文档内容
专题 12.11 三角形全等几何模型（一线三等角）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】一线三直角模型
1.基本图形
题型特征：如图1，在直线BC上出现三个直角，如图中∠B=∠ACE=∠D=90°
图1 图2 图3
解题方法：只要题目再出现一组等边（AB=CD 或 BC=DE 或 CA=CE），可证△ABE≌△ECD
（AAS或ASA）
结论延伸1：如图2，两个直角三角形在直线两侧时，同样成立
结论延伸2：图1中连接AE，得到如图3，可得以下结论：
（1）四边形ABDE为直角梯形；AB+DE=BC（上底+下底=高）
【知识点二】一线三等角模型图4 图5
题型特征：如图4，图形的某条线段上出现三个相等的角，如图中∠B=∠ACE=∠D
解题方法：只要题目再出现一组等边（BA=CD或BC=DA或CA=DC），必证△ABC≌△CDE（AAS或ASA）
结论延伸：如图5，两个三角形在直线两侧时，同样成立
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】直接用“一线三直角”模型求值或证明
【例1】（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在 中， ， ，直线 经过
点 ，且 ， ，垂足分别为 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求四边形 的面积．
【变式1】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，小虎用 块高度都是 的相同长方体小木块，
垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（ ， ），
点C在 上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离 的长度为（ ）
A． B． C． D．【变式2】（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，在 中， ， ，点
为 上一点，连接 ．过点 作 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ．若
， ，则 的长度为 ．
【题型2】直接用“一线三等角”模型求值或证明
【例2】（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）已知 是直角三角形， ，直线l经
过点 A，分别过点 B、C向直线l作垂线，垂足分别为D、E
（1）如图a，当点 B、C 位于直线l的同侧时，证明：
（2）如图b，锐角 中， ，直线l经过点A，点 D、E 分别在直线l上，点B，C位于l的
同一侧，如果 ，请找到图中的全等三角形，并写出线段 和 之间的数
量关系
【变式1】（21-22八年级上·浙江温州·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的
中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（ ）
A．3 B．2 C． D．
【变式2】（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，在 中， ， ，点D在边
上，且 ，点E、F在线段 上． ， 的面积为18，则 与的面积之和 ．
【题型3】构造“一线三直角”模型求值或证明
【例3】（23-24八年级上·山西吕梁·期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探
究有关线段之间的关系
问题情境：
如图1，三角形纸片 中， ， .将点C放在直线 上，点A，B位于直线 的同侧，
过点A作 于点D
初步探究：
（1）在图1的直线 上取点E，使 ，得到图2，猜想线段 与 的数量关系，并说明理由；
（2）小颖又拿了一张三角形纸片 继续进行拼图操作，其中 ， .小颖在图1的
基础上，将三角形纸片 的顶点P放在直线 上，点M与点B重合，过点N作 于点H.如图3，
探究线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由
【变式1】（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图， 则 的
面积为（ ）A．9 B．6 C． D．
【变式2】（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在 中， ，过点 作
，且 ，连接 ，若 ，则 的长为 ．
【题型4】“一线三直（等）角”模型的延伸与拓展
【例4】如图，A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（-3.0），D为x轴上的一个动点，AE⊥AD，且
AE=AD，连接BE交y轴于点M
（1）若D点的坐标为（-5.0），求E点的坐标:
（2）求证:M为BE的中点
（3）当D点在x轴上运动时，探索: 为定值
【变式1】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀
算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三
个正方形放置在大长方形 中，则该长方形中空白部分的面积为（ ）A．54 B．60 C．100 D．110
【变式2】已知：四边形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=90°，三角形ABC的面积为1，则线段AC的长度
是 .
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2021·四川南充·中考真题）如图， ，AD是 内部一条射线，若 ，
于点E， 于点F．求证： ．
【例2】（2023·重庆·中考真题）如图，在 中， ， ，点D为 上一点，
连接 ．过点B作 于点E，过点C作 交 的延长线于点F．若 ， ，则
的长度为 ．2、拓展延伸
【例1】（22-23八年级下·河南洛阳·期中）综合与实践
数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究．
（1）操作发现：如图甲，在 中， ，且 ，直线l经过点A．小华分别过B、
C两点作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．易证 ，此时，线段 、 、 的数量
关系为： ；
（2）拓展应用：
如图乙， 为等腰直角三角形， ，已知点C的坐标为 ，点B的坐标为 ．请利
用小华的发现直接写出点A的坐标： ；
（3）迁移探究：
①如图丙，小华又作了一个等腰 ， ，且 ，她在直线l上取两点D、E，使得
，请你帮助小华判断（1）中线段 、 、 的数量关系是否变化，若不变，
请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由；
②如图丁， 中， ， ，点D、E在直线 上，且 ，请直
接写出线段 、 、 的数量关系．【例2】（22-23八年级上·广东惠州·期中）如图1， ，垂足分
别为D，E．
（1）若 ，求 的长．
（2）在其它条件不变的前提下，将 所在直线变换到 的外部（如图2），请你猜想
三者之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，将（1）中的条件改为：在中，，D，C，E三点在同一条直线上，并且有，其中α为任意钝
角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
