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专题 11. 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型
费马点模型是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考
试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
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模型1.费马点模型.........................................................................................................................................2
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模型1.费马点模型
皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因
为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为
人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等。
费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。
结论：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，
MA+MB+MC的值最小。注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就
是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）
证明：法1：如图1，将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△EBN．
∴BM＝BN，EN＝AM，∠MBN＝60°，∴△BMN为等边三角形，∴BM＝MN，
∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．
此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；
∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．
图1 图2 图3
法2：如图2，以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．
∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．
在△AMB与△ENB中，∵ ，∴△AMB≌△ENB（SAS）．
连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形．
∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．
此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；
∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．
费马点的作法：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，
设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。（具体原理可参考法1和法2）
【最值原理】两点之间，线段最短。
例1．（2024·江苏八年级阶段练习）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．
如 果 是 锐 角 （ 或 直 角 ） 三 角 形 ， 则 其 费 马 点 P 是 三 角 形 内 一 点 ， 且 满 足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．如图，在边长为6的
正方形ABCD中，点M，N分别为AB、BC上的动点，且始终保持BM＝CN．连接MN，以MN为斜边在矩
形内作等腰Rt△MNQ，若在正方形内还存在一点P，则点P到点A、点D、点Q的距离之和的最小值为
．
例2．（2023·陕西榆林·九年级校考期中）如图，点P是边长为4的菱形 的对角线 上一动点，若
，则 的最小值为 ．
例3．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点
E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为______．
例4．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，四边形 是正方形， 是等边三角形， 为对角
线 （不含 点）上任意一点，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 、 、 ．
(1)求证： ；(2)当 的最小值为 时，求正方形的边长．例5．（2024上·河北沧州·九年级统考期末）如图，设 是边长为1的正方形 内的两个点，则
的最小值为 ．
例6．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图， 中， ，点 为边 上一点．
(1)如图1，若 于点 ， ，求 的长；(2)如图2，已知 ，延长 至点 ，
以 、 为边作 ，连接 、 ，若 于点 ，求证： ；(3)如图3，已
知 ，将 沿直线 翻折，点 落在点 ，在线段 上求一点 ，使得 的
值最小，请直接写出最小值．
例7．（2023上·广东广州·九年级校考期中）如图①，在平面直角坐标系中，直线 分别与 轴，
轴交于 ， 两点，点 为 中点，四边形 和四边形 都是正方形．(1)求 的长；(2)如图②，连接 ， ，过点 作 于点 ，延长 交 于点 ，求证：
；
(3)如图③， ，点 在 边上，且 ， 为 的中点，点 为正方形 内部一点，连接
， ， ，请直接写出 的最小值．
1．（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图， 已知菱形 的边长为8 ，P是对角线 上的一动点，
且 ， 则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2 ，BC＝6，P为矩形内一点，连接
PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（ ）A．4 +3 B．2 C．2 +6 D．4
3．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，四边形 是菱形， B 6，且∠ABC=60° ，M是菱形内
任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________． =
4．（23-24九年级上·陕西西安·期中）正方形 的边长为4, 为正方形内任意一点，连接 、 、
, 的最小值为 .
5．（2024·重庆·九年级期中）如图，正方形ABCD内一点E，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为
，正方形的边长为_______．
6．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，点P是矩形 内部一点，若点P到A，B，C三点的距离
之和的最小值为 ， ，则这个矩形面积的最小值是 ．7．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、
被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．请托里拆利解答：如图①，给定不
在一条直线上的三个点 、 、 ，求平面上到这三个点的距离之和最短的点 的位置．托里拆利成功地
解决了费马的问题．后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点 、 、 距离之和最
小的点称为 的费马—托里拆利点．
【问题解决】证明：如图②，把 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，
， ， 为等边三角形， ，
点 可看成是线段 绕 点逆时针旋转 而得的定点， 为定长．
当 四点在同一直线上时， 最小．
（1）观察图②中 、 和 ，试猜想这三个角的大小关系．
（2）【类比探究】如图③，在直角三角形 内部有一动点 ， ， ，连接 ，
， ，若 ．求 的最小值；（3）【拓展应用】已知正方形 内一动点 到
三点的距离之和的最小值为 ，求出此正方形的边长．
8．（2023春·江苏·八年级专题练习）问题提出
(1)如图，点 、 是直线 外两点，在直线 上找一点 ，使得 最小．问题探究：(2)在等边三角形 内有一点 ，且 ， ， ，求 度数的大小．
问题解决：(3)如图，矩形 是某公园的平面图， 米， 米，现需要在对角线 上修
一凉亭 ，使得到公园出口 、 ， 的距离之和最小．问：是否存在这样的点 ？若存在，请画出点
的位置，并求出 的和的最小值；若不存在，请说明理由．
9．（2023·重庆綦江·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E、F分别是AB、BC上的动
点，连接DE、DF、EF．(1)如图1，连接AF，若AF⊥BC，E为AB的中点，且EF＝5，求DF的长；
(2)如图3，若AB＝7，将△BEF沿EF翻折得到△EFP（始终保持点P在菱形ABCD的内部），连接AP、
BP及CP，请直接写出当PA＋PB＋PC值最小时PB的长．
10．（2023春·江苏·八年级校考周测）如图①，四边形 是正方形， 是等边三角形，M为对角
线 （不含B点）上任意一点，将 绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 ．
(1)求证： ；(2)如图1，当M点在何处时， 的值最小．(3)如图2，在 中，
， ， ．若点 是 内一点，直接写出 的最小值．11．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图1，平行四边形 的顶点 、 在 轴上，点 在
轴， ， ， ．若实数 、 、 满足 ．
(1)求点 ， ， ， 的坐标．(2)如图2，连接 ，将 绕点 顺时针旋转 ，旋转得
， 轴正半轴上是否存在一点 ，能使以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？若存
在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图3， ， 为 内一点，连接 、
、 ，直接写出 的最小值为________．
12．（23-24九年级上·陕西西安·开学考试）问题探究：将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明
白显现，题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．
问题提出：如图1， 是边长为 的等边三角形， 为 内部一点，连接 、 、 ，求
的最小值．
问题解决：如图2，将 绕点 逆时针旋转 至 ，连接 、 ，记 与 交于点 ，
易知 ， ，由 ， ，可知 为等边三角形，
有 ．故 ，因此，当 、 、 、 共线时， 有
最小值是______．
学以致用：如图3， 是边长为 的正方形 内一点， 为边 上一点，连接 、 、 ，求
的最小值．
13．（2024·福建厦门·二模）根据以下思考，探索完成任务
费马点的思考
17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的
一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小，后来这点被称之为“费马点”．
问题
背景
素材1 解决这种问题的经典方法，就是利用旋转变换，将三条线段 行转化：如图：把 绕点A逆时针旋转60度得到 ，连接 ，这样就把确定 的
最小值的问题转化成确定 的最小值的问题了．当 ， 四点共线时，线段
的长为所求的最小值，容易证明 ，此时点P为 的“费马
点”．
图中所示的是一个正方形的厂区，其中顶点A，B，C，D分别为办公区、生产区、物流区和生活
区，正方形边长为 ，准备在厂区内修建一研发区E，且从研发区E修建三条直线型道路直通
办公区A，生产区B和物流区C修路的成本为200元/米．
素材2
任务 请你根据素材1所给解决思路，证明所求线段转化的正确性．证明：
感悟证明定理
一
在素材2中，请问研发区E建在哪片区域比较合适？（ ）
任务
初步探索位置
二
A． 内的区域 B． 内的区域
任务 为了节约建设成本，问该研发区E应该修建在厂区的什么地方，才能使得花费最
拟定恰当方案
三 少，最少费用为多少？
