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1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题03 实数计算综合 （题型突破·举一反三） 题型01 利用定义解方程 题型02 二次根式的加减 题型03 二次根式的乘除 题型04 二次根式计算的应用 ▌题型01 利用定义解方程 目前我们学习过一元一次方程的解法，但是对于高次方程，还没有涉及。目前我们学习了平方根和立方根的 知识，可以利用其定义求解简单的二次方程和三次方程。 原理：①若𝑥2 = 𝑎，则𝑥= ±√𝑎；②若𝑥3 = 𝑎，则𝑥= √𝑎 3 【典例1】求下列各式中𝑥的值． (1)169𝑥2 = 100； (2)(𝑥+ 1)2 = 81； (3)9𝑥2 = 25； (4)4(𝑥−2)2 = 9． 【答案】(1)𝑥1 = 10 13 ，𝑥2 = − 10 13 ， (2)𝑥= 8或𝑥= −10 (3)𝑥1 = 5 3 ，𝑥2 = − 5 3 ， (4)𝑥= 7 2或𝑥= 1 2 【分析】本题考查了平方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先系数化1，再开平方根，即可作答． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）开平方根，然后再移项运算，即可作答． （3）先系数化1，再开平方根，即可作答． （4）先系数化1，再开平方根，移项运算，即可作答． 【详解】（1）解：169𝑥2 = 100 𝑥2 = 100 169 解得𝑥1 = 10 13 ，𝑥2 = − 10 13 ， （2）解：(𝑥+ 1)2 = 81 𝑥+ 1 = ±√81 = ±9 解得𝑥= 8或𝑥= −10； （3）解：9𝑥2 = 25 𝑥2 = 25 9 解得𝑥1 = 5 3 ，𝑥2 = − 5 3 ， （4）解：4(𝑥−2)2 = 9 (𝑥−2)2 = 9 4 𝑥−2 = ±√9 4 = ± 3 2 解得𝑥= 7 2或𝑥= 1 2． 【变式1-1】解方程： (1)(3𝑥−1)2 = 4 (2)3(𝑥+ 1)3 + 81 = 0 【答案】(1)𝑥= 1或𝑥= − 1 3； (2)𝑥= −4 【分析】（1）方程两边直接开平方，得到两个一元一次方程，解一元一次方程即可； （2）将方程变形为(𝑥+ 1)3 = −27，然后利用立方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：(3𝑥−1)2 = 4 开平方得，3𝑥−1 = ±2， 即3𝑥−1 = 2或3𝑥−1 = −2， 解得𝑥= 1或𝑥= − 1 3； （2）解：3(𝑥+ 1)3 + 81 = 0 3 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 移项得，3(𝑥+ 1)3 = −81， 方程两边同除以3，得(𝑥+ 1)3 = −27， ∴𝑥+ 1 = −3， 解得𝑥= −4． 【变式1-2】解方程．(𝑥−1)2 = 9． 【答案】𝑥= 4或−2． 【分析】本题考查实数的运算及平方根，熟练掌握相关定义及运算法则是解题的关键，利用平方根的定义解 方程即可． 【详解】解：(𝑥−1)2 = 9， 开方得：𝑥−1 = ±3， 解得：𝑥= 4或−2． 【变式1-3】解方程∶ (𝑥−3)3 = − 1 8； 【答案】𝑥= 5 2 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，算术平方根的定义，立方根的定义，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：(𝑥−3)3 = − 1 8 则𝑥−3 = √− 1 8 3 𝑥−3 = −1 2 解得：𝑥= 5 2； 【变式1-4】解方程： (1)(𝑥+ 1)2 = 4； (2)8(2𝑥−1)3 = −27． 【答案】(1)𝑥1 = 1, 𝑥2 = −3 (2)𝑥= − 1 4 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、幂的运算、平方根、立方根的应用等知识点，灵活运用相关运算 法则成为解题的关键． （1）先根据平方根求出𝑥+ 1，进而完成解答； （2）先根据平方根求出2𝑥−1，进而完成解答． 【详解】（1）解：(𝑥+ 1)2 = 4， 4 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 𝑥+ 1 = ±2， 𝑥1 = 1,𝑥2 = −3． （2）解：8(2𝑥−1)3 = −27， (2𝑥−1)3 = −27 8 ， 2𝑥−1 = −3 2 𝑥= − 1 4． 【变式1-5】解方程： （1）9𝑥2 −4 = 0； （2）2(𝑥+ 1)3 + 16 = 0． 【答案】 （1）± 2 3，（2）𝑥= −3 【分析】（1）式子整理后，利用平方根的定义求解即可； （2）式子整理后，利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1） 9𝑥2 −4 = 0， 9𝑥2 = 4， 𝑥2 = 4 9， 𝑥= ±√ 4 9 = ± 2 3； （2）2(𝑥+ 1)3 + 16 = 0， 2(𝑥+ 1)3 = −16， (𝑥+ 1)3 = −8， 𝑥+ 1 = −2， 𝑥= −3． ▌题型02 二次根式的乘除 1.二次根式乘法法则 二次根式的乘法法则: ( ) 0 b 0 a ab b a = ， 【注意】 ①要注意a≥0，b≥0 这个条件，只有a，b 都是非负数时法则成立； 5 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ② ( ) 0 d 0 c 0 b 0 a abcd d c b a = ， ， ， 同样成立； ③乘法交换律在二次根式中仍然适用。 法则变形（积的算术平方根）：√𝑎𝑏=√𝑎× √𝑏（a≥0，b≥0） 2.二次根式除法法则 二次根式的除法法则：√𝑎 √𝑏= √𝑎 𝑏（a≥0，b＞0） 【注意】 ①要注意a≥0，b＞0 这个条件，因为b=0 时，分母为0，没有意义。 ②在实际解题时，若不考虑a、b 的正负性，直接得√𝑎 𝑏= √𝑎 √𝑏 是错误的。 二次根式的除法法则变形（商的算术平方根）： √𝑎 𝑏= √𝑎 √𝑏（a≥0，b＞0） 【典例2】计算： (1)√8 × √18； (2)√1.2 × 102 × √3 × 105； (3)√2 × √5 × √10； (4) 1 4 √12 × 3√3． 【答案】(1)12 (2)6 000 (3)10 (4) 9 2 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的 关键． （1）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可； （2）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可； （3）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可； （4）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可； 【详解】（1）√8 × √18 = 2√2 × 3√2 = 12； （2）√1.2 × 102 × √3 × 105 = √36 × 106 = 6000； 6 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）√2 × √5 × √10 = √2 × 5 × 10 = 10； （4） 1 4 √12 × 3√3 = 3 4 √36 = 9 2． 【典例3】计算： (1)√50 √10． (2)√32 √2 ． (3) 2 √2． (4) √1.6×104 √0.4×102． 【答案】(1)√5 (2)4 (3)√2 (4)20 【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （2）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （3）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （4）根据二次根式的除法运算法则计算即可． 【详解】（1）√50 √10 = √50 10 = √5； （2）√32 √2 = √32 2 = √16 = 4； （3） 2 √2 = √2 × √2 √2 = √2； （4） √1.6×104 √0.4×102 7 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 = √1.6 × 104 0.4 × 102 = √1.6 × 102 0.4 = √4 × 102 = √400 = 20． 【变式2-1】计算： (1)√2 × √6； (2)(2 −√2)(3 + 2√2)． 【答案】(1)2√3 (2)2 + √2 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算： （1）根据二次根式乘法计算法则求解即可； （2）根据二次根式乘法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：√2 × √6 = √12 = 2√3； （2）解：(2 −√2)(3 + 2√2) = 6 −3√2 + 4√2 −4 = 2 + √2． 【变式2-2】计算： (1)(2 −√2)(3 + 2√2)； (2)(√2 + √3 −√5)(√2 −√3 + √5)． 【答案】(1)2 + √2 (2)−6 + 2√15 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算． （1）按照二次根式的乘法运算法则计算即可． 8 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）利用平方差公式进行运算即可． 【详解】（1）解：(2 −√2)(3 + 2√2) = 6 + 4√2 −3√2 −4 = 2 + √2 （2）(√2 + √3 −√5)(√2 −√3 + √5) = (√2 + √3 −√5)[√2 −(√3 −√5)] = (√2) 2 −(√3 −√5) 2 = 2 −(3 −2√15 + 5) = 2 −3 + 2√15 −5 = −6 + 2√15 【变式2-3】计算 (1)√18 √3 . (2)√32 √8 . (3)√3 1 5 ÷ √1 3 5. (4) 3√𝑎𝑏3 2√𝑎𝑏2. 【答案】(1)√6；(2)2；(3)√2；(4) 3 2 √𝑏 【分析】（1）根据公式√𝑎 √𝑏= √ 𝑎 𝑏(𝑎≥0, 𝑏≻𝑜) 计算即可. （2）根据公式√𝑎 √𝑏= √ 𝑎 𝑏(𝑎≥0, 𝑏≻𝑜) 计算即可. （3）根据公式√𝑎 √𝑏= √ 𝑎 𝑏(𝑎≥0, 𝑏≻𝑜) 计算即可. （4）根据公式√𝑎 √𝑏= √ 𝑎 𝑏(𝑎≥0, 𝑏≻𝑜) 计算即可. 【详解】（1）√18 √3 = √ 18 3 = √6 (2)√32 √8 = √ 32 8 = √4 = 2. (3)√3 1 5 ÷ √1 3 5 = √ 16 5 × 5 8 = √2 (4) 3√𝑎𝑏3 2√𝑎𝑏2 = 3 2 √𝑎𝑏3 𝑎𝑏2 = 3 2 √𝑏. 9 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式2-4】计算： (1) 1 3 √𝑥𝑦𝑧2 ⋅3√𝑥𝑦𝑧； (2) 3 2 √ 2 3 ÷ √ 3 2 ÷ 3√ 1 6； (3)5𝑎√ 3𝑎 𝑥⋅3𝑎𝑥√4𝑥3 5𝑎2； (4)√ 6 𝑥+𝑦÷ √ 12 𝑥−𝑦． 【答案】(1)𝑥𝑦𝑧√𝑧 (2)√6 3 (3)6𝑎𝑥2√15𝑎 (4) √2𝑥2−2𝑦2 2𝑥2−2𝑦2 【分析】（1）根据二次乘法法则计算即可； （2）根据二次除法法则计算即可； （3）根据二次乘法法则计算即可； （4）根据二次除法法则计算即可． 【详解】（1）解： 1 3 √𝑥𝑦𝑧2 ⋅3√𝑥𝑦𝑧= 1 3 × 3√𝑥𝑦𝑧2 ⋅𝑥𝑦𝑧= √𝑥2𝑦2𝑧3 = 𝑥𝑦𝑧√𝑧 （2）解： 3 2 √ 2 3 ÷ √ 3 2 ÷ 3√ 1 6 = 3 2 ⋅ 1 3 √ 2 3 ÷ 3 2 ÷ 1 6 = 1 2 √ 2 3 × 2 3 × 6 = 1 2 × 2√6 3 = √6 3 （3）解：5𝑎√ 3𝑎 𝑥⋅3𝑎𝑥√4𝑥3 5𝑎2 = 5𝑎⋅3𝑎𝑥√3𝑎 𝑥⋅ 4𝑥3 5𝑎2 = 15𝑎2𝑥√12𝑥2 5𝑎= 15𝑎2𝑥⋅ 2𝑥 5𝑎√15𝑎= 6𝑎𝑥2√15𝑎 （4）解：√ 6 𝑥+𝑦÷ √ 12 𝑥−𝑦= √ 6 𝑥+𝑦⋅ 𝑥−𝑦 12 = √ 𝑥−𝑦 2(𝑥+𝑦) = √2𝑥2−2𝑦2 2𝑥+2𝑦 【变式2-5】计算： (1)√27 × √50 ÷ √6； (2)3√45 ÷ √ 1 5 × 2 3 √2 2 3； (3)3√ 2 3 × (− 1 8 √15) ÷ 1 2 √ 2 5； (4)8√𝑎2𝑏÷ 2√𝑎𝑏· √ 𝑎 𝑏(𝑎> 0, 𝑏> 0)． 【答案】(1)15 (2)20√6 (3)− 15 4 10 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (4) 4𝑎 𝑏√𝑏 【分析】本题考查了二次根式的混合运算 （1）根据二次根式乘除法法则计算即可； （2）根据二次根式乘除法法则计算即可； （3）根据二次根式乘除法法则计算即可； （4）根据二次根式乘除法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式= 3√3 × 5√2 ÷ √6 = 15√6 ÷ √6 = 15 （2）原式= 3 × 2 3 × √45 ÷ 1 5 × 8 3 = 2 × √600 = 20√6； （3）原式3 × (− 1 8) × 2√ 2 3 × 15 × 5 2 = − 3 4 × 5= − 15 4 ； （4）原式= 4√𝑎2𝑏 𝑎𝑏⋅ 𝑎 𝑏= 4√𝑎2 𝑏= 4𝑎 𝑏√𝑏． 【变式2-6】计算： 2 𝑏√𝑎𝑏5 ⋅(− 3 2 √𝑎3𝑏) ÷ (3√𝑏 𝑎 ) ( 𝑏> 0 )； 【答案】−𝑎2𝑏√𝑎𝑏 【分析】本题主要考查二次根式的乘除法，根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可 【详解】解：∵𝑏> 0 ∴𝑎> 0， ∴ 2 𝑏√𝑎𝑏5 ⋅(− 3 2 √𝑎3𝑏) ÷ (3√𝑏 𝑎 ) = 2 𝑏⋅(−3 2) × 1 3 √𝑎𝑏5 ⋅𝑎3𝑏⋅𝑎 𝑏 = −1 𝑏√𝑎5𝑏5 = −1 𝑏⋅𝑎2𝑏2√𝑎𝑏 = −𝑎2𝑏√𝑎𝑏 【变式2-7】计算： (1)3√3 1 2 × (1 8 √1 4 7) ÷ (1 4 √5 1 2)； (2) 2 𝑦√𝑥𝑦5 ⋅( 3 2 √𝑥2𝑦) ÷ (1 3 √ 𝑦 𝑥) (𝑥> 0, 𝑦> 0)． 【答案】(1) 3 2 11 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)9𝑥2𝑦√𝑦 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． （1）根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式性质和乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：3√3 1 2 × (1 8 √1 4 7) ÷ (1 4 √5 1 2) = 3√7 2 × 1 8 √11 7 × 4√2 11 = 3 × 1 8 × 4 × √7 2 × 11 7 × 2 11 = 3 2． （2）解： 2 𝑦√𝑥𝑦5 ⋅( 3 2 √𝑥2𝑦) ÷ (1 3 √ 𝑦 𝑥) = 2 𝑦× 3 2 √𝑥𝑦5 ⋅𝑥2𝑦÷ √𝑦 3√𝑥 = 2 𝑦× 3 2 √𝑥𝑦5 ⋅𝑥2𝑦⋅3√𝑥 √𝑦 = 2 𝑦× 3 2 × 3 × √𝑥𝑦5 ⋅𝑥2𝑦⋅𝑥 𝑦 = 2 𝑦× 3 2 × 3 × √𝑥4𝑦5 = 9 𝑦⋅𝑥2𝑦2√𝑦 = 9𝑥2𝑦√𝑦 【变式2-8】计算： (1)(2√5) 2； (2)√(− 2 3) 2 ； (3)√5 × √20； (4)√ 3 2 ÷ √ 1 18； (5) 3√2 √28； (6)√15 × √50 ÷ √6． 【答案】(1)20 12 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2) 2 3 (3)10 (4)3√3 (5) 3√14 14 (6)5√5 【分析】本题考查二次根式的乘法、除法、乘除混合运算，以及二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式相 关运算法则是解题的关键． （1）直接利用二次根式的性质化简计算得出答案； （2）直接化简二次根式进而计算得出答案； （3）直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案； （4）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案； （5）直接利用二次根式的化简计算得出答案； （6）直接利用二次根式的乘除混合运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：(2√5) 2 = 20； （2）解：√(− 2 3) 2 = 2 3； （3）解：√5 × √20 = √100 = 10； （4）解：√ 3 2 ÷ √ 1 18 = √ 3 2 × 18 = √27 = 3√3； （5）解： 3√2 √28 = 3√2 2√7 = 3√14 14 ； （6）解：√15 × √50 ÷ √6 = √15 × 50 × 1 6 = √5 × 25 = 5√5． 【变式2-9】下面是小明和大刚分别计算：√2 × √18，√27 √3 的做法． 小明的做法： 解：√2 × √18 = √2 × 18 = √36 = 6 √27 √3 = √ 27 3 = √9 = 3． 大刚的做法： 解：√2 × √18 13 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 = √2 × √2 × 9 = √2 × 3√2 = 6 √27 √3 = 3√3 √3 = 3． 两人的做法是否都正确?并选一个你认为合适的方法，计算下面的题目： (1)3√3 × √15； (2) √5 √45． 【答案】(1)两人的做法都正确；9√5 (2) 1 3 【分析】（1）（2）先判断正确性，再对照已知做法计算即可． 【详解】（1）解：两人的做法都正确， 3√3 × √15 = 3√3 × √3 × √5 = 9√5； （2）√5 √45 = √5 45 = √1 9 = 1 3 【变式2-10】请阅读下面材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个 数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：小聪：√4 × 25 = √100 = 10， √4 × √25 = 2 × 5 = 10，所以√4 × 25 = √4 × √25． 小明：(√4 × 25) 2 = 4 × 25 = 100，(√4 × √25) 2 = (2 × 5)2 = 100 这就说明√4 × 25和√4 × √25都是4 × 25的算术平方根，而4 × 25的算术平方根只有一个，所以√4 × 25 = √4 × √25． 任务： (1)猜想：当𝑎≥0，𝑏≥0时，√𝑎𝑏和√𝑎× √𝑏之间存在怎样的关系？并仿照小聪或小明的方法举出一个例子 进行说明； 14 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)运用以上结论，计算： ①√16 × 36； ②√49 × 121； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为√27，宽为√12，求这个长方形的面积． 【答案】(1)√𝑎𝑏= √𝑎× √𝑏；举例见解析 (2)①24；②77 (3)18 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的化简与运算是解题的关键． （1）由题意可得：√𝑎𝑏= √𝑎× √𝑏； （2）①根据√16 × 36 = √16 × √36，即可求解； ②根据√49 × 121 = √49 × √121，即可求解； （3）由长方形的面积可求𝑆= √27 × √12，再化简求值即可． 【详解】（1）解：√𝑎𝑏= √𝑎× √𝑏； 例如：√4 × 9 = √36 = 6，√4 × √9 = 2 × 3 = 6， ∴√4 × 9 = √4 × √9． （2）解：①√16 × 36 = √16 × √36 = 4 × 6 = 24； ②√49 × 121 = √49 × √121 = 7 × 11 = 77． （3）解：∵长方形的长为√27，宽为√12， ∴𝑆= √27 × √12 = √27 × 12 = 18， 答：这个长方形的面积为18． ▌题型03 二次根式的加减 1.最简二次根式 ①被开方数不含分母，例：√3 5、3 √5 ； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，例：√27 3 。 2.同类二次根式 同类二次根式是指至少两个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同则称为同类二次根式。 判断时需先将所有根式化简为最简形式，再比较被开方数是否一致。同类二次根式与同类项均具有合并特性， 15 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 合并法则均为保持根式（或字母）不变、系数相加减。但两者判断依据不同：前者仅取决于化简后被开方数 的同一性，而后者需字母及其指数均对应相同。 3.二次根式的加减 二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行 合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。 4.二次根式的混合运算 二次根式混合运算顺序：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减。 注意：运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式。 【典例4】计算：√20 −√45 + √5． 【答案】0 【分析】本题二次根式的加减，先利用二次根式的性质化简各数，再加减运算即可． 【详解】解：√20 −√45 + √5 = 2√5 −3√5 + √5 = 0． 【变式3-1】 3 2 √5 − 3 4 √5 + 1 3 √5 【答案】 13 12 √5 【分析】直接合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式= ( 3 2 − 3 4 + 1 3)√5 = ( 18 12 − 9 12 + 4 12)√5 = 13 12 √5 【变式3-2】（1）用“>”“<”或“=”填空：√1 √2，√2 √3． （2）由（1）可知： ①|1 −√2| = ， ②|√2 −√3| = ． （3）计算：|1 −√2|+|√2 −√3|+|√3 −√4|+ ⋯+|√2022 −√2023|． 【答案】（1）<，<（2）①√2 −1；②√3 −√2（3）−1 + √2023 【分析】本题考查了无理数的大小比较，绝对值的意义，以及二次根式的加减运算，熟练掌握各知识点是解 16 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 答本题的关键． （1）比较被开方数的大小即可； （2）根据绝对值的意义化简即可； （3）先化简绝对值，再合并同类二次根式； 【详解】解：（1）∵1 < 2，2 < 3， ∴√1<√2，√2<√3； 故答案为：<，<； （2）∵√1<√2，√2<√3， ∴1 −√2 < 0，√2 − √3 < 0， ∴①|1 −√2| = −(1 −√2) = √2 −1； ②|√2 −√3| = −(√2 −√3) = √3 −√2； 故答案为：√2 −1；②√3 −√2； （3）|1 −√2|+|√2 −√3|+|√3 −√4|+ ⋯+|√2022 −√2023| = √2 −1 + √3 −√2 + √4 −√3 + ⋯+ √2023 −√2022 = −1 + √2023 ． 【变式3-3】计算：2√3 + 3√12 −2√27． 【答案】2√3 【分析】本题主要考查了二次根式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式加减混合运算法则． 先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减混合运算法则进行计算即可． 【详解】2√3 + 3√12 −2√27 = 2√3 + 6√3 −6√3 = 2√3． 【变式3-4】若𝑥= √5 + 1，𝑦= √5 −1，求下列各式的值． (1)𝑥+ 𝑦； (2)(𝑥+ 𝑦)2 −(𝑥−𝑦)2． 【答案】(1)2√5； (2)16． 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值． （1）直接代入求解即可； （2）求得𝑥+ 𝑦和𝑥−𝑦的值，再代入计算即可求解． 17 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）解：∵𝑥= √5 + 1，𝑦= √5 −1， ∴𝑥+ 𝑦= √5 + 1 + √5 −1 = 2√5； （2）解：∵𝑥= √5 + 1，𝑦= √5 −1， ∴𝑥+ 𝑦= 2√5；𝑥−𝑦= √5 + 1 −√5 + 1 = 2， ∴(𝑥+ 𝑦)2 −(𝑥−𝑦)2 = (2√5) 2 −22 = 20 −4 = 16． 【变式3-5】已知𝑥= √3 + 1，𝑦= √3 −1，求 1 𝑥+ 1 𝑦的值． 【答案】√3 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出𝑥+ 𝑦= 2√3，𝑥𝑦= 2，再根据 1 𝑥+ 1 𝑦= 𝑥+𝑦 𝑥𝑦进行求解 即可． 【详解】解：∵𝑥= √3 + 1，𝑦= √3 −1， ∴𝑥+ 𝑦= √3 + 1 + √3 −1 = 2√3，𝑥𝑦= (√3 + 1)(√3 −1) = 3 −1 = 2， ∴ 1 𝑥+ 1 𝑦 = 𝑥+ 𝑦 𝑥𝑦 = 2√3 2 = √3． 【变式3-6】已知𝑥= √5 + 2，𝑦= √5 −2，求下列各式的值 (1)𝑥2 + 2𝑥𝑦+ 𝑦2； (2)𝑥2 −𝑦2． 【答案】(1)20 (2)8√5 【分析】本题考查了因式分解，二次根式的化简求值； （1）先求出𝑥+ 𝑦的值，再分解因式，并整体代入即可； （2）先求出𝑥+ 𝑦、𝑥−𝑦的值，再分解因式，并整体代入即可． 【详解】（1）解：由已知得：𝑥+ 𝑦= √5 + 2 + √5 −2 = 2√5， 𝑥2 + 2𝑥𝑦+ 𝑦2 = (𝑥+ 𝑦)2 = (2√5)2 = 20； （2）解：∵𝑥+ 𝑦= 2√5，𝑥−𝑦= √5 + 2 −(√5 −2) = 4， ∴𝑥2 −𝑦2 = (𝑥+ 𝑦)(𝑥−𝑦) = 2√5 × 4 = 8√5． 18 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式3-7】（1）已知𝑥= √3 −1，求𝑥2 + 2𝑥+ 2的值． （2）已知𝑥= 1 2+√3，𝑦= 1 2−√3，求𝑥2 + 2𝑥𝑦−𝑦2的值． 【答案】（1）4（2）8√3 + 2 【分析】此题考查了二次根式的化简求值，涉及的知识有：分母有理化，平方差根式，完全平方公式，熟练 掌握公式是解本题的关键． （1）把代数式𝑥2 + 2𝑥+ 2化为(𝑥+ 1)2 + 1的形式，再把𝑥的值代入进行计算即可； （2）将已知𝑥与𝑦分母有理化后，求出𝑥+ 𝑦与𝑥𝑦的值，将所求式子配方后，把𝑥+ 𝑦 ，𝑥−𝑦与𝑥𝑦的值代入 计算，即可求出值． 【详解】解：（1）∵𝑥= √3 −1， ∴𝑥2 + 2𝑥+ 2 = (𝑥+ 1)2 + 1 = (√3 −1 + 1) 2 + 1 = 4， （2）∵𝑥= 1 2−√3 = 2+√3 (2−√3)(2+√3) = 2 + √3， 𝑦= 1 2+√3 = 2−√3 (2+√3)(2−√3) = 2 −√3， ∴𝑥+ 𝑦= 2 + √3 + 2 −√3 = 4 ，𝑥−𝑦= 2 + √3 −(2 −√3) = 2√3，𝑥𝑦= (2 + √3)(2 −√3) = 1， 则𝑥2 + 2𝑥𝑦−𝑦2 = 𝑥2 −𝑦2 + 2𝑥𝑦 = (𝑥−𝑦)(𝑥+ 𝑦) + 2𝑥𝑦 = 2√3 × 4 + 2 × 1 = 8√3 + 2． ▌题型04 二次根式计算的应用 二次根式的计算在实际中有非常广泛的运用，以化简、加减乘除运算为基础，结合题目中给出的公式，进行 阅读理解，巩固根式化简、分母有理化等核心计算技巧，理清实际问题与根式算式的转化方法，熟练用二次 根式解决生活与几何计算题，提升运算准确率与数学建模能力。 【典例5】全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12 年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石 上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：𝑑= 7√𝑡−12(𝑡≥12)，其中d 表示苔藓的直径，单位是厘米，t 代表冰川消失的时间（单位：年） (1)计算冰川消失21 年后苔藓的直径为多少厘米？ 19 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)如果测得一些苔藓的直径是35 厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 【答案】(1)21；(2)37 【分析】本题考查了平方根的应用： （1）将𝑡= 21代入关系式计算即可； （2）将𝑑= 35代入关系式求解即可． 【详解】（1）解：当𝑡= 21时， 𝑑= 7√21 −12 = 7 × 3 = 21（厘米）， 答：冰川消失21 年后苔藓的直径为21 厘米． （2）解：当𝑑= 35时， 即7√𝑡−12 = 35， 𝑡−12 = 25 𝑡= 37， 答：冰川约是在37 年前消失的． 【变式4-1】我们把形如𝑎√𝑥+ 𝑏（𝑎，𝑏为有理数，√𝑥为最简二次根式）的数叫做√𝑥型无理数，如2√2 + 1是 √2型无理数，则(√6 −√2) 2属于无理数的类型为（ ）． A．√2型 B．√3型 C．√6型 D．√12型 【答案】B 【分析】将代数式化简即可判断． 【详解】(√6 −√2) 2 = (√6) 2 −2 × √6 × √2 + (√2) 2 = 6 −4√3 + 2 = 8 −4√3 故选：B 【变式4-2】物体自由下落时，如果不考虑空气的阻力，那么物体从开始下落到刚好落地的距离𝑠(m)与时间 𝑡(s)可用公式𝑠= 4.9𝑡2来估计． (1)把这个公式变形成用s 表示t 的公式； (2)有一只野兔从山崖边不慎跌入176.4m深的峡谷，则它落到峡谷底经过了多长时间？ 【答案】(1)𝑡= √ 𝑠 4.9 20 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)6𝑠 【分析】本题主要考查算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义． （1）先将𝑡2的系数化为1，再根据算术平方根的定义可得； （2）将𝑠= 176.4代入计算可得． 【详解】（1）解：∵𝑠= 4.9𝑡2， ∴𝑡2 = 𝑠 4.9， ∴𝑡= √ 𝑠 4.9； （2）当𝑠= 176.4时，𝑡= √ 176.4 4.9 = 6， 答：它落到峡谷底经过了6 秒时间． 【变式4-3】定义：若两个二次根式𝑎，𝑏满足𝑎⋅𝑏= 𝑐，且𝑐为有理数，则称𝑎与𝑏是关于𝑐的共轭二次根式． (1)√ 1 2与√2是关于______的共轭二次根式； (2)若𝑚与2√5 −3√2是关于2 的共轭二次根式，则𝑚=______； (3)若3 + √3与6 + √3𝑛是关于12 的共轭二次根式，求𝑛的值． 【答案】(1)1； (2)2√5 + 3√2； (3)𝑛= −2． 【分析】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算． （1）根据共轭二次根式的定义，即可得解； （2）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得𝑚的值即可； （3）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得𝑛的值即可； 【详解】（1）解：√ 1 2 × √2 = √ 1 2 × 2 = 1， ∴ √ 1 2与√2是关于1 的共轭二次根式， 故答案为：1； （2）解：∵𝑚与2√5 −3√2是关于2 的共轭二次根式， ∴𝑚(2√5 −3√2) = 2 ∴𝑚= 2 2√5−3√2 = 2(2√5+3√2) (2√5−3√2)(2√5+3√2) = 2√5 + 3√2， 故答案为：2√5 + 3√2； 21 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）解：∵3 + √3与6 + √3𝑛是关于12 的共轭二次根式， ∴(3 + √3)(6 + √3𝑛) = 12 ∴6 + √3𝑛= 12 3+√3 = 12(3−√3) (3+√3)(3−√3) = 6 −2√3， ∴𝑛= −2． 【变式4-4】文化我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分 别为𝑎，𝑏，𝑐，则其中三角形的面积𝑆= √1 4 [𝑎2𝑏2 −( 𝑎2+𝑏2−𝑐2 2 ) 2 ]．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式 如出一辙，如果设𝑝= 𝑎+𝑏+𝑐 2 ，那么其三角形的面积𝑆= √𝑝(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐)，这个公式便是海伦公式， 也被称为海伦——秦九韶公式． (1)如图，若△𝐴𝐵𝐶的三边长依次为𝐵𝐶= 𝑎= 5，𝐴𝐶= 𝑏= 6，𝐴𝐵= 𝑐= 7． 请利用以上两个公式，分别求该三角形的面积S； (2)除了利用以上公式，你还可以用什么办法求出该三角形的面积𝑆？请写出求解过程； 【答案】(1)6√6；(2)见解析； 【分析】（1）先求出𝑝的值，再根据海伦公式求三角形的面积即可或直接根据秦九韶公式即可； （2）过点𝐵作𝐵𝐻⊥𝐴𝐶于点𝐻，利用勾股定理即可求解； 【详解】（1）方法一：海伦公式． ∵𝑎= 5，𝑏= 6，𝑐= 7， ∴𝑝= 1 2 (𝑎+ 𝑏+ 𝑐) = 9， ∴𝑆= √𝑝(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐) = √9 × (9 −5) × (9 −6) × (9 −7) = 6√6； 方法二：秦九韶公式． ∵𝑎= 5，𝑏= 6，𝑐= 7， ∴𝑆= √1 4 [𝑎2𝑏2 −( 𝑎2+𝑏2−𝑐2 2 ) 2 ] = √1 4 × [25 × 36 −(25 + 36 −49 2 ) 2 ] 22 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 = √1 4 × (900 −36) = √216 = 6√6； （2）如解图1，过点𝐵作𝐵𝐻⊥𝐴𝐶于点𝐻， 设𝐴𝐻= 𝑥则𝐶𝐻= 6 −𝑥， 在Rt △𝐵𝐻𝐴中，𝐵𝐻2 = 72 −𝑥2， 在Rt △𝐵𝐻𝐶中，𝐵𝐻2 = 52 −(6 −𝑥)2， ∴72 −𝑥2 = 52 −(6 −𝑥)2， 解得𝑥= 5， ∴𝐵𝐻= √72 −52 = 2√6， ∴𝑆= 1 2 𝐴𝐶⋅𝐵𝐻= 1 2 × 6 × 2√6 = 6√6； 【变式4-5】阅读以下材料：如果两个正数𝑎､𝑏，即𝑎> 0､𝑏> 0，由完全平方式的非负数性质可得： ∵(√𝑎−√𝑏)2 ≥0（当√𝑎= √𝑏即𝑎= 𝑏时，取等号）， ∴𝑎−2√𝑎𝑏+ 𝑏≥0 ∴𝑎+ 𝑏≥2√𝑎𝑏（当且仅当𝑎= 𝑏时取等号） 结论：对任意两个正数𝑎, 𝑏，都有𝑎+ 𝑏≥2√𝑎𝑏；上述不等式当且仅当𝑎= 𝑏时等号成立．当这两个正数𝑎, 𝑏的 积为定值（常数）时，可以利用这个结论求两数𝑎, 𝑏的和的最小值． 例如：当𝑥为正数时，两数𝑥和 4 𝑥均为正数，且𝑥⋅ 4 𝑥= 4（常数），则有𝑥+ 4 𝑥≥2√𝑥⋅ 4 𝑥= 2 × √4 = 4当且仅当 𝑥= 4 𝑥即𝑥= 2时取等号 ∴当𝑥= 2时，𝑥+ 4 𝑥有最小值，最小值为4. 利用以上结论完成下列问题： (1)已知𝑚为正数，即𝑚> 0，则当𝑚= 时，𝑚+ 1 𝑚取到最小值，最小值为 ； (2)当𝑦､𝑥均为正数，即𝑦> 0, 𝑥> 0时，求函数𝑦= 𝑥+ 4 𝑥+1的最小值； (3)如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线𝐴𝐶､𝐵𝐷相交于点𝑂,△𝐴𝑂𝐵､△𝐶𝑂𝐷的面积分别是4 和9，求四边形𝐴𝐵𝐶𝐷面积 的最小值． 23 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】(1)1，2 (2)3. (3)25 【分析】此题考查了二次根式性质和运算的应用，掌握题目提供的结论是解题的关键． （1）对任意两个正数𝑎, 𝑏，都有𝑎+ 𝑏≥2√𝑎𝑏；上述不等式当且仅当𝑎= 𝑏时等号成立．据此即可进行解答； （2）把函数变形为𝑦= 𝑥+ 4 𝑥+1 = 𝑥+ 1 + 4 𝑥+1 −1，根据题意进行解答即可； （3）设𝑆 △𝐵𝑂𝐶= 𝑥，则𝑆 △𝐵𝑂𝐶: 𝑆 △𝐶𝑂𝐷= 𝑆 △𝐴𝑂𝐵: 𝑆 △𝐴𝑂𝐷，得到𝑆 △𝐴𝑂𝐷= 36 𝑥，根据四边形𝐴𝐵𝐶𝐷面积= 4 + 9 + 𝑥+ 36 𝑥≥13 + 2√𝑥⋅ 36 𝑥= 25，即可得到答案． 【详解】（1）解；当𝑚> 0时，𝑚+ 1 𝑚≥2√𝑚⋅ 1 𝑚= 2𝑚⋅ 1 𝑚= 2， 当且仅当𝑚= 1 𝑚即𝑚= 1时取等号 ∴当𝑚= 1时，𝑚+ 1 𝑚有最小值，最小值为2. 故答案为：1，2 （2）当𝑦> 0, 𝑥> 0时，函数𝑦= 𝑥+ 4 𝑥+1 = 𝑥+ 1 + 4 𝑥+1 −1， ∵𝑥+ 4 𝑥+1 = 𝑥+ 1 + 4 𝑥+1 −1 ≥2√(𝑥+ 1) ⋅ 4 𝑥+1 −1 ≥2 × 2 −1 = 3 当且仅当𝑥+ 1 = 4 𝑥+1即𝑥+ 1 = 2，即𝑥= 1时取等号， ∴当𝑥= 1时，𝑦= 𝑥+ 4 𝑥+1有最小值，最小值为3. （3）设𝑆 △𝐵𝑂𝐶= 𝑥， 由题意可知，𝑆 △𝐵𝑂𝐶: 𝑆 △𝐶𝑂𝐷= 𝑆 △𝐴𝑂𝐵: 𝑆 △𝐴𝑂𝐷， 则𝑥: 9 = 4: 𝑆 △𝐴𝑂𝐷 则𝑆 △𝐴𝑂𝐷= 36 𝑥， ∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷面积= 4 + 9 + 𝑥+ 36 𝑥≥13 + 2√𝑥⋅ 36 𝑥= 25， 当且仅当𝑥= 6时，等号成立， ∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷面积的最小值为25． 【变式4-6】“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 24 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【已有认识】 （1）√2既可以从算术平方根的角度理解，也能将其看成是面积为 的正方形的边长； （2）图1、图2 是由同一个五边形通过不同的分割法所形成，图1、图2 都含有3 块全等的直角三角形，已 知直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c． ①图1 的面积为 ，②图2 的面积为 ． ③由此我们可以得到等式： ； 【类比学习】 探究√2的近似值（精确到0.001） 凯凯：我们已经知道√2是介于1.4 与1.5 之间的一个无理数，设√2 = 1.4 + 𝑥．图3 是边长为√2的正方形， 观察图3 后写下如下过程：(√2) 2 = (1.4 + 𝑥)2，即2 = 1.96 + 2.8𝑥+ 𝑥2，由于x 较小，𝑥2可忽略不计，得： 2.8𝑥≈0.04, 𝑥≈0.014，故√2 ≈1.414 仿照凯凯的方法，探究√5的近似值（精确到0.001），设计出图形并直接写出结果． （数据参考：2.2 < √5 < 2.3） ∴√5 ≈ ． 【答案】已有认识：（1）2；（2）①𝑎2 + 𝑏2 + 3 2 𝑎𝑏，②𝑐2 + 3 2 𝑎𝑏，③𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2；类比学习：2.236 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，二次根式的应用及整式与几何图形面积的实际应用． 已有认识： （1）根据正方形面积公式，利用算术平方根的定义即可解答； （2）①根据图形用三个直角三角形的面积加上两个正方形的面积即可表示出面积；②用三个直角三角形 的面积加上正方形的面积即可表示出面积；③根据两个图形的面积相等，建立等式，根据等式的性质即可 解答 类比学习：根据材料设√5 = 2.2 + 𝑥，仿照材料即可解答． 【详解】解：（1）∵(√2) 2 = 2， ∴ √2也能将其看成是面积为2 的正方形的边长； （2）①图1 的面积为𝑎2 + 𝑏2 + 3 × 1 2 𝑎𝑏= 𝑎2 + 𝑏2 + 3 2 𝑎𝑏， ②图2 的面积为𝑐2 + 3 × 1 2 𝑎𝑏= 𝑐2 + 3 2 𝑎𝑏． ③由此我们可以得到等式：𝑎2 + 𝑏2 + 3 2 𝑎𝑏= 𝑐2 + 3 2 𝑎𝑏，即𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2； 25 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 类比学习： 设√5 = 2.2 + 𝑥， ∴ (√5) 2 = (2.2 + 𝑥)2即5 = 4.84 + 4.4𝑥+ 𝑥2， 由于x 较小，𝑥2可忽略不计，得：4.4𝑥≈0.16， ∴ 𝑥≈0.036， ∴√5 ≈2.2 + 0.036，即√5 ≈2.236．
