专题03二次根式概念及性质（专项训练）（原卷版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2027新《8上数学•同步备课资料合集》（新教材北师大）

 
 
 
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专题03 二次根式概念及性质 
 
常考题型·精准突破 
题型1 利用二次根式的定义识别与求字母的值（重） 
题型2 根据二次根式有意义条件求范围（高频） 
题型3 根据二次根式有意义求值（高频） 
题型4 根据二次根式的性质化简二次根式（难） 
题型5 复杂的复合二次根式化简（难） 
综合攻坚·知能拔高 
常考题型·精准突破 
◆题型1 利用二次根式的定义识别与求字母的值 
1．（25-26 八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列式子中，是二次根式的是（     ） 
A．
x 
B．5 
C．3 3 
D．
3
a −
 
2．（25-26 八年级下·山东聊城·期末）下列式子一定是二次根式的是（     ） 
A．
2
− 
B．
3 27
−
 
C．
2026
a +
 
D．
2
2026
x +
 
3．（25-26 八年级下·河北唐山·期中）已知8n 是整数，则正整数n 的最小值为（    ） 
A．8 
B．6 
C．4 
D．2 
 
◆题型2 根据二次根式有意义条件求范围 
4．（25-26 八年级下·吉林延边·期末）要使二次根式
3
a −
有意义，则a 的取值范围是_______________． 
5．（25-26 八年级下·辽宁抚顺·期末）要使二次根式6
3x
−
有意义，则x 的取值范围是________． 
6．（25-26 八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）若二次根式
2026
x
−
有意义，则x 的取值范围是_________． 
 
◆题型3 根据二次根式有意义求值 
7．（25-26 七年级下·河南信阳·期末）若
3
7
7
3
4
y
x
x
=
−
+
−
+
，则xy =_____________． 
8．（25-26 八年级下·四川广元·期中）已知
1
1
1
5
2
y
x
x
=
−+
−
+
，则
x
y−的值为______． 
 
 
 
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9．
（2026·四川广安·中考真题）已知a ，b 为实数，且8
3
2 12
5
5
26
a
b
a
b
−
+
−
=
−
+
，则
5
11
a
b
+
的平方根是_____． 
 
◆题型4 根据二次根式的性质化简二次根式 
10．（25-26 八年级下·江苏南京·期末）若
0
a 
，则
2
a
a
−
= _______． 
11．（25-26 八年级下·四川德阳·期末）当2
4
x

时，化简：
2
4
(
2)
x
x
−
+
−
= ________． 
12．（25-26 八年级下·山东聊城·阶段检测）实数a，b 在数轴上的位置如图所示，化简：
(
)
(
)
2
2
1
1
a
b
a
b
+ −
−
+
−
=______． 
 
 
◆题型5 复杂的复合二次根式化简 
13．（25-26 八年级下·山东聊城·期中）有这样一类题目：将
2
a
b
+
化简，如果你能找到两个数m 、n ，使
2
2
m
n
a
+
=
且mn =
b ，则将
2
a
b
+
变成
2
2
2
m
n
mn
+
+
，即变成(
)
2
m
n
+
，从而使得
2
a
b
+
得以化简． 
例如：
(
)
(
)
(
)
2
2
2
5
2 6
3
2
2 6
3
2
2 2
3
3
2
+
=
+
+
=
+
+

=
+
 
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
8
2 7
1 7
2 7
1
7
2 1
7
1
7
1
7
+
= +
+
=
+
+

=
+
=
+
 
(1)请仿照上例化简：12
2 35
+
=  ，9
4 5
+
= ． 
(2)请运用上述方法化简11 2 30
−
．（写出计算过程） 
(3)若
(
)
2
2 15
a
m
n
+
=
+
，且a 、m 、n 均为整数，求a 的值． 
14．（25-26 八年级下·吉林·期中）在当今时代，国家人才培养和筛选机制正经历重大转变，以往单纯依靠死
记硬背和题海战术的学习方式，已难以适应新的人才需求，自学能力逐渐成为孩子成长过程中不可或缺的
关键因素．小知在家学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： 
(
)
(
)
2
2
2
3
2 2
2
2 2
1
2
2 2 1 1
2
1
+
=
+
+ =
+
+
=
+
， 
(
)
(
)
(
)
2
2
2
5
2 6
3
2 6
2
3
2 3 2
2
3
2
+
=
+
+
=
+

+
=
+
 
根据以上信息，解答下列问题． 
(1)填空：8
2 7
+
=(______ 1
+ ) 2 ； 
(2)将7
2 10
+
化成另一个式子的平方； 
(3)化简二次根式3
2 2
−
，聪明的小知同学思考后说：我的解决思路是将3 2 2
−
转化为(
)
2
a
b
−
的形式，
 
 
 
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再根据(
)
2
a
b
a
b
−
=
−
进行化简，请你根据小知的做题思路直接写出3
2 2
−
化简为_____． 
15．（25-26 八年级下·广东汕头·期末）阅读材料：把根式
2
x
y

进行化简，若能找到两个数
,
m n，使
2
2
m
n
x
+
=
，mn
y
=
，即把
2
x
y

变成
(
)
2
2
2
2
m
n
mn
m
n
+

=

，从而可以对根式
2
x
y

进行化简． 
例如：化简：5
2 6
−
． 
解：
(
)
(
)
(
)
2
2
2
5
2 6
3
2 6
2
3
2
3
2
2
3
2
−
=
−
+
=
−

+
=
−

， 
(
)
2
5
2 6
3
2
3
2

−
=
−
=
−
． 
根据上述材料，解答下列问题． 
(1)化简：6
4 2
+
． 
(2)化简：
2
1
m
m
+
−
． 
(3)计算：19
8 3
10
4 6
+
−
−
． 
 
 
 
综合攻坚·知能拔高 
一、单选题 
1．（25-26 八年级下·河北保定·期末）下列式子一定是二次根式的为（     ） 
A．
x 
B．
2x 
C．
2
x +
 
D．
2
1
x − 
2．（2026·贵州遵义·模拟预测）式子
3
x + 在实数范围内无意义，则x 的值可能是（     ） 
A．4
− 
B．3
− 
C．1 
D．6 
3．（2026·江苏苏州·模拟预测）若
0
x 
，则化简
3x y
−
的结果是（     ） 
A．x xy
−
 
B．x
xy
−
 
C．x
xy
−
−
 
D．x xy 
4．（25-26 八年级下·山东德州·期末）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简
2
2
2
(
1)
(
1)
(
)
a
b
b
a
+
+
−
−
−
的结果是（     ） 
 
A．2a 
B．2b
−
 
C．2
− 
D．0 
5．（25-26 八年级下·广东惠州·期中）一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根
式，例如：
3 、
6
3
−
、3
2 2
+
都是复合二次根式．其中，有些特殊的复合二次根式可以进一步化
 
 
 
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简，如：3
2 2
+
=
(
)
(
)
2
2
21
2
2 1
2
1
2
1
2
+
+ 
=
+
= +
．请你利用上述方法化简复合二次根式：
8
2 15
−
= （） 
A．6
2
−
 
B．5
3
−
 
C．15 1
− 
D．7
1
− 
 
二、填空题 
6．（2026·云南·二模）若
20
n
−
是整数，则n 的值可以是_______（写出一个即可） 
7．（26-27 九年级·全国·暑假作业）二次根式
3
x−
有意义，则x 的取值范围是______；若
2
1
0
x
y
+
+
−
=
，
则x
y
+
的值为______． 
8．（25-26 九年级下·山东烟台·期末）化简
(
)
2
2
(
2025)
2026
x
x
−
−
−
的值为________． 
9．（2026·重庆·模拟预测）若三角形的三边长为a、b、c，且满足
2
(
3)
|
4|
5
5
a
b
c
c
−
+
−
=
−
+
−
，则该三角
形的面积为________． 
10．（25-26 八年级下·江苏宿迁·期末）利用完全平方公式可将某些像
2
a
b
+
的式子化为完全平方式，例如
(
)
(
)
2
2
3
2 2
2
2 2
1
2
1
+
=
+
+ =
+
．根据上述方法，化简：14
4 6
2 3
+
−
得__________． 
 
三、解答题 
11．（25-26 八年级下·新疆巴州·期中）已知m 、n 满足(
)
2
3
1
0
m
n
−
+
−
=
，x 、y 满足
2
2
4
y
x
x
=
−
+
−
+
，
求
m
n
x
y
+
的值． 
12．（25-26 八年级下·山东烟台·期末）化简下列各式： 
(1)
2
( 1 2 )
1
x
x
−
−−
． 
(2)已知a ，b ，c 为ABC

的三边长，化简代数式
2
2
(
)
(
)
a
b
c
b
a
c
+
−
+
−
−
． 
13．（25-26 八年级下·广东江门·期中）已知a
b
，为实数，且a
b
，满足
7
7
1
a
a
b
−
+
−
=
+ ． 
(1)求a 的值； 
(2)求
2
2
a
b
−
的平方根． 
14．（25-26 八年级下·广东东莞·期中）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子
的平方，如：
(
)
2
3
2 2
1
2
+
=
+
．善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：
(
)
(
)
2
2
2
3
2 2
1
2 1
2
2
1
2
+
=
+ 
+
=
+
．请你仿照小明的方法解决下列问题： 
(1)
(
)
2
4
2 3
3
a
b
−
=
−
，则a =_______，b = _______； 
(2)已知x 是4
2 3
−
的算术平方根，求
2
2
2024
x
x
+
−
的值． 
15．（25-26 八年级下·浙江金华·期中）阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成
另一个式子的平方． 
 
 
 
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例如：
(
)
2
3
2 2
1
2
+
=
+
，善于思考的小敏进行了以下探索： 
当a、b、m、n均为整数时，若
(
)
2
2
2
a
b
m
n
+
=
+
，则有
2
2
2
2
2
2
a
b
m
n
mn
+
=
+
+
．
2
2
2
a
m
n
=
+
，
2
b
mn
=
．这
样小敏就找到了一种把类似
2
a
b
+
的式子化为平方式的方法． 
例如：化简3
2 2
+
． 
解：因为
(
)
(
)
2
2
2
3
2 2
1
2
2 2
1
2
2 1
2
1
2
+
= +
+
=
+
+ 
=
+
， 
所以
(
)
2
3
2 2
1
2
1
2
+
=
+
= +
． 
请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题： 
(1)当a、b、m、n 均为整数时，若
(
)
2
5
5
a
b
m
n
+
=
+
，用含m 、n 的式子分别表示a、b，则：a = ，b = ； 
(2)化简：11 6 2
−
； 
(3)已知1
2
a


，化简：
(
)
1
2
1
2
1
2
a
a
a
a
+
−+
−
−
．