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1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题04 全等三角形模型之截长补短模型与手拉手模型 常考题型·精准突破 题型1 全等三角形模型之截长补短模型（难） 题型2 全等三角形模型之手拉手模型（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 全等三角形模型之截长补短模型 1． 【答案】（1）解：DE CE ⊥ ，理由如下： DE CE 、 分别是 ADC 、 BCD 的角平分线， 2 , 2 ADC EDC BCD DCE = = ， AD BC ， 180 ADC BCD + = ， 2 2 180 EDC DCE + = ， 90 EDC DCE + = ， 90 DEC = ， DE CE ⊥ ； （2）解：如图，在DC 上截取 3 DF AD = = ，连接EF ， DE CE 、 分别是 ADC 、 BCD 的角平分线， , EDC ADE DCE BCE = = ， 在ADE 和FDE 中， AD FD ADE FDE DE DE = = = ， 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( ) SAS ADE FDE ≌ ， A DFE = ， AD BC ， 180 A B + = ， 180 DFE CFE + = ， B CFE = ， 在BCE 和 FCE △ 中， BCE FCE B EFC CE CE = = = ， ( ) AAS BCE FCE ≌ ， 2 BC CF = = ， 2 3 5 CD CF DF = + = + = ． 2． 【答案】(1) 解：线段EF BE DF ， ， 之间的数量关系为：EF BE DF = + ，理由： 如图，延长CB 到点G ，使BG DF = ，连接AG ， ∵ 90 ABC ADC = = ， ∴ 90 ABG ADF = = ， 又∵AB AD = ，BG DF = ， ∴ ( ) SAS ABG ADF ≌ ， ∴ BAG DAF AF AG = = ， ， ∴ FAG DAB = ， ∵ 1 2 EAF BAD = ， ∴ 1 2 EAF FAG = ， ∴ EAF EAG = ， 在AEF 和AEG 中， 3 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 AE AE EAF EAG AF AG = = = ， ∴ ( ) SAS AEF AEG ≌ ， ∴EF EG BE BG = = + ， ∴EF BE DF = + ； (2) 解： 1 180 2 EAF DAB = − ，理由： 如图，在DC 的延长线上取一点G ，使得DG BE = ，连接AG ， 180 ABC ADC + = ， 180 ABC ABE + = ， ADC ABE = ， AB AD = ，DG BE = ， ( ) SAS ABE ADG ≌ ， AG AE DAG BAE = = ， ， EF BE DF DG BE = + = ， ， EF DG DF GF = + = ， 在AEF 和AGF 中， AE AG FA FA EF GF = = = ， ( ) SSS AEF AGF ≌ ， FAE FAG = ， 360 FAE EAG FAG + + = ， EAG BAE BAG = + ， ( ) 2 360 FAE BAE BAG + + = ， = DAG BAE ， ( ) 2 360 FAE DAG BAG + + = ， 即2 360 EAF DAB + = ， ( ) 1 1 360 180 2 2 EAF DAB DAB = − = − ． 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3． 【答案】（1）解：补全图形，如图： 解题思路为：先证明ABE ADG ≌ ，再证明AEF AGF ≌ ，即可得出 , , BE EF FD 之间的数量关系为 EF BE FD = + ； 故答案为： ADG △ ，AGF ，EF BE FD = + ； （2）解：成立，证明如下： 延长FD到点G ，使DG BE = ，则 180 ADF ADG + = ， ∵ 180 B ADC + = ， ∴ B ADG = ， ∵AB AD = ， ∴ABE ADG ≌ ， ∴AG AE = ，1 3 = ， ∵ 1 2 EAF BAD = ， ∴ 1 1 2 2 BAD = + ， ∴ 1 3 2 2 BAD = + ，即： 1 2 FAG BAD = ， ∴ EAF FAG = ， 又AF AF = ， ∴AEF AGF ≌ ， 5 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴EF GF = ， ∵GF DF DG = + ， ∴EF DF BE = + ； （3）解：在BC 上取一点G ，使BG DF = ， ∵ 180 ADF ADC = + ， 180 B ADC + = ， ∴ B ADF = ， 又AB AD = ， ∴ABG ADF ≌ ， ∴AG AF = ， 1 2 = ， ∴ 1 1 3 2 3 2 EAF BAD + = + = = ， ∴ 1 2 GAE BAD EAF = = ， 又AE AE = ， ∴AGE AFE ≌ ， ∴EF EG BE BG BE DF = = − = − ． 故答案为：EF BE DF = − ． ◆题型2 全等三角形模型之手拉手模型 4． 【答案】(1)证明：设BE、AC 交于点Q ， 6 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 CAB EAF = ， CAB CAE EAF CAE + = + ，即 FAC EAB = ． 在FAC 与 EAB △ 中， AB AC FAC EAB AE AF = = = ， ( ) SAS FAC EAB ≌ ， BE CF = ， EBA ACF = ． 90 CAB = ， 90 EBA BQA + = ． BQA CQE = ， 90 ACF CQE + = ， 180 90 90 COQ = − = ， BE CF ⊥ ； （2）解：设BE、AC 交于点Q ， CAB EAF = ， CAB CAE EAF CAE + = + ，即 FAC EAB = ． 在FAC 与 EAB △ 中， AB AC FAC EAB AE AF = = = ( ) SAS FAC EAB ≌ ， 7 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 EBA ACF = ． BQA CQE = ， 180 FCA BOC CQO + + = ， 180 EBA BAC BQA + + = ， 60 BOC CAB = = ； （3）解： CAB EAF = ， CAB CAE EAF CAE + = + ，即 FAC EAB = ． 在FAC 与 EAB △ 中， AB AC FAC EAB AE AF = = = ( ) SAS FAC EAB ≌ ， EBA ACF = ． BQA CQE = ， 180 FCA BOC CQO + + = ， 180 EBA BAC BQA + + = ， BOC CAB = = ． 5． 【答案】（1）解：BD CE = ，理由如下： ∵ABC 和ADE 都是等腰直角三角形， 90 BAC DAE = = ， ∴AB AC = ，AD AE = ， ∴AB AD AC AE − = − ， ∴BD CE = ； （2）解：BD CE = ，BD CE ⊥ ，理由如下： 延长BD，分别交AC 、CE 于F、G， ∵ABC 和ADE 都是等腰直角三角形， ∴AB AC = ，AD AE = ， 90 BAC DAE = = ， ∵ BAD BAC DAC = − ， CAE DAE DAC = − ， ∴ BAD CAE = ， 在ABD 和 ACE △ 中， AB AC BAD CAE AD AE = = = ， ∴ ( ) ABD ACE SAS ≌ ， 8 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴BD CE = ， ABD ACE = ， ∵ AFB GFC = ， ∴ 90 CGF BAF = = ，即BD CE ⊥ ； （3）解：如图，BD与AC 相交于O点 ∵ABC 和ADE 都是等腰直角三角形， ∴AB AC = ，AD AE = ， 90 BAC DAE = = ， ∵ BAD BAC DAC = + ， CAE DAE DAC = + ， ∴ BAD CAE = ， ∴ ( ) ABD ACE SAS ≌ ， ∴ 6 BD CE = = ， ABD ACE = ， ∵ AOB FOC = ， ∴ 90 BFC BAC = = ， 即BD CE ⊥ ， ∴ 1 1 1 1 6 6 18 2 2 2 2 BCE DCE BCDE S S S CE BF CE DF CE BD = + = + = = = 四边形 ． 6． 【答案】（1）∵ BAC DAE = ， ∴ BAC CAD DAE CAD + = + ，即 BAD CAE = ， 在ABD 和 ACE △ 中， AB AC BAD CAE AD AE = = = ， ∴ ( ) ABD ACE SAS ≌ ； 故答案为： ACE △ ；BD CE = ； （2）解：BD与CE 的数量关系是BD CE = ，位置关系是BD CE ⊥ ∵ 90 BAC DAE = = ， ∴ BAC CAD DAE CAD + = + ，即 BAD CAE = ， 在ABD 和 ACE △ 中， 9 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 AB AC BAD CAE AD AE = = = ， ∴ ( ) ABD ACE SAS ≌ ， ∴BD CE = ， ACE ABC = ， ∵ABC 是等腰三角形且 90 BAC = ， ∴ 45 ABC ACB = = ， ∴ 45 ACE ABC = = ， ∴ 45 45 90 BCE ACB ACE = + = + = ， ∴BD CE ⊥ ； （3）∵ MNP △ 是等腰直角三角形， ∴ 45 MNP NPM = = ， 将OPM 绕M 点顺时针旋转90得O P M （N 与P重合）， 连接OO， ∴PMO P MO ≌ ， ∴MO MO = ，OP O P = ， ∴ 45 O MO = ， 当OP 有最小，即O P 最小，当O P y ⊥ 轴时， 由 45 O OP = ， 90 O P O = ， ∴ 4 O P OM = = ， 4 ON OP = = ， ∴ 4 ON = ，OP 最小值为4． 10 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．B 2．C 3．B 二、填空题 4． 5．45 6．4 三、解答题 7． 【答案】AE BD = ，理由如下： ACB DCE = = ， ACB ACD DCE ACD + = + ，即 BCD ACE = ， 在BCD 和 ACE △ 中， CA CB BCD ACE CD CE = = = ， ( ) BCD ACE SAS ≌ ， AE BD = ． 8． 【答案】(1)证明：在ABE 和 ADG △ 中，AB AD = ， 90 B ADG = = ，BE DG = ， ( ) ABE ADG SAS ≌ ， BAE DAG = ，AE AG = ， EF BE DF = + ，DG BE = ， EF BE DF DG DF GF = + = + = ， AF AF = ， ( ) AEF AGF SSS ≌ ， EAF GAF DAG DAF BAE DAF = = + = + ， BAE FAD EAF + = ， 2 BAD BAE FAD EAF EAF = + + = ； 11 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)解： 1 180 2 EAF DAB = − （形式不唯一）． 理由： 180 ABC ADC + = ， 180 ABC ABE + = ， ADC ABE = ， 又AB AD = ，DG BE = ， ( ) SAS ADG ABE ≌ ， AG AE = ， DAG BAE = ， EF BE FD = + ，DG BE = ， EF BE FD DG FD GF = + = + = ， AF AF = ， ( ) AEF AGF SSS ≌ ， FAE FAG = ， 360 FAE FAG GAE + + = ， ( ) 2 360 FAE GAB BAE + + = ， ( ) 2 360 FAE GAB DAG + + = ， 即2 360 FAE DAB + = ， 1 180 2 EAF DAB = − ． 9． 【答案】(1)解：CE BC ⊥ ， 理由： 90 BAC DAE = = ， BAC CAD DAE CAD − = − ， BAD CAE = ， 在ABD 与 ACE △ 中 AB AC BAD CAE AD AE = = = ， ( ) SAS ABD ACE ≌ ， ABC ACE = ， ∵ABC 是等腰直角三角形，且 90 BAC = ， 45 ABC ACB = = ， ∴ 45 ACE ABC = = ， ∴ 90 BCE ACB ACE = + = ， ∴ 90 ABC ACE + = ， ∴CE BC ⊥ ； 12 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)解：CE BC CD = + ， 理由：∵ABC ADE 、 是等腰直角三角形， ∴ , , 90 AB AC AD AE BAC DAE = = = = ， ∴ BAC DAC DAE DAC + = + ，即 BAD CAE = ， 在ABD 和ACE 中， AB AC BAD CAE AD AE = = = ， ∴ ( ) SAS ABD ACE ≌ ， ∴BD CE = ， ∵BD BC CD = + ， ∴CE BC CD = + ； （3）解： , BC CE CD BC CE ⊥ = + ， 理由：如图3， ∵ABC ADE ， 是等腰直角三角形， ∴ , , 90 AB AC AD AE BAC DAE = = = = ， ∴ BAC BAE DAE BAE − = − ，即 BAD CAE = ， 在ABD 和ACE 中， AB AC BAD CAE AD AE = = = ， ∴ ( ) SAS ABD ACE ≌ ， ∴ ADB AEC = ， ∴BD CE = ， ∵CD BD BC = + ， ∴CD CE BC = + ， ∵ 90 ADE AED + = ，即 90 ADB CDE AED + + = ， ∴ 90 AEC CDE AED + + = ， ∴ 90 DCE = ，即BC CE ⊥ ， ∴ , BC CE CD BC CE ⊥ = + ． 10． 【答案】(1)等式的性质；全等三角形的对应边相等； 13 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）解：同（1）可知 ( ) SAS ABD ACE △ ≌△ ， ABD ACE = ． AOB EOC = 且 BAC = ， 在AOB 与 EOC △ 中， 180 BAC ABD AOB + + = ， 180 BEC ACE EOC + + = BEC BAC = = ； (3)解： AED AEF = ．理由如下： 如图，过点A 作AM CE ⊥ 于点M，作AN BD ⊥ 于点N． 同（1）可知 ( ) ABD ACE SAS ≌ ， ∴BD CE = ， ∴ ABD ACE S S = ， ∵ 1 2 ABD S BD AN = ， 1 2 ACE S CE AM = △ ， ∴1 1 2 2 BD AN CE AM = ， ∴AM AN = ， 又∵ , AM CE AN BD ⊥ ⊥ ， ∴ ( ) HL AME ANE ≌ ， ∴ AED AEF = ． 11． 【答案】（1）解：如图1，延长EB到G ，使BG DF = ，连接AG ． 在ABG 与ADF 中， 14 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 90 AB AD ABG ADF BG DF = = = = ， (SAS) ABG ADF △ ≌△ ． AG AF = ， 1 2 = ， 1 1 3 2 3 2 BAD EAF + = + = = ． GAE EAF = ． 又AE AE = ， ∴AEG AEF ≌ ． EG EF = ． EG BE BG = + ． = + EF BE FD； (2)（1）中的结论EF BE FD = + 仍然成立． 理由是：如图2，延长EB到G ，使BG DF = ，连接AG ． 180 ABC D + = ， 180 ABG ABC + = ， ABG D =， 在ABG 与ADF 中， AB AD ABG D BG DF = = = ， (SAS) ABG ADF △ ≌△ ． AG AF = ， 1 2 = ， 1 1 3 2 3 2 BAD EAF + = + = = ． GAE EAF = ． 又AE AE = ， AEG AEF ≌ ． EG EF = ． EG BE BG = + ． = + EF BE FD 15 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）当（1）的结论EF BE FD = + 成立， 当图3 中，EF BE FD = − 或EF FD BE = − ． 证明：在BE上截取BG ，使BG DF = ，连接AG ． 180 B ADC = + ， 180 ADF ADC = + ， B ADF = ． 在ABG 与ADF 中， AB AD ABG ADF BG DF = = = ， (SAS) ABG ADF △ ≌△ ． BAG DAF = ，AG AF = ． 1 2 BAG EAD DAF EAD EAF BAD + = + = = ． GAE EAF = ． AE AE = ， (SAS) AEG AEF △ ≌△ ． EG EF = EG BE BG = − EF BE FD = − ． 同理可得：EG EF = EG BG BE = − EF FD BE = − ． 12． 【答案】（1）解：∵ MAN BAC = ， ∴ MAB NAC = ， 又∵AB AC = ，AM AN = ， ∴ ( ) SAS MAB NAC ≌ ， ∴ ABM ACN = ， ∴ 180 90 BCN ACB ACN ACB B BAC = + = += − = ； 16 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)①解： 180 + = ，理由如下： MAN BAC = ， MAN MAC BAC MAC − = − ， 即 CAN BAM = ， 在 BAM △ 和 CAN △ 中， AB AC BAM CAN AM AN = = = ， ( ) SAS BAM CAN △ ≌△ ， B ACN = ， BAC = ， BCN = ， 180 BAC B BCA ++ = ， BAC B BCA ++ ACN BCA = + + BCN = + = + 180 = ； ②解：当点M 在线段BC 上移动时， 180 + = ，证明见小问①； 当点M 在线段BC 的延长线上时，如图1， 180 + = ， 证明：∵ MAN BAC = ， ∴ MAB NAC = ， 又∵AB AC = ，AM AN = ， ∴ ( ) SAS MAB NAC ≌ ， ∴ ABM ACN = ， ∴ 180 BCN ACB ACN ACB B BAC = + = += − ， ∴ 180 + = ； 当点M 在射线BC 的反向延长线上时，如图2， = ， 证明：∵ MAN BAC = ， ∴ MAB NAC = ， 又∵AB AC = ，AM AN = ， ∴ ( ) SAS MAB NAC ≌ ， ∴ ABM ACN = ， ∴ BCN ACN ACB ABM ACB BAC = − = − = ， ∴ = ． 综上所述， 180 + = 或 = ． 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司
