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专题 10 二次函数中线段﹑周长与面积的最值问题及定值问题
题型1 利用二次函数解决单线段的最值问题
题型2 利用二次函数解决两条线段之和的最值问题
题型3 利用二次函数解决两条线段之差的最值问题
题型4 利用二次函数解决三条线段之和的最值问题
题型5 利用二次函数解决三角形周长的最值问题
题型6 利用二次函数解决四边形周长的最值问题
题型7 利用二次函数解决图形面积的最值问题
类型一 利用割补、拼接法解决面积最值问题
类型二 利用用铅垂定理巧求斜三角形面积最值问题
类型三 构建平行线，利用同底等高解决面积最值问题
题型8 利用二次函数解决定值问题
题型一 利用二次函数解决单线段的最值问题（共 3 小题）
1．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于
y=ax2+2x+c(a≠0) x
A(-1, 0), B(3, 0)两点，与y轴交于点C，作直线BC．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图，点P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，请问线段PQ是否
存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点M是直线BC上一动点，N是抛物线上一点，过点M作线段MN∥OC（点N在直线BC下方），
已知MN=2，请直接写出点M的坐标．2．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）已知，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于
A(-1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．当点P在第一象限时，求
线段PE的最大值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不
存在，请说明理由．
3．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，抛物线 与x轴交于点 、
y=ax2+bx-4(a≠0) A(-2,0)
B(4,0)，与y轴交于点C，连接BC．点P是线段BC下方抛物线上的一个动点（不与点B、C重合），
过点P作y轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点N，设点P的横坐标为t．
(1)求出该抛物线的解析式；
(2)根据图像直接写出y>0时，x的取值范围；
(3)求线段PM长度的最大值．
题型二 利用二次函数解决两条线段之和的最值问题（共 3 小题）1．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a(x+1)(x-3)(a>0)与x
轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为E．直线y=kx-k(k≠0)与x轴
交于点F，与抛物线交于M，N两点，且EF=4．
(1)求抛物线的表达式．
(2)若∠CFN=2∠ACO，求k的值．
(3)直线AM与直线BN交于点P，求PA+PB的最小值．
2．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，已知抛物线y=x2+bx+c过点A(1,0)、B(0,-3)，点C的
坐标为(2,m)．
(1)求此抛物线对应的函数解析式；
(2)直接写出抛物线的对称轴；
(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标；
(4)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B、C、M、N为顶点的四边形是平行
四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
1
3．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，抛物线y= x2+bx-2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C
2点，且A(-1,0)．
(1)求抛物线的解析式及对称轴；
(2)点M是对称轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求M点的坐标及MC+MD的最小值．
题型三 利用二次函数解决两条线段之差的最值问题（共 3 小题）
1．（25-26九年级上·重庆渝北·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4与x轴，y轴分别交于
两点，抛物线 经过 两点与 轴相交于点 ．
A，B y=ax2+x+c(a≠0) A，B x C
(1)求抛物线的解析式：
(2)若点M为直线BC上方抛物线上任意一点，过M作ME⊥BC于点E，当ME最大时，Q为y轴上一
动点，求|MQ-CQ|的最大值．
(3)若点P在抛物线上，连接PB，当∠PBC+∠OBA=45°时，请直接写出点P的坐标．
2．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中；已知抛物线的顶点坐标为(2,0)，且1
经过点(4,1)，如图，直线y= x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=-1．
4
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使|PA-PB|取得最大值？若存在，求出点P的坐标；若不
存在，请说明理由；
(3)已知 为平面内一定点， 为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F
F(x ,y ) M(m,n)
0 0
的距离总是相等，求定点F的坐标．
1
3．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=- x+2与x轴交于点
2
1 3
B，与y轴交于点C，抛物线y=- x2+bx+c的对称轴是直线x= ，该对称轴与x轴的交点为点A，
2 2
且经过点B、C两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M为抛物线对称轴上一动点，当|BM-CM|的值最小时，请你求出点M的坐标；题型四 利用二次函数解决三条线段之和的最值问题（共 4 小题）
1．（25-26九年级上·重庆合川·期中）如图，抛物线y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点A和B(8,0)，与
y轴正半轴交于点C，且3OC=4OA抛物线的顶点为D．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P是直线BC上方的抛物线上的一动点，当△BCP的面积最大时．在x轴上找一点N，在y轴上
找一点M，使得MD+MN+PN的值最小，并求此时的点M和N的坐标．
(3)若Q是抛物线上一点，∠QCB=∠ABC，请写出点Q的坐标，并写出其中一个点的求解过程．
2．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+b的图像与一次函数
y=-x+1的图像交于A，B两点，已知B(6,-5)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点C是直线AB上方抛物线上的一动点，连接AC，BC．点M，N是y轴上的两动点（M在N上
方），且满足MN=3，连接CM，BN，当△ABC的面积取得最大值时，求CM+MN+BN的最小
值；
(3)当（2）中CM+MN+BN取得最小值时，若Q是抛物线对称轴上位于直线MC上方的一动点，是
否存在以C、M、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
1
3.（25-26九年级上·天津和平·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的表达y=- x2+bx+c与
2
x轴交于点B(-2,0)和点C(4,0)，与y轴交于点A．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PQ⊥AC，垂足为点Q，点E，F分别是x轴和
直线AC上一点，当PQ取得最大值时，求此时点P的坐标及OF+EF+EQ的最小值．
题型五 利用二次函数解决三角形周长的最值问题（共 3 小题）
1．（25-26九年级上·天津河西·阶段练习）已知抛物线 的图象与y轴交于点
y=a(x-1) 2-3(a≠0)
A(0,-2)，顶点为B．
(1)试确定a的值，并写出B点的坐标；
(2)试在x轴上求一点P，使得△PAB的周长取最小值．2．（25-26九年级上·山东临沂·阶段练习）如图，已知抛物线的顶点为A(1,4)，抛物线与y轴交于点
B(0,3)，与x轴交于C、D两点，点P是抛物线对称轴上的一个动点．
(1)求此抛物线的解析式．
(2)求C、D两点坐标及△BCD的面积．
(3)求点P的坐标，使△PCB的周长最小．
3．（2025·甘肃武威·一模）如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点，
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求（1）中抛物线的对称轴及顶点坐标；
(3)设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？
若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2022·青海西宁·一模）已知，如图，抛物线 与y轴交于点C，与x轴交于
y=ax2+2ax+c(a>0)
A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为(1,0)，OC=3OB．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使得△BCE的周长最小，如果存在，求出点E；
(3)若点D是x轴下方抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，△ABD的面积为S，求出S与m的函
数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；请问当m为何值时，S有最大值？最大值是多少．
题型六 利用二次函数解决四边形周长的最值问题（共 4 小题）
1．（2025·甘肃定西·三模）如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A, B(-3, 0)两点，与y轴交于
C(0, -3)，直线y=x+m经过点B，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E．
(1)求抛物线y=x2+bx+c的表达式；
(2)连接BC, CE，求△BCE的面积；
(3)如图2，直线BE与抛物线对称轴交于点F，在x轴上有M, N两点（M在N的右侧），且MN=2，
若将线段MN在x轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长最小，求出此时周长的最小值．
2．（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于A(-1,0)，B(5,0)两点，与y轴交于点C(0,5)．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平
行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形
DEFG的周长最大时，求点D的坐标；
(3)如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称
轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标．
3．（2025·湖南岳阳·二模）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象与
y=ax2-4x+c(a≠0)
x轴交于点A(1,0)和点B，与y轴交于点C(0,3)．
(1)求此抛物线的表达式．
(2)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形
PAOC周长的最小值及点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)将抛物线y=ax2-4x+c在x轴以下的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到新图象，如图3，若
1 1
直线y=kx+ (k>0)与此新图象有且仅有三个交点．求当1≤x≤3时，代数式kx+ +ax2-4x+c
16 16的最大值．
4．（24-25九年级上·山东威海·期末）抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)，B(3,0)，与y轴交
于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P为第一象限内抛物线上一点，过点P作PQ∥x轴交直线BC于点Q．过点P作PH⊥x轴于
点H，过点Q作QG⊥x轴于点G．当点P位于何处时，四边形PQGH的周长最大？最大周长为多
少？
题型七 利用二次函数解决图形面积的最值问题（共 2 小题）
1．（23-24九年级上·安徽池州·阶段练习）如图，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上两点，且
CE=CF，AB=4．
(1)设CE=x，△AEF的面积为y，求y关于x的函数关系式；
(2)当x取何值时，△AEF的面积最大？求出此时△AEF的面积．3．（2025·四川绵阳·三模）如图，过A(1,0)、B(3,0)作x轴的垂线，分别交直线y=4-x于C、D两点．
抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点M，N是平面直角坐标系中的两点，若四边形ODMN是正方形，求直线DN与抛物线的交点P
的坐标；
(3)若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与
△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．
类型一 利用割补、拼接法解决面积最值问题（共 5 小题）
1．（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-3,0)，C(0,4)两
点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x=-1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)已知点M是抛物线对称轴上一点，当△MBC的周长最小时，求M点的坐标．
(3)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D
点的坐标；
(4)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，使以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图1，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于
C，已知点B坐标为(4,0)，点C坐标为(0,4)，点P为抛物线上的一个点，其横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点P为直线BC上方抛物线上的一个点，连接PC，PB，当四边形PBOC的面积最大时，求出P
点的坐标；
(3)过点P作PM⊥x轴，交直线BC于M，记PM的长为d，点P到y轴的距离为g，且l=d+g．
①求l与m的函数解析式；
②当l=14时，直接写出m的值．
3．（2022·黑龙江绥化·二模）图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B(1,0)，与y轴交于点
C(0,3)，其对称轴为x=-1．
(1)求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；
(2)若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴上．
①当PA⊥NA，且PA＝NA时，求此时点P的坐标；
②求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．4．（2024九年级下·山西·专题练习）综合与探究
如图，抛物线y=x2+bx与x轴交于A,O两点（点A在点O的右侧），与直线y=kx交于点B(4,4)，
点C(0,3)在y轴上．点P从点B出发，以每秒❑√2个单位长度的速度沿线段BO方向匀速运动，运动到
点O时停止．
(1)求抛物线的函数表达式及点A的坐标．
(2)如图1，过点P作PD⊥OA交抛物线于点D，连接PC,OD，当四边形OCPD为平行四边形时，
求t的值．
(3)如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以每秒1个单位长度沿x轴正方向匀速运动，
点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ,PC，求四边形CPQO面积的最大值．
5．（2024·湖南·一模）定义：若抛物线 的图象恒过定点 ，则称 为
L:y=ax2+bx+c M(x ,y ) M(x ,y )
0 0 0 0
抛物线 的“不动点”．已知：若抛物线 与 轴交于点 ，顶点为 ．
L L:y=ax2-2ax+x+1(a<0) y B C
(1)求抛物线L的不动点坐标；
(2)若抛物线L的对称轴是直线x=2，对称轴与x轴交于点A．①求抛物线L的解析式；
②如图所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP,AP，求△ABP的面积的最大
值．
类型二 利用用铅垂定理巧求斜三角形面积最值问题（共小 4 题）
1．（25-26九年级上·山东临沂·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与
y=ax2+bx+c(a≠0)
x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3)，连接BC．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若P点是抛物线对称轴上的一点，求点P的坐标，使PA+PC值最小；
(3)若M是抛物线上位于直线BC上方的一个动点，求△BCM的面积的最大值及此时点M的坐标．
2.（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x
y=ax2+2x+c(a≠0)
轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA=1，对称轴为直线x=2．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积最大时点E的坐标．3．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）平面直角坐标系中，直线y=-x+4与抛物线y=x2+bx+4交
于过y轴上的点M和点N(n,1)．
(1)求n和b的值；
(2)A为直线MN下方抛物线上一点，连接AM，AN，求△AMN的面积的最大值．
4．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左
侧），与y轴交于点N，过A点的直线l:y=-x-1与y轴交于点C，与抛物线y=-x2+bx+c的另一
个交点为D，已知A(-1,0)，D(5,-6)，P点为抛物线y=-x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线l上方的抛物线上时，连接PA、PD，当△PAD的面积最大时，求P点的坐标；
(3)设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C、M、P为顶点的四边形为平行四边形？
若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．类型三 构建平行线，利用同底等高解决面积最值问题（共 1 小题）
1．（23-24九年级上·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与y
轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且A(-2,0)，直线BC的解析式为
1
y=- x+3．
2
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE、EB、BD、
DC，求四边形BECD面积的最大值时相应点E的坐标；
题型八 利用二次函数解决定值问题（共 4 小题）
1．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(-1,0)，B(3,0)两点，
与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC，P是直线BC上方抛物线上一点，作PE∥x轴交抛物线于点E，过点P作PF⊥x轴交
BC于F，求PE+PF的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，已知点Q(-1,2)直线GH过点Q且与抛物线交于点G，H，直线BG、BH与y轴分别交于S，
T两点，试探究OS⋅OT是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
2．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知抛物线 与x轴交于点 ，点
y=ax2+bx-3(a≠0) A(-1,0)
B(3,0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，是否存在以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四
边形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否
1 1
存在一点F，使得当经过点F的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有 + 为定值？
FS2 FT2
若存在，求出点F坐标及定值，若不存在，请说明理由．
3．（2025·四川南充·二模）如图，抛物线y=ax2-2ax+3的最大值为4，顶点为P，PH⊥x轴于H，经
过PH中点C的任意直线与抛物线交于A, B, PA, PB分别与x轴交于E,F．(1)求抛物线的解析式．
(2)当四边形PAHB是平行四边形时，求四边形的面积S．
(3)判断HE⋅HF是否为定值，并说明由．
4．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，抛物线 与 轴交于 、 两点（ 点在
y=a(x-1) 2+b x A B A
B点左侧），与y轴负半轴交于C点，若AB=4且OC=OB．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)如图1，P点在第四象限内的抛物线上且CB平分∠ACP，求点P的坐标；
(3)如图2，直线x=h与线段OB交于点H，与抛物线交于点G，动点P在B、G两点之间的抛物线上，
直线AP、BP与直线x=h分别交于M、N两点， 若HM+3HN恒为定值，求h的值．
