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专题04 全等三角形模型之截长补短模型与手拉手模型
常考题型·精准突破
题型1 全等三角形模型之截长补短模型（难）
题型2 全等三角形模型之手拉手模型（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 全等三角形模型之截长补短模型
【常见模型及证法】
（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。
例：如图，求证BE+DC=AD
方法：①在AD 上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD 上取一点F，使DF=DC，证AF=BE
（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等
1．（25-26 八年级上·广东潮州·期中）如图，AD
BC
P
，点E 在线段AB 上，DE
CE
、
分别是
ADC
Ð
、BCD
Ð
的角平分线，
(1)线段DE 与CE 有怎样的位置关系？请说明理由．
(2)若
3
AD =
，
2
BC =
，求CD的长．
2．（25-26 八年级上·陕西延安·期末）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可
以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问
题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，
在四边形ABCD 中，AB
AD
=
，E ，F 分别是直线BC ，CD上的点．
(1)如图①，若
90
ABC
ADC
Ð
= Ð
=
°，E ，F 分别在线段BC ，CD上，且满足
1
2
EAF
BAD
Ð
=
Ð
，试探究线
段EF ，BE ，DF 之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长CB 到点G ，使BG
DF
=
，连接
AG ，请你帮该数学小组完成解题过程；
(2)如图②，若
180
ABC
ADC
Ð
+ Ð
=
° ，点E 在CB 的延长线上，且BE
CD
>
，点F 在CD的延长线上，若
EF
BE
DF
=
+
，请探究
EAF
Ð
与
BAD
Ð
之间的数量关系，并说明理由．
3．（24-25 八年级上·北京海淀·期中）已知，在四边形ABCD 中，AB
AD
=
，
180
B
ADC
°
Ð + Ð
=
，E 、F 分
别是边BC 、CD上的点，且
1
2
EAF
BAD
Ð
=
Ð
．
(1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当
90
B
ADC
Ð
= Ð
=
°时．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG
BE
=
，连接AG ．
请你在图1 中添加上述辅助线，并补全下面的思路．
小明的解题思路：先证明ABE
V
≌_____；再证明了
AEF≌
△
_____，即可得出BE ，EF ，FD 之间的数量关
系为_____．
(2)请你借鉴小王的方法探究图2，当
180
B
ADC
°
Ð + Ð
=
时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你
的结论，如果不成立，请说明理由．
(3)如图3，若E 、F 分别是边BC 、CD延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段EF ，BE ，FD 之间
的数量关系为_____．（不用证明）
◆题型2 全等三角形模型之手拉手模型
【常见模型及证法】
1）双等边三角形型
条件：△ABC 和△DCE 均为等边三角形，C 为公共点；连接BE，AD 交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF 平分∠BFD。
证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。
2）双等腰直角三角形型
条件：△ABC 和△DCE 均为等腰直角三角形，C 为公共点；连接BE，AD 交于点N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN 平分∠BND。
证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。
3）双等腰三角形型
条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C 为公共点；连接BE，AD 交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF 平分∠BFD。
证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，
又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，
又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF 平分∠BFD。
4．（25-26 八年级上·海南·期中）在艺术工作室里，设计师用两个等腰三角形ABC
V
和AEF
V
创作几何艺术
装置．其中AB
AC
=
，AE
AF
=
，
CAB
EAF
Ð
= Ð
，BE 交FC 于O 点．请你解决以下关于这个艺术装置的
几何问题
(1)直角风格的装置
如图1，当
90
CAB
Ð
=
°时，求证：BE
CF
=
，BE
CF
^
；
(2)六十度风格的装置
如图2 ，当
60
CAB
Ð
=
°时，求
BOC
Ð
的度数；
(3)猜想：任意顶角的装置
当
CAB
a
Ð
=
时(0
90 )
a
° <
<
° ，
BOC
Ð
的度数为________（直接用含a 的式子表示）
5．（25-26 七年级下·山东济南·期中）ABC
V
和ADE
V
都是等腰直角三角形，
90
BAC
DAE
Ð
= Ð
=
°．
(1)如图1，点
,
D E 在
,
AB AC 上，则
,
BD CE 满足怎样的数量关系？请说明理由．
(2)如图2，点D 在ABC
V
内部，点E 在ABC
V
外部，连接
,
BD CE ，则
,
BD CE 满足怎样的数量关系和位置关
系？请说明理由．
(3)如图3，点
,
D E 都在ABC
V
外部，连接BD ，CE ，CD，EB ，BD 与CE 相交于F 点．若
6
BD =
，求四
边形BCDE 的面积．
6．（25-26 七年级下·河南郑州·期中）【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，
则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手
模型”．
(1)【初步把握】如图1，ABC
V
与ADE
V
都是等腰三角形，AB
AC
=
，AD
AE
=
，且
BAC
DAE
Ð
= Ð
，则有
ABD
△
≌ ；线段BD 和CE 的数量关系是 ；
(2)【深入研究】如图2，ABC
V
和ADE
V
是都是等腰三角形，即AB
AC
=
，AD
AE
=
，且
90
BAC
DAE
Ð
= Ð
=
°，B，C，D 在同一条直线上．请判断线段BD 与CE 存在怎样的数量关系及位置关系，并
说明理由；
(3)【拓展延伸】如图3，直线1
2
l
l
^
，垂足为点O，2l 上有一点M 在点O 右侧且
4
OM =
，点N 是1l 上一个
动点，连接MN ，在MN 下方作等腰直角三角形NMP ，MN
MP
=
，
90
NMP
Ð
=
°，连接OP ．请直接写出
线段OP 的最小值及此时ON 的长度．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（25-26 七年级下·山东济南·期末）如图，在ABC
V
中，
8
AB =
，
14
AC =
，
30
C
Ð
=
° ，P 是BC 上的任意
一点，连接AP ，将AP 绕点A 按顺时针方向旋转至AQ ，使
PAQ
BAC
Ð
= Ð
，连接BQ ，则线段BQ 长度的
最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4 3
3
D．4
2．（25-26 八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，已知：AC
BC
=
，DC
EC
=
，
90
ACB
ECD
Ð
= Ð
=
°，
38
EBD
Ð
=
° ，现有下列结论：①
BDC
AEC
△
≌△
；②
135
AEB
°
Ð
=
；③BD
AE
=
；④AE
BD
^
．其中正
确的有（ ）．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
3．（25-26 八年级上·四川遂宁·期末）如图，在OAB
V
和OCD
V
中，OA
OB
=
，OC
OD
=
，OA
OC
>
，
30
AOB
COD
Ð
= Ð
=
°，连接AC ，BD 交于点M ，AC 与OD 相交于E ，BD 与OA相交于F ，连接OM ．则
下列结论中：①AOC
BOD
V
V
≌
；②AC
BD
=
；③
30
AMB
Ð
=
° ；④OEM
OFM
V
V
≌
．正确的个数有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
二、填空题
4．（25-26 八年级下·山西晋中·期末）如图，在ABC
V
与ADE
V
中，AB
AC
=
，AD
AE
=
，
BAC
DAE
a
Ð
= Ð
=
，连接BD 和CE 交于点P ，连接AP ，则
BPC
Ð
= _______（用含a 的代数式表示）．
5．（25-26 七年级下·江西萍乡·期末）如图，在ABC
V
中，
90
BAC
Ð
=
° ，
2
AB
AC
=
，点D 是线段AB 的中点，
将一块锐角为45°的直角三角板按如图（ADE
V
）放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与A、D 重合，
连接BE 、CE ，CE 与AB 交于点F，则
AEC
DBE
Ð
+ Ð
= ______°．
6．（25-26 七年级下·山东济南·期末）如图，ABC
V
中，CD
AB
^
于点D ，CD
BD
=
，过点C 作CM
CA
^
，
CM
CA
=
，连接BM 交CD于点N ，若
15
BD =
，
7
AD =
，则CN = ____________．
三、解答题
7．（25-26 七年级下·山西运城·期末）已知：如图，ABC
V
和
CDE
△
都是等腰三角形（CA
CB
=
，CD
CE
=
，
ACB
DCE
a
Ð
= Ð
=
），点B 、C 、E 不在同一条直线上，连接AE 和BD ．试探究线段AE 与BD 的数量关系
并说明理由．
8．（25-26 七年级下·陕西咸阳·阶段检测）求解下列各题：
(1)【问题发现】如图1，在四边形ABCD 中，AB
AD
=
，
90
B
ADC
Ð
= Ð
=
°，点E 、F 分别在边BC 、CD
上，连接AE 、AF 、EF ，且EF
BE
FD
=
+
，延长FD 到点G ，使DG
BE
=
，连接AG ，试说明：
2
BAD
EAF
Ð
= Ð
；
(2)【拓展延伸】如图2，在四边形ABCD 中，
180
ABC
ADC
Ð
+ Ð
=
° ，AB
AD
=
，点E 在CB 的延长线上，
点F 在CD的延长线上，连接AE 、AF 、EF ，且EF
BE
FD
=
+
，延长DC 至点G ，使得DG
BE
=
，连接
AG ，请探究
BAD
Ð
与
EAF
Ð
之间的数量关系，并说明理由．
9．（25-26 七年级下·辽宁阜新·阶段检测）在ABC
V
中，AB
AC
=
，
90
BAC
Ð
=
°，点D 为直线BC 上一动点，
以AD 为直角边在AD 的右侧作等腰直角ADE
V
，使
90 ,
DAE
AD
AE
Ð
=
°
=
．
(1)当点D 在线段BC 上时，如图1，请判断CE 与BC 的位置关系，并说明理由；
(2)当点D 在线段BC 的延长线上时，如图2，判断
,
,
BC CD CE 三条线段数量关系，并说明理由；
(3)当点D 在线段CB 的延长线上时，直接判断CE 与BC 的位置关系，并直接写出
,
,
BC CD CE 三条线段的数
量关系．
10．（25-26 七年级下·山东烟台·期末）综合与探究
问题情境：
小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在
相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小明进
行了如下操作：
如图1，在ABC
V
和ADE
V
中，AB
AC
=
，AD
AE
=
，
BAC
DAE
Ð
= Ð
，连接BD 、CE ．
【问题发现】
(1)小明发现图1 就是手拉手模型，拉手线BD 、CE 存在某种数量关系．其探究过程如下，请你写出①和②
处的理由；
解：
BAC
DAE
Ð
= Ð
Q
BAD
DAC
CAE
DAC
\Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
BAD
CAE
\Ð
= Ð
（理由：①）
在ABD
V
和
ACE
△
中
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
ABD
ACE SAS
\V
V
≌
BD
CE
\
=
（理由：②）
(2)如图2，在图1 的基础上，ABC
V
不动，将ADE
V
绕着点A 逆时针旋转至点B ，点B 、D 、E 在一条直线
上，BE 交AC 于点O ．小明发现ABD
V
与
ACE
△
依然全等．当
BAC
DAE
a
Ð
= Ð
=
时，求
BEC
Ð
；
【拓展探究】
(3)在图2 的基础上，延长CE 至点F ，如图3．判断
AED
∠
与
AEF
Ð
的数量关系，并说明理由．
11．（25-26 八年级下·四川内江·开学考试）按要求解答问题：
(1)如图①，在四边形ABCD 中，AB
AD
=
，
90
B
D
Ð
= Ð
=
° ，E，F 分别是边
,
BC CD 上的点，且
1
2
EAF
BAD
Ð
=
Ð
．请直接写出线段EF ，BE ，FD 之间的数量关系：______；
(2)如图②，在四边形ABCD 中，AB
AD
=
，
180
B
D
Ð + Ð
=
°，E ，F 分别是边BC ，CD上的点，且
1
2
EAF
BAD
Ð
=
Ð
，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
(3)在四边形ABCD 中，AB
AD
=
，
180
B
D
Ð + Ð
=
°，E ，F 分别是边BC ，CD所在直线上的点，且
1
2
EAF
BAD
Ð
=
Ð
．请直接写出线段EF ，BE ，FD 之间的数量关系： ．
12．（25-26 七年级下·山西晋中·期末）综合与探究：
问题情境：数学课上，
老师和同学们一起以两个“顶角相等的等腰三角形”为背景展开探究活动．已知ABC
V
中，AB
AC
=
，点M
是直线BC 上一点（不与点B 、C 重合），以AM 为一边在AM 的右侧作AMN
V
，使得AM
AN
=
，
MAN
BAC
Ð
= Ð
，连接CN ．
(1)特例分析：如图1，当点M 在线段BC 上，且
90
BAC
Ð
=
° 时，则
BCN
Ð
= ________．
(2)拓展探究：若
BAC
a
Ð
=
，
BCN
b
Ð
=
．
①如图2，当点M 在线段BC 上移动时，a 和b 之间有着怎样的数量关系？并说明理由．
②当点M 在直线BC 上移动时，a 和b 之间有怎样的数量关系？请直接写出结论．
