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专题 10 勾股定理的综合探究题型（原卷版）
题型一 探究直角三角形的边和高之间的关系
典例1（湖州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，设AC＝b，BC＝a，AB＝c，CD
＝h，有下列四种说法：①a•b＝c•h；②a+b＜c+h；③以a+b、h、c+h为边的三角形，是直角三角形；
1 1 1
④ + = ．其中正确的有（ ）
a2 b2 h2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型二 捕捉“手拉手”全等模型或旋转构造“手拉手全等”模型
典例2 （2022•卧龙区校级开学）如图，∠BAC＝∠DAF＝90°，AB＝AC，AD＝AF，点D，E为BC边上的
两点，且∠DAE＝45°，连接EF，BF，下列结论：①△AED≌△AEF；②BF＝CD；③BE+DC＞
DE；④BE2+DC2＝DE2．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
典例3 （2020•滨州模拟）如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，若将△APB
绕着点B逆时针旋转后得到△CQB，则∠APB的度数 ．
针对练习
1．（洪山区期中）如图，∠AOB＝30°，P点在∠AOB内部，M点在射线OA上，将线段PM绕P点逆时针
旋转90°，M点恰好落在OB上的N点（OM＞ON），若PM=√10，ON＝8，则OM＝ ．2．（2020秋•永嘉县校级期末）如图，在△AOB与△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，AO＝BO，CO＝
DO，连接CA，BD．
（1）求证：△AOC≌△BOD；
（2）连接BC，若OC＝1，AC=√7，BC＝3
①判断△CDB的形状．
②求∠ACO的度数．
题型三 倍长中线构造全等三角形
典例4（2022•苏州模拟）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB中点，DE，DF分别交AC于点
E，交BC于点F，且DE⊥DF．
（1）如果CA＝CB，连接CD．
①求证：DE＝DF；
②求证：AE2+BF2＝EF2；
（2）如图2，如果CA＜CB，探索AE，BF和EF之间的数量关系，并加以证明．题型四 以两个直角三角形的公共边或等边为桥梁运用双勾股
典例5 [阅读理解]
如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝7，过点A作直线BC的垂线，垂足为D，求线段AD的长．
解：设BD＝x，则CD＝7﹣x．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2．
又∵AB＝4，AC＝6，
∴42﹣x2＝62﹣（7﹣x）2．
解得x＝ ，∴BD＝ ．
∴AD＝ ＝ ．
[知识迁移]
（1）在△ABC中，AB＝13，AC＝15，过点A作直线BC的垂线，垂足为D．
i）如图1，若BC＝14，求线段AD的长；
ii）若AD＝12，求线段BC的长．
（2）如图2，在△ABC中，AB＝ ，AC＝ ，过点A作直线BC的垂线，交线段BC于点
D，将△ABD沿直线AB翻折后得到对应的△ABD′，连接CD′，若AD＝ ，求线段CD′的长．针对训练
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D．若AC＝3，AB＝5，则CD的长
为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F．AC＝17，AD＝
15，BC＝28，则AE的长等于 ．
题型五 勾股定理解决折叠问题
典例6（2022•东莞市校级二模）将正方形 ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于
E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G．若DC＝5，CM＝2，则EF＝（ ）
A．3 B．4 C．√29 D．√34
针对训练
1．如图，将一张长方形纸片沿着AE折叠后，点D恰好与BC边上的点F重合，已知AB＝6 cm，BC＝10
cm，求EC的长度．题型六 勾股定理在平面直角坐标系背景下的应用
典例7（2017春•武昌区校级月考）如图，A（0，m），B（n，0），满足 n2﹣10n+25＝0
√(m-5) 2+
（1）求点A，点B的坐标；
（2）点P是第二象限内一点，过点A作AC⊥射线BP，连接CO，试探究BC，AC，CO之间的数量关
系并证明．
（3）在（2）的条件下，∠POC＝∠APC，PA＝4√2，求PB的长．
针对训练
1．（2022秋•莲湖区校级期中）在平面直角坐标系中，点 A在第一象限，点 B的坐标为（3，0），
A(1，√3)．
（1）求线段AB的长；
（2）若在x轴上有一点P，使得△PAB为等腰三角形，请你求出点P的坐标．
