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专题 07 相似三角形的基本模型（K 字型）
【模型说明】
“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的
“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的
另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．
1）一线三等角模型（同侧型）
（锐角型） （直角型） （钝角
型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED.
2）一线三等角模型（异侧型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC.
3）一线三等角模型（变异型）
图1 图2 图3
①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.
② 一 线 三 直 角 变 异 型 1 ： 条 件 ： 如 图 2 ， ∠ ABD=∠AFE=∠BDE=90°. 结 论 ：
△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
③ 一 线 三 直 角 变 异 型 2 ： 条 件 ： 如 图 3 ， ∠ ABD=∠ACE=∠BDE=90°. 结 论 ：
△ABM∽△NDE∽△NCM.【例题精讲】
例1．（基本模型）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点
A、B重合）， ．易证 ．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），
．若 ， ， ，求AP的长．
【拓展】如图③，在 中， ， ，点P在边AB上（点P不与点A、
B重合），连结CP，作 ，PE与边BC交于点E，当 是等腰三角形时，
直接写出AP的长．
例2．（培优综合1）如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt BEF的顶点E在边CD
△
或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝ BE，DF＝ ，则BE＝ ．
例3．（培优综合2）已知△ABC和△DCE中，AB＝AC，DC＝DE，BF＝EF，点B，C，E都在同一直线上，且△ABC和△DCE在该直线同侧．
（1）如图①，若∠BAC＝∠CDE＝90°，请猜想线段AF与DF之间的数量关系和位置关系，
并证明你的猜想；
（2）如图②，若∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，请直接写出线段AF与DF之间的数量关系
和位置关系；
（3）如图③，若∠BAC＝α，∠CDE＝180°﹣α，且BC＞CE，请直接写出线段AF与DF之
间的数量关系和位置关系（用含α的式子表示）．
例4．（培优综合3）⑴如图1，点C在线段AB上，点D、E在直线AB同侧，∠A＝∠DCE
＝∠CBE，DC＝CE.求证：AC＝BE.
⑵如图2，点C在线段AB上，点D、E在直线AB同侧，∠A＝∠DCE＝∠CBE＝90°.
①求证： ；②连接BD，若∠ADC＝∠ABD，AC＝3，BC＝ ，求tan∠CDB的值；
⑶如图3，在△ABD中，点C在AB边上，且∠ADC＝∠ABD，点E在BD边上，连接CE，
∠BCE＋∠BAD＝180°，AC＝3，BC＝ ，CE＝ ，直接写出 的值.
例5．（与反比例函数综合）如图，在矩形 中， ， ，分别以 、所在直线为 轴和 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 是边 上的一个动点（不与
、 重合），过 点的反比例函数 的图象与 边交于点 ，将 沿
对折后， 点恰好落在 上的点 处，则 的值为 ．
例6．（与二次函数综合）如图，抛物线 过点 和点 ，其顶
点为点C，连接AB，点D在抛物线上A、C两点之间，过点D作 轴，垂足为点F，
DF与AB交于点E．
（1）求此拋物线的解析式．
（2）连接AD、BD，设 的面积为S，点D的横坐标为m，求S关于m的函数关系式
并求出S的最大值．
（3）点M在坐标轴上，试探究平面内是否存在点N，使点A、B、M、N为顶点的四边形
是矩形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
课后训练1．如图，在反比例函数 的图象上有一动点 ，连接 并延长交图象的另一支于点 ，
在第二象限内有一点 ，满足 ，当点 运动时，点 始终在函数 的图象上
运动，若 ，则 的值为（ ）
A．－6 B．－12 C．－18 D．－24
2．如图，在矩形 中， ， ， 、 、 、 分别为矩形边上的点，
过矩形的中心 ，且 ． 为 的中点， 为 的中点，则四边形 的
周长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在 中， ，点 在 上，连接 ， ， ，
，则线段 ．
4．如图， 是直角三角形， ， ，点A在反比例函数 的图象
上．若点B在反比例函数 的图象上，则k的值为5．如图，已知D是等边 边AB上的一点，现将 折叠，使点C与D重合，折痕
为EF，点E、F分别在AC和BC上．如果 ，则 的值为 ．
6．已知在 中， ， ， ， 为 边上的一点．过点 作
射线 ，分别交边 、 于点 、 ．
（1）当 为 的中点，且 、 时，如图1， _______：
（2）若 为 的中点，将 绕点 旋转到图2位置时， _______；
（3）若改变点 到图3的位置，且 时，求 的值．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．
（1）探究发现：
如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则 ＝ ；
（2）数学思考：
①如图2，若点E在线段AC上，则 ＝ （用含m，n的代数式表示）；
②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；
（3）拓展应用：若AC＝ ，BC＝2 ，DF＝4 ，请直接写出CE的长．
8．等边 ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P
上，使三角板绕P点旋转．
△
(1)如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断 EPF的形状；
(2)在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求 EGB的面积；
△
(3)在三角板旋转过程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如图3，求PE的长．
△
9．（1）问题
如图1，在四边形 中，点P为 上一点，当 时，求证：．
（2）探究
若将 角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在 中， ， ，以点A为直角顶点作等腰 ．点D
在 上，点E在 上，点F在 上，且 ，若 ，求 的长．
10．（1）问题发现：如图1， ，将边 绕点C顺时针旋转 得到线段 ，在
射线 上取点D，使得 ．请求出线段 与 的数量关系；
（2）类比探究：如图2，若 ，作 ，且 ，其他条件不变，则
线段 与 的数量关系是否发生变化?如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证
明；
（3）拓展延伸：如图3，正方形 的边长为6，点E是边 上一点，且 ，把
线段 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，直接写出线段 的长．
11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=- 交x轴于A、B两点，点C在抛物线上，且点C的横坐标为-1，连接BC交y轴于点D．
(1)如图1，求点D的坐标；
(2)如图2，点P在第二象限内抛物线上，过点P作PG⊥x轴于G，点E在线段PG上，连接
AE，过点E作EF⊥AE交线段DB于F，若EF=AE，设点P的横坐标为t，线段PE的长为
d，求d与t的函数关系式；
(3)如图3，在（2）的条件下，点H在线段OB上，连接CE、EH，若∠CEF=∠AEH，EH-
CE= ，求点P的坐标．
12．如图，矩形ABCD中，E为AD边上一点（不与点A、D重合），EF⊥BE交CD于点
F．（1）求证：EA·ED＝AB·DF；
（2）若BE平分∠ABD，点G为BC中点，AG交BE于点K，H为AB边上一点，∠BEH＝
45°，BD交EF于点J，当 ＝ 时，求 ；
（3）若AB＝BC，点K为线段BE的三等分点（BK＜EK），点J为射线EF上一点，且EK
＝EJ，当 ＝_________时（直接写结果），tan∠DJE＝ ．
