文档内容
专题 23.2 模型构建专题：旋转中的常见模型
【考点导航】
目录
【典型例题】..................................................................................................................................................1
【类型一 “手拉手”模型】............................................................................................................................1
【变式1 等边三角形——等腰直角三角形】.........................................................................................3
【变式2 特殊三角形——矩形】...........................................................................................................12
【变式3 特殊三角形——正方形】.......................................................................................................16
【类型二 “半角”模型】..............................................................................................................................22
【典型例题】
【类型一 “手拉手”模型】
例题：（2023秋·河南信阳·九年级统考期末） 和△ADE都是等边三角形．将△ADE绕点 旋转到图
①的位置时，连接 并延长相交于点 （点 与点 重合），有 （或 ）成
立．
(1)将△ADE绕点 旋转到图②的位置时，连接 相交于点 ，连接 ，猜想线段 之
间有怎样的数量关系？并加以证明；
(2)将△ADE绕点 旋转到图③的位置时，连接 相交于点 ，连接 ，猜想线段 之
间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．【变式1 等边三角形——等腰直角三角形】
例题：（2023春·吉林长春·七年级校考期末）【阅读材料】两个顶角相等的等腰三角形，若它们的顶角具
有公共的顶点，且当把它们底角的顶点连接起来时会形成一组全等三角形，则把具有这种规律的图形称为
“手拉手”图形，如图1，在“手拉手”图形中，若 ， ， ，则 ≌
．
(1)【材料理解】在图1中证明．
(2)【问题解决】如图2， 和 都是等腰三角形， ， ， ，线段
与线段 交于点F，延长 交 于点 ，求证： ．下面是小明的部分证明过程：
证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
请你补全余下的证明过程．
(3)【结论应用】如图3， 是等腰三角形， ， 、 分别为边 、 上的点，且满足
，连接 ，将 以点 为旋转中心按逆时针方向旋转，旋转角为 ，当线段
与 的腰有交点，且直线 垂直于 的腰时，直接写出 的值．
【变式训练】
1．（2023春·河北张家口·八年级统考期中）已知 和 都是等腰直角三角形（）， ．
(1)如图①，连 ， ，求证： ；
(2)若将 绕点 顺时针旋转．
①如图②，当点 恰好在 边上时，求证： ；
②当点 ， ， 在同一条直线上时，若 ， ，请直接写出线段 的长．
2．（2023春·江西吉安·八年级校联考期中）如图1，在 中， ， ，点 ，
分别在边 ， 上，且 ，连接 ．现将 绕点 顺时针方向旋转，旋转角为
，如图2，连接 ， ， ．
(1)当 时，如图2，求证： ；
(2)当 时，如图3，延长 交 于点 ，求证： 垂直平分 ；(3)在旋转过程中，当 的面积最大时，直接写出此时旋转角 的度数和 的面积．
【变式2 特殊三角形——矩形】
例题：（2023春·福建福州·八年级统考期末）矩形 的边长 ， ，将矩形 绕点 顺
时针旋转角 得到矩形 ，点 、 、 的对应点分别为 、 、 ．
(1)如图 ，当 过点 时，求 的长；
(2)如图 ，当点 落在 上时，连结 、 ．
①四边形 是何特殊的四边形？请说明理由；
②证明点 、 、 三点共线．
【变式训练】
1．（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）【探索发现】（1）如图1，正方形 的对角线相交于点O，
点O又是正方形 的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，我们知道，无论正方形 绕点
O怎么转动，总有 ，连接 ，求证： ．
【类比迁移】（2）如图2，矩形 的中心O是矩形 的一个顶点， 与边 相交于点E，与边 相交于点F，连接 ，矩形 可绕着点O旋转，判断（1）中的结论是否成立，若成立，
请证明，若不成立，请说明理由；
【迁移拓展】（3）如图3，在 中， ， ， ，直角 的顶点D在
边 的中点处，它的两条边 和 分别与直线 相交于点E，F， 可绕着点D旋转，当
时，直接写出线段 的长度．
【变式3 特殊三角形——正方形】
例题：（2023·山西大同·校联考三模）综合与实践：
问题情景：如图1、正方形 与正方形 的边 ， 在一条直线上，正方形 以
点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α，在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重
合，连接 ， ．
(1)操作发现：当正方形 旋转至如图2所示的位置时，求证： ；
(2)操作发现：如图3，当点E在 延长线上时，连接 ，求 的度数；(3)问题解决：如图4， 如果 ， ， ，请直接写出点G到 的距离．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活
动：在正方形 的边 上任意取一点G，以 为边长向外作正方形 ，将正方形 绕点B
顺时针旋转．
特例感知：
（1）当 在 上时，连接 相交于点P，小红发现点P恰为 的中点，如图①．针对小红发
现的结论，请给出证明；
（2）小红继续连接 ，并延长与 相交，发现交点恰好也是 中点P，如图②，根据小红发现的结
论，请判断△APE的形状，并说明理由；
规律探究：
（3）如图③，将正方形 绕点B顺时针旋转 ，连接 ，点P是 中点，连接 ， ， ，
△APE的形状是否发生改变？请说明理由．
【类型二 “半角”模型】例题：（2023春·福建漳州·八年级校考期中）（1）【发现证明】老师在数学课上提出一个问题：如图1，
点E、F分别在正方形 的边 、 上， ，请试判断 、 、 之间的数量关系，
小聪把 绕点A逆时针旋转 至 ，发现 ，请你利用图1证明上述结论．
（2）【类比引申】如图2，四边形 中， ， ， ，点E、F分别在
边 、 上，要使得 仍然成立，则 与 应满足什么数量关系？请说明理由．
（3）【探究应用】如图3，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形 ．已知 米，
， ， ，道路 、 上分别有景点E、F，且 ，
）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长，
【变式训练】
1．（2023春·河南信阳·八年级校考期中）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的
目的，下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图 ，点 、 分别在正方形 的边 、 上， ，连接 ，则 ，
试说明理由．(1)梳理
，
把 绕点A逆时针旋转 至 ，可使 与 重合．
，
，点 、 、 共线．
根据 ，易证 ，得 ．
(2)引申
如图 ，四边形 中， ， 点 、 分别在边 、 上， ，若 、
都不是直角，则当 与 满足等量关系 时，仍有 ．
(3)联想拓展
如图，在中，，，点、均在边上，且，猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程．
