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第 14 讲 一线三等角模型专项突破（原卷版）
第一部分 典例剖析及针对训练
类型一 直角型“一线三等角”——“一线三垂直”
名师点金： 直角型“一线三等角”又称“三垂直”或“K”形图，是“一线三等角”问题中最为常见的一
种．认识“三垂直”模型：直线绕直角顶点旋转，由外到内，由一般到特殊．
典例1（2022春•七星关区期末）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A点的一条直线l
（1）作BD⊥l于点D，CE⊥l于E点，若B点和C点在直线l的同侧，求证：DE＝BD+CE；
（2）若直线l绕点A旋转到B点和C点在其两侧，其余条件不变，问：BD、DE、CE的关系如何？请
予以证明．
例2 如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为BC上一点，连接AE，作AF⊥AE且AF＝AE，
BF交AC于D．△
（1）如图1，求证：D为BF中点；
（2）如图1，求证：BE＝2CD；
BE 2 AD
（3）如图2，若 = ，直接写出 的值．
CE 3 CD针对练习1
1．（2021秋•东丽区校级月考）如图，△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，A（0，3），C（1，0），则点B
的坐标为 ．
2．如图，△ACB为等腰直角三角形，A（﹣1，0），C（1，3），AC⊥BC，求B点坐标．
3．（2021秋•邗江区月考）在平面直角坐标系中，三角形ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，BC交x轴于
点D．
（1）若A（﹣8，0），C（0，6），直接写出点B的坐标 ；
（2）如图2，△OAB与△ACD均为等腰直角三角形，连OD，求∠AOD的度数；
（3）如图3，若AD平分∠BAC，A（﹣8，0），D（m，0），B的纵坐标为n，求2n+m的值．类型二 等边三角形中的“一线三等角”
例3（2021•路南区）如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝
60°．
（1）若∠1＝50°，求∠2；
（2）连接DF，若DF∥BC，求证：∠1＝∠3．
针对练习2
4．（2021•道外区一模）如图，△ABC是等边三角形，D、E分别在BC、AC上，AD、BE相交于F，且
∠AFE＝60°．
求证：AD＝BE．
类型三 等腰直角三角形中的“一线三等角”
例4（2021•沙坪坝区校级开学）如图，等腰Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E分别在边AB、
CB上，CD＝DE，∠CDB＝∠DEC，过点C△作CF⊥DE于点F，交AB于点G．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求证：△CDG为等腰三角形．针对练习3
5．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝3，BC＝5，过点A作AE⊥AB，且AE＝AB，
连接DE，求△ADE的面积．
6．（2021秋•洪山区期中）已知四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝2∠C＝2α，点E在AD上，
点F在DC上．
（1）如图1，若α＝45°，∠BDC的度数为 ；
（2）如图2，当α＝45°，∠BEF＝90°时，求证：EB＝EF；
（3）如图3，若α＝30°，则当∠BEF＝ 时，使得EB＝EF成立？（请直接写出结果）7．（2021秋•中原区校级期中）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A
作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，易证明△BEC≌△CDA，我们将这个模型称为“一线三
直角”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题：
（1）如图2，将一块等腰直角三角板ACB放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在y
轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A的坐标为（0，2），点C的坐标为（﹣
1，0），则点B的坐标为 ；
（2）如图3，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB与y轴交于点D，点C的坐标为（0，
﹣1），点A的坐标为（2，0），求点B的坐标．
（3）如图4，∠ACB＝90°，AC＝BC，当点C在x轴正半轴上运动，点A（0，a）在y轴的正半轴上运
动，点B（m，n）在第四象限时，请直接写出a、m、n之间的数量关系．第二部分 专题提优训练
1．（2022•南召县模拟）已知正方形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示M为边OB上一点，且点
M的坐标为（a，b）．将正方形OBCD绕原点O顺时针旋转，每秒旋转45°，则旋转2022秒后，点M
的坐标为（ ）
A．（b，a） B．（﹣a，b） C．（﹣b，a） D．（﹣a，﹣b）
2．（2021秋•九龙坡区校级期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、
E，AD＝7cm，BE＝3cm，则DE的长是（ ）
A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm
3．（2021秋•岑溪市期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点B在直线l上，
过A作AD⊥l于D，过C作CE⊥l于E．下列给出四个结论：①BD＝CE；②∠BAD与∠BCE互余；
③AD+CE＝DE．其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．（2021秋•合肥期末）如图，E为线段BC上一点，∠ABE＝∠AED＝∠ECD＝90°，AE＝ED，BC＝
20，AB＝8，则BE的长度为（ ）A．12 B．10 C．8 D．6
5．（2022春•海曙区期末）如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点
E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若BC＝12，则AB的长为 ．
6．（2021秋•北仑区期末）如图，等边三角形ABC中，放置等边三角形DEF，且点D，E分别落在AB，
BC上，AD＝5，连结CF，若CF平分∠ACB，则BE的长度为 ．
7．（2021秋•大连期末）如图，△ACB在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，O是AC的中点，
点A的坐标是（1，2），则点B的坐标为 ．
8．（2021秋•房山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，且BF
＝CD，BD＝CE，∠FDE＝α，则∠A的度数是 度．（用含α的代数式表示）9．（2021秋•蜀山区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别为边AC、BC上的点，且AD＝DE，AB＝
BE，∠A＝70°，则∠CED＝ 度．
10．（2022春•金牛区校级期中）在学习完“探索全等三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全
等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“U”字形框架 PABQ，其中AB＝
42cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，点
M，N运动的速度之比为3：4，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线AP上取点C，使△ACM
与△BMN全等，则线段AC的长为 cm．
11．（2021秋•海丰县期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）试探究线段AD，DE，BE之间有什么样的数量关系，请说明理由．12．（2021秋•东至县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA
＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的长．
13．（2021秋•南丹县期末）如图1，∠ABC＝90°，FA⊥AB于点A，D是线段AB上的点，AD＝BC，AF＝
BD．
（1）判断DF与DC的数量关系为 ，位置关系为 ．
（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，过点A在AB的另一侧作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接
DC，DF，CF，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．14．（2017秋•如皋市校级期中）如图所示：△ABC是等腰直角三角形，BC＝AC，直角顶点C在x轴上，
一锐角顶点B在y轴上
（1）如图1所示，若C的坐标是（2，0），点A的坐标是（﹣2，﹣2），求：点B的坐标；
（2）如图2，若y轴恰好平分∠ABC，AC与y轴交于点D，过点A作AE⊥y轴于E，问BD与AE有怎
样的数量关系，并说明理由；
（3）如图3角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作AF⊥y轴于F，在滑动的过程
CO−AF CO+AF
中，两个结论① 为定值；② 为定值，只有一个结论成立，请你判断正确的结论加以
OB OB
证明，并求出定值．
