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专题 12 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型
费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考
试中都以中高档题为主。本专题就特殊平行四边形中的最值模型-费马点问题进行梳理及对应试题分析，
方便掌握。
【模型背景】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位
不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之
外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三
个顶点距离之和最小的点。
【模型解读】
结论：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，
MA+MB+MC的值最小。
注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就
是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）
【模型证明】以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．
∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．
在△AMB与△ENB中，∵ ，∴△AMB≌△ENB（SAS）．
连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形．
∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．
此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；
∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．
费马点的作法：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，
设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。【最值原理】两点之间，线段最短。
例1．（2023·福建泉州·八年级校考期末）如图， 是边长为2的正方形 内一动点， 为边 上一
动点，连接 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．3 C． D．
例2．（2023·陕西西安·八年级校考阶段练习）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示，
若∠ ＝30°，则对角线BD上的动点P到A，B，C三点距离之和的最小值是 ．
α
例3．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点 是矩形 内一点，且 ， ，
为边 上一点，连接 ，则 的最小值为 ．
例4．（2024·广东·九年级培优训练）如图，在正方形 中，点 为对角线 上一点， 为等边
三角形．(1)当点 在何处时， 的值最小，说明理由；
(2)当正方形的边长为8时，求 的最小值是多少？例5．（2023·广东广州·校考二模）平行四边形 中，点E在边 上，连 ，点F在线段 上，连
，连 ．(1)如图1，已知 ，点E为 中点， ．若 ，求 的长
度；
(2)如图2，已知 ，将射线 沿 翻折交 于H，过点C作 交 于
点G．若 ，求证： ；
(3)如图3，已知 ，若 ，直接写出 的最小值．
例6．（2023·重庆·九年级专题练习）【问题提出】
（1）如图1，四边形 是正方形， 是等边三角形，M为对角线 （不含B点）上任意一点，
将 绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 、 ， ．若连接 ，则 的形状是________．
（2）如图2，在 中， ， ，求 的最小值．
【问题解决】（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园 ， 千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条 ，求三条路的
长度和（即 ）最小时，平行四边形公园 的面积．
例7．（2023·江苏·九年级阶段练习）如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB＝10公里，BC
＝15公里，现在要设立两个车站E，F，则EA+EB+EF+FC+FD的最小值为 公里．
例8．（2023上·广东广州·九年级校考期中）如图①，在平面直角坐标系中，直线 分别与 轴，
轴交于 ， 两点，点 为 中点，四边形 和四边形 都是正方形．
(1)求 的长；(2)如图②，连接 ， ，过点 作 于点 ，延长 交 于点 ，求证：
；
(3)如图③， ，点 在 边上，且 ， 为 的中点，点 为正方形 内部一点，连接
， ， ，请直接写出 的最小值．课后专项训练
1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线
BD（不含B点）上任意一点，将 ABG绕点B逆时针旋转60°得到 EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长
（ ） △ △
A． B． C． D．
2．（2023·广东广州·一模）如图，正方形ABCD内一点E，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为
，正方形的边长为_______．
3．（2024上·陕西汉中·九年级统考期末）如图，正方形 的边长为2． 为与点 不重合的动点，以
为一边作正方形 ．设 ，点 、 与点 的距离分别为 、 ，则 的最小值
为 ．4．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在 中，P为平面内的一点，连接 ，若
，则 的最小值是（ ）
A． B．36 C． D．
5．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，点P是矩形 对角线 上的一个动点，已知
，则 的最小值是__．
6．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在 中， ， ， ，P是平面内一
点，则 的最小值为______．
7．（2023·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6,∠ABC＝
150°，则AP+BP+PD的最小值为_____．8．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，在 中， ．如果在三角
形内部有一条动线段 ，且 ，则 的最小值为________．
9．（2023·广东·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD
（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
(1)求证： ；(2)①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
(3)当AM＋BM＋CM的最小值为 时，求正方形的边长．
10．（2023春·江苏·八年级专题练习）问题提出(1)如图，点 、 是直线 外两点，在直线 上找一点 ，使得 最小．
问题探究(2)在等边三角形 内有一点 ，且 ， ， ，求 度数的大小．
问题解决(3)如图，矩形 是某公园的平面图， 米， 米，现需要在对角线 上修一
凉亭 ，使得到公园出口 、 ， 的距离之和最小．问：是否存在这样的点 ？若存在，请画出点 的
位置，并求出 的和的最小值；若不存在，请说明理由．
11．（2023·重庆綦江·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E、F分别是AB、BC上的动
点，连接DE、DF、EF．(1)如图1，连接AF，若AF⊥BC，E为AB的中点，且EF＝5，求DF的长；
(2)如图2，若BE＝BF，G为DE的中点，连接AF、AG、FG，求证：AG⊥FG；
(3)如图3，若AB＝7，将△BEF沿EF翻折得到△EFP（始终保持点P在菱形ABCD的内部），连接AP、
BP及CP，请直接写出当PA＋PB＋PC值最小时PB的长．
12．（2023·绵阳市·九年级专题练习）如图：(1)如图1，已知锐角△ABC的边BC＝3，S ABC＝6，点M为
△△ABC内一点，过点M作MD⊥BC交BC于点D，连接AM，则AM+MD的最小值为 ．
(2)如图2．点P是正方形ABCD内一点，PA＝2，PB＝ ，PC＝4．求∠APB的度数．
(3)如图3，在长方形ABCD中，其中AB＝600，AD＝800点P是长方形内一动点，且S ABC＝2S PBC，点
△ △
Q为△ADP内的任意﹣点，是否存在一点P和一点Q．使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存在，请求出此时
PQ的长度，若不存在，请说明理由．
13．（2022·河南南阳·统考三模）【发现奥秘】
(1)如图1，在等边三角形 中， ，点E是 内一点，连接 ，分别将 绕点
C顺时针旋转60°得到 ，连接 ．当B，E，F，D四个点满足______时， 的
值最小，最小值为_______．
【解法探索】(2)如图2，在 中， ，点P是 内一点，连接 ，请
求出当 的值最小时 的度数，并直接写出此时 的值．（提示：分别将绕点C顺时针旋转60°得到 ，连接 ）
【拓展应用】(3)在 中， ，点P是 内一点，连接 ，
直接写出当 的值最小时， 的值．
14．（2023·山东九年级课时练习）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD
上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接BN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）若正方形的边长为 ，正方形内是否存在一点P，使得PA＋PB＋PC
的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，说明理由．
15．（2023春·江苏·八年级校考周测）如图①，四边形 是正方形， 是等边三角形，M为对角
线 （不含B点）上任意一点，将 绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 ．
(1)求证： ；(2)如图1，当M点在何处时， 的值最小．(3)如图2，在 中，
， ， ．若点 是 内一点，直接写出 的最小值．15．（2023·重庆·九年级校联考期中）如图，菱形 中， 是对角线．
（1）如图①若 ， ，求菱形 的面积；
（2）如图②， 、 分别是 、 上一点，连结 ，过点 作 于点 ，过点 作
于点 ，交 于点 ，且 ．求证：
（3）如图③，若 ，且点 是 内任意一点，求 的最小值．
16．（2023上·福建龙岩·九年级校联考期中）如图，在等边三角形 内有一点 ．
(1)若 ， ， ，求 的度数；(2)若等边三角形边长为 ，求 的最小值；
(3)如图，在正方形 内有一点 ，且 ， ， ，求正方形 的边长．
