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专题03 二次根式概念及性质
常考题型·精准突破
题型1 利用二次根式的定义识别与求字母的值（重）
题型2 根据二次根式有意义条件求范围（高频）
题型3 根据二次根式有意义求值（高频）
题型4 根据二次根式的性质化简二次根式（难）
题型5 复杂的复合二次根式化简（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 利用二次根式的定义识别与求字母的值
1．（25-26 八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列式子中，是二次根式的是（ ）
A．
x
B．5
C．3 3
D．
3
a −
【答案】B
【详解】解：3 3 的根指数为3，不是二次根式，故C 选项不符合题意；
x 与
3
a −
的被开方数取值不确定，可能为负数，不一定是二次根式，故A、D 选项不符合题意；
5 的根指数为2，被开方数为正数，符合二次根式的定义，故B 选项符合题意；
2．（25-26 八年级下·山东聊城·期末）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．
2
−
B．
3 27
−
C．
2026
a +
D．
2
2026
x +
【答案】D
【分析】一般地，形如
(
)
0
a a
的式子叫做二次根式，据此可得答案．
【详解】解：
2
−被开方数为负，
3 27
−
根指数为3，均不是二次根式．
当
2026
a −
时，
2026
a +
的被开方数小于0，不是二次根式．
∵
2
0
x
，
∴
2
2026
2026
0
x +
∴
2
2026
x +
一定是二次根式．
3．（25-26 八年级下·河北唐山·期中）已知8n 是整数，则正整数n 的最小值为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
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【答案】D
【分析】若最简二次根式的结果为整数，则被开方数是完全平方数，先化简原式，再据此求最小正整数n．
【详解】解：∵8
4 2
2 2
n
n
n
=
=
，8n 是整数，n 是正整数，
∴
2n 为整数，即2n 是完全平方数，
当
2
n =
时，2
4
n =
，4 是完全平方数，满足条件，
∴正整数n 的最小值为2 ．
◆题型2 根据二次根式有意义条件求范围
4．（25-26 八年级下·吉林延边·期末）要使二次根式
3
a −
有意义，则a 的取值范围是_______________．
【答案】
3
a
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于a 的一元一次不等式，求解不等式即可
得到a 的取值范围．
【详解】解：
3
a −
有意义，
3
0
a
−
，
解得：
3
a ．
5．（25-26 八年级下·辽宁抚顺·期末）要使二次根式6
3x
−
有意义，则x 的取值范围是________．
【答案】
2
x
【分析】根据二次根式有意义的条件得到6 3
0
x
−
，解不等式即可得到x 的取值范围．
【详解】解：∵二次根式6
3x
−
有意义，
∴6 3
0
x
−
，
解得：
2
x
．
6．（25-26 八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）若二次根式
2026
x
−
有意义，则x 的取值范围是_________．
【答案】
2026
x
【分析】本题根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，列出一元一次不等式，解不等式即可得
到x 的取值范围．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数是非负数，可得
2026
0
x
−
，
移项得
2026
x
−−
，
系数化为1，得
2026
x
．
◆题型3 根据二次根式有意义求值
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7．（25-26 七年级下·河南信阳·期末）若
3
7
7
3
4
y
x
x
=
−
+
−
+
，则xy =_____________．
【答案】28
3
【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得到关于x 的不等
式组，求解得到x 的值，再代入原式求出y 的值，最后计算xy即可．
【详解】解：由题意得
3
7
0
7
3
0
x
x
−
−
，
解得
7
3
x =
，
7
7
3
7
7
3
4
0
0
4
4
3
3
y =
−
+
−
+
=
+ +
=
∴
，
7
28
4
3
3
xy =
=
∴
．
8．（25-26 八年级下·四川广元·期中）已知
1
1
1
5
2
y
x
x
=
−+
−
+
，则
x
y−的值为______．
【答案】1
5
【详解】解：∵
1
0
x−
，1
0
x
−
，
∴
1
x ，
1
x ，
∴
1
x = ，
∴
0
0
5
5
y =
+
+
=
，
∴
1
1
5
5
x
y−
−
=
=
．
9．
（2026·四川广安·中考真题）已知a ，b 为实数，且8
3
2 12
5
5
26
a
b
a
b
−
+
−
=
−
+
，则
5
11
a
b
+
的平方根是_____．
【答案】2 5
【分析】设
3
a
m
−
=
，12
5b
n
−
=
，则原方程可整理为
2
2
8
2
17
0
m
m
n
n
−
+
−
+
=
，通过完全平方
公式变形可得(
)
(
)
2
2
4
1
0
m
n
−
−
+
=
，结合非负数的性质可得
4
m =
，
1
n = ，从而计算出
19
a =
，
11
5
b =
，则
5
20
11
+
=
a
b
，最后求平方根即可．
【详解】解：设
3
a
m
−
=
，12
5b
n
−
=
，则
0
m
，
0
n
，
3
a ，
12
5
b
，
∴
2
3
a
m
=
+ ，
2
12
5
n
b
−
+
=
，
代入原方程可得
2
2
12
8
2
3
5
26
5
n
m
n
m
−
+
+
=
+
−
+
，
整理，得
2
2
8
2
17
0
m
m
n
n
−
+
−
+
=
，
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变形，得(
)
(
)
2
2
4
1
0
m
n
−
−
+
=
，
∵(
)
2
4
0
m −
，(
)
2
1
0
n −
，
∴
4
0
m−
=
，
1
0
n−=
，
∴
4
m =
，
1
n = ，
∴
2
3
19
a
m
=
+
=
，
2
12
11
5
5
n
b
−
+
=
=
，符合题意，
∴
5
5
11
19
19 1
20
11
11
5
+
=
+
=
+ =
a
b
，
∵20 的平方根为2 5
，
∴
5
11
a
b
+
的平方根为2 5
．
◆题型4 根据二次根式的性质化简二次根式
10．（25-26 八年级下·江苏南京·期末）若
0
a
，则
2
a
a
−
= _______．
【答案】2a
−
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：∵
0
a
，
∴
2
a
a
−
a
a
= −−
2a
= −
．
11．（25-26 八年级下·四川德阳·期末）当2
4
x
时，化简：
2
4
(
2)
x
x
−
+
−
= ________．
【答案】2
【详解】解：∵2
4
x
，
∴
2
4
(
2)
4
2
2
x
x
x
x
−
+
−
=
−
+
−
= ．
12．（25-26 八年级下·山东聊城·阶段检测）实数a，b 在数轴上的位置如图所示，化简：
(
)
(
)
2
2
1
1
a
b
a
b
+
−
−
+
−
=______．
【答案】2a
−
【分析】
(
)
(
)
2
0
0
a a
a
a
a a
=
= −
．
【详解】由数轴知，2
1,1
2
a
b
−
−
，
1
0,
1
0,
0
a
b
a
b
+
−
−
，
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(
)
(
)
(
)
2
2
1
1 ,
1
1,
a
a
b
b
a
b
b
a
+
= −
+
−
=
−
−
=
−
，
(
)
(
)
(
) (
)
2
2
1
1
(
1)
1
a
b
a
b
a
b
b
a
+
−
−
+
−
= −
+
−
−
+
−
1
1
a
b
b
a
= −−−+ + −
2a
= −
．
◆题型5 复杂的复合二次根式化简
13．（25-26 八年级下·山东聊城·期中）有这样一类题目：将
2
a
b
+
化简，如果你能找到两个数m 、n ，使
2
2
m
n
a
+
=
且mn =
b ，则将
2
a
b
+
变成
2
2
2
m
n
mn
+
+
，即变成(
)
2
m
n
+
，从而使得
2
a
b
+
得以化简．
例如：
(
)
(
)
(
)
2
2
2
5
2 6
3
2
2 6
3
2
2 2
3
3
2
+
=
+
+
=
+
+
=
+
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
8
2 7
1 7
2 7
1
7
2 1
7
1
7
1
7
+
= +
+
=
+
+
=
+
=
+
(1)请仿照上例化简：12
2 35
+
= ，9
4 5
+
= ．
(2)请运用上述方法化简11 2 30
−
．（写出计算过程）
(3)若
(
)
2
2 15
a
m
n
+
=
+
，且a 、m 、n 均为整数，求a 的值．
【答案】(1)(
)
2
7
5
+
，(
)
2
5
2
+
(2)
6
5
−
(3)a 的值为8 或16．
【分析】
（1）对于形如
2
A
B
的式子，可尝试将A拆分为两个数
,
m n的和，且mn
B
=
，则原式可化为
2
(
)
m
n
．
（2）对于形如
2
A
B
的式子，可尝试将A拆分为两个数
,
m n的和，且mn
B
=
，则原式可化为
2
(
)
m
n
．
（3）将等式右边展开，根据对应项系数相等，结合m 、n 为整数的条件，求出m 、n 的值，进而求出a 的
值．
【详解】（1）解：12
2 35
+
7
5
2 7 5
=
+ +
(
)
(
)
2
2
7
5
2 7
5
=
+
+
(
)
2
7
5
=
+
，
9
4 5
+
9
2 20
=
+
5
4
2 5 4
= + +
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(
)
(
)
2
2
5
4
2 5
4
=
+
+
(
)
2
5
2
=
+
；
（2）解：11 2 30
6
5
2 6 5
−
=
+ −
(
)
(
)
2
2
6
5
2 6
5
=
+
−
(
)
2
6
5
=
−
6
5
=
−
；
（3）解：∵(
)
2
2
m
n
m
n
mn
+
=
+
+
，
(
)
2
2 15
a
m
n
+
=
+
，
m
n
a
+
=
，
15
mn =
∵m 、n 均为整数，且15 1 15
3 5
=
= ，
∴当
1
m = ，
15
n =
时，
1 15 16
a = +
=
，
当
15
m =
，
1
n = 时，
15 1 16
a =
+ =
，
当
3
m =
，
5
n = 时，
3 5
8
a = + =
，
当
5
m =
，
3
n = 时，
5 3
8
a = + =
，
∴
8
a = 或16．
14．（25-26 八年级下·吉林·期中）在当今时代，国家人才培养和筛选机制正经历重大转变，以往单纯依靠死
记硬背和题海战术的学习方式，已难以适应新的人才需求，自学能力逐渐成为孩子成长过程中不可或缺的
关键因素．小知在家学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
(
)
(
)
2
2
2
3
2 2
2
2 2
1
2
2 2 1 1
2
1
+
=
+
+ =
+
+
=
+
，
(
)
(
)
(
)
2
2
2
5
2 6
3
2 6
2
3
2 3 2
2
3
2
+
=
+
+
=
+
+
=
+
根据以上信息，解答下列问题．
(1)填空：8
2 7
+
=(______ 1
+ ) 2 ；
(2)将7
2 10
+
化成另一个式子的平方；
(3)化简二次根式3
2 2
−
，聪明的小知同学思考后说：我的解决思路是将3 2 2
−
转化为(
)
2
a
b
−
的形式，
再根据(
)
2
a
b
a
b
−
=
−
进行化简，请你根据小知的做题思路直接写出3
2 2
−
化简为_____．
【答案】(1) 7
(2)(
)
2
5
2
+
(3) 2 1
−
【分析】（1）仿照小知的方法将8
2 7
+
化为完全平方公式，即可求解；
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（2）仿照小知的方法将7
2 10
+
化为完全平方公式，即可求解；
（3）仿照小知的方法将3
2 2
−
化为(
)
2
2
1
−
，即可化简；
【详解】（1）解：8
2 7
+
7
2 7
1
=
+
+
(
)
2
2
7
2
7 1 1
=
+
+
(
)
2
7
1
=
+
．
（2）解：7
2 10
+
5
2 10
2
=
+
+
(
)
(
)
2
2
5
2
5
2
2
=
+
+
(
)
2
5
2
=
+
．
（3）解：3
2 2
−
2
2 2
1
=
−
+
(
)
2
2
1
=
−
2
1
=
−
2 1
=
−．
15．（25-26 八年级下·广东汕头·期末）阅读材料：把根式
2
x
y
进行化简，若能找到两个数
,
m n，使
2
2
m
n
x
+
=
，mn
y
=
，即把
2
x
y
变成
(
)
2
2
2
2
m
n
mn
m
n
+
=
，从而可以对根式
2
x
y
进行化简．
例如：化简：5
2 6
−
．
解：
(
)
(
)
(
)
2
2
2
5
2 6
3
2 6
2
3
2
3
2
2
3
2
−
=
−
+
=
−
+
=
−
，
(
)
2
5
2 6
3
2
3
2
−
=
−
=
−
．
根据上述材料，解答下列问题．
(1)化简：6
4 2
+
．
(2)化简：
2
1
m
m
+
−
．
(3)计算：19
8 3
10
4 6
+
−
−
．
【答案】(1)2
2
+
(2)
1 1
m−+
(3)6
3
6
+
−
【分析】（1）仿照例题即可求解；
（2）将
2
1
m
m
+
−化为(
)
2
1 1
m −+
，再利用二次根式的性质化简计算；
（3）将19
8 3
10
4 6
+
−
−
变形为(
)
(
)
2
2
4
3
6
2
+
−
−
，再利用二次根式的性质化简计算．
【详解】（1）解：∵
(
)
(
)
2
2
2
6
4 2
2
2 2
2
2
2
2
+
=
+
+
=
+
，
∴
(
)
2
6
4 2
2
2
2
2
+
=
+
=
+
；
（2）解：∵
2
1
m
m
+
−
1 2
1 1 1
m
m
=
−+
−+
(
)
2
2
1
2
1 1 1
m
m
=
−
+
−+
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(
)
2
1 1
m
=
−+
，
而
1
0
m−
，则
1 1
0
m−+
∴
(
)
2
2
1
1 1
1 1
m
m
m
m
+
−
=
−+
=
−+ ；
（3）解：19
8 3
10
4 6
+
−
−
(
)
(
)
2
2
4
3
6
2
=
+
−
−
4
3
6
2
=
+
−
−
4
3
6
2
=
+
−
+
6
3
6
=
+
−
．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（25-26 八年级下·河北保定·期末）下列式子一定是二次根式的为（ ）
A．
x
B．
2x
C．
2
x +
D．
2
1
x −
【答案】B
【详解】解：根据定义，形如
(
)
0
a a
的式子叫做二次根式，即只有被开方数恒非负时，式子一定是二次
根式．
对选项A，当
0
x
时，被开方数
0
x
，
x 不是二次根式；
对选项C，当
2
x
−
时，被开方数
2
0
x+
，
2
x +
不是二次根式；
对选项D，当1
1
x
−
时，被开方数
2
1
0
x −
，
2
1
x −不是二次根式；
对选项B，对任意实数x ，都有
2
0
x
，满足二次根式被开方数非负的要求，
2x 一定是二次根式．
2．（2026·贵州遵义·模拟预测）式子
3
x + 在实数范围内无意义，则x 的值可能是（ ）
A．4
−
B．3
−
C．1
D．6
【答案】A
【分析】二次根式在实数范围内无意义时，被开方数为负数，据此求出x 的取值范围，再结合选项判断即可．
【详解】∵式子
3
x + 在实数范围内无意义，
∴由题意得
3
0
x + ，
解得
3
x
−
，
观察选项，只有4
3
−−，符合条件，
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故选：A．
3．（2026·江苏苏州·模拟预测）若
0
x
，则化简
3x y
−
的结果是（ ）
A．x xy
−
B．x
xy
−
C．x
xy
−
−
D．x xy
【答案】C
【分析】根据二次根式有意义的条件结合二次根式的性质化简即可．
【详解】解：由二次根式有意义的条件，得
3
0
x y
−
，
∵
0
x
，
∴
3
0
x
，
∴
3
0
x
−
，
∴
0
y
，
∵
0
x
，
0
y
，
∴
0
xy
−
，
∴
(
)
3
2
2
x y
x
xy
x
xy
−
=
−
=
−
，
∵
0
x
，
∴
2x
x
x
=
= −，
∴ 原式
xy
x
= −
−
．
4．（25-26 八年级下·山东德州·期末）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简
2
2
2
(
1)
(
1)
(
)
a
b
b
a
+
+
−
−
−
的结果是（ ）
A．2a
B．2b
−
C．2
−
D．0
【答案】B
【详解】解：由数轴可知：
1 0
1
a
b
−
，则有
1
0,
1
0,
0
a
b
b
a
+
−
−
，
∴
2
2
2
(
1)
(
1)
(
)
1
1
2
a
b
b
a
a
b
b
a
b
+
+
−
−
−
= −−−+ −+
= −
．
5．（25-26 八年级下·广东惠州·期中）一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根
式，例如：
3 、
6
3
−
、3
2 2
+
都是复合二次根式．其中，有些特殊的复合二次根式可以进一步化
简，如：3
2 2
+
=
(
)
(
)
2
2
21
2
2 1
2
1
2
1
2
+
+
=
+
= +
．请你利用上述方法化简复合二次根式：
8
2 15
−
= （）
A．6
2
−
B．5
3
−
C．15 1
−
D．7
1
−
【答案】B
【分析】将被开方数凑成完全平方式，再开方化简即可．
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【详解】解：∵8
2 15
5 3 2
5
3
−
= + −
(
)
(
)
2
2
5
3
2
5
3
=
+
−
(
)
2
5
3
=
−
，
∴
(
)
2
8
2 15
5
3
−
=
−
又∵5
3
，
∴(
)
2
5
3
5
3
−
=
−
．
二、填空题
6．（2026·云南·二模）若
20
n
−
是整数，则n 的值可以是_______（写出一个即可）
【答案】20（答案不唯一）
【分析】根据二次根式的定义，若
20
n
−
为整数，则被开方数20
n
−必须是非负的完全平方数，据此即可
求出n 的一个符合条件的值．
【详解】解：
20
n
−
是整数，
20 n
−
是非负的完全平方数，
设
2
20
n
k
−
=
，其中k 为非负整数， 整理得
2
20
n
k
=
−
，
取
0
k =
，得
2
20
0
20
n =
−
=
．
7．（26-27 九年级·全国·暑假作业）二次根式
3
x−
有意义，则x 的取值范围是______；若
2
1
0
x
y
+
+
−
=
，
则x
y
+
的值为______．
【答案】
3
x
1
−
【详解】已知二次根式
3
x−
有意义，
所以
3
0
x −
，解得
3
x
．
因为二次根式和绝对值都具有非负性，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，
已知
2
1
0
x
y
+
+
−
=
，
因此
2
0
x +
=
，
1
0
y−
=
，
解得
2
x = −，
1
y = ，
所以
1
x
y
+
= −．
8．（25-26 九年级下·山东烟台·期末）化简
(
)
2
2
(
2025)
2026
x
x
−
−
−
的值为________．
【答案】1
【分析】先根据二次根式有意义的条件确定自变量x 的取值范围，再利用二次根式的性质
2
|
| (
)
a
a
a
=
为实数，
2
(
)
(
0)
a
a a
=
化简，最后合并同类项得到结果．
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【详解】 解：要使
2026
x −
有意义，可得
2026
0
x−
解得
2026
x
由
2026
x
，可得
2025
0
x−
化简原式：
(
)
2
2
(
2025)
2026
x
x
−
−
−
|
2025| (
2026)
x
x
=
−
−
−
(
2025)
2026
x
x
=
−
−
+
1
= ．
9．（2026·重庆·模拟预测）若三角形的三边长为a、b、c，且满足
2
(
3)
|
4|
5
5
a
b
c
c
−
+
−
=
−
+
−
，则该三角
形的面积为________．
【答案】6
【分析】先根据二次根式有意义的条件确定c 的值，再利用非负数的性质求出,a b 的值，最后根据勾股定理
的逆定理判断三角形形状，计算三角形面积即可.
【详解】解：由题意，
5
0,5
0
c
c
−
−
，解得
5
c =
，
将
5
c =
代入原式得
2
(
3)
4
0
a
b
−
+
−
=
，
∴
3
0
a −=
，
4
0
b−
=
，
解得
3
a = ，
4
b =
，
2
2
2
2
2
2
3
4
25
5
a
b
c
+
=
+
=
=
=
，
该三角形是直角三角形，直角边长为3和4 ，
面积为1
3 4
6
2
=
.
10．（25-26 八年级下·江苏宿迁·期末）利用完全平方公式可将某些像
2
a
b
+
的式子化为完全平方式，例如
(
)
(
)
2
2
3
2 2
2
2 2
1
2
1
+
=
+
+ =
+
．根据上述方法，化简：14
4 6
2 3
+
−
得__________．
【答案】2
【分析】根据
(
)
(
)
(
)
2
2
2
14
4 6
2
2 2 3
2
2 3
2
2 3
+
=
+
+
=
+
，求解即可
【详解】解：
(
)
(
)
(
)
2
2
2
14
4 6
2
2 2 3
2
2 3
2
2 3
+
=
+
+
=
+
，
原式
(
)
2
2
2 3
2 3
2
2 3
2 3
2
=
+
−
=
+
−
=
三、解答题
11．（25-26 八年级下·新疆巴州·期中）已知m 、n 满足(
)
2
3
1
0
m
n
−
+
−
=
，x 、y 满足
2
2
4
y
x
x
=
−
+
−
+
，
求
m
n
x
y
+
的值．
【答案】12
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【分析】先根据平方和绝对值的非负性求出
3
m =
，
1
n = ，再根据二次根式的定义求出
2
x =
，进而求出
4
y =
，
即可求解．
【详解】解：(
)
2
3
1
0
m
n
−
+
−
=
，
3
0
m−
=
，
1
0
n−=
，
解得
3
m =
，
1
n = ，
x 、y 满足
2
2
4
y
x
x
=
−
+
−
+
，
2
0
x−
，2
0
x
−
，
解得
2
x
，
2
x
，
2
x =
，
4
y =
，
3
1
2
4
8
4
12
m
n
x
y =
+
+
= +
=
．
12．（25-26 八年级下·山东烟台·期末）化简下列各式：
(1)
2
( 1 2 )
1
x
x
−
−−
．
(2)已知a ，b ，c 为ABC
的三边长，化简代数式
2
2
(
)
(
)
a
b
c
b
a
c
+
−
+
−
−
．
【答案】(1)
x
−
(2)2a
【分析】（1）首先根据二次根式有意义的条件确定x 的取值范围，进而确定1
x
−
的符号，然后根据二次根式
的性质和绝对值的意义化简即可；
（2）首先根据构成三角形的条件判断被开方数的底数的符号，进而利用
2
a
a
=
化简即可．
【详解】（1）解：∵二次根式有意义，
1 2
0
x
−
，
解得
1
2
x
．
1
0
x
−
．
(
)
(
)
2
1 2
1
1 2
1
1 2
1
x
x
x
x
x
x
x
−
−
−
= −
−
−
= −
−+
= −；
（2）解：
a
，b ，c 为ABC
的三边长，
a
b
c
+
，a
c
b
+
，
即
0
a
b c
+ −
，
0
b
a
c
−−
．
2
2
(
)
(
)
a
b
c
b
a
c
a
b
c
a
c
b
+
−
+
−
−
=
+
−+
+ −
2a
=
．
13．（25-26 八年级下·广东江门·期中）已知a
b
，为实数，且a
b
，满足
7
7
1
a
a
b
−
+
−
=
+ ．
(1)求a 的值；
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(2)求
2
2
a
b
−
的平方根．
【答案】(1)
7
a =
；
(2)
2
2
a
b
−
的平方根为4 3
．
【分析】（1）由二次根式有意义的条件，可得
7
0
a −
，7
0
a
−
，即可得a 的值；
（2）由（1）得
7
a =
，结合已知可得
1
b = −，可得
2
2
a
b
−
，即可得
2
2
a
b
−
的平方根．
【详解】（1）解：∵
7
0
a −
，
∴
7
a
，
∵7
0
a
−
，
∴
7
a
，
∴
7
a =
．
（2）解：∵
7
a =
，
∴
7
0
a −
=
，7
0
a
−
=
，
∵
7
7
1
a
a
b
−
+
−
=
+ ，
∴
1
0
b+ =
，
∴
1
b = −，
∴
(
)
2
2
2
2
7
1
49 1
48
a
b
−
=
−−
=
−=
，
∴
2
2
a
b
−
的平方根为
48
4 3
=
．
14．（25-26 八年级下·广东东莞·期中）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子
的平方，如：
(
)
2
3
2 2
1
2
+
=
+
．善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：
(
)
(
)
2
2
2
3
2 2
1
2 1
2
2
1
2
+
=
+
+
=
+
．请你仿照小明的方法解决下列问题：
(1)
(
)
2
4
2 3
3
a
b
−
=
−
，则a =_______，b = _______；
(2)已知x 是4
2 3
−
的算术平方根，求
2
2
2024
x
x
+
−
的值．
【答案】(1)1,1
(2) 2022
−
【分析】（1）先将4
2 3
−
配方为(
)
2
1
3
−
，再根据左右两边式子相等得到a
b
、的值；
（2）先利用配方法得到4
2 3
−
的算术平方根，代入代数式计算即可．
【详解】（1）解：
(
)
2
2
2
2
4
2 3
3
2 3
1
( 3
1)
(1
3)
−
=
−
+
=
−
=
−
，
由
(
)
2
4
2 3
3
a
b
−
=
−
可得
1
1
a
b
=
=
；
（2）解：
(
)
(
)
2
2
2
4
2 3
3
2 1
3
1
3
1
−
=
−
+
=
−
，
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(
)
2
3
1
3
1
x
=
−
=
−，
∴
(
)
2
2
2024
4
2 3
2
3 1
2024
4
2
2024
2022
x
x
+
−
=
−
+
−
−
=
−−
= −
．
15．（25-26 八年级下·浙江金华·期中）阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成
另一个式子的平方．
例如：
(
)
2
3
2 2
1
2
+
=
+
，善于思考的小敏进行了以下探索：
当a、b、m、n均为整数时，若
(
)
2
2
2
a
b
m
n
+
=
+
，则有
2
2
2
2
2
2
a
b
m
n
mn
+
=
+
+
．
2
2
2
a
m
n
=
+
，
2
b
mn
=
．这
样小敏就找到了一种把类似
2
a
b
+
的式子化为平方式的方法．
例如：化简3
2 2
+
．
解：因为
(
)
(
)
2
2
2
3
2 2
1
2
2 2
1
2
2 1
2
1
2
+
= +
+
=
+
+
=
+
，
所以
(
)
2
3
2 2
1
2
1
2
+
=
+
= +
．
请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n 均为整数时，若
(
)
2
5
5
a
b
m
n
+
=
+
，用含m 、n 的式子分别表示a、b，则：a = ，b = ；
(2)化简：11 6 2
−
；
(3)已知1
2
a
，化简：
(
)
1
2
1
2
1
2
a
a
a
a
+
−+
−
−
．
【答案】(1)
2
2
5
m
n
+
，2mn
(2)3
2
−
(3)
2
【分析】（1）利用完全平方公式将(
)
2
5
m
n
+
展开，再对应相等即可得出结果；
（2）将被开方数11 6 2
−
，变形为(
)
2
3
2
−
，再结合二次根式的性质化简即可；
（3）由1
2
a
，得出0
1
1
a
−，再将根号里面的变成完全平方式，最后根据二次根式的性质化简即可
得出结果．
【详解】（1）解：∵(
)
2
2
2
5
2 5
5
m
n
m
mn
n
+
=
+
+
，且
(
)
2
5
5
a
b
m
n
+
=
+
，
∴
2
2
5
a
m
n
=
+
，
2
b
mn
=
；
（2）解：∵
(
)
(
)
2
2
2
11 6 2
9
2
6 2
3
2
2 3
2
3
2
−
=
+
−
=
+
−
=
−
，
∴
(
)
2
11 6 2
3
2
3
2
−
=
−
=
−
；
（3）解：∵1
2
a
，
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∴0
1 1
a
−，
∴0
1
1
a
−，
∴
(
)
1
2
1
2
1
2
a
a
a
a
+
−+
−
−
(
)
1
1 1 2
1
1 1 2
1
2
a
a
a
a
−+ +
−+
+ −
=
−
−
(
)
(
)
2
2
2
2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
2
a
a
a
a
−
+
+
−+
−
+
−
−
=
(
)
(
)
2
2
1
1 1
1 1
2
a
a
−+
+
−−
=
(
)
1
1 1
1
1
2
a
a
=
−+ +
−
−
1
2
2
=
2
=
．
