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1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题04 全等三角形性质和判定的五类综合题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、全等三角形性质和判定求解的多解问题 题型二、全等三角形性质和判定求多结论问题 题型三、全等三角形性质和判定求动点中的最值问题 题型四、全等三角形性质和判定的综合问题 题型五、全等三角形性质和判定的新定义型综合问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及边角对应关系证明、线段或角相等、图形变换（平移/旋转/翻折）中的全等。 - 解题方法：判定用SSS、SAS、ASA、AAS、HL（Rt△）；性质用于导边导角；找隐含条件（公共边、 对顶角、等角加减）。 - 易错提醒：SAS 中夹角必须是对应边夹角；判定时误用SSA；对应顶点未对准致边角错配。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、全等三角形性质和判定求解的多解问题 典例1（25-26 八年级上·福建莆田·阶段检测）如图，已知四边形 中， 厘米， 厘米， 厘米， ，点E 为线段 的中点．如果点P 在线段 上以3 厘米/秒的速度由B 点向C 点 运动，同时，点Q 在线段 上由C 点向D 点运动．当点Q 的运动速度为___________厘米/秒时，能够使 与以C、P、Q 三点所构成的三角形全等． 目 录 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型模版 1.特征：已知两边一角或两角一边，但对应顺序未定，导致多个满足全等的三角形。 2.方法：分类讨论对应顶点顺序（如SAS、ASA、AAS），按不同情况分别作图或列方程求解并验证。 变式1-1（26-27 八年级上·江苏南京·开学考试）如图， ， ， ，如果点 在 线段 上以 的速度由 点向 点运动，同时，点 从 点出发以 的速度沿射线 运动，经 过秒后，若以 、 、 为顶点的三角形与以 、 、 为顶点的三角形全等，则 的值是________ ． 变式1-2（25-26 七年级下·广东梅州·期末）如图，在 中， 是 上的一点， ， ， ，动点 从点 出发向点 运动，速度为1，同时动点 从点 出发向点 匀速运动，连接 、 ， 在运动过程中，存在某一时刻使 与 全等，则点 的运动速度为________． 变式1-3（25-26 七年级下·宁夏银川·期末）如图， ，垂足为点A， ， ，射 线 ，垂足为点B，一动点E 从B 点出发以 的速度沿射线 运动，点D 为射线 上一动 点，随着E 点运动而运动，且始终保持 ，当点 离开点 后，运动_____ 时， 与 全等． 3 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型二、全等三角形性质和判定求多结论问题 典例2（25-26 七年级下·福建宁德·期中）如图，在 中， ，垂足为点 ， ，点 在 线段 上，连接 并延长交 于点 ，若 时，则下列结论中：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的是_____． 题型模版 1.特征：题干给出多个结论，需判断正误，常综合全等判定与性质进行推理论证。 2.方法：先找全等三角形，利用判定定理（SAS、ASA 等）证明，再由全等性质（对应边角相等）逐一验证 各结论。 变式2-1（25-26 七年级下·山东菏泽·期末）如图， ， ， 于点B， 于点D，E、F 分别是 、 上的点，且 ，下列结论中① ，② ，③ 平分 ，④ 平分 ，⑤ ．其中正确的结论有_________ 变式2-2（25-26 七年级下·河南开封·期末）如图，在 中， ， ，D，E 是 边BC 上两点，过点A 作 ，垂足是A，过点C 作 ，垂足是C，交 于点F，连接 ， 其中 ．下列结论：① ；② ；③若 ， ．则 ； ④ ．其中正确的是______．（填序号） 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式2-3（25-26 七年级下·吉林长春·期中）如图，在 中， ， 是 的高， 是 的中线， 平分 交 于点 ，交 于点 ，给出以下结论：① ；② ； ③ ；④ ，上述结论中，所有正确结论的序号是_____． 题型三、全等三角形性质和判定求动点中的最值问题 典例3（25-26 七年级下·甘肃张掖·期末）如图，在锐角三角形 中， ， 的面积为6， 平分 ．若 、 分别是 、 上的动点，则 的最小值为________． 题型模版 1.特征：动点运动中构造全等三角形，求线段或面积最值，常结合二次函数或几何不等式。 2.方法：利用全等转化线段（如等量代换），将最值化为二次函数顶点或垂线段最短，结合动点范围求解。 变式3-1（25-26 八年级上·湖北武汉·期末）如图，在 中， 分别为边 上的动点，且 ，连接 ．当 取最小值时， _____． 变式3-2（25-26 七年级下·陕西汉中·期末）如图， 是 的角平分线， 于点 ， 是 的中线，动点 在 边上，连接 ．若 ， 的面积是3，则 的最小值为______________． 5 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式3-3（25-26 八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在 中， ， ， ， ， 平分 交 于点D，点E，F 分别是 ， 上的动点，则： （1） 的长为______； （2） 的最小值为______． 题型四、全等三角形性质和判定的综合问题 典例4（26-27 八年级上·全国·开学考试）如图， ， ，点D 在 边上， 和 相交 于点O． (1)若 ，求 的度数； (2)若 ，求证： ． 题型模版 1.特征：综合运用全等判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）与性质（对应边角相等）解决复杂几何证明或 计算。 2.方法：从结论出发逆推需证的全等，再结合已知条件选择适当判定定理，由全等得对应关系完成证明。 变式4-1（26-27 八年级上·湖北武汉·开学考试）如图，点F，G 分别在 的 ， 边上，C，B 依次为 延长线上两点， ， ， ． 6 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求证： ； (2)若 ， ，求 的度数，并直接写出当 时， ． 变式4-2（25-26 七年级下·广东茂名·期末）如图，在 中， ， ，点D 为直 线 上方一点，且 ， ， (1)求证： (2)若 ， ，求 的长． 变式4-3（25-26 七年级下·重庆·期末）已知 ，连接 ，点 在 上（点 不与点 ，点 重 合），连接 ， ． (1)如图1，若 ， ，求 的度数； (2)如图2，点 是 的内角平分线的交点，连接 ， ，点 是 的外角平分线的交点，连接 ，请探究 与 的数量关系； (3)如图3，若 ，点 是 的中点，求证： ． 题型五、全等三角形性质和判定的新定义型综合问题 典例5（25-26 七年级上·山东济宁·期中）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友 三角形”． 7 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （一）性质探究：如图1，在 中，D 是 边上的一点，那么 和 是“朋友三角形”．求证： ． （二）知识应用：如图2，正方形 的边长为4，点 在 上，点F 在 上， ， 与 交 于点O． （1）请说出 所有的朋友三角形，并说明理由； （2）连接 ，若 和 是“朋友三角形”则四边形 的面积为___________． 题型模版 1.特征：引入新概念（如“等补点”），将全等与定义结合，求值或证明，重理解与迁移。 2.方法：透彻理解新定义，将其转化为全等条件（如边角关系），选择合适的判定定理证明或列方程求解。 变式5-1（25-26 八年级上·福建龙岩·期中）【定义】我们把三角形被一边上的中线分成的两个三角形叫做 “友好三角形”． 【性质】如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等． 【理解】如图1，在 中， 是 边上的中线，那么 和 是“友好三角形”，并且 ． 【应用】如图2， 和 是“友好三角形”， ， 与 相交于点D． （1）求证： 和 是“友好三角形”； （2）若 的面积为1，点P 是直线 上的一动点，连接 ，当图中出现一个三角形和 是 “友好三角形”时，求出此时 的面积． 【类比学习】根据上面学习知识的活动与经验，回答下面问题： （3）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰 中， ，则它的特征值 ． 8 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式5-2（25-26 八年级上·广东江门·阶段检测）（1）理解定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形 叫做偏等积三角形． 如图1，在 中， ， ， ． ①若 是 上一点， ，则 与 ______偏等积三角形（填“是”或“不是”）； ②若 为 上一点，当 的长为______时， 与 是偏等积三角形； （2）运用定义：如图2， 为 上一点， 与 是偏等积三角形， ， ，且线段 的长为偶数，则 的长为______； （3）拓展加深： ①如图3， ， ， ． 求证： 与 是偏等积三角形； ②如图4， 与 是偏等积三角形， ， ，求证： ． 变式5-3（23-24 七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B 分别在射线 ， 上，过点A 垂直 的直线与过点B 垂直 的直线 9 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 交于点Q，则我们把 称为 的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1， ， 分别是 的两条高，两条高交于点 F，根据定义，我们知道 是 的“边 垂角”或 是 的“边垂角”， 的“边垂角”是 ； (2)若 是 的“边垂角”，则 与 的数量关系是 ； (3)若 是 的“边垂角”，且 ． ①如图2，已知 ， 交 于点E，点C关于直线 对称点为点F，连接 ， ，且 ， ，求证： ； 对于上述问题，小明有这样的想法：在 上截取 ，连接 ，如图3．你明白小明的做法吗？接 下来请你求证 ． ②如图4，若 ，直接写出四边形ABDC 的面积． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26 八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图所示，在ABC 中， 80 ABC = ，BD平分 ABC ，P 为线 段BD上一动点，Q 为边AB 上一动点，当AP PQ + 的值最小时， APB 的度数是（ ） A．120 B．125 C．130 D．135 2．（25-26 八年级上·安徽六安·阶段检测）如图，动点C 与线段AB 构成ABC ，其边长满足 8, 2 2, 2 4 AB CA a CB a = = + = −．点D 在 ACB 的平分线上，且 90 ADC = ，则ABD 的面积的最大值为（ ） 10 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．12 B．13 C．14 D．15 3． （25-26 八年级上·江苏苏州·期中）如图，AO OM ⊥ ， 6 OA = ，点B 为射线OM 上的一个动点，分别以OB ， AB 为直角边，点B 为直角顶点，在OM 两侧作等腰Rt OBF △ 、等腰Rt ABE △ ，连接EF 交OM 于P 点，当 点B 在射线OM 上移动时，则PB的长度为（ ） A．4 B．3 C．2 D．2.5 4．（25-26 八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，ABC 中，AB AC ，AD是ABC 中线，有下面四个结论： ①ABD 与ACD 的面积相等；② ( ) 1 2 AD AB AC + ；③若点P 是线段AD上的一个动点（点P 不与点 , A D 重合），连接 , PB PC ，则ABP 的面积比ACP 的面积大；④点 , P Q 是 , A D 所在直线上的两个动点（点P 与 点Q 不重合），若DP DQ = ，连接 , PB QC ，则PB QC ．所有正确结论的序号是（ ） A．①②③④ B．①②④ C．②③ D．①④ 二、填空题 5．（25-26 八年级下·全国·课后作业）如图，AB BC ⊥ ，DC BC ⊥ ，垂足分别为B ，C ， 6 AB = ， 8 BC = ， 2 CD = ，点P 为BC 边上一动点，当BP =________时，形成的Rt ABP 与Rt PCD △ 全等． 11 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6． （25-26 七年级下·广东深圳·期中）如图，在ABC 中，AC BC = ， 4 AB = ，ABC 的面积为10，作AD AC ⊥ ， 且AD AC = ，连接BD，点E 为射线AB 上的动点，当DE 的长度最短时，BDE 的面积为________． 7．（25-26 八年级上·湖北武汉·期末）如图，在ABC 中， 6, 90 , , AC BAC E D = = 分别为边 , AB AC 上的动 点，且AE CD = ，连接 , BD CE ．当CE BD + 取最小值时， BDC AEC S S + = _____． 8．（25-26 七年级下·江西景德镇·期末）如图，在ABC 中 90 A = ， 12cm AB = ， 5cm AC = ，过点B 作 BM AB ⊥ ．动点E 从A 点出发以3cm/s 的速度沿射线AB 运动，动点D 在射线BM 上，随着E 点的运动而 运动，始终保持ED CB = ．若点E 的运动时间为t 秒（ 0 t ），则当以B，E，D 为顶点的三角形与ABC 全 等时，t 的值为________秒． 三、解答题 9．（25-26 八年级上·广东江门·期中）如图， 90 B = ，AB DF ∥ ， 4cm AB = ， 10cm BD = ，点C 是线段BD 上一动点，点E 是直线DF 上一动点，且始终保持AC CE ⊥ ． 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图1，求证： ACB CED = ． (2)利用图2 画图并解答：若AC CE = ，试求BC 的长． 10． （25-26 八年级上·全国·课后作业）如图①，在Rt ABC △ 中， 90 9cm 12cm 15cm C BC AC AB = = = = ， ， ， ， 现有一动点P ，从点A出发，沿着三角形的边AC CB BA → → 运动，回到点A停止，速度为3cm / s，设运 动时间为st ． (1)如图①，当t = ___________时， APC △ 的面积等于ABC 面积的一半； (2)如图②，在DEF 中， 90 6cm 7cm E DE DF D A = = = = ， ， ， ．在ABC 的边上，若另外有一个动 点Q ，与点P 同时从点A出发，沿着边AB BC CA → → 运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时 刻，恰好APQ DEF ≌ ，求点Q 的运动速度． 11．（24-25 八年级上·福建泉州·期末）如图，已知ABC 中， 90 C = ， 45 ABC = ．点E 为ABC 边BC 上的动点，过A 作AF AE ⊥ ，且AF AE = ，连结BF 交直线AC 于点P． (1)求证：AC BC = ； (2)若 2 BC = ，点E 为BC 的中点，请求出AP CP 的值； (3)若点E 为射线CB 上的动点， 5 4 BC BE = ，试求出AP CP 的值． 13 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 12． （25-26 八年级上·江苏泰州·阶段检测）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫作积等三角形． (1)【初步尝试】如图，在Rt ABC △ 中， 90 C = ， 13 AB = ， 12 BC = ， 5 AC = ，点P 为AC 上一点，当AP = _____时，ABP 与 CBP △ 为积等三角形． (2)【理解运用】如图，ABD 与ACD 为积等三角形，若 3 AB = ， 5 AC = ，且线段AD长为正偶数，求AD 的长． (3)【综合应用】如图，在Rt ABC △ 中， 90 ACB = ，分别以AC ，AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ， 连接EG，求证：AEG 和ABC 为积等三角形． 13．（25-26 八年级上·广西南宁·期中）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做 积等三角形． 【初步尝试】（1）如图1，在ABC 中，AB AC ， 4 BC = ，P 为边BC 上一点，若ABP 与ACP 是积等 三角形，则BP的长为__________． 【理解运用】（2）如图2，ABD 与ACD 为积等三角形，若 2 AB = ， 4 AC = ． ①求AD的取值范围； ②当AD的长度为正整数时，则 ________ AD = ． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【综合应用】（3）如图3，在Rt ABC △ 中 90 BAC = ，AB AC = ，过点C 作MN AC ⊥ ，点D 是射线CM 上 一点，以AD为边作Rt ADE △ ， =90 DAE ，AD AE = ，连接BE．请判断BAE 与ACD 是否为积等三角 形，并说明理由．
