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专题02 平面直角坐标系的综合应用
（题型突破·举一反三）
题型01 坐标系中的新定义问题
题型02 坐标系中的面积问题
题型03 平面直角坐标系中的规律探究
▌题型01 坐标系中的新定义问题
【典例1】
【答案】D
【分析】根据点𝑃(𝑥, 𝑦)的“绝对距离”为2，可知|𝑥| = 2，|𝑦| ≤2或|𝑦| = 2，|𝑥| ≤2，即可确定点P 组成的图
形．
【详解】解：∵点𝑃(𝑥, 𝑦)的“绝对距离”为2，
∴|𝑥| = 2，|𝑦| ≤2或|𝑦| = 2，|𝑥| ≤2，
即𝑥= 2时，−2 ≤𝑦≤2，𝑥= −2时，−2 ≤𝑦≤2，𝑦= 2时，−2 ≤𝑥≤2，𝑦= −2时，−2 ≤𝑥≤2，
即可确定点P 组成的图形为图D 中的正方形，
故选：D．
【变式1-1】
【答案】A
【分析】直接利用已知得出符号的意义进而得出答案．
【详解】解：g（f（5，-2））
=g（-5，2）
=（2，-5）．
故选：A．
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【变式1-2】
【答案】B
【分析】根据数字的变化规律进行计算即可．
【详解】解：根据题意的数字变换可知：
P1 （-1，1）=（-2，0），
P2 （-1，1）=（-2，-2），
P3（-1，1）=（0，-4），
P4 （-1，1）=（4，-4），
P5 （-1，1）=（8，0），
P6 （-1，1）=（8，8），
…
发现规律：
从n=1 开始，每8 项中，n 为奇数时，（−2
𝑛+1
2 ，0），（0，−2
𝑛+1
2 ），（2
𝑛+1
2 ，0），（0，2
𝑛+1
2 ）交替出现，
2021÷8=252...5，
∴P2021（-1，1）=（2
2021+1
2
，0）=（21011，0），
故选B．
【变式1-3】
【答案】C
【分析】根据新定义的叙述可知：这个点和限变点的横坐标不变，当横坐标a≥1 时，这个点和限变点的纵坐
标不变；当横坐标a＜1 时，纵坐标是互为相反数；据此可做出判断．
【详解】∵√3＞1
∴这个点的坐标为（√3，-1）
故选：C．
【变式1-4】
【答案】−4或7
【分析】先求出“水平底”为3，再根据“矩面积”的定义求出“铅垂直”为6，再讨论当点𝐹在点𝐷下方时，当点𝐹
在点𝐷上方时，建立方程求解即可．
【详解】解：由题意知，D、𝐸、𝐹三点的“矩面积”的“水平底”𝑎= 1 −(−2) = 3，
∵𝐷、𝐸、𝐹三点的“矩面积”𝑆= 𝑎ℎ= 18，
∴𝐷、𝐸、𝐹三点的“铅垂直”ℎ= 18 ÷ 3 = 6，
当点𝐹在点𝐷下方时，2 −𝑡= 6，
解得𝑡= −4．
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当点𝐹在点𝐷上方时，𝑡−1 = 6
解得：𝑡= 7，
故答案为：−4或7．
【变式1-5】
【答案】(1)
1
m = 或
0
m =
(2)是，理由见详解
【知识点】求点到坐标轴的距离、坐标与图形
【分析】本题主要考查了点的坐标，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”．
（1）根据“完美点”的定义解答即可；
（2）由“长距”的定义求出b 的值，然后根据“完美点”的定义求解即可．
【详解】（1）解：点
(
)
2
1, 1
P
m −
−
是“完美点”，
| 2
1| | 1|
m
−
= −
，
2
1 1
m
−= 或2
1
1
m−= −，
解得
1
m = 或
0
m =
；
（2）解：点
(
)
3
1, 4
Q
n +
−
的长距为5，且点Q 在第三象限内，
3
1
5
n
+ = −，
解得
2
n = −，
1 2
5
n
−
= ，
点D 的坐标为( 5,5)
−
，
点D 到x 轴、y 轴的距离都是5，
点D 是“完美点”．
【变式1-6】
【答案】(1)5
(2)
9
a =
或
1
a =
(3)见解析
【知识点】坐标与图形、求点到坐标轴的距离
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义．
（1）根据“长距“的定义解答即可；
（2）根据“龙沙点”的定义解答即可；
（3）由“长距“的定义求出b 的值，然后根据“龙沙点”的定义求解即可．
【详解】（1）根据题意，得点
(
)
1 4
A −，到x 轴的距离为5，到y 轴的距离为1，
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点A 的“长距“为5．
故答案为：5；
（2）点
(
)
2
6
3
B
a
a
−
+
，
是“龙沙点”，
| 2
6| |
3|
a
a
−
=
+
，
2
6
3
a
a
−
=
+ 或2
6
3
a
a
−= −−，
解得
9
a =
或
1
a = ；
（3）点
(
)
3 3
2
C
b
−
−
，
的长距为4，且点C 在第二象限内，
3
2
4
b−
=
，
解得
2
b =
，
9
2
5
b
−
= ，
点D 的坐标为(5, 5)
−
，
点D 到x 轴、y 轴的距离都是5，
D
是“龙沙点”．
【变式1-7】
【答案】(1)5
(2)
2
a =
或
1.5
a = −
(3)5 或19
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、求点到坐标轴的距离
【分析】本题考查点到坐标轴的距离：
（1）根据长距的定义，进行判断即可；
（2）根据完美点的定义，列出方程进行求解即可；
（3）根据完美点的定义，求出b 的值，进而求出C 点坐标，进而求出点C 的长距即可．
【详解】（1）解：∵
5
5, 3
3
−
=
=
，5
3
，
∴点
(
)
5,3
A −
的“长距”为5；
故答案为：5；
（2）由题意，得：4
1
7
a −
=
，
∴4
1
7
a−=
或4
1
7
a −= −；
∴
2
a =
或
1.5
a = −
；
（3）由题意，得：9
2
5
5
b
−
= −
=
，
∴9
2
5
b
−
= 或9
2
5
b
−
= −，
∴
2
b =
或
7
b =
，
当
2
b =
时，
(
)
5,4
C −
，
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∵
5
5, 4
4,5
4
−
=
=
，
∴长距为5；
当
7
b =
时，
(
)
5,19
C −
，
∵
5
5, 19
19,19
5
−
=
=
，
∴长距为19；
综上：点
(
)
5,3
2
C
b
−
−
长距为5 或19．
【变式1-8】
【答案】(1)不是
(2)
4
y =
(3)点E 坐标为(4,3)
【知识点】坐标与图形、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查坐标与图形，掌握“恒等点”的定义是解题的关键．
（1）根据“恒等点”的定义进行判断即可；
（2）根据“恒等点”的定义，列出方程进行求解即可；
（3）根据“恒等点”的定义，求出a 的值，设BE
m
=
，则
6
PE
m
=
−
，根据
3
OBE
OEP
S
S
=
+
△
△
列出方程进行求
解即可．
【详解】（1）解：过点
(
)
1,2
M
分别作x 轴、y 轴的垂线，与坐标轴围成长方形OAMB ，
长方形OAMB 的周长
(
)
2
1
2
6
=
+
=
，长方形OAMB 的面积1 2
2
= =
6
2
点
(
)
1,2
M
不是“恒等点”；
（2）过点
(
)
4,
N
y
−
分别作x 轴、y 轴的垂线，与坐标轴围成长方形OANB，
长方形OANB的周长
(
)
2
4
8
2
y
y
+
=
+
，长方形OANB的面积
4 y
=
点
(
)
4,
N
y
−
是“恒等点”
8
2
4
y
y
+
=
，解得
4
y =
4
y
= ；
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（3）点(
)
,3
P a
是“恒等点”，a 是正数
(
)
2
3
3
a
a
+
=
解得
6
a =
点P 的坐标为(6,3)
设BE
m
=
，则
6
PE
m
=
−
1
1
3
3
2
2
2
OBE
S
OB BE
m
m
=
=
=
△
，
(
)
(
)
1
1
3
3 6
6
2
2
2
EPO
S
PE OB
m
m
=
=
−
=
−
3
OBE
EPO
S
S
=
+
△
△
3
3
3
(6
)
2
2
m
m
=
+
−
解得
4
m =
4
BE
=
点E 坐标为(4,3)
【变式1-9】
【答案】(1)①
2P ；②点B 坐标为(0,3 2) 或(0,5 2)
(2)点D 的坐标为( 1,2 2)
−
或( 1, 2 2)
−−
或(3,2 2) 或3
2 2
−
( ,
)
【知识点】绝对值方程、坐标与图形
【分析】（1）①直接根据
1
2
1
2
2
y
y
x
x
−
=
−
进行判断即可；②设
(0,
)
B
B
y
，根据
1
2
1
2
2
y
y
x
x
−
=
−
得
4 2
2 0 1
B
y −
=
−，求解即可；
（2）设点D 坐标为(
)
,
D
D
x
y
，根据面积得出1
2
2
D
OC y
=
，求解出
D
y ，再根据点D 与点C 互为“ 2 阶依
附点”求解即可．
【详解】（1）解：①
2
4 2
2 2 1
−
−
，
1(2,
2)
P
不是；
6 2
4 2
2 3 1
−
=
−
，
2(3,6 2)
P
是；
2 2
4 2
2
4 1
−
−
−−
，
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3( 4, 2 2)
P
−
−
不是；
故答案为：
2P ；
②设
(0,
)
B
B
y
，根据
1
2
1
2
2
y
y
x
x
−
=
−
得：
4 2
2 0 1
B
y −
=
−，
解得：
3 2
B
y =
或
5 2
B
y =
，
点B 坐标为(0,3 2) 或(0,5 2) ．
（2）解：设点D 坐标为(
)
,
D
D
x
y
，
∴三角形COD的高为
D
y
，
1
OC = ．
∵三角形COD的面积为2
∴1
2
2
D
OC y
=
∴
2 2
D
y
=
∴
2 2
D
y
=
∵点D 与点C 互为“ 2 阶依附点”，
(1,0)
C
∴
2 2
2
1
D
x
=
−
∴
2
1
2 2
D
x −
=
，
1
2
D
x
−
=
，
1
2
D
x
−=
或
1
2
D
x −= −，
3
D
x
= 或
1
D
x = −，
∴点D 的坐标为( 1,2 2)
−
或( 1, 2 2)
−−
或(3,2 2) 或3
2 2
−
( ,
)．
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▌题型02 坐标系中的面积问题
【典例2】
【答案】24.5
【分析】该题主要考查了坐标与图形，解题的关键是将四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积转换成三角形面积．
连接𝑂𝐵，根据𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝑂𝐵+ 𝑆△𝐵𝐶𝑂+ 𝑆△𝐴𝐷𝑂即可求解；
【详解】连接𝑂𝐵，
∵𝐴(0,4),𝐵(−4,5),𝐶(−5,0), 𝐷(2,0)，
∴𝑂𝐴= 4, 𝑂𝐷= 2, 𝑂𝐶= 5，
∴𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝑂𝐵+ 𝑆△𝐵𝐶𝑂+ 𝑆△𝐴𝐷𝑂
= 1
2 × 4 × 4 + 1
2 × 5 × 5 + 1
2 × 2 × 4
= 24.5，
故答案为：24.5．
【变式2-1】
【答案】(1)A 的坐标为(
8
3 , 0)或(−
8
3 , 0)
(2)点A 的坐标为(0,10)或(0, −10)
(3)点𝐴的坐标为(
4
3 , 0)或(−
4
3 , 0)或(0,4)或(0,−4)
【分析】（1）利用三角形的面积公式求出𝑂𝐴的长度，即可求得𝐴坐标；
（2）利用三角形的面积公式求出𝑂𝐴的长度，即可求得𝐴坐标；
（3）分点𝐴在𝑥轴上和𝑦轴上两种情况利用三角形的面积公式求出𝑂𝐴的长度，再分两种情况讨论求解．
【详解】（1）解：∵点𝐴在𝑥轴上，
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∴𝑆Δ𝑂𝐴𝐵=
1
2 × 𝑂𝐴× 3 = 4，
解得𝑂𝐴=
8
3，
∴点𝐴的坐标为(
8
3 , 0)或(−
8
3 , 0)；
（2）解：∵点𝐴在𝑦轴上，
∴𝑆△𝑂𝐴𝐵=
1
2 × 𝑂𝐴× 1 = 5，
解得𝑂𝐴= 10，
∴点𝐴的坐标为(0,10)或(0, −10)；
（3）解：若点𝐴在𝑥轴上，则𝑆△𝑂𝐴𝐵=
1
2 × 𝑂𝐴× 3 = 2，
解得𝑂𝐴=
4
3，
所以，点𝐴的坐标为(
4
3 , 0)或(−
4
3 , 0)，
若点𝐴在𝑦轴上，则𝑆△𝑂𝐴𝐵=
1
2 × 𝑂𝐴× 1 = 2，
解得𝑂𝐴= 4，
∴点𝐴的坐标为(0,4)或(0,−4)，
综上所述，点𝐴的坐标为(
4
3 , 0)或(−
4
3 , 0)或(0,4)或(0, −4)．
【变式2-2】
【答案】(1)𝑎= −1，𝑏= 3
(2)𝑆△𝐴𝐵𝑀= 4
(3)(−5,0)
【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性求解即可；
（2）由（1）可知点A、B 的坐标，从而可求出𝐴𝐵= 4，再根据三角形的面积公式计算即可；
（3）设𝑃(𝑥, 0)，则𝐴𝑃= |−1 −𝑥|，根据三角形的面积公式可求出𝑆△𝐴𝑀𝑃= |−1 −𝑥|，结合题意可列出关于
x 的等式，解出x 的值即可求解．
【详解】（1）解：∵|𝑎+ 1| + (𝑏−3)2 = 0，
∴𝑎+ 1 = 0，𝑏−3 = 0，
解得：𝑎= −1，𝑏= 3；
（2）解：∵𝑎= −1，𝑏= 3，
∴𝐴(−1,0)，𝐵(3,0)，
∴𝐴𝐵= 4，
∴𝑆△𝐴𝐵𝑀=
1
2 𝐴𝐵⋅|𝑦𝑀| =
1
2 × 4 × |−2| = 4；
（3）解：设𝑃(𝑥, 0)，
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∴𝐴𝑃= |−1 −𝑥|，
∴𝑆△𝐴𝑀𝑃=
1
2 𝐴𝑃⋅|𝑦𝑀| =
1
2 × |−1 −𝑥| × |−2| = |−1 −𝑥|．
∵△𝐴𝑀𝑃的面积与△𝐴𝐵𝑀的面积相等，
∴|−1 −𝑥| = 4，
解得：𝑥= −5或𝑥= 3，
∴点P 的坐标为(−5,0)或(3,0)．
当点P 的坐标为(3,0)时点B 与点P 重合，
∴点P 的坐标为(−5,0)．
【变式2-3】
【答案】(1)见解析
(2)2√10 + 2√5
【分析】（1）选择补形法求解即可．
（2）根据两点间距离公式，分别计算边长，再计算周长．
【详解】（1）根据题意，得
△𝐴𝐵𝐶的面积为：4 × 3 −
1
2 × 1 × 3 −
1
2 × 1 × 3 −
1
2 × 2 × 4 = 5．
（2）∵𝐴(2,−1), 𝐵(4,3), 𝐶(1,2)，
∴𝐴𝐵= √(2 −4)2 + (−1 −3)2 = 2√5, 𝐴𝐶= √(2 −1)2 + (−1 −2)2 = √10,
𝐵𝐶= √(4 −1)2 + (3 −2)2 = √10,
∴△𝐴𝐵𝐶的周长为𝐴𝐵+ 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶= 2√10 + 2√5,
故答案为：2√10 + 2√5．
【变式2-4】
【答案】(1)6
(2)点𝑃在𝑦轴正半轴时，𝑃(0,6)；点𝑃在𝑦轴负半轴时，𝑃(0,−6)
(3)点𝑄在𝐶的左边时，𝑄(−11,0)；点𝑄在𝐶的右边时，𝑄(5,0)
【分析】（1）根据点的坐标得出𝐴𝐶= 4,然后得出𝐴𝐶边上的高为4，根据三角形的面积公式，即可求解；
（2）根据𝑆△𝐴𝐶𝑃= 2𝑆△𝐴𝐵𝐶，进而根据点𝑃在𝑦轴的正半轴与负半轴，分类讨论即可求解；
（3）根据𝑆△𝐵𝐶𝑄= 2𝑆△𝐴𝐵𝐶，进而分点𝑄在𝐶点的左边和右边分类讨论，即可求解．
【详解】（1）解：∵𝐴(1,0)，𝐵(−2,3)，𝐶(−3,0)，
∴𝐴𝐶= 1 −(−3) = 1 + 3 = 4，
点B 到𝐴𝐶的距离为3，
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∴△𝐴𝐵𝐶的面积=
1
2 × 4 × 3 = 6．
（2）∵𝑆△𝐴𝐶𝑃= 2𝑆△𝐴𝐵𝐶，3 × 2 = 6，
∴点𝑃在𝑦轴正半轴时，𝑃(0,6)；
点𝑃在𝑦轴负半轴时，𝑃(0, −6)．
（3）∵𝑆△𝐵𝐶𝑄= 2𝑆△𝐴𝐵𝐶，4 × 2 = 8，
∴点𝑄在𝐶的左边时，𝑄(−3 −8,0)，即𝑄(−11,0)；点𝑄在𝐶的右边时，𝑄(−3 + 8,0)，即𝑄(5,0)．
【变式2-5】
【答案】D
【分析】分类讨论：当C 点在y 轴上，设C（0，t），根据三角形面积公式得到
1
2|t+3|•4＝12，当C 点在x
轴上，设C（m，0），根据三角形面积公式得到
1
2|m-4|•3＝12，然后分别解绝对值方程求出t 和m 即可得到
C 点坐标．
【详解】解：分两种情况：
①当C 点在y 轴上，设C（0，t），
∵三角形ABC 的面积为12，
∴
1
2•|t+3|•4＝12，
解得t＝3 或−9．
∴C 点坐标为（0，3），（0，−9），
②当C 点在x 轴上，设C（m，0），
∵三角形ABC 的面积为12，
∴
1
2•|m-4|•3＝12，
解得m＝12 或−4．
∴C 点坐标为（12，0），（−4，0），
综上所述，C 点有4 个，
故选：D．
【变式2-6】
【答案】B
【分析】用分割法求出四边形的面积，分类讨论求出△𝑃𝐷𝐶的面积，再求出𝑃𝐷的值，进而可得𝑂𝑃的值．
【详解】解：作𝐶𝐸⊥𝑥轴于点P，
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∵𝐴(−2,0)、𝐵(0,3)、𝐶(2,4)、𝐷(3,0)，
∴𝑂𝐴= 2, 𝑂𝐵= 3, 𝑂𝐸= 2, 𝐶𝐸= 4, 𝑂𝐷= 3, 𝐷𝐸= 1，
∴𝑆△𝐴𝐵𝑂=
1
2 𝑂𝐴⋅𝑂𝐵=
1
2 × 2 × 3 = 3，
𝑆梯形
𝑂𝐸𝐶𝐵=
1
2 (𝑂𝐵+ 𝐶𝐸) ⋅𝑂𝐸=
1
2 × (3 + 4) × 2 = 7，
𝑆△𝐸𝐷𝐶=
1
2 𝐸𝐷⋅𝐶𝐸=
1
2 × 1 × 4 = 2，
𝑆△𝑃𝐶𝐷=
1
2 𝑃𝐷⋅𝐶𝐸=
1
2 𝑃𝐷× 4 = 2𝑃𝐷，
∴𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝑂+ 𝑆梯形𝑂𝐸𝐶𝐵+ 𝑆△𝐸𝐷𝐶= 3 + 7 + 2 = 12，
∴𝑆△𝑃𝐶𝐷: 𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷= 2𝑃𝐷: 12 = 𝑃𝐷: 6，
①当𝑆△𝑃𝐶𝐷:𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝑃= 1: 2即𝑆△𝑃𝐶𝐷: 𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷= 1: 3时，
即𝑃𝐷: 6 = 1: 3，解得：𝑃𝐷= 2，
∴𝑂𝑃= 3 −1 = 1；
②当𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝑃:𝑆△𝑃𝐶𝐷= 1: 2即𝑆△𝑃𝐶𝐷: 𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷= 2: 3时，
即𝑃𝐷: 6 = 2: 3，解得：𝑃𝐷= 4,，
∴𝑂𝑃= 4 −3 = 1；
综上可知𝑂𝑃= 1．
故选：B．
【变式2-7】
【答案】2.5
【分析】作BD⊥x 轴于D，CE⊥x 轴于E，则∠ADB=∠AEC=90°，根据点𝐴(1,0)、B(-1，1)、𝐶(2,2)，得到BD=1，
CE=2，OA=1，OD=1，OE=2，求得AD=2，AE=1，根据𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆梯形
𝐵𝐷𝐸𝐶−𝑆△𝐴𝐵𝐷−𝑆△𝐴𝐶𝐸代入数值计算即
可．
【详解】作BD⊥x 轴于D，CE⊥x 轴于E，则∠ADB=∠AEC=90°，
∵点𝐴(1,0)、B(-1，1)、𝐶(2,2)，
∴BD=1，CE=2，OA=1，OD=1，OE=2，
∴AD=2，AE=1，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆梯形
𝐵𝐷𝐸𝐶−𝑆△𝐴𝐵𝐷−𝑆△𝐴𝐶𝐸
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=
1
2 (𝐵𝐷+ 𝐶𝐸) ⋅𝐷𝐸−
1
2 𝐴𝐷⋅𝐵𝐷−
1
2 𝐴𝐸⋅𝐶𝐸
= 1
2 (1 + 2) × 3 −1
2 × 2 × 1 −1
2 × 1 × 2
=2.5，
故答案为：2.5．
．
【变式2-8】
【答案】(1)14
(2)(
3
2 , 0)或(−
11
2 , 0)
【分析】（1）过点B 作𝐵𝐻⊥𝑥轴于点H，由𝐵(2,4)得到𝐵𝐻= 4，由𝐴(−2,0)及𝐶(5,0)得到𝐴𝐶= 7，利用三
角形面积公式即可得到三角形𝐴𝐵𝐶的面积；
（2）设点P 的坐标为(𝑚, 0)，则𝐴𝑃= |𝑚+ 2|，根据题意得到
1
2 𝐴𝑃⋅𝐵𝐻= 2|𝑚+ 2| =
1
2 × 14，解得𝑚=
3
2或
𝑚= −
11
2 ，即可得到点P 的坐标．
【详解】（1）解：过点B 作𝐵𝐻⊥𝑥轴于点H，
∵𝐵(2,4)，
∴𝐵𝐻= 4，
∵三角形𝐴𝐵𝐶的顶点𝐴(−2,0)，𝐶(5,0)．
∴𝐴𝐶= 5 −(−2) = 7，
∴三角形𝐴𝐵𝐶的面积=
1
2 𝐴𝐶⋅𝐵𝐻=
1
2 × 7 × 4 = 14，
即三角形𝐴𝐵𝐶的面积为14；
（2）设点P 的坐标为(𝑚, 0)，
则𝐴𝑃= |𝑚+ 2|，
∵三角形𝐴𝐵𝑃的面积等于三角形𝐴𝐵𝐶面积的一半，
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∴
1
2 𝐴𝑃⋅𝐵𝐻=
1
2 |𝑚+ 2| × 4 = 2|𝑚+ 2| =
1
2 × 14，
解得𝑚=
3
2或𝑚= −
11
2 ，
∴点P 的坐标为(
3
2 , 0)或(−
11
2 , 0)．
【变式2-9】
【答案】18
【分析】方法一：如图，作长方形𝐶𝐷𝐸𝐹，由𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆长方形𝐶𝐷𝐸𝐹−𝑆△𝐴𝐶𝐷−𝑆△𝐴𝐵𝐸−𝑆△𝐵𝐶𝐹可得答案；
方法二：如图，过点B 作𝐸𝐹∥𝑥轴，并分别过点A 和点C 作𝐸𝐹的垂线，垂足分别为点E，F，由𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆梯形𝐴𝐸𝐹𝐶−
𝑆△𝐴𝐵𝐸−𝑆△𝐵𝐶𝐹可得答案；
方法三：如图，过点A作𝐷𝐸∥𝑦轴，并分别过点C和点B作𝐷𝐸的垂线，垂足分别为点D，E，由𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆梯形𝐵𝐸𝐷𝐶−
𝑆△𝐴𝐵𝐸−𝑆△𝐴𝐷𝐶可得答案．
【详解】解：方法一：如图，作长方形𝐶𝐷𝐸𝐹，
则𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆长方形𝐶𝐷𝐸𝐹−𝑆△𝐴𝐶𝐷−𝑆△𝐴𝐵𝐸−𝑆△𝐵𝐶𝐹
= 6 × 7 −
1
2 × 3 × 6 −
1
2 × 4 × 4 −
1
2 × 2 × 7
= 18．
方法二：如图，过点B 作𝐸𝐹∥𝑥轴，并分别过点A 和点C 作𝐸𝐹的垂线，垂足分别为点E，F．
∴𝐴𝐸= 4，𝐵𝐸= 4，𝐵𝐹= 2，𝐶𝐹= 7，𝐸𝐹= 6，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆梯形𝐴𝐸𝐹𝐶−𝑆△𝐴𝐵𝐸−𝑆△𝐵𝐶𝐹
=
1
2 × (4 + 7) × 6 −
1
2 × 4 × 4 −
1
2 × 2 × 7
= 18．
方法三：如图，过点A 作𝐷𝐸∥𝑦轴，并分别过点C 和点B 作𝐷𝐸的垂线，垂足分别为点D，E．
∴𝐴𝐸= 4，𝐵𝐸= 4，𝐴𝐷= 3，𝐶𝐷= 6，𝐷𝐸= 7，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆梯形𝐵𝐸𝐷𝐶−𝑆△𝐴𝐵𝐸−𝑆△𝐴𝐷𝐶
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=
1
2 × (4 + 6) × 7 −
1
2 × 4 × 4 −
1
2 × 3 × 6
= 18．
▌题型03 平面直角坐标系中的规律探究
【典例3】
【答案】B
【分析】以正方形最外边上的点为准考虑，点的总个数等于最右边下角的点横坐标的平方，且横坐标为奇数
时最后一个点在𝑥轴上，为偶数时，从𝑥轴上的点开始排列，求出与2023 最接近的平方数为2025，然后写出
第2023 个点的坐标即可．
【详解】解：由图形可知，图中各点分别组成了正方形点阵，每个正方形点阵的整点数量依次为最右下角点
横坐标的平方，
且当正方形最右下角点的横坐标为奇数时，这个点可以看作按照运动方向到达𝑥轴，当正方形最右下角点的
横坐标为偶数时，这个点可以看作按照运动方向离开𝑥轴，
∵452 = 2025，
∴第2025 个点在𝑥轴上坐标为(45,0)，
则第2023 个点在(45,2)
故选：B．
【变式3-1】
【答案】D
【分析】先根据反射角等于入射角先找出前几个点，直至出现规律，然后再根据规律进行求解.
【详解】由分析可得p(0,1）、𝑝1(2,0)、𝑝2(4,1) 、𝑝3(0, 3) 、𝑝4(2, 4)、𝑝5(4, 3) 、𝑝6(0,1) 等，故该坐标的循
环周期为7 则有则有
2018+1
7
＝288 ⋯3，故是第2018 次碰到正方形的点的坐标为（4，1）.
【变式3-2】
【答案】D
【分析】根据直线与x 轴的成角和已知，可以判断∴△B1B0B2；…；△BnBn﹣1'Bn+1 都是直角三角形，再由旋转的
性质得到B1B0′＝√2OB0，B2B1′＝√2B1B0′，…，Bn+1B′n＝√2BnBn﹣1′，可以B1B0′＝√2，B2B1′＝2，…，BnBn﹣1'＝√2𝑛，
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根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解：直线l1：y＝x+1 与x 轴正半轴夹角45°，
由题意可知B′0B1∥x 轴，B1′B2∥x 轴，…，Bn′Bn+1∥x 轴，
B′0B2∥y 轴，B′1B3∥y 轴，…，B′n﹣1Bn+1∥y 轴，
∴△B1B0B2；…；△BnBn﹣1'Bn+1 都是直角三角形，
∴B1B0′＝√2OB0，B2B1′＝√2B1B0′，…，Bn+1B′n＝√2BnBn﹣1′
由直线l1：y＝x+1 可知，B0（﹣1，0），B1（0，1），
∴OB0＝1，
∴B1B0′＝√2，B2B1′＝2，…，BnBn﹣1'＝√2𝑛，
∴△BnBn﹣1'Bn+1 的面积为Sn＝
1
2 ×（√2𝑛）2＝2n﹣1
故选：D．
【变式3-3】
【答案】C
【分析】观察图象可知每四个点一圈进行循环，每一圈第一个点在第三象限，再根据点的脚标与坐标找出规
律解答即可．
【详解】∵55=4×13+3，
∴A55 与A3 在同一象限，即都在第一象限，
根据题中图形中的规律可得：
3=4×0+3，A3 的坐标为（0+1，0+1），即A3（1，1），
7=4×1+3，A7 的坐标为（1+1，1+1），A7（2，2），
11=4×2+3，A11 的坐标为（2+1，2+1），A11（3，3）；
…
55=4×13+3，A55 的坐标为（13+1，13+1），A55（14，14）；
故选C．
【变式3-4】
【答案】B
【分析】根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4 次
一轮这一规律，进而求出即可．
【详解】解：根据动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1 次从原点运动到点（-1，1），
第2 次接着运动到点（-2，0），第3 次接着运动到点（-3，2），
∴第4 次运动到点（-4，0），第5 次接着运动到点（-5，1），…，
∴横坐标为运动次数，经过第2022 次运动后，动点P 的横坐标为-2022，
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纵坐标为1，0，2，0，每4 次一轮，
∴经过第2022 次运动后，动点P 的纵坐标为：2022÷4=505……2，
故纵坐标为四个数中第2 个，即为0，
∴经过第2022 次运动后，动点P 的坐标是：（-2022，0），
故选：B．
【变式3-5】
【答案】C
【分析】根据题意可知，点A 平移时每4 次为一个周期，由102÷4=25•••2，可知点A102的坐标与A4n+2的点
的坐标规律相同，分别求出A2，A6，A10的坐标，找出规律，进而求解即可．
【详解】解：由题意可知，将点A（-1，0）向上平移1 个单位长度得到A1（-1，1），再向右平移3 个单位
长度得到A2（2，1），再向下平移5 个单位长度得到A3（2，-4），再向左平移7 个单位长度得到A4（-5，
-4）；再向上平移9 个单位长度得到A5（-5，5）…，
∴点A 平移时每4 次为一个周期．
∵102÷4=25•••2，
∴点A102的坐标与A4n+2的点的坐标规律相同．
∵A2（2，1），A6（6，5），A10（10，9），
以此类推，
∴A4n+2（4n+2，4n+1），
∴A102的点坐标是（102，101）．
故选：C．
【变式3-6】
【答案】D
【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4 个点为一个循环组依次循环，用2021 除以4，
根据商和余数的情况确定点A2021的坐标即可．
【详解】解：∵点A1的坐标为（2，4），
∴A2（−3，3），A3（−2，−2），A4（3，−1），A5（2，4），…，
依此类推，每4 个点为一个循环组依次循环，
∵2021÷4＝505…1
∴点A2021的坐标与A1的坐标相同，为（2，4），
故选：D．
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【变式3-7】
【答案】D
【分析】根据图象可得出：横坐标为运动次数减3，纵坐标依次为4，2，1，−1，2，4，每5 次一轮，进而
即可求出答案．
【详解】解：根据动点𝑃0(−3，4)在平面直角坐标系中的运动，
𝑃1(−2，2)，𝑃2(−1，1)，𝑃3(0，−1)，𝑃4(1，2)，𝑃5(2，4)，𝑃6(3，2)，
…，
∴横坐标为运动次数减3，经过第2023 次运动后，点𝑃2023的横坐标是2020，
纵坐标依次为4，2，1，−1，2，每5 次一轮，
∴(2023 + 1) ÷ 5 = 404⋅⋅⋅⋅⋅4，
∴经过第2023 次运动后，点𝑃2023的坐标是(2020，−1)，
故选：D．
【变式3-8】
【答案】B
【分析】根据图象可得移动4 次图象完成一个循环，从而可得出点A2019的坐标．
【详解】半径为1 个单位长度的半圆的周长为
1
2 ×2π×1=π．
∵点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒
𝜋
2个单位长度，
∴点P1每秒走
1
2个半圆，当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，
运动时间为1 秒时，点P 的坐标为（1，1）；
运动时间为2 秒时，点P 的坐标为（2，0），
运动时间为3 秒时，点P 的坐标为（3，﹣1），
运动时间为4 秒时，点P 的坐标为（4，0），
运动时间为5 秒时，点P 的坐标为（5，1），
运动时间为6 秒时，点P 的坐标为（6，0），…．
∵2019÷4=504 余3，
∴A2019的坐标是（2019，﹣1）．
故选B．
【变式3-9】
【答案】（-5，-5）
【分析】点A2018 在平面直角坐标系中的位置，经观察分析所有点，除A1 外，其它所有点按一定的规律分布
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在四个象限，且每个象限的点满足：角标÷4=循环次数+余数，余数0，1，2，3 确定相应的象限，由此确定
点A2018 在第一象限；第一象限的点A2（1，1），A6（2，2），A10（3，3）…观察易得到点的坐标═循环次数
+1，得到规律求出A20 的坐标即可；
【详解】解：由题可知，
第一象限的点：A5，A9，A13…角标除以4 余数为1；
第二象限的点：A4，A8，A12…角标除以4 余数为0；
第三象限的点：A3，A7，A11…角标除以4 余数为3；
第四象限的点：A2，A6，A10…角标除以4 余数为2；
由上规律可知：20÷4=5，
∴点A20 在第二象限．
又∵点A4（-1，-1），A8（-2，-2），A12（-3，-3）…在第一象限，
A4（-4÷4，-4÷4），A8（-8÷4，-8÷4），A12（-12÷4，-12÷4）…
∴A20（-20÷4，-20÷4）═A20（-5，-5）；
故答案为（-5，-5）．
