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1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题04 全等三角形性质和判定的五类综合题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、全等三角形性质和判定求解的多解问题 题型二、全等三角形性质和判定求多结论问题 题型三、全等三角形性质和判定求动点中的最值问题 题型四、全等三角形性质和判定的综合问题 题型五、全等三角形性质和判定的新定义型综合问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及边角对应关系证明、线段或角相等、图形变换（平移/旋转/翻折）中的全等。 - 解题方法：判定用SSS、SAS、ASA、AAS、HL（Rt△）；性质用于导边导角；找隐含条件（公共边、 对顶角、等角加减）。 - 易错提醒：SAS 中夹角必须是对应边夹角；判定时误用SSA；对应顶点未对准致边角错配。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、全等三角形性质和判定求解的多解问题 典例1（26-27 八年级·上海·暑假作业）如图在四边形 中， ， ．点F 从点 B 出发，沿线段 以 的速度持续作往返运动，点E 从点A 出发沿线段 方向以 的速度运动， 当点E 到达点D 时, E、F 两点同时停止运动，记 与 的交点为G．若E、F 两点同时出发，则当 时，点E 运动时间 ___________秒． 题型模版 目 录 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1.特征：已知两边一角或两角一边，但对应顺序未定，导致多个满足全等的三角形。 2.方法：分类讨论对应顶点顺序（如SAS、ASA、AAS），按不同情况分别作图或列方程求解并验证。 变式1-1（25-26 七年级下·陕西西安·期中）如图，在 中， ， ， ．动 点P 从点A 出发沿 的路径向终点C 运动；动点Q 从点B 出发沿 的路径向终点A 运动．点 P 和点Q 分别以每秒 和 的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某 时刻，过点P 和点Q 分别作 于点E， 于点F，则点P 的运动时间为______s 时， 与 全等． 变式1-2（25-26 七年级下·陕西西安·阶段检测）如图， ， ， ．点 在线段 上 从点 向点 运动，点 从点 出发沿着射线 的方向运动．若 与 全等，则 的长为________． 变式1-3（25-26 七年级下·福建漳州·期中）如图， 中， ， ， ，直 线经过点 且与边 相交（不经过点 ， ）．动点 从点 出发沿 路径向终点 运动；动点 从点 出发沿 路径向终点 运动．点 和点 的速度分别为 和 ，两点同时出发并 开始计时，当点 到达终点 时计时结束．在某时刻分别过点 和点 作 于点 ， 于点 ， 设运动时间为秒，则当 _________秒时， 与 全等（不考虑 、 重合的情况）． 题型二、全等三角形性质和判定求多结论问题 典例2（25-26 七年级下·江西抚州·期末）如图， ， ， 平分 ，交 于点 ， ，交 延长线于 ，且垂足为 ，则以下结论：① ；② ；③ ； ④ ．正确的个数是________个． 3 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型模版 1.特征：题干给出多个结论，需判断正误，常综合全等判定与性质进行推理论证。 2.方法：先找全等三角形，利用判定定理（SAS、ASA 等）证明，再由全等性质（对应边角相等）逐一验证 各结论。 变式2-1（25-26 八年级上·全国·期末）如图，在梯形 中， ，E 是 的中点， 平 分 ，下列说法：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的 是__________ 填序号 变式2-2（2025 八年级上·湖北武汉·专题练习）如图，在 中， ， 的角平分线 ， 相交于点P，过P 作 交 的延长线于点F，交 于点H．给出下列结论：① ； ② ；③ 是等腰直角三角形：④ ．其中正确的有_______． 变式2-3（25-26 八年级上·吉林长春·期末）如图，在 中， 为中线，过B 作 于点E， 过C 作 于点F．在 延长线上取一点G，连接 ，使 ． 给出下面四个结论： ① ； ② ； 4 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ③ ； ④ ． 上述结论中，正确结论的序号有________． 题型三、全等三角形性质和判定求动点中的最值问题 典例3（25-26 七年级下·甘肃张掖·期末）如图，在锐角三角形 中， ， 的面积为6， 平分 ．若 、 分别是 、 上的动点，则 的最小值为________． 题型模版 1.特征：动点运动中构造全等三角形，求线段或面积最值，常结合二次函数或几何不等式。 2.方法：利用全等转化线段（如等量代换），将最值化为二次函数顶点或垂线段最短，结合动点范围求解。 变式3-1（25-26 八年级上·湖北武汉·期末）如图，在 中， 分别为边 上的动点，且 ，连接 ．当 取最小值时， _____． 变式3-2（25-26 七年级下·陕西汉中·期末）如图， 是 的角平分线， 于点 ， 是 的中线，动点 在 边上，连接 ．若 ， 的面积是3，则 的最小值为______________． 5 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式3-3（25-26 八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在 中， ， ， ， ， 平分 交 于点D，点E，F 分别是 ， 上的动点，则： （1） 的长为______； （2） 的最小值为______． 题型四、全等三角形性质和判定的综合问题 典例4（25-26 七年级下·河南平顶山·期末）如图所示，在 中， 为 上一点， 为 中点，连 接 并延长至点 ，使得 ，连接 ． (1)你认为 与 相等吗？并说明理由； (2)若 ， ， ，求 的长． 题型模版 1.特征：综合运用全等判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）与性质（对应边角相等）解决复杂几何证明或 计算。 2.方法：从结论出发逆推需证的全等，再结合已知条件选择适当判定定理，由全等得对应关系完成证明。 变式4-1（25-26 七年级下·江西景德镇·期末）如图， 和 都是等腰三角形， ， ， ．连接 ， 与 相交于点 ． 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求证： ； (2)试说明： 与 的数量关系． 变式4-2（25-26 七年级下·福建漳州·期末）如图，在 中， ， 分别是 ， 边上的中点， 与 交于点 ． (1)若 ，求 ； (2)求证： ； (3)点 在线段 上（点 不与点 ，点 重合），连接 并延长 到点 ，连接 ，若 平分四边 形 的面积．求证： ． 变式4-3（25-26 七年级下·广东河源·期末）问题情境：已知射线 和射线 相交于点B．且 ．点 D 在射线 上，作射线 ，在射线 上取一点E，连接 ， ，使 ． (1)如图1， 与 的数量关系为________； (2)如图2，当点D 在 延长线上， 时． ①根据要求作图：在射线 上取一点F，使 ，连接 ． ②求 的度数； 7 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (3)如图3，当 ，请直接写出 的度数（用含 的式子表示）． 题型五、全等三角形性质和判定的新定义型综合问题 典例5（25-26 七年级上·山东济宁·期中）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友 三角形”． （一）性质探究：如图1，在 中，D 是 边上的一点，那么 和 是“朋友三角形”．求证： ． （二）知识应用：如图2，正方形 的边长为4，点 在 上，点F 在 上， ， 与 交 于点O． （1）请说出 所有的朋友三角形，并说明理由； （2）连接 ，若 和 是“朋友三角形”则四边形 的面积为___________． 题型模版 1.特征：引入新概念（如“等补点”），将全等与定义结合，求值或证明，重理解与迁移。 2.方法：透彻理解新定义，将其转化为全等条件（如边角关系），选择合适的判定定理证明或列方程求解。 变式5-1（25-26 八年级上·福建龙岩·期中）【定义】我们把三角形被一边上的中线分成的两个三角形叫做 “友好三角形”． 【性质】如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等． 【理解】如图1，在 中， 是 边上的中线，那么 和 是“友好三角形”，并且 ． 【应用】如图2， 和 是“友好三角形”， ， 与 相交于点D． （1）求证： 和 是“友好三角形”； （2）若 的面积为1，点P 是直线 上的一动点，连接 ，当图中出现一个三角形和 是 “友好三角形”时，求出此时 的面积． 8 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【类比学习】根据上面学习知识的活动与经验，回答下面问题： （3）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰 中， ，则它的特征值 ． 变式5-2（25-26 八年级上·广东江门·阶段检测）（1）理解定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形 叫做偏等积三角形． 如图1，在 中， ， ， ． ①若 是 上一点， ，则 与 ______偏等积三角形（填“是”或“不是”）； ②若 为 上一点，当 的长为______时， 与 是偏等积三角形； （2）运用定义：如图2， 为 上一点， 与 是偏等积三角形， ， ，且线段 的长为偶数，则 的长为______； （3）拓展加深： ①如图3， ， ， ． 求证： 与 是偏等积三角形； ②如图4， 与 是偏等积三角形， ， ，求证： ． 9 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式5-3（23-24 七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B 分别在射线 ， 上，过点A 垂直 的直线与过点B 垂直 的直线 交于点Q，则我们把 称为 的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1， ， 分别是 的两条高，两条高交于点 F，根据定义，我们知道 是 的“边 垂角”或 是 的“边垂角”， 的“边垂角”是 ； (2)若 是 的“边垂角”，则 与 的数量关系是 ； (3)若 是 的“边垂角”，且 ． ①如图2，已知 ， 交 于点E，点C关于直线 对称点为点F，连接 ， ，且 ， ，求证： ； 对于上述问题，小明有这样的想法：在 上截取 ，连接 ，如图3．你明白小明的做法吗？接 下来请你求证 ． ②如图4，若 ，直接写出四边形ABDC 的面积． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1． （25-26 七年级下·陕西汉中·期末）如图，在 中， ，点 在 边上，过点 作 ， 过点 作 ，交 的延长线于点 ， ．若 ， ，则 的长是（ ） 10 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26 七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在 中， ， ， ， 为 边上的高，点E 从点B 出发，在直线 上以 的速度移动，过点E 作 的垂线交直线 于点F， 当点E 运动（ ）时， ． A．2 B．6 C．2 或6 D．2 或5 3．（25-26 七年级下·山东济南·阶段检测）如图，已知 ， ， ，点 ， 分别是 ， 边上的动点，满足 ，连接 ， ，则 取得最小值时，线段 的长为 （ ）． A． B． C． D． 4．（25-26 七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在 中， ，D，E 分别是 ， 上的点， 平分 ， 于点F，G 为 的中点，延长 交 于点H．下列结论正确的有（ ） 11 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ①线段 是 的高；② 与 的面积相等；③ ；④ ． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、填空题 5．（25-26 八年级上·陕西延安·期末）如图，在 中， ， 平分 交 于点 ， 为线段 上一动点， 为边 上一动点，当 的值最小时， 的度数为___________． 6．（25-26 八年级上·浙江丽水·期末）如图，在 中， 平分 ，过点A 作 ，交 的延长线于点E，若 ，则 的长为_____ ． 7．（25-26 七年级下·四川·期中）如图，直角三角形 中， ，点 为 边上一点， 且 ，连接 交 延长线于 ，且 为线段 的中点，若 ， ，则 面积为______． 8．（25-26 七年级下·陕西西安·期中）如图，在长方形 中， ， ， ， 点P 从点A 出发，以每秒1 个单位长度的速度沿 向点B 匀速运动；点Q 从点B 出发，以每秒2 个单位 长度的速度沿 向点C 匀速运动；点R 从点C 出发，以每秒a 个单位长度的速度沿 向点D 运动．连接 ， ．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其他点也停止运动，若在某一时刻， 与 全等，则a 的值为________． 12 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 三、解答题 9．（25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在 中，点 在边 上，且 ， 平分 交 于点 ， 交 于点 ． (1) 与 全等吗？请说明理由； (2)若 ， ， ，求 的周长． 10．（25-26 七年级下·江西景德镇·期末）晚唐时期，风筝上已有用丝条或竹笛做成的响器，风吹声鸣， 因而有了“风筝”的名字．如图是一个四边形风筝的骨架示意图，其中 ， 是风筝的支架且 ， ， ． (1)求证： ； (2)若 ， ，求四边形 的面积． 11．（25-26 七年级下·上海虹口·期末）如图，已知 为线段 上一点，在 中， ，在 中 ，且 ，连接 、 ， 分别交 、 于点 、 ， 交 于点 ． 13 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求证： ； (2)如果 ，求 的度数． 12．（25-26 八年级上·甘肃平凉·期中）在学习特殊三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运 用已有经验，对“兄弟三角形”进行研究，新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄 弟三角形”． (1)操作判断：如图1， 和 互为“兄弟三角形”，点 为重合的顶角顶点．请直接写出线段 与 之间的数量关系：____． (2)性质探究：如图2， 和 互为“兄弟三角形”，点 为重合的顶角顶点， 均在 外， 连接 ，试说明（1）中 和 之间的数量关系是否还成立？若成立，给出证明过程． 13．（25-26 七年级下·宁夏银川·期末）如图，在 中， 为高， ， ．点E 为 上 的一点， ，连接 ，交 于点O， ． (1)判断 与 的位置关系，并说明理由； (2)有一动点Q 从点A 出发沿射线 以每秒6 个单位长度的速度匀速运动，设点Q 的运动时间为t 秒． 14 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ① _______（用含t 的代数式表示）， _______； ②当 的面积为27 时，请求出t 的值； (3)在（2）的条件下，动点 从点O 出发沿线段 以每秒2 个单位长度向终点B 匀速运动，P、Q 两点同 时出发，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，点F是直线 上的一点，且 ， 当 与 全等时，请直接写出t 的值． 14．（25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）【问题提出】 (1)如图1，在 中， 是边 上的中线，点 ， 分别在 ， 上，连接 ，与 交于点 ．若 ， 的面积记为 ，四边形 的面积记为 ，则 与 之间的数量关系是 ____________； (2)如图2，在四边形 中， ， 是边 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点 ， 取 的中点 ，连接 ． 平分四边形 的面积吗？请说明理由； 【问题解决】 (3)如图3，某商场计划在一块三角形空地 中举办户外促销活动，点 在空地的边 上，点 ， ， 在空地的边 上，现有甲、乙两个品牌入驻，划定四边形 是甲品牌的活动场地， 是乙品牌的 活动场地，且两个品牌活动场地的面积相等．已知 处加装了围栏， ， ， 分别是甲、乙品牌的货物存储区，点 ， 是存储区入口，且 ， ．求围栏端点 与存储区入口 之间的距离 ． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司
