文档文本内容
1 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
专题04 全等三角形性质和判定的五类综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、全等三角形性质和判定求解的多解问题
题型二、全等三角形性质和判定求多结论问题
题型三、全等三角形性质和判定求动点中的最值问题
题型四、全等三角形性质和判定的综合问题
题型五、全等三角形性质和判定的新定义型综合问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
- 题型特征：涉及边角对应关系证明、线段或角相等、图形变换（平移/旋转/翻折）中的全等。
- 解题方法：判定用SSS、SAS、ASA、AAS、HL（Rt△）；性质用于导边导角；找隐含条件（公共边、
对顶角、等角加减）。
- 易错提醒：SAS 中夹角必须是对应边夹角；判定时误用SSA；对应顶点未对准致边角错配。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、全等三角形性质和判定求解的多解问题
典例1（26-27 八年级·上海·暑假作业）如图在四边形
中，
，
．点F 从点
B 出发，沿线段
以
的速度持续作往返运动，点E 从点A 出发沿线段
方向以
的速度运动，
当点E 到达点D 时, E、F 两点同时停止运动，记
与
的交点为G．若E、F 两点同时出发，则当
时，点E 运动时间
___________秒．
目 录
2 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】
或4
【分析】分两种情况讨论：当点F 沿
方向运动时，当点F 沿
方向运动时，根据△AGE≌△CGF，得
到方程，解方程即可得到结论．
【详解】解：点E 的运动时间为
（秒），
点F 从点B 运动点C 的时间为
（秒）；
根据题意得，
，
当点F 沿
方向运动时，即
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
；
当点F 沿
方向运动时，即
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
；
综上所述，点E 运动时间t
或4 秒．
题型模版
1.特征：已知两边一角或两角一边，但对应顺序未定，导致多个满足全等的三角形。
2.方法：分类讨论对应顶点顺序（如SAS、ASA、AAS），按不同情况分别作图或列方程求解并验证。
变式1-1（25-26 七年级下·陕西西安·期中）如图，在
中，
，
，
．动
点P 从点A 出发沿
的路径向终点C 运动；动点Q 从点B 出发沿
的路径向终点A 运动．点
P 和点Q 分别以每秒
和
的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某
时刻，过点P 和点Q 分别作
于点E，
于点F，则点P 的运动时间为______s 时，
与
全等．
3 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】2 或
【分析】根据题意分为P 在
上，Q 在
上和当P、Q 都在
上两种情况，根据全等三角形的性质得
出
，代入得出关于t 的方程，求出即可．
【详解】解：作
于E，作
于F．
分以下情况：①如图1，P 在
上，Q 在
上，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
与
全等，
∴
，
即
，
；
②当P、Q 都在
上时，此时P，Q 两点重合，如图2，
，
．
综上所述，点
运动时间为2 或
，
与
全等．
变式1-2（25-26 七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，
，
，
．点
在线段
上
从点
向点
运动，点
从点
出发沿着射线
的方向运动．若
与
全等，则
的长为________．
4 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】
或
【分析】根据全等三角形的性质，对应边相等，已知
，则点
与点
是对应顶点，分两种情况讨
论：一是
，二是
，设
，则
，根据对应边相等列出方程求解即
可．
【详解】解：设
，
点
在线段
上，
，
，
与
全等，且
，
分两种情况讨论：①当
时
，
，
，解得
，即
；
②当
时
，
，
解得
即
，
综上所述，
的长为
或．
变式1-3（25-26 七年级下·福建漳州·期中）如图，
中，
，
，
，直
线经过点
且与边
相交（不经过点
，
）．动点
从点
出发沿
路径向终点
运动；动点
从点
出发沿
路径向终点
运动．点
和点
的速度分别为
和
，两点同时出发并
开始计时，当点
到达终点
时计时结束．在某时刻分别过点
和点
作
于点
，
于点
，
设运动时间为秒，则当
_________秒时，
与
全等（不考虑
、
重合的情况）．
5 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】2 或12
【分析】分两种情况讨论：点Q 在
上，点P 在
上；Q 与A 重合，根据全等三角形的性质列式计算即
可．
【详解】解：①如图，点Q 在
上，点P 在
上，
由题意得，
，
，
∵
，
，
，
，
∵
，
，
，
，
，
当
时，则
，
∴
，解得：
．
②如图，当Q 与A 重合时，
由题意得，
，
，
，
∴
，
当
，则
，即
，解得：
．
综上所述：当
秒或12 秒时，
与
全等．
6 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
题型二、全等三角形性质和判定求多结论问题
典例2（25-26 七年级下·江西抚州·期末）如图，
，
，
平分
，交
于点
，
，交
延长线于
，且垂足为
，则以下结论：①
；②
；③
；
④
．正确的个数是________个．
【答案】
【分析】利用
证明
，根据全等三角形的性质即可判断
；利用
证明
，
推出
，
，即可判断
；由
，
，即可判断
．
【详解】解：
，
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
；
正确；
平分
，
，
在
和
中，
，
，
7 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，
，
，
正确；
，
，
又
，
，
正确；
综上，
都正确，正确的个数是
个．
题型模版
1.特征：题干给出多个结论，需判断正误，常综合全等判定与性质进行推理论证。
2.方法：先找全等三角形，利用判定定理（SAS、ASA 等）证明，再由全等性质（对应边角相等）逐一验证
各结论。
变式2-1（25-26 八年级上·全国·期末）如图，在梯形
中，
，E 是
的中点，
平
分
，下列说法：①
；②
；③
；④
，其中正确的
是__________
填序号
【答案】②④/④②
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线及掌握全等三角形的判定定理是解题的关
键．过点E 作
于点F，证明
，得到
，
，
，
再证明
，得到
，
，由此判断③错误；根据
判断②正确；根据全等三角形的性质及
，得到
，由此判断④正确；题中无条件证明
，故①错误．
【详解】解：过点E 作
于点F，则
，
8 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵E 是
的中点，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
故③错误；
∵
，
∴
，即
，
∴
，
故②正确；
∵
，
，
，
∴
，即
，
故④正确；
题中无条件证明
，
故①错误；
9 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
正确的有②④．
故答案为：②④．
变式2-2（2025 八年级上·湖北武汉·专题练习）如图，在
中，
，
的角平分线
，
相交于点P，过P 作
交
的延长线于点F，交
于点H．给出下列结论：①
；
②
；③
是等腰直角三角形：④
．其中正确的有_______．
【答案】①③④
【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的面
积等知识，利用三角形的内角和定理和角平分线的定义可判断①；证明
，推出
，
再证明
，推出
即可判定②；得
，即可判定③；证明
得
可判断④．
【详解】解：①在
中，
，
∴
，
又∵
，
分别平分
、
，
∴
，
，
∴
，
∴
，故①正确；
②∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
10 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∴
，
，
，
∴
，
在
和
中，
∴
，
∴
，
∴
，而P
与
不一定相等，故②不正确；
∵
，
，
∴
，
，
，故③正确；
④∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，故④正确；
故答案为①③④．
11 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
变式2-3（25-26 八年级上·吉林长春·期末）如图，在
中，
为中线，过B 作
于点E，
过C 作
于点F．在
延长线上取一点G，连接
，使
．
给出下面四个结论：
①
；
②
；
③
；
④
．
上述结论中，正确结论的序号有________．
【答案】①③④
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质、三角形的面积，熟练掌握全等三角形
的判定与性质是解答本题的关键．根据题意证得
，根据全等三角形的性质可得
、
，从而可判断①正确；再证明
，根据全等三角形的性质可得
，从而
判断③正确，②错误；由
，结合以上结论可判断④正确．
【详解】解：
为中线，
，
、
，
，
在
和
中，
，
，
、
，
12 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
故①正确；
在
和
中，
，
，
故③正确，符合题意；
，
，
，
故②错误；
、
，
，
为中线，
，
，
故④正确；
综上所述，正确的有①③④，
故答案为：①③④．
题型三、全等三角形性质和判定求动点中的最值问题
典例3（25-26 七年级下·甘肃张掖·期末）如图，在锐角三角形
中，
，
的面积为6，
平分
．若
、
分别是
、
上的动点，则
的最小值为________．
【答案】3
【分析】在
上取点
，使得
，连接
、
，过点
作
于点
，利用三角形面积公
13 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
式求出
，再证明
，得到
，则当
、
、
三点共线，且
时，
有最小值为
的长，即可得解．
【详解】解：如图，在
上取点
，使得
，连接
、
，过点
作
于点
，
在锐角三角形
中，
，
的面积为6，
，
，
平分
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
当
、
、
三点共线，且
时，
有最小值为
的长，
的最小值为3．
题型模版
1.特征：动点运动中构造全等三角形，求线段或面积最值，常结合二次函数或几何不等式。
2.方法：利用全等转化线段（如等量代换），将最值化为二次函数顶点或垂线段最短，结合动点范围求解。
变式3-1（25-26 八年级上·湖北武汉·期末）如图，在
中，
分别为边
上的动点，且
，连接
．当
取最小值时，
_____．
14 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】18
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短，添加辅助线构造全等三角形，利用两
点之间线段最短得到
取最小值时点
的位置是解题的关键．
如图，在
下方作
，且使得
，则
，
，可证得
，则
，
，进而可知当点
在
上时，
取得最小值，此
时，
，即可求解．
【详解】解：如图，在
下方作
，且使得
，则
，
，
又∵
，
∴
，则
，
∴
，则
，
即，当点
在
上时，
取得最小值，
此时，
，
故答案为：18．
变式3-2（25-26 七年级下·陕西汉中·期末）如图，
是
的角平分线，
于点
，
是
的中线，动点
在
边上，连接
．若
，
的面积是3，则
的最小值为______________．
15 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】2
【分析】因为
是
的中线，所以
和
面积相等，可先求出
的面积．已知
的
面积和
的长度，结合
，用三角形面积公式可求出
的长度．因为
是角平分线，根据角平
分线的性质，点D 到
和
的距离相等，可得D 到
的距离等于
．因为G 在
上，根据垂线段
最短，
的最小值即为D 到
的距离．
【详解】解：∵
是
的中线，
，
∴
．
∵
，
，
，
∴
，
解得
．
∵
是
的角平分线，
∴点
到
的距离等于
．
又∵点
在
上，
∴
的最小值就是点
到
的距离，
即
．
变式3-3（25-26 八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在
中，
，
，
，
，
平分
交
于点D，点E，F 分别是
，
上的动点，则：
（1）
的长为______；
（2）
的最小值为______．
16 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】
【分析】本题主要考查垂线段最短问题、角平分线的性质等知识点，解决本题的关键是正确作出辅助线，
借助面积法列方程求解．
（1）过点
作
，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知
，再根据
列方程求出
的长；
过点
作
交
于点
，作
交
于点
，此时有
，利用面积法列
方程求出
的长度即为
的最小值．
【详解】（1）解：如下图所示，过点
作
，
平分
交
于点
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：
，
故答案为：
；
（2）解：如下图所示，过点
作
交
于点
，作
交
于点
，连
，
平分
交
于点
，
点
与点
关于
对称，
在
中，
，
，
17 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，
解得：
，
由“两点之间线段最短”知，
的最小值为
，
故答案为：
．
题型四、全等三角形性质和判定的综合问题
典例4（25-26 七年级下·河南平顶山·期末）如图所示，在
中，
为
上一点，
为
中点，连
接
并延长至点
，使得
，连接
．
(1)你认为
与
相等吗？并说明理由；
(2)若
，
，
，求
的长．
【答案】(1)
，理由如下：
因为点
为
中点，
所以
．
在
和
中，
，
所以
，
所以
；
(2)
【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质，进行解答即可；
（2）根据全等三角形的判定与性质、垂直的定义，进行解答即可．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）可知，
，
18 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
所以
，
所以
．
因为
是
的中点，
，
所以
，
．
又因为
，
所以
，
所以
．
题型模版
1.特征：综合运用全等判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）与性质（对应边角相等）解决复杂几何证明或
计算。
2.方法：从结论出发逆推需证的全等，再结合已知条件选择适当判定定理，由全等得对应关系完成证明。
变式4-1（25-26 七年级下·江西景德镇·期末）如图，
和
都是等腰三角形，
，
，
．连接
，
与
相交于点
．
(1)求证：
；
(2)试说明：
与
的数量关系．
【答案】(1)证明：
，
，即
，
在
和
中，
，
，
；
(2)
，理由如下，
如图，设
和
相交于点
，
19 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
由（1）可知，
，
，
又
，
，
，
，
．
【分析】（1）根据
证明
，即可证得结论；
（2）设
和
相交于点
，由
得到对应角相等，继而根据三角形内角和定理得到
，从而得到
．
【详解】（1）略；
（2）略．
变式4-2（25-26 七年级下·福建漳州·期末）如图，在
中，
，
分别是
，
边上的中点，
与
交于点
．
(1)若
，求
；
(2)求证：
；
(3)点
在线段
上（点
不与点
，点
重合），连接
并延长
到点
，连接
，若
平分四边
形
的面积．求证：
．
【答案】(1)10；
(2)
分别是
边上的中点，
20 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
分别是
的中线，
．
如下图，连接
，
，
，
．
，
，
；
∴
.
(3)证明：连接
，
是
边上的中点，
，
，
平分四边形
的面积，
，
，
．
是
边上的中点，
，
，
，
．
在
和
中，
21 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，
，
．
【分析】（1）先求出
，根据三角形的面积公式可得答案；
（2）由三角形面积和中线的性质，先证
，再根据中线的性质，证
，即可得答案；
（3）由三角形面积、三角形的中线、
平分四边形
的面积，证明
，再证
，
得
，再证
，得
，即可得答案．
【详解】（1）解：
是
边上的中点，
；
（2）略；
（3）略．
变式4-3（25-26 七年级下·广东河源·期末）问题情境：已知射线
和射线
相交于点B．且
．点
D 在射线
上，作射线
，在射线
上取一点E，连接
，
，使
．
(1)如图1，
与
的数量关系为________；
(2)如图2，当点D 在
延长线上，
时．
①根据要求作图：在射线
上取一点F，使
，连接
．
②求
的度数；
(3)如图3，当
，请直接写出
的度数（用含
的式子表示）．
【答案】(1)
22 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(2)①如图，
②
(3)
或
【分析】（1）利用三角形内角和定理即可得出答案；
（2）①按要求作图即可；
②先证得
，得出
，
，则
，进而得出
，再根据角的和差即可求解；
（3）分两种情况：当点D 在线段
上时；当点D 在
的延长线上时；在射线
上取一点F，使
，
连接
，先证明
，可得：
，
，再由等腰三角形性质即可求得
答案．
【详解】（1）解：如图，
∵
，
，
又∵
，
，
∴
；
（2）解：①略
②由（1）得
，由①得
，
在
和
中，
23 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
；
（3）解：分以下两种情况：
当点D 在线段
上时，如图，在射线
上取一点F，使
，连接
，
由（1）知：
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，即
，
∴
；
24 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
当点D 在
的延长线上时，在射线
上取一点F，使
，连接
，如图，
由（1）知：
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，即
，
∴
，
∴
，
综上所述，
的度数为
或
．
题型五、全等三角形性质和判定的新定义型综合问题
典例5（25-26 七年级上·山东济宁·期中）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友
三角形”．
25 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（一）性质探究：如图1，在
中，D 是
边上的一点，那么
和
是“朋友三角形”．求证：
．
（二）知识应用：如图2，正方形
的边长为4，点
在
上，点F 在
上，
，
与
交
于点O．
（1）请说出
所有的朋友三角形，并说明理由；
（2）连接
，若
和
是“朋友三角形”则四边形
的面积为___________．
【答案】
（一）∵
和
是“朋友三角形”，
∴
为
的中点，
∴
，
设
到
的距离为
，
∴
，
，
∴
．
（二）（1）
的朋友三角形是
与
，理由如下：
∵四边形
是正方形，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
又∵正方形
，
∴
，
26 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∴
，
∴
，
同理
，
∴
，
，
∴
与
、
是“朋友三角形”．
（2）8
【分析】本题考查全等三角形的证明及性质，能够理解题干涉及的新定义是解题关键；
（一）根据“朋友三角形”得到
为
的中点，再通过中线的性质可证；
（二）（1）先证得
，进而得到
，再通过平行线性质和角度等量代换可得到
，进而
，同理可得
，再通过“朋友三角形”定义即可求解；（2）通过“朋
友三角形”定义得到
，再通过三角形面积公式算出
，再通过面积的和
差关系即可求解．
【详解】解：（一） 略
（二）（1） 略
（2）∵
和
是“朋友三角形”，
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
题型模版
1.特征：引入新概念（如“等补点”），将全等与定义结合，求值或证明，重理解与迁移。
2.方法：透彻理解新定义，将其转化为全等条件（如边角关系），选择合适的判定定理证明或列方程求解。
变式5-1（25-26 八年级上·福建龙岩·期中）【定义】我们把三角形被一边上的中线分成的两个三角形叫做
“友好三角形”．
【性质】如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．
27 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【理解】如图1，在
中，
是
边上的中线，那么
和
是“友好三角形”，并且
．
【应用】如图2，
和
是“友好三角形”，
，
与
相交于点D．
（1）求证：
和
是“友好三角形”；
（2）若
的面积为1，点P 是直线
上的一动点，连接
，当图中出现一个三角形和
是
“友好三角形”时，求出此时
的面积．
【类比学习】根据上面学习知识的活动与经验，回答下面问题：
（3）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰
中，
，则它的特征值
．
【答案】（1）证明：∵
和
是“友好三角形”，
∴D 是
的中点，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
是
的边
上的中线，
∴
和
是“友好三角形”；
（2）2 或4；
（3）
或
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质及等腰三角形的性质等知识，理解题中新
概念是解题的关键．
28 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（1）由题意得点D 是
的中点，再证明
，得
，从而可证结论成立；
（2）分两种情况：当点P 在线段
的延长线上时；当点P 在线段
的反向延长线上时；利用“友好三
角形”的意义即可求解；
（3）分
是顶角与底角两种情况考虑，利用三角形内角和求出底角或顶角即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：当点P 在线段
的延长线上时，如图2，
当
时，
和
是“友好三角形”,
∴
，
∵
，
∴
，
∴
；
当点P 在线段
的反向延长线上时，如图3，
当
和
是“友好三角形”时,则
，
∴
，
∴
，
∴
；
29 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
综上，
的面积为2 或4；
（3）解：当
是顶角时，则底角为
，
∴
；
当
是底角时，则顶角为
，
∴
；
综上，k 的值为
或
；
故答案为：
或
．
变式5-2（25-26 八年级上·广东江门·阶段检测）（1）理解定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形
叫做偏等积三角形．
如图1，在
中，
，
，
．
①若
是
上一点，
，则
与
______偏等积三角形（填“是”或“不是”）；
②若
为
上一点，当
的长为______时，
与
是偏等积三角形；
（2）运用定义：如图2，
为
上一点，
与
是偏等积三角形，
，
，且线段
的长为偶数，则
的长为______；
（3）拓展加深：
①如图3，
，
，
．
求证：
与
是偏等积三角形；
②如图4，
与
是偏等积三角形，
，
，求证：
．
30 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】（1）①是；②3；
（2）6；
（3）①
与
是偏等积三角形．
理由：如图3，
，
，
，
，
，
，
，
与
不全等，
作
于点F，
交
的延长线于点G，则
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
与
面积相等，
与
是偏等积三角形．
②作
，交
的延长线于点
，作
于点
，
31 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵
与
是偏等积三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∴
．
【分析】本题考查三角形的中线，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，熟练掌握新定义，合理
添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键．
（1）根据三角形的中线平分面积，结合新定义进行求解和判断即可；
（2）过C 作
交
的延长线于E，根据
与
是偏等积三角形，且
与
在
、
边上的高相等，则有
，再证明
，得
，再根据三角形的三
边关系可知
，进而可求解；
（3）①先证明
，再由
，
，说明
与
不全等，作
于点F，
交
的延长线于点G，可证明
得
，即可证明
与
面积相等，
即可解答．
②作
，交
的延长线于点
，作
于点
，根据新定义，推出
，证明
，得到
，进而得到
．
【详解】解：（1）①∵点
是
上一点，且
，
又∵
，
∴
，
32 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
即：
为
的中点，
∴
为
的中线，
∴
，
∵
，
∴
不全等，
∴
与
是偏等积三角形；
故答案为：是；
②∵三角形的中线平分三角形的面积，
∴当
为
的中线时，
与
是偏等积三角形，此时
；
故当
时，
与
是偏等积三角形；
故答案为：3；
（2）如图2，过C 作
交
的延长线于E，
与
是偏等积三角形，且
与
在
、
边上的高相等，
，
在
和
中，
，
，
，
，
，
，
，
线段
的长为偶数，
；
（3）①略
33 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
②略
变式5-3（23-24 七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）【阅读理解】
定义：在同一平面内，点A，B 分别在射线
，
上，过点A 垂直
的直线与过点B 垂直
的直线
交于点Q，则我们把
称为
的“边垂角”．
【迁移运用】
(1)如图1，
，
分别是
的两条高，两条高交于点 F，根据定义，我们知道
是
的“边
垂角”或
是
的“边垂角”，
的“边垂角”是 ；
(2)若
是
的“边垂角”，则
与
的数量关系是 ；
(3)若
是
的“边垂角”，且
．
①如图2，已知
，
交
于点E，点C关于直线
对称点为点F，连接
，
，且
，
，求证：
；
对于上述问题，小明有这样的想法：在
上截取
，连接
，如图3．你明白小明的做法吗？接
下来请你求证
．
②如图4，若
，直接写出四边形ABDC 的面积．
【答案】(1)
(2)
或
(3)
①延长
交于点
，
是
的“边垂角”，
，
，
，
，
，
34 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，
，
，
，
，
，
，
点
关于直线
对称点为点
，
，
，
；
②
【分析】（1）根据“边垂角”的定义即可得到答案；
（2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论；
（3）①延长
交于点
，先证明
，再证明
，依据题意得出
，即可得到结论；
②连接
，过点
作
与
延长交于点
，根据等腰三角形性质证明即可得到答案．
【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义，
的“边垂角”是
；
（2）解：若
是
的“边垂角”，分两种情况
①如图，
是
的“边垂角”，
，
，
，
，
35 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
②如图，
是
的“边垂角”，
，
，
，
，
综上所述，
与
的数量关系是
或
；
（3）解：①略．
②连接
，过点
作
与
延长交于点
，
是
的“边垂角”，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
36 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
过点
作
于点
，
，
，
．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
一、单选题
1．
（25-26 七年级下·陕西汉中·期末）如图，在
中，
，点
在
边上，过点
作
，
过点
作
，交
的延长线于点
，
．若
，
，则
的长是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】证明
，得到
，最后根据
求解即可．
【详解】解：∵
，
，
，
∴
，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
37 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵
，
，
∴
，
∴
．
2．（25-26 七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在
中，
，
，
，
为
边上的高，点E 从点B 出发，在直线
上以
的速度移动，过点E 作
的垂线交直线
于点F，
当点E 运动（ ）时，
．
A．2
B．6
C．2 或6
D．2 或5
【答案】D
【分析】设点E 运动时间为
，则
，分两种情况求解：①当点
从点B 出发，向点
左侧移动时；
②当点
从点B 出发，向点
右侧移动时，利用全等三角形的性质分别求出
的长，即可得解．
【详解】解：设点E 运动时间为
，则
，
①如图，当点
从点B 出发，向点
左侧移动时，
为
边上的高，
，
，
，
，
，
在
和
中，
38 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，
，
，
，
，解得：
；
②如图，当点
从点B 出发，向点
右侧移动时，
同理可证，
，
，
，
，解得：
,
综上可知，当点E 运动
或
时，
．
3．（25-26 七年级下·山东济南·阶段检测）如图，已知
，
，
，点
，
分别是
，
边上的动点，满足
，连接
，
，则
取得最小值时，线段
的长为
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】如图：过点A 作
且
，连接
交
于
，证明
可得
，
39 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
从而将
转化为
，根据两点之间线段最短，当F、D、C 三点共线时，
取得最小值．易
证
，再利用全等三角形的性质以及线段的运算即可解答．
【详解】解：如图：过点A 作
且
（点F 在
下方），连接
交
于
，
∵
，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∴
，
根据两点之间线段最短，当F、D、C 三点共线时，
取得最小值，最小值为
的长，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∴
取得最小值时，线段
的长为
．
4．（25-26 七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在
中，
，D，E 分别是
，
上的点，
40 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
平分
，
于点F，G 为
的中点，延长
交
于点H．下列结论正确的有（ ）
①线段
是
的高；②
与
的面积相等；③
；④
．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】①三角形的高是顶点向对边所作垂线段，
是
的高；②点
为
的中点，底边在同一直线
上，等高且等底，故面积相等；③
平分角且
，可证三角形全等，得到
，代入线段差
即可推出
；④利用外角性质将得
，结合直角三角形两锐角互余，等量
代换可证三个角相加等于
。
【详解】解：①
于点
，
线段
为△
的高，
故结论①不正确，不符合题意；
②
点
为
的中点，
，
△
的边
上的高与△
的边
上的高相同，
与△
面积相等，
故结论②正确，符合题意；
③
平分
，
，
于点
，
，
在△
和△
中，
，
，
41 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，
，
故结论③正确，符合题意；
④
，
于点
，
，
，
故结论④正确，符合题意；
结论正确的有3 个．
二、填空题
5．（25-26 八年级上·陕西延安·期末）如图，在
中，
，
平分
交
于点
，
为线段
上一动点，
为边
上一动点，当
的值最小时，
的度数为___________．
【答案】
/62 度
【分析】在
上截取
，连接
，证明
，得出
，从
而证明当点A、P、E 在同一直线上，且
时，
的值最小，再根据三角形的内角和即可求出结果．
【详解】解：在
上截取
，连接
，如图所示：
∵
，
平分
交
于点
，
∴
，
在
和
中，
42 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，
∴
，
∴
，
∴
，
当点A、P、E 在同一直线上，且
时，
的值最小，即
的值最小，
此时，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
故答案为：
．
【点睛】通过线段的转化及垂线段最短是解决此类问题常用的方法．
6．（25-26 八年级上·浙江丽水·期末）如图，在
中，
平分
，过点A
作
，交
的延长线于点E，若
，则
的长为_____ ．
【答案】8
【分析】延长
交于点F，证明
，得
，再证明
，
得
，即可解决问题．
【详解】解：如图，延长
交于点F，
43 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∴
．
【点睛】合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
7．（25-26 七年级下·四川·期中）如图，直角三角形
中，
，点
为
边上一点，
且
，连接
交
延长线于
，且
为线段
的中点，若
，
，则
面积为______．
【答案】
44 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【分析】过点
作
的延长线于点
，可证
，得
，
，再证
，得
，
，即得
，设
，则
，
进而利用
列出方程求出
的值即可求解．
【详解】解：如图，过点
作
的延长线于点
，则
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
，
∵
为线段
的中点，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
设
，则
，
∴
，
45 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵
，
∴
，
解得
，
∴
，
，
∴
．
8．（25-26 七年级下·陕西西安·期中）如图，在长方形
中，
，
，
，
点P 从点A 出发，以每秒1 个单位长度的速度沿
向点B 匀速运动；点Q 从点B 出发，以每秒2 个单位
长度的速度沿
向点C 匀速运动；点R 从点C 出发，以每秒a 个单位长度的速度沿
向点D 运动．连接
，
．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其他点也停止运动，若在某一时刻，
与
全等，则a 的值为________．
【答案】2 或
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用．掌握全等三角形的判定与性质是解
题的关键．根据
的条件
，再根据对应边的不同，分两种情况讨论：①
，②
，分别计算出t 的值，进而得到a 的值．
【详解】解：设运动的时间为t，
，
要使
，根据对应边不同，分两种情况讨论：
①当
时，
，
；
②当
时，
，
；
46 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
综上所述， a 的值为：2 或
．
三、解答题
9．（25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在
中，点
在边
上，且
，
平分
交
于点
，
交
于点
．
(1)
与
全等吗？请说明理由；
(2)若
，
，
，求
的周长．
【答案】(1)
，理由如下：
，
∴
，
，
∴
，
平分
，
∴
，
，
∴
；
(2)10
【分析】（1）先根据平行线的性质以及已知条件证明
，再由
证明即可；
（2）利用全等三角形的性质把线段进行转换，即可得到结果．
【详解】（1）略
（2）解：
，
∴
，
，
∴
，
，
47 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
的周长为
．
10．（25-26 七年级下·江西景德镇·期末）晚唐时期，风筝上已有用丝条或竹笛做成的响器，风吹声鸣，
因而有了“风筝”的名字．如图是一个四边形风筝的骨架示意图，其中
，
是风筝的支架且
，
，
．
(1)求证：
；
(2)若
，
，求四边形
的面积．
【答案】(1)证明：
，
，
，
，
在
和
中，
，
；
(2)
【分析】本题考查垂线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形面积公式，熟练掌握相关性质是解题的
关键．
（1）根据垂线的定义得到
，再利用等腰三角形的性质得到
，利用“
”
的判定方法进行证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得到
，进而求出
长，利用四边形
的面积等于
进行求解即可．
【详解】（1）略；
（2）解：由（1）知，
，
48 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，
，
四边形
的面积为：
．
11．（25-26 七年级下·上海虹口·期末）如图，已知
为线段
上一点，在
中，
，在
中
，且
，连接
、
，
分别交
、
于点
、
，
交
于点
．
(1)求证：
；
(2)如果
，求
的度数．
【答案】(1)证明：∵
，
∴
，
即
，
在
和
中，
，
∴
；
(2)
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证明；
（2）根据全等三角形的性质和三角形的外角计算即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵
，
，
∴
，
∵
，
49 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
12．（25-26 八年级上·甘肃平凉·期中）在学习特殊三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运
用已有经验，对“兄弟三角形”进行研究，新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄
弟三角形”．
(1)操作判断：如图1，
和
互为“兄弟三角形”，点
为重合的顶角顶点．请直接写出线段
与
之间的数量关系：____．
(2)性质探究：如图2，
和
互为“兄弟三角形”，点
为重合的顶角顶点，
均在
外，
连接
，试说明（1）中
和
之间的数量关系是否还成立？若成立，给出证明过程．
【答案】(1)
(2)
依然成立，理由如下：
和
互为“兄弟三角形”，
，
，
，
，
即
，
，
．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）通过
和
互为“兄弟三角形”，得出
，
，
，从而证明
50 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，即可得出答案；
（2）通过
和
互为“兄弟三角形”，得出
，
，
，从而证明
，即可完成证明；
【详解】（1）解：
和
互为“兄弟三角形”，
，
，
，
，
即
，
，
，
故答案为：
；
（2）略
13．（25-26 七年级下·宁夏银川·期末）如图，在
中，
为高，
，
．点E 为
上
的一点，
，连接
，交
于点O，
．
(1)判断
与
的位置关系，并说明理由；
(2)有一动点Q 从点A 出发沿射线
以每秒6 个单位长度的速度匀速运动，设点Q 的运动时间为t 秒．
①
_______（用含t 的代数式表示），
_______；
②当
的面积为27 时，请求出t 的值；
(3)在（2）的条件下，动点
从点O 出发沿线段
以每秒2 个单位长度向终点B 匀速运动，P、Q 两点同
时出发，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，点F是直线
上的一点，且
，
当
与
全等时，请直接写出t 的值．
【答案】(1)解：
，理由如下：
在
中，
为高，
，
51 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
又∵
，
，
∴
，
，
，
，
，
；
(2)①
；②
或
；
(3)
的值为
或
．
【分析】（1）证明
，由全等三角形的性质可得
，由余角的性质可得
，即可求解；
（2）①根据路程等于速度乘以时间，求出
，由全等三角形的性质可得
；②由三角形的面
积公式可求解；
（3）分两种情况讨论，由全等三角形的判定列出等式，即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：①由题意，
，
由（1）可知，
，
∴
；
②由①知
，
，
，
，
，
由（1）可知，
，
在射线
上，
∴
，
，
，
解得：
或
；
52 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（3）解：
，
，
、当点
在线段
延长线上时，如图3，
，
，
，
当
时，
，
此时，
，解得：
；
、当点
在线段
上时，如图4，
，
，
，
当
时，
，
此时，
，解得：
；
综上所述，当
与
全等时，的值为
或
．
14．（25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）【问题提出】
(1)如图1，在
中，
是边
上的中线，点
，
分别在
，
上，连接
，与
交于点
．若
，
的面积记为
，四边形
的面积记为
，则
与
之间的数量关系是
____________；
53 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(2)如图2，在四边形
中，
，
是边
的中点，连接
并延长，交
的延长线于点
，
取
的中点
，连接
．
平分四边形
的面积吗？请说明理由；
【问题解决】
(3)如图3，某商场计划在一块三角形空地
中举办户外促销活动，点
在空地的边
上，点
，
，
在空地的边
上，现有甲、乙两个品牌入驻，划定四边形
是甲品牌的活动场地，
是乙品牌的
活动场地，且两个品牌活动场地的面积相等．已知
处加装了围栏，
，
，
分别是甲、乙品牌的货物存储区，点
，
是存储区入口，且
，
．求围栏端点
与存储区入口
之间的距离
．
【答案】(1)
(2)
平分四边形
的面积，理由如下：
点
是
的中点，
，
．
54 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
点
是
的中点，
．
在
和
中，
．
．
．
平分四边形
的面积．
(3)
【分析】（1）根据
是边
上的中线，得出
，结合图形，即可得出
；
（2）先证明
得出
，则
，即可得出结论；
（3）证明
得出
，同理可得
平分四边形
的面积，进而可得
的长．
【详解】（1）解：∵
是边
上的中线，
∴
，
∵
，
∴
∴
∴
；
（2）略
（3）解：
，
，
．
，
55 / 55
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
．
，
，
．
，
，
．
，
，
，
．
．
，
．
．
，
．
．
．
．
由题意得，
平分四边形
的面积，
．
．
即围栏端点
与入口
之间的距离
为
．
