专题03 全等三角形之一线三等角模型与倍长中线模型
常考题型·精准突破
题型1 全等三角形之一线三等角模型（难）
题型2 全等三角形之倍长中线模型（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 全等三角形之一线三等角模型
1．
【答案】(1)
ABD
CAF
≌
△
△
理由：
BD
AE
^
Q
，CF
AE
^
，
90
ADB
CFA
\Ð
= Ð
=
° ．
90
BAD
ABD
\Ð
+ Ð
=
° ．
90
MAN
Ð
=
°
Q
，
90
BAD
CAF
\Ð
+ Ð
=
°．
ABD
CAF
\Ð
= Ð
．
Q在ABD
V
与CAF
V
中，
ADB
CFA
ABD
CAF
AB
AC
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
AAS
ABD
CAF
\V
V
≌
．
(2)
△
≌△
ABE
CAF 理由：
Q在ABE
V
中，
180
BAE
ABE
AEB
Ð
+ Ð
+ Ð
=
°，
1
180
AEB
Ð + Ð
=
°，
1
BAE
ABE
\Ð = Ð
+ Ð
．
BAC
BAE
FAC
Ð
= Ð
+ Ð
Q
，
1
BAC
Ð = Ð
，
ABE
FAC
\Ð
= Ð
．
同理可得
BAE
ACF
Ð
= Ð
．
Q在ABE
V
与CAF
V
中，
ABE
FAC
BAE
ACF
AB
AC
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
ABE
CAF ASA
\V
V
≌
．
2．
【答案】(1)证明：∵AD
l
^ ，BE
l
^ ，
∴
90
ADC
BEC
Ð
= Ð
=
°，
又
90
ACB
Ð
=
°，
∴
90
ACD
CBE
BCE
Ð
= Ð
=
°- Ð
，
在ADC
V
和CEB
V
中，
90
ACD
CBE
ADC
BEC
CA
CB
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
=
°
í
ï
=
î
，
∴
AAS
ADC
CEB
≌
△
△
．
(2)①
AEC
CFB
△
≌△
；
理由：∵AE
CD
^
，BF
CD
^
，
∴
90
E
BFC
Ð
= Ð
=
° ，
又
90
ACB
Ð
=
°，
∴
90
ACE
CBF
BCF
Ð
= Ð
=
°- Ð
，
在
AEC
△
和CFB
V
中，
90
ACE
CBF
AEC
BFC
CA
CB
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
=
°
í
ï
=
î
，
∴
AAS
AEC
CFB
△
≌△
．
②∵AE
CD
^
，BF
CD
^
，
∴
90
E
BFC
Ð
= Ð
=
° ，
又
90
ACB
Ð
=
°，
∴
90
ACE
CBF
BCF
Ð
= Ð
=
°- Ð
，
在
AEC
△
和CFB
V
中，
90
ACE
CBF
AEC
BFC
CA
CB
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
=
°
í
ï
=
î
，
∴
AAS
AEC
CFB
V
V
≌
，
∴
1,
3
CE
BF
AE
CF
=
=
=
=
，
∴
3 1
4
EF
CF
CE
=
+
=
+ =
．
3．
【答案】(1)∵BD
l
^ ，CE
l
^ ，
∴
90
ADB
CEA
Ð
Ð
=
=
°，
∴
90
DBA
DAB
Ð
Ð
+
=
° ，
又∵
90
BAC
Ð
=
° ，
∴
90
DAB
CAE
Ð
+ Ð
=
° ，
∴
DBA
CAE
Ð
= Ð
．
在ABD
V
和CAE
V
中，
ADB
CEA
ABD
CAE
AB
AC
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
ABD
CAE
≌
△
△
（AAS）．
(2) DE
BD
CE
=
+
．理由如下：
∵
CEA
ADB
BAC
Ð
= Ð
= Ð
，且
180
DBA
ADB
BAD
Ð
Ð
Ð
°
+
+
=
，
180
BAD
BAC
CAE
Ð
+ Ð
+ Ð
=
° ，
∴
DBA
CAE
Ð
= Ð
．
在ABD
V
和CAE
V
中，
ADB
CEA
ABD
CAE
AB
AC
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
ABD
CAE
≌
△
△
（AAS），
∴BD
AE
=
，AD
CE
=
，
∴DE
AD
AE
CE
BD
=
+
=
+
，
即DE
BD
CE
=
+
．
(3)
1
2
S
S
=
，理由如下：
过点D 作DM
GH
^
延长线于M ，过点E 作EN
GH
^
于N ，则
90
M
ANE
Ð
= Ð
=
°．
∵AG 是BC 边上的高，
∴
90
AGB
Ð
=
° ，
∴
90
BAG
ABG
Ð
+ Ð
=
°，
∵
90
BAD
Ð
=
° ，
∴
90
DAM
BAG
Ð
+ Ð
=
°，
∴
DAM
ABG
Ð
= Ð
．
在
ADM
△
和
BAG
△
中，
M
BGA
DAM
ABG
AD
AB
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
ADM
BAG
≌
△
△
（AAS），
∴DM
AG
=
．
同理可证：
AEN
CAG
≌
△
△
（AAS），
得EN
AG
=
，
∴DM
EN
=
．
∵ADH
V
的面积
1
1
2
S
AH DM
=
×
×
，AEH
V
的面积
2
1
2
S
AH EN
=
×
×
，
∴
1
2
S
S
=
．
◆题型2 全等三角形之倍长中线模型
【答案】（1）解：∵AD 是BC 边上的中线，
∴CD
BD
=
，
在ADC
V
和EDB
V
中，
CD
BD
CDA
BDE
AD
DE
=
ì
ïÐ
Ð
í
ï
=
î
＝
，
∴
(SAS)
ADC
EDB
≌
V
V
；
（2）解：∵AB
BE
AE
AB
BE
-
<
<
+
，即10
6
10
6
AE
-
<
<
+
，
∴4
16
AE
<
<
，
∵
1
2
AD
AE
=
，
∴2
8
AD
<
<
；
（3）解：延长AD 到M，使AD
DM
=
，连接BM ，如图2 所示：
∵AE
EF
=
，
6
EF =
，
∴
6
4
10
AC
AE
EC
=
+
=
+
=
，
∵AD 是ABC
V
的中线，
∴CD
BD
=
，
∵在ADC
V
和MDB
V
中，
CD
BD
ADC
MDB
AD
DM
=
ì
ïÐ
Ð
í
ï
=
î
＝
，
∴
(SAS)
ADC
MDB
≌
V
V
，
∴BM
AC
=
，
CAD
M
Ð
= Ð
，
∵AE
EF
=
，
∴
CAD
AFE
Ð
= Ð
，
∵
AFE
BFD
Ð
= Ð
，
∴
BFD
CAD
M
Ð
= Ð
= Ð
，
∴BF
BM
AC
=
=
，
即
10
BF =
．
5．
【答案】(1)
解：如图，延长AD 到点E ，使DE
AD
=
，连接BE ，
AD
Q
是ABC
V
的中线，
,
CD
BD
\
=
,
ADC
EDB
Ð
= Ð
Q
DE
AD
=
，
(SAS),
ADC
EDB
\
≌
V
V
5,
BE
AC
\
=
=
,
8,
AB
BE
AE
AB
BE AB
-
<
<
+
=
Q
8
5
8
5,
AE
\ -
<
<
+
3
13,
AE
\ <
<
,
DE
AD
=
Q
2
,
AE
AD
\
=
3
2
13,
AD
\ <
<
解得：3
13,
2
2
AD
<
<
即AD 的取值范围为：3
13
2
2
AD
<
<
；
(2)
证明：如图2，延长AD 至G ，使DG
AD
=
，连接BG ，则
2
AG
AD
=
，
D
Q
为BC 的中点，
,
CD
BD
\
=
,
ADC
GDB
Ð
= Ð
Q
DG
AD
=
，
(SAS),
ADC
GDB
\
≌
V
V
,
,
C
GBD AC
BG
\Ð
= Ð
=
,
AC
BG
\
∥
180
ABG
BAC
\Ð
+ Ð
=
° ，
,
AC
AF
=
Q
,
BG
AF
\
=
90 ,
BAE
CAF
Ð
= Ð
=
°
Q
180
EAF
BAC
\Ð
+ Ð
=
°，
,
ABG
EAF
\Ð
= Ð
在EAF
V
和ABG
V
中，
EA
AB
EAF
ABG
AF
BG
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
(
),
EAF
ABG SAS
\V
V
≌
,
AG
EF
\
=
2
;
EF
AD
\
=
（3）解：如图3，延长EF 到G ，使得EF
FG
=
，连接CG ，延长CA 到H ，使得AH
AD
=
，连接BH ，
F
Q
是BC 的中点，
,
CF
BF
\
=
,
EFB
CFG
Ð
= Ð
Q
EF
FG
=
，
(
),
BEF
CGF SAS
\V
V
≌
,
,
BE
CG
G
BEF
\
=
Ð
= Ð
,
CG
BE
\
P
,
BEH
GCE
\Ð
= Ð
180 ,
180 ,
BAC
BAH
BAC
BAD
Ð
+ Ð
=
° Ð
+ Ð
=
°
Q
,
BAH
BAD
\Ð
= Ð
在BAH
V
和BAD
V
中，
AB
AB
BAH
BAD
AH
AD
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
(
),
BAH
BAD SAS
\V
V
≌
,
,
BH
BD
H
ADB
\
=
Ð
= Ð
,
ADB
CEF
Ð
= Ð
Q
,
H
CEF
\Ð
= Ð
又∵
,
BAH
BAD
Ð
= Ð
,
BE
CG
=
(
),
HBE
EGC AAS
\V
V
≌
2
2 6
12,
EG
BH
BD
EF
\
=
=
=
=
´
=
即
12
BD =
．
6．
【答案】(1)方法①∶证明：如图，延长FE 至点G ，使GE
FE
=
，连接CG ，
在
DFE
△
和CGE
V
中，
DE
CE
DEF
CEG
EF
EG
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
SAS
DFE
CGE
\V
V
≌
，
DF
CG
\
=
，
DFE
G
Ð
= Ð
，
DF
AC
=
Q
，
CG
AC
\
=
，
CAG
G
\Ð
= Ð
，
DF
AB
Q
∥
，
BAE
DFE
\Ð
= Ð
，
BAE
CAG
\Ð
= Ð
，
AE
\
平分
BAC
Ð
；
方法②：证明：如图，延长AE 至点G ，使GE
AE
=
，连接DG ，
在
ACE
△
和
GDE
△
中，
AE
GE
AEC
GED
CE
DE
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
SAS
ACE
GDE
\V
V
≌
，
AC
DG
\
=
，
CAE
G
Ð
= Ð
，
DF
AC
=
Q
，
DG
DF
\
=
，
DFG
G
\Ð
= Ð
，
DF
AB
Q
∥
，
DFG
BAE
\Ð
= Ð
，
BAE
CAE
\Ð
= Ð
，
AE
\
平分
BAC
Ð
；
(2)如图，延长AD 至点G ，使GD
AD
=
，连接BG ，
AD
Q
是BC 边上的中线，
BD
CD
\
=
，
在ACD
V
和GBD
V
中，
CD
BD
ADC
GDB
AD
GD
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
SAS
ACD
GBD
\V
V
≌
，
BG
AC
\
=
，
ACD
GBD
Ð
= Ð
，
∴BG
AC
∥
，
∴
180
ABG
BAC
Ð
+ Ð
=
°，
AC
AF
=
Q
，
BG
AF
\
=
，
90
BAE
CAF
Ð
= Ð
=
°
Q
，
360
180
EAF
BAE
CAF
BAC
BAC
\Ð
=
° - Ð
- Ð
- Ð
=
° - Ð
，
180
ABG
ABC
GBD
ABC
ACD
BAC
Ð
= Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
=
° - Ð
Q
，
EAF
ABG
\Ð
= Ð
，
在AEF
V
和
BAG
△
中，
AE
AB
EAF
ABG
AF
BG
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
SAS
AEF
BAG
\V
V
≌
，
∴
AEF
BAG
Ð
= Ð
，
设AD 与EF 交于点H，
∵
90
BAE
Ð
=
° ，
∴
90
BAG
EAH
Ð
+ Ð
=
°，
又∵
AEF
BAG
Ð
= Ð
，
∴
90
AEF
EAH
Ð
+ Ð
=
° ，
∴
90
AHE
Ð
=
°，
即
^
AD
EF ．
(3) ABC
V
与AEF
V
面积相等，理由如下；
由（2）可知ACD
GBD
V
V
≌
，
∴
ACD
GBD
S
S
=
V
V
，
∵
ABC
ABD
ACD
S
S
S
=
+
V
V
V
，
ABG
ABD
GBD
S
S
S
=
+
V
V
V
，
∴
ABC
ABG
S
S
=
△
△
，
由（2）可知AEF
BAG
V
V
≌
，
∴
AEF
ABG
S
S
=
V
V
，
∴
AEF
ABC
S
S
=
V
V
．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．A
2．C
3．C
二、填空题
4．1
7
AD
<
<
5．6
6．①④⑤
三、解答题
7．
【答案】
（1）证明：∵
90
BAD
Ð
=
°
∴
90
BAC
DAE
Ð
+ Ð
=
°，
∵BC
AC
^
，DE
AC
^
，
∴
90
ACB
DEA
Ð
= Ð
=
°，
∴
90
BAC
ABC
Ð
+ Ð
=
° ，
∴
ABC
DAE
Ð
= Ð
，
在ABC
V
和DAE
V
中，
ABC
DAE
ACB
DEA
BA
AD
Ð
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
AAS
ABC
DAE
V
V
≌
，
∴BC
AE
=
；
（2）解：由（1）中模型可知，AEP
BAG
V
V
≌
，CBG
DCH
V
V
≌
，
∴
3
AP
BG
=
=
，
6
AG
EP
=
=
，
4
CG
DH
=
=
，
3
CH
BG
=
=
，
则
1
1
1
1
1
4
6
3
6
4
3
3 6
3 6
3 4
3 4
50
2
2
2
2
2
ABCDE
S
=
+
´
+
+
+
-
´ ´ -
´ ´ -
´ ´ -
´ ´
=
实线围成的图形
；
（3）解：过点D 作DP
AG
^
于P ，过点E 作EQ
AG
^
交AG 的延长线于Q ，
由（1）中模型可知，
AFB
DPA
≌
△
△
，
AFC
EQA
≌
△
△
，
∴DP
AF
=
，EQ
AF
=
，BF
AP
=
，FC
AQ
=
，
∴
12
DP
EQ
AF
=
=
=
，
∵
,
DP
AG EQ
AG
^
^
，
∴
90
DPG
EQG
Ð
= Ð
=
°，
∵
DGP
EGQ
Ð
= Ð
∴
AAS
DPG
EQG
V
V
≌
，
∴DG
GE
=
，PG
GQ
=
，
∵BF
AP
=
，FC
AQ
=
，
∴BC
BF
FC
AP
AQ
=
+
=
+
，
∵
21
BC =
，
∴
21
AP
AQ
+
=
，
∴
21
AP
AP
PG
GQ
+
+
+
=
，
∴
21
AP
AP
PG
PG
+
+
+
=
，
∴
10.5
AP
PG
+
=
，
∴
10.5
AG =
，
∴
1
1 10.5 12
63
2
2
ADG
S
AG DP
=
×
=
´
´
=
V
．
8．
【答案】（1）证明：
AD
Q
是BC 边上的中线，
BD
CD
\
=
，
在ACD
V
和MBD
V
中，
CD
BD
ADC
BDM
AD
MD
=
ì
ïÐ
= Ð
ïí
ï
=
ïî
，
SAS
ACD
MBD
\V
V
≌
，
AC
BM
\
=
、
C
DBM
Ð
= Ð
，
AC
BM
\
∥
；
（2）解：延长AD 到点M ，使DM
AD
=
，连接BM ，如图：
由（1）知
ACD
MBD
△
≌△
，
8
AC
BM
\
=
=
，
在ABM
V
中，AB
BM
AM
AB
BM
-
<
<
+
、
12
AB =
，
12
8
12
8
AM
\
-
<
<
+ ，即4
2
20
AD
<
<
，
即2
10
AD
<
<
，
BC
\
边上的中线AD 的取值范围为2
10
AD
<
<
；
（3）解：
2
EF
AD
=
且EF
AD
^
，
如图，延长AD 到点M ，使DM
AD
=
，连接BM ，
由（1）得
ACD
MBD
△
≌△
，
AC
BM
\
=
、
C
DBM
Ð
= Ð
，
180
ABM
ABC
DBM
ABC
ACB
BAC
\Ð
= Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
=
°- Ð
，
AE
AB
^
Q
，AF
AC
^
，
90
BAE
CAF
\Ð
= Ð
=
°，
180
EAF
BAC
\Ð
=
°- Ð
，
ABM
EAF
\Ð
= Ð
，
AF
AC
=
Q
，
BM
AF
\
=
，
AB
AE
=
Q
，
SAS
ABM
EAF
\V
V
≌
，
AM
EF
\
=
、
BAM
E
Ð
= Ð ，
2
AM
AD
=
Q
，
2
EF
AD
\
=
，
EAM
BAM
BAE
E
APE
Ð
= Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
Q
，
90
APE
BAE
\Ð
= Ð
=
°，
EF
AD
\
^
．
9．
【答案】（1）证明：∵BD ^ 直线l，CE ^ 直线l，
∴
90
BDA
AEC
Ð
= Ð
=
° ，
∴
90
DAB
DBA
Ð
+ Ð
=
°．
∵
90
BAC
Ð
=
° ，
∴
90
DAB
EAC
Ð
+ Ð
=
° ．
∴
DBA
EAC
Ð
= Ð
．
在ABD
V
和CAE
V
中，
90
BDA
AEC
DBA
EAC
AB
AC
Ð
= Ð
=
°
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
ABD
CAE AAS
V
V
≌
；
（2）证明：∵
EAB
Ð
是ABD
V
的外角，
∴EAB
ADB
DBA
Ð
= Ð
+Ð
．
∴EAC
BAC
ADB
DBA
Ð
+Ð
= Ð
+Ð
．
∵
ADB
BAC
Ð
= Ð
，
∴
EAC
DBA
Ð
= Ð
．
在EAC
V
和DBA
V
中，
EAC
DBA
CEA
ADB
AC
AB
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
AAS
EAC
DBA
V
V
≌
．
∴CE
AD
=
，EA
BD
=
．
∴ED
EA
AD
BD
CE
=
+
=
+
；
（3）
1S ，
2
S 大小关系是：
1
2
S
S
=
理由如下：
过点D 作DM
AH
^
交AH 的延长线于点M，过点E 作EN
AH
^
于点N，如图所示：
∵AG
BC
^
，
∴
90
AGB
M
Ð
= Ð
=
° ．
∴
90
ABG
BAG
Ð
+ Ð
=
°．
∵
90
BAD
Ð
=
° ，
∴
90
BAG
DAM
Ð
+ Ð
=
°．
∴
ABG
DAM
Ð
= Ð
．
在ABG
V
和
DAM
△
中，
90
AGB
M
ABG
DAM
AB
AD
Ð
= Ð
=
°
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
ABG
DAM AAS
V
V
≌
．
∴AG
DM
=
．
同理可证明：AGC
ENA
V
V
≌
．
∴AG
EN
=
．
∴DM
EN
=
．
∵
1
1
2
S
AH DM
=
×
，
2
1
2
S
AH EN
=
×
，
∴
1
2
S
S
=
．
10．
【答案】（1）解：∵
,
,
AD
DE
ADC
EDB CD
BD
=
Ð
= Ð
=
，
∴ADC
EDB
V
V
≌
（SAS ）
∴
3
BE
AC
=
=
，
∵AB
BE
AE
AB
BE
-
<
<
+
∴5
3
5
3
AE
-
<
<
+
即：2
8
AE
<
<
∵
1
2
AD
AE
=
∴1
4
AD
<
<
故答案为：1
4
AD
<
<
；
（2）证明：延长OE 到H ，使得HE
OE
=
，连接CH ，
∵E 是AC 的中点，
∴EC
EA
=
，
∵
CEH
AEO
Ð
= Ð
，
∴CEH
AEO
V
V
≌
（SAS ），
HCA
CAH
\Ð
= Ð
，CH
AO
=
，
∴
HCA
ACO
CAO
ACO
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
，即
CAO
ACO
HCO
Ð
+ Ð
= Ð
，
∵
180
AOB
COD
Ð
+ Ð
=
°，
∴
180
AOC
BOD
Ð
+ Ð
=
°，
∵
180
AOC
CAO
ACO
Ð
+ Ð
+ Ð
=
° ，
∴
BOD
HCO
Ð
= Ð
，
∵
,
OA
OB OC
OD
=
=
，
∴CH
OB
=
，
∴HCO
BOD
V
V
≌
（SAS ），
∴OH
BD
=
，
∴
1
2
OE
BD
=
；
（3）解：由（2）可得：
2
10
BD
HO
OE
=
=
=
，
H
B
Ð
= Ð
，
,
CHE
AEO
HCO
BOD
S
S
S
S
=
=
V
V
V
V
，
∴
AOC
AOE
COE
HCO
BOD
S
S
S
S
S
=
+
=
=
V
V
V
V
V
，
∵
90
AOB
Ð
=
° ，
∴
90
AOE
BOF
Ð
+ Ð
=
°，
∵
AOE
H
Ð
= Ð
，
∴
90
B
BOF
Ð + Ð
=
° ，即：OF
BD
^
，
∴
1
1 10 2
10
2
2
BOD
S
BD OF
=
´
=
´
´
=
V
，
∴
10
AOC
S
=
V
．
11．
【答案】（1）解：DE 、BD 、CE 的数量关系为：DE
BD
CE
=
+
，理由如下：
如图1 所示：
∵
,
BD
l CE
l
^
^ ，
∴
90
BDA
AEC
Ð
= Ð
=
° ，
∴
1
2
90
Ð + Ð =
° ，
在ABC
V
中，
90
BAC
Ð
=
° ，
∴
1
3
90
Ð + Ð =
° ，
∴
2
3
Ð = Ð ，
∵AB
AC
=
，
∴
ABD
CAE AAS
V
V
≌
，
∴
,
BD
AE AD
CE
=
=
，
∴DE
AE
AD
BD
CE
=
+
=
+
；
故答案为：DE
BD
CE
=
+
；
（2）解：（1）中的结论成立，证明如下：
如图2 所示：
∵
BDA
AEC
BAC
a
Ð
= Ð
= Ð
=
，AB
AC
=
，
∴
1
3
180
180
BAC
a
Ð + Ð =
°- Ð
=
°-
，
在ABD
V
中，
1
2
180
180
BDA
a
Ð + Ð =
° - Ð
=
° -
，
∴
2
3
Ð = Ð ，
∵
BDA
AEC
a
Ð
= Ð
=
，AB
AC
=
，
∴
ABD
CAE AAS
V
V
≌
，
∴
,
BD
AE AD
CE
=
=
，
∴DE
AE
AD
BD
CE
=
+
=
+
；
（3）解：证明：过点E 作EN
AG
∥
，交AM 的延长线于点N ，如图3 所示：
∵ABE
V
和ACG
V
都是等腰直角三角形，且
90
BAE
CAG
Ð
= Ð
=
° ，
∴
,
AB
AE AC
AG
=
=
，
∵AH
BC
^
，
∴
90
ABC
HAB
Ð
+ Ð
=
° ，
∵
90
BAE
Ð
=
° ，
∴
90
HAB
EAN
Ð
+ Ð
=
°，
∴
ABC
EAN
Ð
= Ð
，
∵
90
BAE
CAG
Ð
= Ð
=
° ，
∴
180
BAC
EAG
Ð
+ Ð
=
° ，
∵EN
AG
∥
，
∴
180
AEN
EAG
Ð
+ Ð
=
° ，
∴
BAC
AEN
Ð
= Ð
，
∴
ASA
ABC
EAN
V
V
≌
，
∴AC
EN
=
，
∵AC
AG
=
，
∴EN
AG
=
，
∵EN
AG
∥
，
∴
,
N
MAG
MEN
MGA
Ð
= Ð
Ð
= Ð
，
∴
ASA
EMN
GMA
V
V
≌
，
∴EM
GM
=
，
∴点M 是EG 的中点．
12．
【答案】（1）解：①延长AD 至点E ，使DE
AD
=
，连接BE ，如图，
∵AD 是中线，
∴BD
CD
=
，
在ADC
V
和EDB
V
中，
AD
ED
ADC
EDB
CD
BD
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
ADC
EDB SAS
\V
V
≌
，
ADC
EDB
\V
V
≌
的依据是SAS B ；
②
ADC
EDB
QV
V
≌
，
6
AC
BE
\
=
=
，
8
AB =
Q
，
8
6
8
6
AE
\ -
<
<
+
，
2
2
14
AD
\
<
<
，
1
7
AD
\ <
<
；
（2 ）证明：延长DE 至点F ，使FE
ED
=
，连接BF ，如图，
∵E 是BC 的中点，
∴BE
CE
=
，
在EDC
V
和EFB
V
中，
DE
FE
DEC
FEB
CE
BE
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
EDC
EFB SAS
\V
V
≌
，
DC
FB
\
=
，
D
F
Ð
= Ð
，
BAE
CDE
Ð
= Ð
Q
，
F
BAE
\Ð
= Ð
，
BA
BF
\
=
，
AB
CD
\
=
；
（3）证明：延长BP 交AD 于点H ，过点P 作EF
m
^
于点E ，EF
n
^
于点F ，如图，
则
4
EF =
，
//
m n
Q
，
EDP
FCP
\Ð
= Ð
，
在CPF
V
和DPE
V
中，
CPF
DPE
CP
DP
FCP
EDP
Ð
=
ì
ï
=
í
ïÐ
= Ð
î
CPF
DPE ASA
\V
V
≌
，
1
2
2
FP
EP
EF
\
=
=
=
，
在BPF
V
和HPE
V
中，
90
BFP
HEP
PE
PE
BPF
HPE
Ð
= Ð
=
°
ì
ï
=
í
ïÐ
= Ð
î
，
BPF
HPE ASA
\V
V
≌
，
BP
HP
\
=
，
AP
BP
^
Q
，
AP
\
为BH 的垂直平分线，
AB
AH
\
=
，
1
1
·
·
2
2
APH
S
AH PE
AP PH
=
=
V
Q
，
·
·
AH PE
AP PH
\
＝
，
2
·
AB
PA PB
\
´
=
，
·
2
PA PB
AB
\
=
．
