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专题 12.11 三角形全等几何模型（一线三等角）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】一线三直角模型
1.基本图形
题型特征：如图1，在直线BC上出现三个直角，如图中∠B=∠ACE=∠D=90°
图1 图2 图3
解题方法：只要题目再出现一组等边（AB=CD 或 BC=DE 或 CA=CE），可证△ABE≌△ECD
（AAS或ASA）
结论延伸1：如图2，两个直角三角形在直线两侧时，同样成立
结论延伸2：图1中连接AE，得到如图3，可得以下结论：
（1）四边形ABDE为直角梯形；AB+DE=BC（上底+下底=高）
【知识点二】一线三等角模型图4 图5
题型特征：如图4，图形的某条线段上出现三个相等的角，如图中∠B=∠ACE=∠D
解题方法：只要题目再出现一组等边（BA=CD或BC=DA或CA=DC），必证△ABC≌△CDE（AAS或ASA）
结论延伸：如图5，两个三角形在直线两侧时，同样成立
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】直接用“一线三直角”模型求值或证明
【例1】（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在 中， ， ，直线 经过
点 ，且 ， ，垂足分别为 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求四边形 的面积．
【答案】(1)证明见解析；(2) ．
【分析】（ ）利用余角性质证明，再利用“ ”即可证明 ；
（ ）由 得到 ， ，进而得到 ，再根据梯形的面积
计算公式计算即可求解；
本题考查了余角性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）证明： ， ， ，
，
， ，，
在 和 中
，
；
（2）解： ，
， ，
∵ ，
，
又 ， ，
，
，
∴四边形 的面积为 ．
【变式1】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，小虎用 块高度都是 的相同长方体小木块，
垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（ ， ），
点C在 上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，证明 即可得到答案；
解：由题意可得，
， ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 与 中，∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：A．
【变式2】（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，在 中， ， ，点
为 上一点，连接 ．过点 作 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ．若
， ，则 的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，先证明 ，根
据全等三角形的性质可得 ， ，进一步可得 的长．
解： ， ，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
∴ ，
， ，
， ，， ，
，
故答案为： ．
【题型2】直接用“一线三等角”模型求值或证明
【例2】（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）已知 是直角三角形， ，直线l经
过点 A，分别过点 B、C向直线l作垂线，垂足分别为D、E
（1）如图a，当点 B、C 位于直线l的同侧时，证明：
（2）如图b，锐角 中， ，直线l经过点A，点 D、E 分别在直线l上，点B，C位于l的
同一侧，如果 ，请找到图中的全等三角形，并写出线段 和 之间的数
量关系
【答案】(1)证明见解析；(2) ，
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，直角三角形两锐角互余，掌握
利用 证明三角形全等是解本题的关键．
（1）先证明 ，再利用 证明 即可；
（2）由 ，可得 ， 证明 ，可得
， ，从而可得结论．
（1）证明： ， ，
，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ；
（2）解： ， ； 理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
【变式1】（21-22八年级上·浙江温州·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的
中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根据线段垂直平分线的性质得到
AD＝ED，根据全等三角形的性质得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到结论．
解：∵AB＝AC＝9，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂线交BC于点D，
∴AD＝ED，
在△ABD与△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
∴CD＝AB＝9，BD＝CE，
∵CD＝3BD，
∴CE＝BD＝3
故选：A．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，属于基础题．
【变式2】（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，在 中， ， ，点D在边
上，且 ，点E、F在线段 上． ， 的面积为18，则 与
的面积之和 ．
【答案】12
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，和三角形的面积求法，能够证明 是解题的
关键．先根据 与 等高，底边值为 ，得出 与 面积比为1∶2，再证
，即可得出 和 的面积和，即可选出答案．
解：标记角度如下：
∵在等腰 中， ， ，∴ 与 等高，底边比值为
∴ 与 的面积比为 ，
∵ 的面积为18
∴ 的面积为6， 的面积为12，
∵ ,即 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴
∴ 与 的面积相等，
∴ ，
故答案为：12．
【题型3】构造“一线三直角”模型求值或证明
【例3】（23-24八年级上·山西吕梁·期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探
究有关线段之间的关系
问题情境：
如图1，三角形纸片 中， ， .将点C放在直线 上，点A，B位于直线 的同侧，
过点A作 于点D
初步探究：
（1）在图1的直线 上取点E，使 ，得到图2，猜想线段 与 的数量关系，并说明理由；
（2）小颖又拿了一张三角形纸片 继续进行拼图操作，其中 ， .小颖在图1的
基础上，将三角形纸片 的顶点P放在直线 上，点M与点B重合，过点N作 于点H.如图3，
探究线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由【答案】(1) ； (2)
【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－垂直模型，熟记模型的构成以及结论是解题关键．
（1）过点B作 于点F，证 得 ，根据“三线合一”可得 ，即可求
解；
（2）结合（1）的推理过程可得 得 ，再证 得 即可求解．
（1）解： ，理由如下：
过点B作 于点F，即 ，
，
， ，
.
，
.
.
在 和 中，
，
.
.
， ，
.
.
（2）解： .理由如下：
过点B作 于点F，∴ ，由（1）可得： ，
.
，
， .
，
.
.
在 和 中，
，
.
.
【变式1】（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图， 则 的
面积为（ ）
A．9 B．6 C． D．【答案】A
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅
助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
首先作 于 ,作 交 的延长线于 .根据等腰三角形三线合一的性质，得出
，证明 ，得出 的高即为 ，即可求得面积．
解：作 于 ,作 交 的延长线于
，
在 和 中，
的高即为 ,
故选：A．
【变式2】（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在 中， ，过点 作，且 ，连接 ，若 ，则 的长为 ．
【答案】3
【分析】过点 作 交 延长线于点 ，先证明 ，则 ，然后
根据 求 即可．
解：过点 作 交 延长线于点 ，
则∠DMC=90°=∠ABC，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
．
故填 ．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积，正确作出辅助线、构造全等三角
形证得 成为解答本题的关键．【题型4】“一线三直（等）角”模型的延伸与拓展
【例4】如图，A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（-3.0），D为x轴上的一个动点，AE⊥AD，且
AE=AD，连接BE交y轴于点M
（1）若D点的坐标为（-5.0），求E点的坐标:
（2）求证:M为BE的中点
（3）当D点在x轴上运动时，探索: 为定值
【答案】（1）E(3,-2)；（2）详见解析；（3）
【分析】(1) 过E点作EF⊥y轴交y轴于F点，先证明△AOD≌△EFA(AAS)，根据全等三角形的性质即可得到
E点的坐标；
(2)先把D点的位置画出来，再证明△AOD≌△EFA(AAS)，再根据全等三角形的性质证明
△BOM≌△EFM(AAS)，即可证明M为BE的中点；
(3)从(1)(2)的信息可知得到 ，再结合 即可得到 的比值为
定值；
解：(1) 过E点作EF⊥y轴交y轴于F点∵AD⊥AE , EF⊥AF
∠AOD=∠AFE=90°
∵∠DAO+∠EAF=90°
∠EAF+∠AEF=90°
∴∠DAO=∠AEF
在△AOD和△EFA中
△AOD≌△EFA(AAS)
EF=OA=3 AF=OD=5
OF=AF-OA=5-3=2
E(3,-2)
(2)如图，
D点在以上3个位置，
根据题意知道：AE=AD， ，
又∵ ，∴
∴△AOD≌△EFA(AAS)
∴OB=EF ∠BOM=∠EMF=90°
∠BOM=∠EMF
∴△BOM≌△EFM(AAS)
BM=EM= BE
(3) 根据(2)可知，D点在可以在3个位置，
当D点如下图的位置时，过D作直线a⊥x轴与D，过A作AG垂直直线a于G，
由(2)知△BOM≌△EFM(AAS)，
∴EF=OB，
又由(1)知△AOD≌△EFA(AAS)
即：EF=OA =OB，AF=OD
∴ ，
又∵
∴ = ，
当D在另外两个位置时，同理可证得 = ；
【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定以及性质，综合性较强，能正确画出图像，运用数形结合的
思想解决问题是解题的关键．
【变式1】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀
算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三
个正方形放置在大长方形 中，则该长方形中空白部分的面积为（ ）A．54 B．60 C．100 D．110
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一线三垂直证明全等是突破本题的关键．利用一线三直
角证明三角形全等，可得长方形的长11与宽10，计算出长方形的面积后减去三个正方形的面积即可．
解：如图延长 交 于M，其他字母标注如图示：根据题意， ， ， ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
同理可证 ，
∴ ，
∴ ．空白部分的面积＝长方形面积 三个正方形的面积和 ．
故选：B．
【变式2】已知：四边形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=90°，三角形ABC的面积为1，则线段AC的长度
是 .
【答案】2
【分析】过B作BE⊥AC于E, 过D作DF⊥AC于F,构造 得出BE=AF
利用等腰三角形三线合一的性质得出：AF= 可得BE=AF= ，利用三角形ABC的面积为1进行计算
即可.
解：过B作BE⊥AC于E, 过D作DF⊥AC于F,
∴∠BEA=∠AFD=90°
∴∠2+∠3=90°
∵∠BAD=90°
∴∠1+∠2=90°
∴∠1=∠3
∵AB=AD
∴
∴BE=AF
∵AD=CD，DF⊥AC∴AF=
∴BE=AF=
∴
∴AC=2
故答案为2
【点拨】本题考查了利用一线三等角构造全等三角形，以及利用三角形面积公式列方程求线段，熟练掌
握辅助线做法构造全等是解题的关键.
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2021·四川南充·中考真题）如图， ，AD是 内部一条射线，若 ，
于点E， 于点F．求证： ．
【分析】根据AAS证明△BAE≌△ACF，即可得 ．
证明：∵ ，
∴∠BAE＋∠CAF＝90°，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BEA＝∠AFC＝90°，
∴∠BAE＋∠EBA＝90°，
∴∠CAF＝∠EBA，
∵AB＝AC，
∴△BAE≌△ACF，
∴ ．【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【例2】（2023·重庆·中考真题）如图，在 中， ， ，点D为 上一点，
连接 ．过点B作 于点E，过点C作 交 的延长线于点F．若 ， ，则
的长度为 ．
【答案】3
【分析】证明 ，得到 ，即可得解．
解： ∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中：
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质．利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等证明三角形
全等是解题的关键．
2、拓展延伸【例1】（22-23八年级下·河南洛阳·期中）综合与实践
数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究．
（1）操作发现：如图甲，在 中， ，且 ，直线l经过点A．小华分别过B、
C两点作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．易证 ，此时，线段 、 、 的数量
关系为： ；
（2）拓展应用：
如图乙， 为等腰直角三角形， ，已知点C的坐标为 ，点B的坐标为 ．请利
用小华的发现直接写出点A的坐标： ；
（3）迁移探究：
①如图丙，小华又作了一个等腰 ， ，且 ，她在直线l上取两点D、E，使得
，请你帮助小华判断（1）中线段 、 、 的数量关系是否变化，若不变，
请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由；
②如图丁， 中， ， ，点D、E在直线 上，且 ，请直
接写出线段 、 、 的数量关系．
【答案】(1) (2) (3)① ，理由见解析；②
【分析】（1）由全等得到边长关系即可．（2）分别按照（1）中情形过A、B做出 轴垂线，得到三角形全等后根据边长关系得到点A坐标．
（3）①将（1）中互余的角度变成计算关系，仍可得角度相等，从而得到全等的三角形，进而得到边长
关系．
②根据①可证全等，然后根据全等三角形的性质得到边长关系．
解：（1）由等腰直角 得 ， ，
又 ，
又 ，
，
（2）
过A、B作出 轴垂线 ， ，由（1）可得 ， ，
又 得 ， ， ，
，
（3）①
又 ，
，②
与①中同理可得
分别取 ， 中点 ， 连接 ．
，
,
又
又
在 与 中
，
【点拨】本题考查一线三等角模型，注重模仿推理能力，结合一个示范作迁移应用，需要大胆参考示范
进行相同位置图像的关系论证．对知识点的充分理解和迁移是解题的关键．【例2】（22-23八年级上·广东惠州·期中）如图1， ，垂足分
别为D，E．
（1）若 ，求 的长．
（2）在其它条件不变的前提下，将 所在直线变换到 的外部（如图2），请你猜想
三者之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，将（1）中的条件改为：在 中， ，D，C，E三点在同一条直线上，并且有
，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；
若不成立，请说明理由．
【答案】(1)0.8cm (2) ，证明见解析 (3)结论 成立，证明见解析
【分析】（1）（2）（3）方法相同，利用 定理证明 ，根据全等三角形的性质、结合
图形解答．
（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2） ．证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）结论 成立，
证明： ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
即结论 成立；
【点拨】本题属于三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三
角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
