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专题 12 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型
费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考
试中都以中高档题为主。本专题就特殊平行四边形中的最值模型-费马点问题进行梳理及对应试题分析，
方便掌握。
【模型背景】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位
不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之
外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三
个顶点距离之和最小的点。
【模型解读】
结论：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，
MA+MB+MC的值最小。
注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就
是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）
【模型证明】以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．
∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．
在△AMB与△ENB中，∵ ，∴△AMB≌△ENB（SAS）．
连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形．
∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．
此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；
∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．
费马点的作法：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，
设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。【最值原理】两点之间，线段最短。
例1．（2023·福建泉州·八年级校考期末）如图， 是边长为2的正方形 内一动点， 为边 上一
动点，连接 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】将 绕点A逆时针旋转 得到 ，则知 是等边三角形，转化为两定点之间的折
线，再利用“垂线段最短”求最小值．
【详解】如图，将 绕点A逆时针旋转 得到 ，则 是等边三角形，
作 于H，交 于G．则四边形 是矩形，
∴ ， ， ，∴ ， ∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ 的最小值 ．故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，两点之间线段最短时的位置的确
定，解本题的关键是确定取最小值时的位置．
例2．（2023·陕西西安·八年级校考阶段练习）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示，
若∠ ＝30°，则对角线BD上的动点P到A，B，C三点距离之和的最小值是 ．
α【答案】 cm
【详解】解：如图，过D作DE⊥BC于E，DF⊥BA于F，把△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△A'BP′，
则DE＝DF＝3cm，∵∠ ＝30°，∴CD＝2DE＝6cm，
∵AD∥BC，AB∥CD，∴α四边形ABCD是平行四边形，∴BC•DE＝AB•DF，
∵DE＝DF，∴BC＝AB，∴平行四边形ABCD是菱形，∴BC＝AD＝CD＝6cm，
由旋转的性质得：A′B＝AB＝CD＝6cm，BP′＝BP，A'P′＝AP，∠P′BP＝60°，∠A'BA＝60°，
∴△P′BP是等边三角形，∴BP＝PP'，∴PA+PB+PC＝A'P′+PP'+PC，
根据两点间线段距离最短可知，当PA+PB+PC＝A'C时最短，
连接A'C，与BD的交点即为到A，B，C三点距离之和的最小的P点，
则点P到A，B，C三点距离之和的最小值是A′C．
∵∠ABC＝∠DCE＝∠ ＝30°，∠A′BA＝60°，∴∠A′BC＝90°，
α
∴A′C＝ ＝ ＝ （cm），
因此点P到A，B，C三点距离之和的最小值是 cm，故答案为： cm．
例3．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点 是矩形 内一点，且 ， ，
为边 上一点，连接 ，则 的最小值为 ．【答案】
【分析】将 绕点 逆时针旋转 得到△ ，连接 、 ，根据旋转的性质得 为
等边三角形，同理 为等边三角形，进而有 ，当线段 、
、 三条线段在同一直线上，且该直线与 垂直时， 的值最小，问题随之得解．
【详解】解：如图所示，将 绕点 逆时针旋转 得到△ ，连接 、 ，
根据旋转的性质有： ， ， ，
为等边三角形，同理 为等边三角形，
， ， ，
当线段 、 、 三条线段在同一直线上，且该直线与 垂直时， 的值最小，
即 的值最小，如图，过点 作 于点 ，交 于点 ，
即 最小值为： ，在矩形 中， 于点 ，
即可知四边形 是矩形， ，即 ，为等边三角形， ， ，
， ，
的最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的判定性质与性质，勾股定理，垂线段最
短等知识，作出合理的辅助线是解答本题的关键．
例4．（2024·广东·九年级培优训练）如图，在正方形 中，点 为对角线 上一点， 为等边
三角形．(1)当点 在何处时， 的值最小，说明理由；
(2)当正方形的边长为8时，求 的最小值是多少？
【答案】(1) 为 与 的交点．证明见解析(2) 的最小值为： ．
【分析】（1）如图，将线段 顺时针旋转 得线段 ，连接 ， ，证明 ，可得当
， ， ， 四点共线时，如图，此时 最小，可得 为 与 的
交点．
（2）如图，过 作 交 的延长线于 ，证明 ，可得 ，
，再利用勾股定理可得最小值．
【详解】（1）解：如图，将线段 顺时针旋转 得线段 ，连接 ， ，
∴ ， ，∴ 为等边三角形，∴ ，∵ 为等边三角形．∴ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
当 ， ， ， 四点共线时，如图，
此时 最小，∴ 为 与 的交点．
（2）如图，过 作 交 的延长线于 ，
∵正方形 ，等边三角形 ， ，∴ ， ， ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，∴ 的最小值为： ．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，等边三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，
勾股定理的应用，二次根式的混合运算，作出合适的辅助线是解本题的关键．
例5．（2023·广东广州·校考二模）平行四边形 中，点E在边 上，连 ，点F在线段 上，连
，连 ．(1)如图1，已知 ，点E为 中点， ．若 ，求 的长
度；
(2)如图2，已知 ，将射线 沿 翻折交 于H，过点C作 交 于
点G．若 ，求证： ；
(3)如图3，已知 ，若 ，直接写出 的最小值．
【答案】(1) (2)见解析(3)
【分析】（1）根据“直角三角形的中线等于斜边长一半”，可以得到 ，再在直角
中，利用勾股定理求出 ，则 ，即可求解；
（2）由题意可得， 是 的角平分线，且 ，故延长 交于点M，可证 ，
要证 ，而 ，即证明 即可，延长 交 于N，过E作 于
P，先证明 ，可以得到 ，再证明四边形 是正方形，得到 ，接着证明 即可解决；
（3）如图3，分别以 和 为边构造等边三角形，构造“手拉手”模型，即可得到 ，所
以 ，则 ，当B，F，M，N四点共线时，所求线段和的
值最小，利用 ，解 即可解决．
【详解】（1）解：∵ ，如图1，
∴ ，E为 的中点， ，∴ ，
∵ ，∴ ，在 中， ，∴ ；
（2）证明：如图2，设射线 与射线 交于点M，由题可设 ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，延长 交 于N，
∴ ，过E作 于P，则 ，
在 与 中， ，∴ ，∴ ，
过E作 于Q，∴ ，∴四边形 为矩形，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴矩形 为正方形，∴ ，∴ ，在 与 中， ， ∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ；
（3）解：如图3，把 绕点A逆时针旋转 得到 ，得到等边 ，同理以 为边构造等边
，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
在 与 中， ，∴ ，
∴ ，∴ ，
当B，F，M，N四点共线时， 最小，即为线段BN的长度，如图4，
过N作 交其延长线于T，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∵ ，
∴ ，在 中， ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题是一道四边形综合题，考查了线段的“截长补短”在证明三角形全等中的应用，同时要注意基本辅助线构造方法，比如第（2）问中的线段 既是角平分线，又是垂线段，延长相交构等腰就是本题
的突破口，再结合线段的截长补短来构造全等，还考查了多条线段和的最值问题，利用旋转变换来转化线
段是解决此问的关键．
例6．（2023·重庆·九年级专题练习）【问题提出】
（1）如图1，四边形 是正方形， 是等边三角形，M为对角线 （不含B点）上任意一点，
将 绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 、 ， ．若连接 ，则 的形状是________．
（2）如图2，在 中， ， ，求 的最小值．
【问题解决】（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园 ， 千米，
，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条 ，求三条路的
长度和（即 ）最小时，平行四边形公园 的面积．
【答案】（1）等边三角形；（2）BC的最小值为 ；（3）平行四边形公园ABCD的面积为 （平方
米）．
【分析】（1）由旋转得BN=BM，∠MBN=60°，可判断出 BMN是等边三角形即可；
△
（2）设AB=a，则AC=10-a，进而根据勾股定理得出 即可得出结论；（3）先判断出点
A'，E'，E，C在同一条线上，设BF=x，进而依次得出AB=2x，BC=6-2x，CF=6-x，再利用勾股定理得出
，得出x= 是A'C最小，进而求出A'F，BC，利用平行四边形面积公式计算即可．
【详解】（1）证明： 的形状是等边三角形，理由如下;
由旋转知，BN=BM，∠MBN=60°∴ BMN为等边三角形 故答案为：等边三角形；
△（2）解：设AB=a，∵AB+AC=10，∴AC=10-AB= ，在Rt ABC中，根据勾股定理得，
△
，
∵ ，∴ ，即 ，∴ ，即BC的最小值为 ；
（3）解：如图3，
将 ABE绕点B逆时针旋转60°得到 A'BE'，∴△ABE≌△A'BE'，
∴∠△A'E'B=∠AEB，AB=A'B，A'E'=AE，△BE'=BE，∠EBE'=60°，
∴△EBE'为等边三角形，∴∠BE'E=∠BEE'=60°，EE'=BE，∴AE+BE+CE=A'E'+EE'+CE，
要AE+BE+CE最小，即点A'，E'，E，C在同一条线上，即最小值为A'C，
过点A'作A'F⊥CB，交CB的延长线于F，在Rt A'FB中，∠A'BF=180°-∠ABA'-∠ABC=60°，
△
设BF=x，则A'B=2x， 根据勾股定理得，A'F= ，
∵AB=A'B，∴AB=2x，∵AB+BC=6，∴BC=6-AB=6-2x，∴CF=BF+BC=6-x，
在Rt A'FC中，根据勾股定理得， ，
△
∴当x= ，即AB=2x=3时， 最小，此时，BC=6-3=3，A'F= ，
∴平行四边形公园ABCD的面积为 （平方千米）．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，用代数式
表示线段，利用配方法确定极值问题，判断出AB=BC时，AE+BE+CE最小是解本题的关键．
例7．（2023·江苏·九年级阶段练习）如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB＝10公里，BC
＝15公里，现在要设立两个车站E，F，则EA+EB+EF+FC+FD的最小值为 公里．【答案】15+10
【分析】将 AEB绕A顺时针旋转60°得 AGH，连接BH、EG，将 DFC绕点D逆时针旋转60°得到
DF'M，连△接CM、FM、FF'，如图2，△此时EH、EF、FM共线，E△A+EB+EF+FC+FD是最小值，利用旋转
△的性质和等边三角形的性质，相加即可得出结论．
【详解】解：如图1，将 AEB绕A顺时针旋转60°得 AGH，连接BH、EG，将 DFC绕点D逆时针旋转
60°得到 DF'M，连接CM△、FF'， △ △
△
由旋转得：AB=AH，AE=AG，∠EAG=∠BAH=60°，BE=GH，
∴△AEG和 ABH是等边三角形，∴AE=EG，
同理得： △DFF'和 DCM是等边三角形，DF=FF'，FC=F'M，
∴当H、G△、E、F、△F'、M在同一条直线上时，EA+EB+EF+FC+FD有最小值，如图2，
∵AH=BH，DM=CM，∴HM是AB和CD的垂直平分线，∴HM⊥AB，HM⊥CD，
∵AB=10，∴△ABH的高为5 ，
∴EA+EB+EF+FC+FD=EG+GH+EF+FF'+F'M=HM=15+5 +5 =15+10 ，则EA+EB+EF+FC+FD的最小值是（15+10 ）公里．故答案为：（15+10 ）．
【点睛】本题考查了矩形的性质和最短路径问题，旋转的性质和等边三角形的性质，确定最小值时点E和
F的位置是本题的关键，利用全等、勾股定理求其边长，从而得出结论．
例8．（2023上·广东广州·九年级校考期中）如图①，在平面直角坐标系中，直线 分别与 轴，
轴交于 ， 两点，点 为 中点，四边形 和四边形 都是正方形．
(1)求 的长；(2)如图②，连接 ， ，过点 作 于点 ，延长 交 于点 ，求证：
；
(3)如图③， ，点 在 边上，且 ， 为 的中点，点 为正方形 内部一点，连接
， ， ，请直接写出 的最小值．
【答案】(1) (2)见详解(3)
【分析】（1）由直线解析式可求出 的长，然后根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，
即可求出答案；（2）过点 作 交 延长线于点 ，过点 作 ，垂足为 ，先证明
， ，再证明 ，即可得出结论；（3）将 绕点 逆时针
旋转 得到 ，连接 ，通过旋转构造 的最小值为 的长，即可解答．
【详解】（1）解：对于直线 ，
当 时， ，即 ，当 时， ，即 ，
∴ ， ，∴ ，∵点 是 的中点， ，∴ ；
（2）证明：过点 作 交 延长线于点 ，过点 作 ，垂足为 ，
∵四边形 为正方形，∴ ， ， ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，同理 ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
又∵ ， ，∴ ，∴ ；
（3）解：将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，
则 ，∴ ， ，
∵ ，∴ 为等腰直角三角形，∴ ，
∴ ，
∴当 共线时， 有最小值，最小值为 的长，
在正方形 中， ， ， 为 的中点， ∴ ， ，∴ ，
在 中， ，∴ 的最小值为 ．【点睛】本题主要考查了坐标与图形、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、
一次函数的性质等知识，熟练掌握相关性质并作出辅助线是解题关键．
课后专项训练
1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线
BD（不含B点）上任意一点，将 ABG绕点B逆时针旋转60°得到 EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长
（ ） △ △A． B． C． D．
【答案】D
【分析】据“两点之间线段最短”，当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的
长．
【详解】解：如图，∵将 ABG绕点B逆时针旋转60°得到 EBF，∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，
∴△BFG是等边三角形．∴△BF=BG=FG，．∴AG+BG+CG=FE+G△F+CG．根据“两点之间线段最短”，
∴当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，
过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF=180°-120°=60°，
∵BC=4，∴BF=2，EF=2 ，在Rt EFC中，
△
∵EF2+FC2=EC2，∴EC=4 ．∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°，
∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG，∴EF= CE= ，故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题，正确的作出辅
助线是解题的关键．
2．（2023·广东广州·一模）如图，正方形ABCD内一点E，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为
，正方形的边长为_______．
解：以A为旋转中心，将△ABE顺时针旋转60°得到△AMN，连NE，MB，过M作MP⊥BC交BC的延长线于P点，如图，∴MN＝BE，AN＝AE，∠NAE＝60°，
∴△ANE为等边三角形，∴AE＝NE，∴AE+EB+EC＝MN+NE+EC，
当AE+EB+EC取最小值时，折线MNEC成为线段，则MC＝ ，
∵AB＝AM，∠BAM＝60°，∴△ABM为等边三角形，
∴∠MBC＝150°，则∠PBM＝30°，在Rt△PMC中，设BC＝x，PM＝
所以 所以x＝2，∴BC＝2，即正方形的边长为2．
3．（2024上·陕西汉中·九年级统考期末）如图，正方形 的边长为2． 为与点 不重合的动点，以
为一边作正方形 ．设 ，点 、 与点 的距离分别为 、 ，则 的最小值
为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，勾股定理，连接 、 、 ，证
可得 ，当 、 、 、 四点共线时，即得最小值；
【详解】解：如图，连接 、 、 ，∵ ∴在 和 中，∵ ∴
∴ ∴
当 时，最小，
∴ 的最小值为 ，故答案为： ．
4．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在 中，P为平面内的一点，连接 ，若
，则 的最小值是（ ）
A． B．36 C． D．
【答案】A
【分析】分别以 、 为边在下方构造等边三角形 、 ，分别取 、 中点 ，连
接 ，先证得 ，可得 ，由中位线可得 ，由等边三角
形性质可得 ，当 三点共线时即可求得 的最小
值，最终求出 的最小值．
【详解】分别以 、 为边在下方构造等边三角形 、 ，分别取 、 中点 ，连
接 ，如图所示，∵取 、 中点 ，∴ ，∵等边三角形 ，∴ ，
∵等边三角形 ，∴ ， ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴当 三点共线时 最小，
∵ ∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ 的最小值为 ，故选：A．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、中位线的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是利用手拉手模型
构造辅助线．
5．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，点P是矩形 对角线 上的一个动点，已知
，则 的最小值是__．【答案】
【分析】将 绕点C逆时针旋转 ，得到 ，连接 ，则 是等边三角形，
是等边三角形，由 ，得出 ，当 共线时，
得到值最小，然后根据等边三角形的性质和勾股定理求得 的最小值．
【详解】解：将 绕点C逆时针旋转 ，得到 ，连接 ，则 是等边三角
形， 是等边三角形，∴ ，∴ ，
∴当 共线时， 值最小，即 的值最小，
连接 ，作 ，延长 使得 ，连接 ，则四边形 是矩形，∴
，
∵ 是等边三角形，∴ ， ，
∴ ， ，∴ ，
∴ 的最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，正确作
出辅助线是解题的关键．
6．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在 中， ， ， ，P是平面内一点，则 的最小值为______．
【答案】
【分析】连接 ， 交于点P，作 交 于点F，作 交 的延长线于点E，根据两
点之间线段最短得到当点P是 和 交点时， 的值最小，即为 的长度，然
后利用平行四边形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】如图所示，连接 ， 交于点P，作 交 于点F，作 交 的延长线于点
E，
∵ ，
∴当点P是 和 交点时， 的值最小，即为 的长度，
∵ ， ， ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵四边形 是平行四边形，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ 的最小值为 ．故答案为： ．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握以
上知识点．7．（2023·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6,∠ABC＝
150°，则AP+BP+PD的最小值为_____．
【答案】6
【分析】将 ADC逆时针旋转60°，得到 AD′C′，连接BD′交AC于P，交AC′于E，连接PD，求出BD′，证明
PA＝PE，PD△＝ED′，根据两点之间线段最△短得到答案．
【详解】解：将 ADC逆时针旋转60°，得到 AD′C′，连接BD′交AC于P，交AC′于E，连接PD，
∵∠ABC＝150°∴∠△BAD＝30°，∵∠DAD′＝60°，△∴∠BAD′＝90°，又AB＝AD＝AD′＝BC＝6，
∴BD′＝ ，∠ABP＝45°，
又∠BAP＝15°，∴∠APE＝∠PAE＝60°，∴△EAP为等边三角形，∴PA＝PE＝AE，
又∵AD＝AD′，∠PAD＝∠EAD′，∴ APD≌△AED′，∴PD＝ED′，
△
根据两点之间线段最短可得AP＋BP＋PD的最小值＝PB＋PE＋ED′＝ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查的是菱形的性质、旋转变换、勾股定理、等边三角形的判定和性质、两点之间线段最短
等知识，正确找出辅助线是解题的关键，注意旋转变换的性质的正确运用．
8．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，在 中， ．如果在三角
形内部有一条动线段 ，且 ，则 的最小值为________．【答案】
【分析】在 上取一点 ，使得 ，连接 ，如图所示，首先证明
，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，过点 作
交 的延长线于 ，证明 ，求出 可得结论．
【详解】解：在 上取一点 ，使得 ，连接 ，如图所示：
， ， 四边形 是平行四边形， ，
，
将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，过点 作 交 的延长线于 ，如图所
示：
， ， 是等边三角形， ， ，
， ， ， ，
， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ，， 的最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，旋转变换，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用旋
转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
9．（2023·广东·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD
（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
(1)求证： ；(2)①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
(3)当AM＋BM＋CM的最小值为 时，求正方形的边长．
【答案】(1)见解析 (2)①BD的中点，②BD与CE的交点处，见解析 (3)
【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出∠BMA=∠NBE，然后即可证明 ，
（2）①根据两点之间线段最短可知当M点落在BD的中点时，根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋
CM=EC最短，②连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，
（3）过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F, 设正方形的边长为x，，根据含30度角的直角三角形的性质，
勾股定理，得出BF= x，EF= ，在Rt△EFC中，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
（1）解：∵△ABE是等边三角形，∴BA=BE，∠ABE=60°．
∵∠MBN=60°，∴ ．即∠BMA=∠NBE．
又∵MB=NB，∴ （SAS）
（2）①∵ ，∴当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小 理由如下：连接MN．由（1）知， ，∴AM=EN．
∵∠MBN=60°，MB=NB，∴△BMN是等边三角形．∴BM=MN．
∴AM＋BM＋CM=EN＋MN＋CM根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长
（3）过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴ ．设正方形的边长为x，则BF= x，EF= ．
在Rt△EFC中，∵ ，∴ ，
解得， （舍去负值）．∴正方形的边长为 ，
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等
三角形的性质与判定，解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键．
10．（2023春·江苏·八年级专题练习）问题提出
(1)如图，点 、 是直线 外两点，在直线 上找一点 ，使得 最小．
问题探究(2)在等边三角形 内有一点 ，且 ， ， ，求 度数的大小．
问题解决(3)如图，矩形 是某公园的平面图， 米， 米，现需要在对角线 上修一
凉亭 ，使得到公园出口 、 ， 的距离之和最小．问：是否存在这样的点 ？若存在，请画出点 的
位置，并求出 的和的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析 (2)
(3)对角线 上不存在这样的点 ，使得到公园出口 、 ， 的距离之和最小，理由见解析【分析】（1）根据两点间线段距离最短，连接点 ，与直线 交于点 ，点 即为所求．；
（2）把 绕点 逆时针旋转 得到 ，由旋转的性质可知 是等边三角形，从而得到
，由勾股定理逆定理可知 ，从而求得 ，即可求解；
（3）连接 ，设在 内一点 ，把 绕点 逆时针旋转 得到 ，
，由旋转的性质， 、 是等边三角形，根据两点间线段距离最短，可得当
时最短，从而得到 最小值为 的长，点 为 、 的交点，即可求解．
【详解】（1）解：如图1，连接点 ，与直线 交于点 ，点 即为所求．
（2）解：如图2，把 绕点 逆时针旋转 得到 ，
由旋转的性质， ， ， ，
是等边三角形， ， ，
， ， ， ，
；故 ；
（3）解：如图，连接 ，设在 内一点 ，把 绕点 逆时针旋转 得到 ，
由旋转的性质， ， ， ， ， ， ，
、 是等边三角形， ， ，
根据两点间线段距离最短得：当 时最短，
是等边三角形， 以 为一边作等边三角形 ，
最小值为 的长，此时点 在线段 上， 点 为 、 的交点．
若点 与点 重合，即 在对角线 上，则点 为 与 的交点，此时点 （E）与点 重合，
显然不符合题意，故点 不在对角线 上，
即对角线 上不存在这样的点 ，使得到公园出口 、 ， 的距离之和最小．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了旋转知识、三角形全等、特殊角直角三角形、等边三角形的性
质和勾股定理，熟练掌握旋转知识构建全等三角形是解题的关键．
11．（2023·重庆綦江·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E、F分别是AB、BC上的动点，连接DE、DF、EF．(1)如图1，连接AF，若AF⊥BC，E为AB的中点，且EF＝5，求DF的长；
(2)如图2，若BE＝BF，G为DE的中点，连接AF、AG、FG，求证：AG⊥FG；
(3)如图3，若AB＝7，将△BEF沿EF翻折得到△EFP（始终保持点P在菱形ABCD的内部），连接AP、
BP及CP，请直接写出当PA＋PB＋PC值最小时PB的长．
【答案】(1) (2)证明见解析(3)
【分析】（1）法一：如图1，过点D作DG⊥BC交BC的延长线于G，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝
60°， ，在 中， ，E为AB的中点，AF⊥BC，BF＝EF
＝ BC，CG＝ CD，DG＝ CG，FG＝CF+CG，在 中，DF＝ ，进而求出DF；法
二：四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°， ， ，AF⊥BC则∠AFB＝90°，在
中 ， ， ， 是 的中点， ， 是等边三角形，可
知EF＝BE＝ AB， ，AF＝5 ，在 中， DF＝ ，进而求出DF；
（2）法一：如图2，延长AG交CD于H，连接AC，FH；由四边形ABCD为菱形知AB＝BC＝CD，
∠ABC=∠ADC＝60°，AB∥CD，∠AEG＝∠HDG，G为DE的中点有EG＝DG，得△AEG≌△HDG，AG＝
HG，AE＝DH，BE＝BF，∠ABC＝60°，△BEF为等边三角形，有FC＝DH，AC＝AD，
，知△AFC≌△AHD，AH＝AF，同理 ABF≌△ACH，∠BAF＝∠CAH，∠FAH＝
△
∠FAC+∠CAH＝∠FAC+∠BAF＝∠BAC＝60°，△AFH是等边三角形，AG＝HG，进而说明AG⊥FG．法二：
如图4，延长AG交CD于H，连接FH，四边形ABCD是菱形，有AB＝CD，AB∥CD，∠ABC＝60°，∠BCD=120°知∠EAG＝∠DHG，∠AEG＝∠HDG，点G是DE中点，EG＝DG，由 ，知
△AEG≌△HDG，AG＝HG，AE＝DH，BE＝CH，BE＝BF，∠ABC＝60°知△BEF是等边三角形，有∠BEF
＝60°，EF＝BE，∠AEF=120°，∠AEF＝∠FCH，EF＝CH，由 ，得△AEF≌△FCH，有AF
＝HF，AG＝HG，进而说明FG⊥AG；
（3）解：如图a，在 ABC中，P为其中任意一点．连接AP，BP，得到 ABP．以点B为旋转中心，将
ABP逆时针旋转 60△°，得到 EBD，BD＝BP，△DBP 为一个等边三角形△，有PB＝PD，当E、D、P、C
△四点共线时，PA+PB+PC最小△；如图3，当B、P、G、D四点共线时，PA+PB+PC值最小，最小值为BD．
将 APC绕点C顺时针旋转60°，得到 DGC，知△APC≌△DGC，CP＝CG，∠PCG＝60°，△PCG是等边
△ △
三角形，PG＝CG＝CP，∠GPC＝∠CGP＝60°；菱形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝ ∠ABC＝30°，∠PCB
＝∠GPC﹣∠CBP＝60°﹣30°＝30°，∠PCB＝∠CBP＝30°，BP＝CP，同理DG＝CG，BP＝PG＝GD，连接
AC，交BD于点O，则AC⊥BD，在Rt BOC中，∠BOC＝90°，∠OBC＝30°，BC＝7，得OC、BO的值，
△
BD＝2BO，BP＝ BD，可求得BP的值．
（1）解：法一：如图1，过点D作DG⊥BC交BC的延长线于G，
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°
∴ ， ∴
∵AF⊥BC∴∠AFB＝90°， ∴∴ BEF为等边三角形∴BF＝EF＝ BC∴CF＝EF＝5
△
在 中， ∴CG＝ CD＝5，DG＝ CG＝5
∵FG＝CF+CG＝10∴DF＝ ＝5
法二：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°∴ ，
∵AF⊥BC∴∠AFB＝90° 在 中 ，
∵ 是 的中点 ∴ ∵ ∴ 是等边三角形
∵EF＝5，EF＝BE＝ AB ∴ ∴AF＝5
在 中， DF＝ ＝5 ∴ 的值为 ．
（2）证明：法一：如图2，延长AG交CD于H，连接AC，FH，
∵四边形ABCD为菱形∴AB∥CD，AB＝BC＝CD，∠ABC=∠ADC∴∠AEG＝∠HDG，
∵G为DE的中点，∴EG＝DG，
在 AEG和 HDG中， ，∴△AEG≌△HDG，∴AG＝HG，AE＝DH，
△ △
∵BE＝BF，∠ABC＝60°∴△BEF为等边三角形
∴BE＝BF=EF，∴FC＝DH，AC＝AD
在 AFC和 AHD中， ，∴△AFC≌△AHD ∴AH＝AF
△ △
同理： ABF≌△ACH∴∠BAF＝∠CAH
∴∠FAH△＝∠FAC+∠CAH＝∠FAC+∠BAF＝∠BAC＝60°，∴△AFH是等边三角形∵AG＝HG∴AG⊥FG．
法二：如图4 延长AG交CD于H，连接FH，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，
∵∠ABC＝60°∴∠BCD=120°∴∠EAG＝∠DHG，∠AEG＝∠HDG，∵点G是DE中点，∴EG＝DG，
在 AEG和 HDG中， ，∴△AEG≌△HDG∴AG＝HG，AE＝DH∴BE＝CH，
△ △
∵BE＝BF，∠ABC＝60°∴△BEF是等边三角形
∴∠BEF＝60°，EF＝BE∴∠AEF=120°∴∠AEF＝∠FCH，EF＝CH
在 AEF和 FCH中， ∴△AEF≌△FCH∴AF＝HF ∵AG＝HG∴FG⊥AG
△ △
（3）解：如图a 在 ABC中，P为其中任意一点．连接AP，BP，得到 ABP．
以点B为旋转中心，将△ ABP逆时针旋转 60°，得到 EBD △
∴BD＝BP，∴△DBP 为△一个等边三角形∴PB＝PD △
∴PA+PB+PC＝DE+PD+PC∴当E、D、P、C 四点共线时，为PA+PB+PC最小．
如图3，当B、P、G、D四点共线时，PA+PB+PC值最小，最小值为BD．
∵将 APC绕点C顺时针旋转60°，得到 DGC，∴△APC≌△DGC，∴CP＝CG，∠PCG＝60°，
∴△P△CG是等边三角形，∴PG＝CG＝CP△，∠GPC＝∠CGP＝60°．
∵菱形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝ ∠ABC＝30°，∴∠PCB＝∠GPC﹣∠CBP＝60°﹣30°＝30°，
∴∠PCB＝∠CBP＝30°，∴BP＝CP，同理，DG＝CG，∴BP＝PG＝GD．
连接AC，交BD于点O，则AC⊥BD．在Rt BOC中，∵∠BOC＝90°，∠OBC＝30°，BC＝7，
△
∴OC＝ ，∴BO= ∴BD＝2BO＝ ，∴BP＝ BD＝ 即当PA+PB+PC值最小时PB的长为 ．
【点睛】本题考查了菱形，特殊的直角三角形，勾股定理，全等三角形，等腰三角形，和的最值，旋转，
二次根式等知识点．解题的关键是灵活综合运用菱形的性质，旋转等知识．
12．（2023·绵阳市·九年级专题练习）如图：(1)如图1，已知锐角△ABC的边BC＝3，S ABC＝6，点M为
△
△ABC内一点，过点M作MD⊥BC交BC于点D，连接AM，则AM+MD的最小值为 ．
(2)如图2．点P是正方形ABCD内一点，PA＝2，PB＝ ，PC＝4．求∠APB的度数．
(3)如图3，在长方形ABCD中，其中AB＝600，AD＝800点P是长方形内一动点，且S ABC＝2S PBC，点
△ △
Q为△ADP内的任意﹣点，是否存在一点P和一点Q．使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存在，请求出此时
PQ的长度，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)4(2)135°(3)存在，PQ的长度为
【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，则S ABC＝ BC•AE＝6，求出AE＝4，由垂线段最短即可得出结果；
△
（2）把△ABP绕点B顺时针旋转90°得△CBQ，连接PQ，则∠PBQ＝90°，∠APB＝∠CQB，易证△BPQ
是等腰直角三角形，得出∠BQP＝45°，PQ＝2 ，再由勾股定理的逆定理证得△PCQ是直角三角形，
∠PQC＝90°，即可得出结果；（3）过点P作EF AD交AB于点E、交CD于点F，将△ADQ绕点A逆时
针旋转60°，得△AD′Q′，连接DD′，QQ′，D′P，设D′P交AD于点G，则△ADD′、△AQQ′都是等边三角形，
由S PAD＝2S PBC，可得AE＝2BE，进而求得AE＝400，当D′P⊥EF时，D′P取最小值，运用勾股定理即
△ △
可求答案．
（1）解：如图1，过A作AE⊥BC于E，则S△ABC＝ BC•AE＝ ×3×AE＝6，∴AE＝4，
∵MD⊥BC，∴当A、M、D三点共线时，AM＋MD的值最小＝AE＝4，故答案为：4；（2）∵点P是正方形ABCD内一点，∴把△ABP绕点B顺时针旋转90°得△CBQ，连接PQ，如图2所示：
则∠PBQ＝90°，∠APB＝∠CQB，QC＝PA＝2，QB＝PB＝ ，∴△BPQ是等腰直角三角形，
∴∠BQP＝45°，PQ＝ PB＝ × ＝2 ，∵QC2＋PQ2＝22＋（2 ）2＝16，PC2＝42＝16，
∴QC2＋PQ2＝PC2，∴△PCQ是直角三角形，∠PQC＝90°，
∴∠CQB＝∠PQC＋∠BQP＝90°＋45°＝135°，∴∠APB＝135°；
（3）存在一点P和一点Q，使得AQ＋DQ＋PQ有最小值，理由如下：
如图3，过点P作EF AD交AB于点E、交CD于点F，将△ADQ绕点A逆时针旋转60°，得△AD′Q′，连
接DD′、QQ′、D′Q、D′P，设D′P交AD于点G，则△ADD′、△AQQ′都是等边三角形，D′Q′＝DQ，
∴AQ＝QQ′，∵Q′Q＋D′Q′≥D′Q，即AQ＋DQ≥D′Q，D′Q＋PQ≥D′P，∴AQ＋DQ＋PQ≥D′P，
∴当P、Q、Q′、D′在同一条直线上时，AQ＋DQ＋PQ有最小值，最小值为D′P，在长方形ABCD中，AB
＝600，AD＝800，∴BC＝AD＝800，AD∥BC，∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝90°，∴EF∥BC，
∵S PAD＝2S PBC，∴ AD•AE＝2× BC•BE，∴AE＝2BE，∴AE＝ AB＝400，
△ △
∵点P在EF上，∴当D′P⊥EF时，D′P取最小值，
∵AD EF，∴D′P⊥AD，∵△ADD′是等边三角形，∴AD′＝AD＝800，AG＝ AD＝400，∠AGD′＝90°，
∴D′G＝ ，∵∠EAG＝∠AEP＝∠EPG＝90°，∴四边形AEPG是矩形，
∴GP＝AE＝400，∴D′P＝D′G＋GP＝400 ＋400，∴AQ＋DQ＋PQ的最小值为400 ＋400，
∵△AQQ′是等边三角形，AD⊥QQ′，∴∠GAQ＝30°，AQ＝2GQ，在Rt△AGQ中，AG2＋GQ2＝AQ2，∴4002＋GQ2＝（2GQ）2，解得：GQ＝ ，
∴PQ＝GP−GQ＝ ．
【点睛】本题考查了等边三角形判定与性质、正方形的性质、矩形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形
的判定与性质、勾股定理、勾股定理逆定理、点到直线的距离垂线段最短、三角形面积计算等知识，解题
关键是通过旋转确定线段和取最小值的位置．
13．（2022·河南南阳·统考三模）【发现奥秘】
(1)如图1，在等边三角形 中， ，点E是 内一点，连接 ，分别将 绕点
C顺时针旋转60°得到 ，连接 ．当B，E，F，D四个点满足______时， 的
值最小，最小值为_______．
【解法探索】(2)如图2，在 中， ，点P是 内一点，连接 ，请
求出当 的值最小时 的度数，并直接写出此时 的值．（提示：分别将
绕点C顺时针旋转60°得到 ，连接 ）
【拓展应用】(3)在 中， ，点P是 内一点，连接 ，
直接写出当 的值最小时， 的值．
【答案】(1)四点共线， (2) 的值最小时 ，此时
(3)
【分析】(1)证明 得到 进而得到B，E，F，D四个点满足四点共线时，
的值最小为 ，再由等边△ 及 求出 的长；(2)同(1)中思路证明 得到 ，当B，P，D，E四点共线时， 的值
最小为 ；进一步得到 ， 即可求出 ，再过点C作 于点F，利
用 即可求出 的值；(3)同(2)中思路即可求解．
【详解】（1）解：由旋转的性质，可知 ，
， ，
∴ ，∴ ，∴ ，且 ，∴ ，
∴当B，E，F，D四点共线时， 的值最小为 ，如图所示：
连接AC，设AC与BD交于点O，∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵△ABC为等边三角形，∴∠OCB=60°，
∴ ，此时 ．
（2）解：由旋转的性质，可知 ，
， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，且 均为等边三角形， ,∴ ，
∴当B，P，D，E四点共线时， 的值最小，如图1所示．
∵ 均为等边三角形，∴ ，
∵ ，∴ ．∴ ，∴ ，
∴当B，P，D，E四点共线时， 的值最小，此时 ；
过点C作 于点F，如图1所示．∵ ，∴ 是线段 的中垂线，∴C，P，F三点共线， ∴ ，
设 ，则 ．∴ ，∴ ．
（3）解：分别将 绕点C顺时针旋转60°得到 ，连接 ，
过点E作 ，交BC的延长线于点F，如图2所示：
由(2)可知，当B，P，D，E四点共线时， 的值最小，此时 ，
由(2)知： ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ．∴ ，
∴在 中由勾股定理得到 ，
过点C作 ，垂足为G，如图2所示．
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴在 中由勾股定理得到 ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查了图形旋转的性质、三角形全等的判定方法、勾股定理求线段长等知识点，本题综合性
强，难度大，需要根据题意做出合适的辅助线，属于中考常考压轴题．
14．（2023·山东九年级课时练习）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接BN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）若正方形的边长为 ，正方形内是否存在一点P，使得PA＋PB＋PC
的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）存在，
【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，△ABE为等边三角形，可得BE＝BA，BA＝BC，∠ABE＝60°，
再由∠MBN＝60°，可推出∠MBA＝∠NBE，由此即可证明；
（2）将△BPC顺时针旋转60度得到 ，过点F作FM⊥AB交AB延长线于M，可以推出当AP，PE，
EF在一条直线上，即如下图：可得最小PA+PB+PC＝AF，由此求解即可．
【详解】解：（1）由旋转的性质可得BN=BM，
如图1，∵四边形ABCD为正方形，△ABE为等边三角形，∴BE＝BA，BA＝BC，∠ABE＝60°；
∵∠MBN＝60°，∴∠MBN＝∠ABE，∴∠MBA＝∠NBE；
在△AMB与△ENB中， ，∴△AMB≌△ENB（SAS）；
（2）将△BPC顺时针旋转60度得到 ，过点F作FM⊥AB交AB延长线于M，
∴ ， ，PC=EF，∠PBC=∠EBF，BC=BF ∴ 为等边三角形，
即得PA+PB+PC＝AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小PA+PB+PC＝AF．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC=BF，
∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=150°∴∠BAF=∠AFB＝15°，∴∠MBF=∠BAF+∠AFB=30°
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，含30度角的
直角三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
15．（2023春·江苏·八年级校考周测）如图①，四边形 是正方形， 是等边三角形，M为对角
线 （不含B点）上任意一点，将 绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 ．
(1)求证： ；(2)如图1，当M点在何处时， 的值最小．(3)如图2，在 中，
， ， ．若点 是 内一点，直接写出 的最小值．
【答案】(1)见解析(2)当E，N，M，C在同一直线上时(3)
【分析】（1）由 是等边三角形得到 ,又由 得 ，由
，即可证明 ；（2）连接 ,当M点位于 与 的交点处时， 的
值最小,连接 ，由（1）得 则 ，再证 是等边三角形， ，
，根据两点之间线段最短，即可得到结论；（3）以点A为旋转中心，顺
时针旋转 到 ，旋转角是 ，连接 、 ，证明 是等边三角形， ，证得当
， ， ， 四点共线时， 最小，最小值就是 的值，再求得 的值即可．
【详解】（1）解：∵ 是等边三角形，∴ ,
∵ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ；
（2）连接 ,当M点位于 与 的交点处时， 的值最小,连接 ，由（1）得 ，∴ ，∴ ，
∴ 是等边三角形，∴ ，∴ ，
根据两点之间线段最短，当点 在同一条直线上时， 取最小值，最小值为 ．
（3）以点 为旋转中心，顺时针旋转 到 ，旋转角是 ，连接 、 ，如图所示，
则 ， ， ， 是等边三角形，
， ， ，
当 ， ， ， 四点共线时， 最小，最小值就是 的值，
， ， ， ， ， ，
， ．
【点睛】此题考查了等边三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、最短
路径等知识，熟练掌握等边三角形的判定和旋转的性质是解题的关键．
15．（2023·重庆·九年级校联考期中）如图，菱形 中， 是对角线．
（1）如图①若 ， ，求菱形 的面积；
（2）如图②， 、 分别是 、 上一点，连结 ，过点 作 于点 ，过点 作
于点 ，交 于点 ，且 ．求证：
（3）如图③，若 ，且点 是 内任意一点，求 的最小值．【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3） ．
【分析】（1）过B作BE⊥AD于E由菱形 中， 是对角线．AD=AB=8，可得∠BAC=∠DAC，由
，可求∠BAE=2 ，利用余角性质∠ABE=30°由30°角直角三角形性质可求AE ，由勾
股定理得： ，利用面积公式求S =AD•BE= ；
菱形
（2）如答图②，过点 作 于点 ，由GC=GF，GM⊥CF，由等腰 三线合一，得出
， ，由CP⊥CF，可推出∠PCF=∠MGF， ，由
可得 利用和差可求 ，由 ，可求
由 ，可得GM∥H， 在Rt HND中，由勾
△
股定理得 ，可证 GCM≌△CHN（AAS）可推得 ；
△
（3）四边形ABCD为菱形，且BD=AB=10推得 ABD与 CBD都是等边三角形，点P为是 内任意一
点， 以B点为旋转中心，将 ABP顺时针旋转△60°得 D△AH，连结CH，可证 PBD≌△HBC（SAS），PD=CH，
可知PA+PB+PD=AP+PH+CH≥AC△，当点A、P、H、四点△共线时最短为AC，由勾△股定理得AE=
即可．
【详解】解：（1）过B作BE⊥AD于E，
∵菱形 中， 是对角线．AD=AB=8，∴∠BAC=∠DAC，
∵ ，∴∠BAE=2 ，∴∠ABE=90°-∠BAE=90°-60°=30°，∴AE= ，
由勾股定理得： ，S =AD•BE=8× = ；
菱形
答图②
（2）如答图②过点 作 于点 ，∵GC=GF，GM⊥CF，
由等腰 三线合一，得出 ， ，
∵CP⊥CF，∴∠PCF+∠CFP=90°，
∵∠MGF+∠GFM=90°，∴∠PCF=∠MGF，∴ ，
∵ ，∴ ∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴GM∥HN， ，
在Rt△HND中，由勾股定理得 ，∴ ，
∵GC=CH，∠GMC=∠CNH=90°，∠CGM=∠HCN，
∴△GCM≌△CHN（AAS），∴ ， ，
∴ ；
（3）四边形ABCD为菱形，且BD=AB=10，∴△ABD与△CBD都是等边三角形，
点P为是 内任意一点，以B点为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得△DAH，连结CH，
∴BP=BH，∠PBH=∠ABD=60°，∴∠PBD+∠DBH=60°，∠DBH+∠HBC=60°，∴∠PBD=∠HBC，
∵BD=BC，∴△PBD≌△HBC（SAS），∴PD=CH，∴PA+PB+PD=AP+PH+CH≥AC，当点A、P、H、四点共线时最短为AC，设AC与BD交于E，则AC=2AE,BE=DE=5，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE= ，
∴AC=2AE=10 ，∴PA+PB+PD最小值为 ．
【点睛】本题考查菱形性质，直角三角形性质，勾股定理，平行四边形面积公式，等腰直角三角形三角形
全等判定与性质，图形旋转变换，关键是利用旋转引辅助线作出准确的图形是解题关键．
16．（2023上·福建龙岩·九年级校联考期中）如图，在等边三角形 内有一点 ．
(1)若 ， ， ，求 的度数；(2)若等边三角形边长为 ，求 的最小值；
(3)如图，在正方形 内有一点 ，且 ， ， ，求正方形 的边长．
【答案】(1) ，(2) (3)
【分析】（1）将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连结 、 ，则 ，
得到 ， ， ， ，证得 是等边三角形，求出
， ，根据勾股定理逆定理证得 是直角三角形，
，即可求出 ；（2）根据（1）的方法将 绕点 顺时针旋
转 得到 ，再将 绕点 顺时针旋转 得到 ，则 ，当 四点共
线时， 取得最小值，即 的长，勾股定理，即可求解． （3）如图，延长 ，过点 作
于 ，得到 ，求出 ，勾股定理求出 即可．
【详解】（1）解： 如图所示，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 、 ， ，
， ， ， ，
是等边三角形， ， ，
， 是直角三角形， ，
， ，
（2）解：如图所示，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，
则 ， ， ，则 是等边三角形， ，
再将 绕点 顺时针旋转 得到 ，则
， ， ，
当 四点共线时， 取得最小值，即 的长，设 ， 交于点 ，
， ，
， ，
在 中， ，即 的最小值为 ；
（3）如图，将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，
， ， ， ， ，
是等腰直角三角形， ， ，
， 是直角三角形， ，
如图，延长 ，过点 作 于 ，则 ，， ， ， ， ，
，即正方形的边长为 ．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定
理及其逆定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
