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1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题03 实数计算综合 （题型突破·举一反三） 题型01 利用定义解方程 题型02 二次根式的加减 题型03 二次根式的乘除 题型04 二次根式计算的应用 ▌题型01 利用定义解方程 目前我们学习过一元一次方程的解法，但是对于高次方程，还没有涉及。目前我们学习了平方根和立方根的 知识，可以利用其定义求解简单的二次方程和三次方程。 原理：①若𝑥2 = 𝑎，则𝑥= ±√𝑎；②若𝑥3 = 𝑎，则𝑥= √𝑎 3 【典例1】求下列各式中𝑥的值． (1)169𝑥2 = 100； (2)(𝑥+ 1)2 = 81； (3)9𝑥2 = 25； (4)4(𝑥−2)2 = 9． 【变式1-1】解方程： (1)(3𝑥−1)2 = 4 (2)3(𝑥+ 1)3 + 81 = 0 【变式1-2】解方程．(𝑥−1)2 = 9． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】解方程∶ (𝑥−3)3 = − 1 8； 【变式1-4】解方程： (1)(𝑥+ 1)2 = 4； (2)8(2𝑥−1)3 = −27． 【变式1-5】解方程： （1）9𝑥2 −4 = 0； （2）2(𝑥+ 1)3 + 16 = 0． ▌题型02 二次根式的乘除 1.二次根式乘法法则 二次根式的乘法法则: ( ) 0 b 0 a ab b a = ， 【注意】 ①要注意a≥0，b≥0 这个条件，只有a，b 都是非负数时法则成立； ② ( ) 0 d 0 c 0 b 0 a abcd d c b a = ， ， ， 同样成立； ③乘法交换律在二次根式中仍然适用。 法则变形（积的算术平方根）：√𝑎𝑏=√𝑎× √𝑏（a≥0，b≥0） 2.二次根式除法法则 二次根式的除法法则：√𝑎 √𝑏= √𝑎 𝑏（a≥0，b＞0） 【注意】 ①要注意a≥0，b＞0 这个条件，因为b=0 时，分母为0，没有意义。 ②在实际解题时，若不考虑a、b 的正负性，直接得√𝑎 𝑏= √𝑎 √𝑏 是错误的。 二次根式的除法法则变形（商的算术平方根）： √𝑎 𝑏= √𝑎 √𝑏（a≥0，b＞0） 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例2】计算： (1)√8 × √18； (2)√1.2 × 102 × √3 × 105； (3)√2 × √5 × √10； (4) 1 4 √12 × 3√3． 【典例3】计算： (1)√50 √10． (2)√32 √2 ． (3) 2 √2． (4) √1.6×104 √0.4×102． 【变式2-1】计算： (1)√2 × √6； (2)(2 −√2)(3 + 2√2)． 【变式2-2】计算： (1)(2 −√2)(3 + 2√2)； (2)(√2 + √3 −√5)(√2 −√3 + √5)． 【变式2-3】计算 (1)√18 √3 . (2)√32 √8 . (3)√3 1 5 ÷ √1 3 5. (4) 3√𝑎𝑏3 2√𝑎𝑏2. 【变式2-4】计算： (1) 1 3 √𝑥𝑦𝑧2 ⋅3√𝑥𝑦𝑧； 4 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2) 3 2 √ 2 3 ÷ √ 3 2 ÷ 3√ 1 6； (3)5𝑎√ 3𝑎 𝑥⋅3𝑎𝑥√4𝑥3 5𝑎2； (4)√ 6 𝑥+𝑦÷ √ 12 𝑥−𝑦． 【变式2-5】计算： (1)√27 × √50 ÷ √6； (2)3√45 ÷ √ 1 5 × 2 3 √2 2 3； (3)3√ 2 3 × (− 1 8 √15) ÷ 1 2 √ 2 5； (4)8√𝑎2𝑏÷ 2√𝑎𝑏· √ 𝑎 𝑏(𝑎> 0, 𝑏> 0)． 【变式2-6】计算： 2 𝑏√𝑎𝑏5 ⋅(− 3 2 √𝑎3𝑏) ÷ (3√𝑏 𝑎 ) ( 𝑏> 0 )； 【变式2-7】计算： (1)3√3 1 2 × (1 8 √1 4 7) ÷ (1 4 √5 1 2)； (2) 2 𝑦√𝑥𝑦5 ⋅( 3 2 √𝑥2𝑦) ÷ (1 3 √ 𝑦 𝑥) (𝑥> 0, 𝑦> 0)． 【变式2-8】计算： (1)(2√5) 2； (2)√(− 2 3) 2 ； (3)√5 × √20； (4)√ 3 2 ÷ √ 1 18； (5) 3√2 √28； (6)√15 × √50 ÷ √6． 【变式2-9】下面是小明和大刚分别计算：√2 × √18，√27 √3 的做法． 小明的做法： 5 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 解：√2 × √18 = √2 × 18 = √36 = 6 √27 √3 = √ 27 3 = √9 = 3． 大刚的做法： 解：√2 × √18 = √2 × √2 × 9 = √2 × 3√2 = 6 √27 √3 = 3√3 √3 = 3． 两人的做法是否都正确?并选一个你认为合适的方法，计算下面的题目： (1)3√3 × √15； (2) √5 √45． 【变式2-10】请阅读下面材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个 数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：小聪：√4 × 25 = √100 = 10， √4 × √25 = 2 × 5 = 10，所以√4 × 25 = √4 × √25． 小明：(√4 × 25) 2 = 4 × 25 = 100，(√4 × √25) 2 = (2 × 5)2 = 100 这就说明√4 × 25和√4 × √25都是4 × 25的算术平方根，而4 × 25的算术平方根只有一个，所以√4 × 25 = √4 × √25． 任务： (1)猜想：当𝑎≥0，𝑏≥0时，√𝑎𝑏和√𝑎× √𝑏之间存在怎样的关系？并仿照小聪或小明的方法举出一个例子 进行说明； (2)运用以上结论，计算： ①√16 × 36； ②√49 × 121； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为√27，宽为√12，求这个长方形的面积． ▌题型03 二次根式的加减 6 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1.最简二次根式 ①被开方数不含分母，例：√3 5、3 √5 ； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，例：√27 3 。 2.同类二次根式 同类二次根式是指至少两个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同则称为同类二次根式。 判断时需先将所有根式化简为最简形式，再比较被开方数是否一致。同类二次根式与同类项均具有合并特性， 合并法则均为保持根式（或字母）不变、系数相加减。但两者判断依据不同：前者仅取决于化简后被开方数 的同一性，而后者需字母及其指数均对应相同。 3.二次根式的加减 二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行 合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。 4.二次根式的混合运算 二次根式混合运算顺序：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减。 注意：运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式。 【典例4】计算：√20 −√45 + √5． 【变式3-1】 3 2 √5 − 3 4 √5 + 1 3 √5 【变式3-2】（1）用“>”“<”或“=”填空：√1 √2，√2 √3． （2）由（1）可知： ①|1 −√2| = ， ②|√2 −√3| = ． （3）计算：|1 −√2|+|√2 −√3|+|√3 −√4|+ ⋯+|√2022 −√2023|． 【变式3-3】计算：2√3 + 3√12 −2√27． 【变式3-4】若𝑥= √5 + 1，𝑦= √5 −1，求下列各式的值． 7 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)𝑥+ 𝑦； (2)(𝑥+ 𝑦)2 −(𝑥−𝑦)2． 【变式3-5】已知𝑥= √3 + 1，𝑦= √3 −1，求 1 𝑥+ 1 𝑦的值． 【变式3-6】已知𝑥= √5 + 2，𝑦= √5 −2，求下列各式的值 (1)𝑥2 + 2𝑥𝑦+ 𝑦2； (2)𝑥2 −𝑦2． 【变式3-7】（1）已知𝑥= √3 −1，求𝑥2 + 2𝑥+ 2的值． （2）已知𝑥= 1 2+√3，𝑦= 1 2−√3，求𝑥2 + 2𝑥𝑦−𝑦2的值． ▌题型04 二次根式计算的应用 二次根式的计算在实际中有非常广泛的运用，以化简、加减乘除运算为基础，结合题目中给出的公式，进行 阅读理解，巩固根式化简、分母有理化等核心计算技巧，理清实际问题与根式算式的转化方法，熟练用二次 根式解决生活与几何计算题，提升运算准确率与数学建模能力。 【典例5】全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12 年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石 上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：𝑑= 7√𝑡−12(𝑡≥12)，其中d 表示苔藓的直径，单位是厘米，t 代表冰川消失的时间（单位：年） (1)计算冰川消失21 年后苔藓的直径为多少厘米？ (2)如果测得一些苔藓的直径是35 厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 【变式4-1】我们把形如𝑎√𝑥+ 𝑏（𝑎，𝑏为有理数，√𝑥为最简二次根式）的数叫做√𝑥型无理数，如2√2 + 1是 √2型无理数，则(√6 −√2) 2属于无理数的类型为（ ）． A．√2型 B．√3型 C．√6型 D．√12型 8 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式4-2】物体自由下落时，如果不考虑空气的阻力，那么物体从开始下落到刚好落地的距离𝑠(m)与时间 𝑡(s)可用公式𝑠= 4.9𝑡2来估计． (1)把这个公式变形成用s 表示t 的公式； (2)有一只野兔从山崖边不慎跌入176.4m深的峡谷，则它落到峡谷底经过了多长时间？ 【变式4-3】定义：若两个二次根式𝑎，𝑏满足𝑎⋅𝑏= 𝑐，且𝑐为有理数，则称𝑎与𝑏是关于𝑐的共轭二次根式． (1)√ 1 2与√2是关于______的共轭二次根式； (2)若𝑚与2√5 −3√2是关于2 的共轭二次根式，则𝑚=______； (3)若3 + √3与6 + √3𝑛是关于12 的共轭二次根式，求𝑛的值． 【变式4-4】文化我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分 别为𝑎，𝑏，𝑐，则其中三角形的面积𝑆= √1 4 [𝑎2𝑏2 −( 𝑎2+𝑏2−𝑐2 2 ) 2 ]．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式 如出一辙，如果设𝑝= 𝑎+𝑏+𝑐 2 ，那么其三角形的面积𝑆= √𝑝(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐)，这个公式便是海伦公式， 也被称为海伦——秦九韶公式． (1)如图，若△𝐴𝐵𝐶的三边长依次为𝐵𝐶= 𝑎= 5，𝐴𝐶= 𝑏= 6，𝐴𝐵= 𝑐= 7． 请利用以上两个公式，分别求该三角形的面积S； (2)除了利用以上公式，你还可以用什么办法求出该三角形的面积𝑆？请写出求解过程； 【变式4-5】阅读以下材料：如果两个正数𝑎､𝑏，即𝑎> 0､𝑏> 0，由完全平方式的非负数性质可得： ∵(√𝑎−√𝑏)2 ≥0（当√𝑎= √𝑏即𝑎= 𝑏时，取等号）， ∴𝑎−2√𝑎𝑏+ 𝑏≥0 ∴𝑎+ 𝑏≥2√𝑎𝑏（当且仅当𝑎= 𝑏时取等号） 结论：对任意两个正数𝑎, 𝑏，都有𝑎+ 𝑏≥2√𝑎𝑏；上述不等式当且仅当𝑎= 𝑏时等号成立．当这两个正数𝑎, 𝑏的 积为定值（常数）时，可以利用这个结论求两数𝑎, 𝑏的和的最小值． 例如：当𝑥为正数时，两数𝑥和 4 𝑥均为正数，且𝑥⋅ 4 𝑥= 4（常数），则有𝑥+ 4 𝑥≥2√𝑥⋅ 4 𝑥= 2 × √4 = 4当且仅当 𝑥= 4 𝑥即𝑥= 2时取等号 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴当𝑥= 2时，𝑥+ 4 𝑥有最小值，最小值为4. 利用以上结论完成下列问题： (1)已知𝑚为正数，即𝑚> 0，则当𝑚= 时，𝑚+ 1 𝑚取到最小值，最小值为 ； (2)当𝑦､𝑥均为正数，即𝑦> 0, 𝑥> 0时，求函数𝑦= 𝑥+ 4 𝑥+1的最小值； (3)如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线𝐴𝐶､𝐵𝐷相交于点𝑂,△𝐴𝑂𝐵､△𝐶𝑂𝐷的面积分别是4 和9，求四边形𝐴𝐵𝐶𝐷面积 的最小值． 【变式4-6】“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有认识】 （1）√2既可以从算术平方根的角度理解，也能将其看成是面积为 的正方形的边长； （2）图1、图2 是由同一个五边形通过不同的分割法所形成，图1、图2 都含有3 块全等的直角三角形，已 知直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c． ①图1 的面积为 ，②图2 的面积为 ． ③由此我们可以得到等式： ； 【类比学习】 探究√2的近似值（精确到0.001） 凯凯：我们已经知道√2是介于1.4 与1.5 之间的一个无理数，设√2 = 1.4 + 𝑥．图3 是边长为√2的正方形， 观察图3 后写下如下过程：(√2) 2 = (1.4 + 𝑥)2，即2 = 1.96 + 2.8𝑥+ 𝑥2，由于x 较小，𝑥2可忽略不计，得： 2.8𝑥≈0.04, 𝑥≈0.014，故√2 ≈1.414 仿照凯凯的方法，探究√5的近似值（精确到0.001），设计出图形并直接写出结果． （数据参考：2.2 < √5 < 2.3） ∴√5 ≈ ．
