点
4
,
B m m
，点
4
,
4
m
A
m
，当AOB
是直角三角形时，利用
2
2
2
OA
OB
AB
+
=
即可求
解．
【详解】（1）解：由反比例函数系数的几何意义可得：
1 4
5
ABCD
S
= +
=
四边形
．
故答案为：5．
（2）解：①∵四边形ABCD为正方形，
∴
5
AB
AD
BC
CD
=
=
=
=
，
∴点B 的纵坐标为5 ，
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把
5
y =
代入
4
y
x
=
得，
4
5
x
=
，
∴
4
5
5
x =
，即点B 的横坐标为4
5
5
，
∵BC
x
⊥
轴，
∴点C 的横坐标为4
5
5
，即
4
5
5
m =
．
故答案为：4
5
5
．
②∵BC
x
⊥
轴，
(
)
,0
C m
，
∴点
4
,
B m m
，点
4
,
4
m
A
m
−
，
∴
2
2
2
4
4
m
OA
m
= −
+
，
2
2
2
4
OB
m
m
=
+
，
2
2
4
m
AB
m
=
+
，
∵AOB
是直角三角形，
∴
2
2
2
OA
OB
AB
+
=
，即
2
2
2
2
2
4
4
4
4
m
m
m
m
m
m
−
+
+
+
=
+
，
解得
2 2
m =
，
∴m 的值为2 2 ．
15．如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在x 轴正半轴，顶点C 在y 轴正半轴，
2
OA
OC
=
，
点D
E
、分别在AB
BC
、
上，且
1
1
,
4
4
CE
BC AD
AB
=
=
，反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象经过D
E
、两点，连
接OD
OE
、
，四边形ODBE 的面积为24．
(1)求反比例函数解析式；
(2)如图2，点F 、G 分别为OA、CB 的中点，点H 在该反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象上，且点H 的横坐标
大于点G 的横坐标，连接HG 并延长交反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
图象于点I ，过点H 作HP ⊥直线CF 于点P ，
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过点I 作IQ ⊥直线CF 于点Q ．
①请探究HG 与HP的数量关系，并说明理由；
②若
3
2
IQ
HP =
，试判断IH
HP 的值是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由．
【答案】(1)
8
y
x
=
(2)①
2
HG
HP
=
；理由见解析；②是定值；
5 2
2
IH
HP =
【分析】（1）设
4
OC
a
=
，则
8
OA
a
=
，得出
1
1
2 ,
4
4
CE
BC
a AD
AB
a
=
=
=
=
，根据
AOD
OCE
OABC
ODBE
S
S
S
S
=
−
−
矩形
四边形
，得出
2
24
24
a =
，求出
1
a = ，得出点D 的坐标，代入求出反比例函数解
析式即可；
（2）①点F 、G 分别为OA、CB 的中点，得出
(
)
4,4
G
，
(
)
4,0
F
，求出直线FC 的解析式为：
4
y
x
−
=
+
，
过点H 作HK
OA
∥
，交FC 于点K，过点G 作GJ
HK
⊥
于点J，根据勾股定理和等腰三角形的判定和性质
得出
2
2
2
KH
HP
=
，设
(
)
,
H m n ，则
(
)
,
K
K x
n ，求出
2
2
2
2
8
8
32
HP
m
n
m
n
=
+
−
−
+
，
2
2
2
2
2
8
8
32
GH
GJ
JH
m
n
m
n
=
+
=
+
−
−
+
，得出
2
2
2
GH
HP
=
，即可得出答案；
②过点I 作IM
x
∥轴，交FC 于点M，过点I 作IN
BC
⊥
于点N，证明
2
IG
IQ
=
，设
3
IQ
r
=
，
2
HP
r
=
，
求出
2
2
3 2
2 2
5 2
IH
IG
HG
IQ
HP
r
r
r
=
+
=
+
=
+
=
，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵四边形OABC为矩形，
∴BC
OA
=
，AB
OC
=
，BC
OA
∥
，AB
OC
，
90
OAB
B
BCO
= =
=
，
设
4
OC
a
=
，则
8
OA
a
=
，
∴
1
1
2 ,
4
4
CE
BC
a AD
AB
a
=
=
=
=
，
AOD
OCE
OABC
ODBE
S
S
S
S
=
−
−
矩形
四边形
1
1
8
4
8
4
2
2
2
a
a
a a
a
a
=
−
−
2
2
2
32
4
4
a
a
a
=
−
−
2
24a
=
，
∵四边形ODBE 的面积为24，
∴
2
24
24
a =
，
解得：
1
a = ，负值舍去，
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∴
8
OA = ，
1
AD = ，
∴
(
)
8,1
D
，
把
(
)
8,1
D
代入
k
y
x
=
得：
8
k = ，
∴反比例函数解析式为
8
y
x
=
；
（2）解：①∵四边形OABC为矩形，
∴
8
BC
OA
=
= ，
4
AB
OC
=
=
，BC
OA
∥
，AB
OC
，
90
OAB
B
BCO
= =
=
，
∴
(
)
0,4
C
，
∵点F 、G 分别为OA、CB 的中点，
∴
(
)
4,4
G
，
(
)
4,0
F
，
设直线FC 的解析式为：
(
)
0
y
kx
b k
=
+
，
把
(
)
4,0
F
，
(
)
0,4
C
代入得：
4
0
4
k
b
b
+
=
=
，
解得：
1
k = −，
∴直线FC 的解析式为：
4
y
x
−
=
+
，
过点H 作HK
OA
∥
，交FC 于点K，过点G 作GJ
HK
⊥
于点J，如图所示：
∵
4
OF
OC
=
=
，
90
COF
=
，
∴
1 90
45
2
OFC
OCF
=
=
=
∠
∠
，
∴
45
PKH
OFC
=
=
∠
∠
，
∵HP
CF
⊥
，
∴
90
KPH
=
，
∴HPK
为等腰直角三角形，
∴HP
PK
=
，
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∵
2
2
2
KH
HP
KP
=
+
，
∴
2
2
2
KH
HP
=
，
设
(
)
,
H m n ，则
(
)
,
K
K x
n ，
∵点H 在反比例函数图象上，K 在直线CF 上，
∴
8
n
m
=
，
4
K
n
x
= −
+ ，
即
8
mn =
，
4
K
x
n
=
−
，
则
(
)
4
,
K
n n
−
，
∴
(
)
4
4
KH
m
n
m
n
=
−
−
=
+
−
，
∴(
)
2
2
4
2
m
n
HP
+
−
=
，
∴
2
2
2
2
2
8
8
16
HP
m
n
mn
m
n
=
+
+
−
−
+
2
2
2 8
8
8
16
m
n
m
n
=
+
+ −
−
+
2
2
8
8
32
m
n
m
n
=
+
−
−
+
，
∵
(
)
4,4
G
，GJ
HK
⊥
，
∴
90
GJH
=
，
4
GJ
n
=
−
，
4
JH
m
=
−，
∴
2
2
2
GH
GJ
JH
=
+
(
)
(
)
2
2
4
4
n
m
=
−
+
−
2
2
16
8
8
16
n
n
m
m
=
−
+
+
−
+
2
2
8
8
32
m
n
m
n
=
+
−
−
+
，
∴
2
2
2
GH
HP
=
，
∴
2
HG
HP
=
；
②过点I 作IM
x
∥轴，交FC 于点M，过点I 作IN
BC
⊥
于点N，如图所示：
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则
90
ING
=
，
45
IMF
CFO
=
=
，
∵IQ
FC
⊥
，
∴
90
IQM
=
，
∴IMQ
为等腰直角三角形，
∴
2
2
2
IM
IQ
=
，
设点I 的坐标为(
)
,p q ，则
(
)
,
M
M x
q ，
∵点I 在反比例函数图象上，K 在直线CF 上，
∴
8
q
p
=
，
4
M
q
x
= −
+
，
即
8
pq =
，
4
M
x
q
=
−
，
则
(
)
4
,
M
q q
−
，
∴
(
)
4
4
IM
p
q
p
q
=
−
−
=
+
−
，
∴(
)
2
2
4
2
p
q
IQ
+
−
=
，
∴
2
2
2
2
2
8
8
16
IQ
p
q
pq
p
q
=
+
+
−
−
+
2
2
2 8 8
8
16
p
q
p
q
=
+
+ −
−
+
2
2
8
8
32
p
q
p
q
=
+
−
−
+
，
∵
(
)
4,4
G
，
∴
4
IN
q
=
−
，
4
GN
p
=
−
，
∴
2
2
2
IG
GN
IN
=
+
(
)
(
)
2
2
4
4
p
q
=
−
+
−
2
2
16 8
8
16
p
p
q
q
=
−
+
+
−
+
2
2
8
8
32
p
q
p
q
=
+
−
−
+
，
∴
2
2
2
IG
IQ
=
，
∴
2
IG
IQ
=
，
∵
3
2
IQ
HP =
，
∴设
3
IQ
r
=
，
2
HP
r
=
，
2
2
3 2
2 2
5 2
IH
IG
HG
IQ
HP
r
r
r
=
+
=
+
=
+
=
，
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∴
5 2
5 2
2
2
IH
r
HP
r
=
=
．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，求一次函数解析式，等腰直角三
角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
