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专题04 二次函数中线段、周长、面积最值问题
常考题型·精准突破
题型1 二次函数中求线段最值的问题（重）
题型2 利用二次函数求线段和最值的问题（高频）
题型3 利用二次函数求线段差最值的问题（难）
题型4 利用二次函数求周长最值的问题（难）
题型5 利用二次函数求面积最值的问题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 二次函数中求线段最值的问题
1．（2026·江苏苏州·二模）已知二次函数经过点
(
)
1,0
A −
，(
)
3,0
B
，点
(
)
0,3
C
，横坐标分别为
1
m−，m ，
1
m+
的三点D、E、F 在这条抛物线图像上，连接点D 和点F 的抛物线“片段”始终经过点C ．
(1)该二次函数解析式为__________；
(2)求m 的范围，并求线段DF 的最小值；
(3)求DEF
的面积．
2．（2026·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数
2
(
0)
y
ax
bx a
=
+
与正比例函数y
kx
=
的
图象都经过点
(
)
2, 2
P
−
，点A 为二次函数图象上点O 与点P 之间的一点，过点A 作x 轴的垂线，交OP 于点
M，交x 轴于点N．
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(1)若点P 为该二次函数图象的顶点．
①求二次函数的表达式；
②求线段AM 长度的最大值．
(2)若该二次函数的图象与x 轴的另一个交点为(
)
,0
B m
，且
5
m
，请直接写出a 的取值范围．
3．（2026·河南驻马店·模拟预测）如图，抛物线
2
y
ax
bx
=
+
经过(
)
(
)
3,0 ,
1, 4
A
B
−
−
两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P 是直线AB 上方抛物线上的一个动点，作PQ
y
轴交直线AB 于点Q ，求线段PQ 的最大值；
(3)连接OB ，将线段OB 沿着射线BA向上平移，设平移过程中点B 的横坐标为t ，若线段OB 与抛物线无交
点，请直接写出t 的取值范围．
◆题型2 利用二次函数求线段和最值的问题
4．（25-26 九年级上·江苏扬州·期末）如图，直线
1
3
y
x−
=
与抛物线
2
2y
x
bx
c
=
+
+ 交于A、B 两点，抛物线
2y
与x 轴的另一个交点为C．
(1)求抛物线
2y 的函数解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PB
PC
+
的值最小．若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请
说明理由．
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5．（25-26 九年级下·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
(
)(
)
1
4
3
y
x
m
x
= −
+
−
与x 轴交于
(
)
2,0
A −
，B 两点，点C 在y 轴的负半轴上，且
3
OC =
，D 是线段BC 上的动点（点D 不与点B，C 重合）．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，将ACD
沿x 轴翻折得到
AFE
△
，当点E 恰在抛物线上时，求点D 的坐标；
(3)如图2，G 是线段AB 上的动点，连接CG ，当CD
BG
=
时，求AD CG
+
的最小值．
6．（2026·甘肃天水·模拟预测）已知抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
−交x 轴于点
(
)
1,0
A −
，B；交y 轴于点C，将点C
向右平移2 个单位长度，得到点D，点D 在抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
−上，点E 为抛物线顶点．
(1)求抛物线的函数表达式及顶点E 的坐标；
(2)连接BC ，点M 为线段BC 上一动点，连接OM ，作射线CD．
①在射线CD上取一点F，使CF
CO
=
，连接FM ．当OM
FM
+
的值最小时，求点M 的坐标．
②点N 是射线CD上一动点，且满足CN
CM
=
，连接OM
BN
、
，求OM
BN
+
的最小值．
◆题型3 利用二次函数求线段差最值的问题
7．（2026·河南周口·模拟预测）已知抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 经过
(
)
1,0
A −
和
(
)
4,0
B
两点，其顶点为D．
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(1)如图，当
8
c = 时，求抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的解析式．
(2)点E 在y 轴正半轴上，且到原点的距离为2，当BD
ED
−
最大时，求点D 的坐标．
8．（2026·江苏宿迁·二模）抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 经过点A、B 、C ，已知(
)
3,0
B
，
(
)
0, 3
C
−
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点D是抛物线对称轴上一动点，求当AD
CD
−
取最大值时，点D 的坐标；
(3)如图2，将抛物线平移，使其顶点E 与原点O重合，直线
1(
0)
y
kx
k
=
+
与抛物线相交于点P 、Q（点P
在左边），过点P 作x 轴平行线交抛物线于点R ，当k 发生改变时，请说明直线QR 过定点，并求定点坐标．
9．（2026·湖北襄阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 的图象经过(
)
(
)
0,3 ,
6,3
A
B
两点，点
P 为第一象限抛物线上不与点B 重合的一动点，作PD
x
⊥
轴于点D，交直线OB 于点C，设点P 的横坐标为
m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，当点C 为PD中点时，求m 的值；
(3)令d
PC
CD
=
−
．
①求d 关于m 的函数解析式；
②当d 随m 的增大而减小时，请直接写出m 的取值范围．
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◆题型4 利用二次函数求周长最值的问题
10．（2026·河南周口·二模）如图，已知抛物线
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
与y 轴交于点
(0,3)
C
，与x 轴交于点
(1,0), (3,0)
A
B
．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)求抛物线的顶点D 的坐标，并通过计算判断BCD
的形状．
(3)嘉嘉发现：在抛物线的对称轴上存在一点M，使得ACM
的周长最小．求出点M 的坐标及最小周长．
11．（25-26 九年级上·安徽宿州·期末）如图，二次函数
2
4
y
ax
bx
=
+
+
的图象与x 轴交于点
,
A B ，与y 轴交
于点C ，且图象经过点(
)
1,6
−
，(
)
2, 6
−
，连接AC．
(1)求,a b 的值．
(2)点D 是x 轴上一动点，过点D 作DM
y
∥
轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点E，设点D 的横坐标为m ．
①当点D 在线段AO（点D 不与点
,
A O 重合）上运动时，过点E 作EF
AC
⊥
，垂足为F，求MEF
周长的
最大值及此时点E 的坐标．
②当
3
ME 时，直接写出m 的取值范围．
12．（2026·河南周口·二模）如图，已知抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象与x 轴的一个交点为(
)
5,0
B
，另一个交
点为A，且与y 轴交于点
(
)
0,5
C
，对称轴为直线
3
x = ．
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(1)求直线BC 与抛物线的解析式；
(2)在（1）中的抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得QAC
的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不
存在，请说明理由；
(3)若点M 是抛物线在x 轴下方图象上的一动点，过点M 作MN
y
轴交直线BC 于点N ，求MN 的最大值．
◆题型5 利用二次函数求面积最值的问题
13．（25-26 八年级下·福建福州·阶段检测）如图，抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 与x 轴交于
(
)
1,0
A
，(
)
3,0
B −
两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得
QAC
△
的周长最小？若存
在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使
PBC
△
的面积最大？若存在，求出点P 的坐标和
PBC
△
面积的最大值．若不存在，请说明理由．
14．（25-26 九年级上·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线
4
y
x
−
=
+
与x 轴交于B 点，与y
轴交于C 点，抛物线
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
经过点A，B，C（点B 在点A 右侧），已知点A 坐标为( 1,0)
−
．
(1)求抛物线的表达式；
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(2)如图2，点P 是直线BC 上方抛物线上一动点，求出BCP
的面积的最大值？
(3)在（2）中当BCP
的面积的最大值时，G 为y 轴上一动点，求出此时|
|
PG
AG
−
的最大值
15．
（2026·河南周口·一模）如图1，已知抛物线
(
)
2
3
0
y
ax
bx
a
=
+
+
与x 轴交于
,
A B 两点，与y 轴交于点C ，
直线
1
2
y
x
b
=
+
与抛物线交于
,
A D 两点（点A在点D 的左下方），其中点B 的坐标为(
)
6,0 ．
(1)求该抛物线的表达式．
(2)直线l 为抛物线的对称轴．
①在直线l 上找到一点P ，使得PBD
的周长最小，求出P 点的坐标；
②如图2，E 是抛物线上的动点（在线段AD上方），求四边形ABDE 面积的最大值．
综合攻坚·知能拔高
1．（25-26 九年级上·山东日照·期末）如图，抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，
其中点A，点C 坐标分别为
(
)
3,0
A −
、
(
)
0, 3
C
−
，连接AC ．
(1)求此抛物线的解析式．
(2)在AC 下方的抛物线上有一点N，过点N 作ND
y
∥
轴，交AC 于点M，交x 轴于点D，当点N 的坐标为
多少时，线段MN 的长度最大？最大值是多少？
2．（25-26 九年级上·贵州黔东南·期末）如图，直线
1
3
y
kx
=
−与抛物线
2
2y
x
bx
c
=
+
+ 交于
(
)
3,0
A
、B 两点，
抛物线
2
2y
x
bx
c
=
+
+ 与x 轴的另一个交点为C．
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(1)求直线和抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得PB
PC
+
的值最小，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，
请说明理由．
3．
（25-26 九年级上·河南商丘·期末）如图，抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 与x 轴相交于A，B 两点，与y 轴交于点C ，
其中点A的坐标为(
)
3,0
−
，且点(
)
2,5 在抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线向左平移(
)
0
a a
个单位，然后向下平移2a 个单位，恰好经过点(
)
1,8 ，则a 的值为 ；
(3)设点Q 是线段AC 上的动点，作直线QD
x
⊥
轴于点D ，交抛物线于点E ，求线段QE 长度的最大值．
4．（25-26 九年级上·四川广安·期末）如图，某二次函数的图象交坐标轴于
(
)
1,0
A −
、
(
)
4,0
B
、
(
)
0, 4
C
−
三
点，点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求点P 的坐标，使
PBC
△
面积最大，最大面积是多少？
(3)直接写出对称轴上点M 的坐标，使
MAC
△
的周长最小．
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5．（25-26 九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
2
1
2
y
x
bx
c
=
+
+ 与坐标轴交于
(
)
0, 2
A
−
，
(
)
4,0
B −
两点，直线
2
8
=
+
BC
y
x
：
交y 轴于点C ．
(1)求抛物线
2
1
2
y
x
bx
c
=
+
+ 的表达式；
(2)若
(
)
0,3
D
，第二象限内有一动点P ，满足
1
−
=
PC
PD
，求
PDB
△
周长的最小值；
(3)抛物线上有一个动点M ，记
BCM
△
的面积为S，若点M 符合条件的位置有且只有3 个，求S的值．
6．（25-26 九年级上·河南商丘·阶段检测）如图，抛物线
2
1
2
y
x
bx
c
=
+
+ 与x 轴交于(
)
2,0
A −
，B 两点，与y
轴交于点
(
)
0, 4
C
−
．
(1)求抛物线
2
1
2
y
x
bx
c
=
+
+ 的表达式；
(2)如图1，点P 为第四象限内抛物线上一动点，连接CP ，BP，BC ，当
2
BPC
S
=
时，求点P 的坐标；
(3)如图2，连接AC ，M，N 是线段AC 上的两个动点，且AM
CN
=
，连接OM ，ON ，求OM
ON
+
的最小
值．
7．（25-26 九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）如图，已知抛物线
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的对称轴为直线
1
x = −，且抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，其中
(
)
1,0
A
，
(
)
0,3
C
．
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(1)求直线BC 和抛物线的解析式；
(2)在直线BC 上方抛物线上找一点 Q，使三角形BQC 面积最大，求面积最大时 Q 的坐标及最大面积；
(3)在抛物线的对称轴
1
x = −上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，在对称轴上
找一点 N，使AN
CN
−
最大．写出点 M、点 N 的坐标；
8．（25-26 九年级上·广东广州·阶段检测）如图①，已知抛物线
(
)
2
3
0
y
ax
bx
a
=
+
+
与x 轴交于
(
)
1,0
A −
，
(
)
3,0
B
两点，与y 轴交于点C ．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点D 是抛物线上第一象限内的一个动点，连接AD，交BC 于点E ．设
BED
ACE
S
S
S
=
−
△
△
，S是否存在
最大值？如果存在求出此时点D 的坐标并求出此时S的最大值，否则请说明理由；
(3)已知点
15
1, 4
M
，若点P 是抛物线上任意一点，分别连接OM 、OP 、PM ，则OPM
的周长有最小值
吗？如果有请求出最小值，若没有，请说明理由．
