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专题 04 利用二次函数求解最值问题
目录
A题型建模・专项突破
题型一、利用二次函数求线段最值的问题..............................................................................................................1
题型二、利用二次函数求线段和最值的问题..........................................................................................................6
题型三、利用二次函数求线段差最值的问题........................................................................................................11
题型四、利用二次函数求周长最值的问题............................................................................................................18
题型五、利用二次函数求面积最值的问题............................................................................................................24
B综合攻坚・能力跃升
题型一、利用二次函数求线段最值的问题
1．（2025·福建·二模）如图，已知二次函数 的图像与x轴交于 ，B两点，与y轴交
于点C，作直线 ．
(1)求直线 的函数表达式；
(2)P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作 于点Q，当线段 取得最大值时，求点P的坐标．
2．（2025·安徽阜阳·三模）如图，抛物线 与x轴交于 ， 两点，与y轴交于点
，连接 ．D是在第一象限内的抛物线上的一个动点，连接 ，交线段 于点E．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点E在该抛物线的对称轴上，求 的长；(3)过点D作y轴的平行线，交 于点F，求 的最大值．
3．（2025·安徽合肥·二模）如图，点 、 、 在抛物线 上．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点 是线段 上一个动点，过点 作 轴的垂线交抛物线于点 ，求线段 长度最大时点 的坐标．
(3)点 是抛物线上的动点，在 轴上是否存在点 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四
边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点 的坐标；如果不存在，请说明理由．
题型二、利用二次函数求线段和最值的问题
4．如图，抛物线 交 轴于点 和点 ，交 轴于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 为该抛物线对称轴上的一点，当 最小时，求点 的坐标．
5．（2025·青海西宁·一模）已知，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点B，C，与y
轴交于点A，其中 ．
(1)求抛物线的函数表达式(2)如图1，连接 ，点P是直线 上方抛物线上一动点，过点P作 轴交 于点K，过点K作
轴，垂足为点E；求 的最大值并求出此时点P的坐标；
6．（2025·海南海口·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 和
，与x轴的另一个交点为点C，其顶点D的横坐标为1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求四边形 的面积；
(3)若直线 与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得 有最大
值，并求出最大值；
(4)当 时，二次函数的最大值与最小值的差为9，求n的取值范围．
题型三、利用二次函数求线段差最值的问题
7．（2025·河北·一模）如图，已知抛物线 过点 ，且它的对称轴为 ．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点P是抛物线对称轴上的一点，当 的面积为21时，求点P的坐标；
(3)在（2）条件下，当点P在 上方时，M是抛物线上的动点，求 的最大值．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A和点B，A在B的左侧，与y 轴
交于点C，点P为直线 上方抛物线上一动点．(1)求直线 的解析式；
(2)过点 作y轴的平行线交 于点M，求线段 时点 的坐标；
(3)过 作 轴，交 于M，当 的值最大时，求 的坐标和 的最大值．
9．如图，直线 与抛物线 交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是第一象限的抛物线上一点，点P位于何处时四边形 面积最大，此时P点的坐标为______，
四边形 的面积的最大值为______．
(3)在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上找点Q使 值最大，求Q点坐标及 的最大值．
题型四、利用二次函数求周长最值的问题
10．已知，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
(1)求点A、B、C三点的坐标；(2)过点A作 交抛物线于点P，求四边形 的面积；
(3)在（2）的条件下，在线段 上是否存在一点M，使 的周长最小？若存在，请直接写出
周长的最小值；若不存在，请说明理由．
11．如图，抛物线 的图象与 轴交于 两点，与 轴交于点 ，顶点为 ．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得 的周长最小？若存在，求出 点的坐标并计算
的周长；若不存在，请说明理由；
(3)设点 在第四象限，且在抛物线上，当 的面积最大，求此时点 的坐标．（直接写出结果）
12．（2025·甘肃定西·三模）如图1，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于
，直线 经过点 ，且与 轴交于点 ，与抛物线交于点 ．
(1)求抛物线 的表达式；
(2)连接 ，求 的面积；
(3)如图2，直线 与抛物线对称轴交于点 ，在 轴上有 两点（ 在 的右侧），且 ，若
将线段 在 轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形 的周长最小，求出此时周长的最小值．
题型五、利用二次函数求面积最值的问题
13．（2025·山东东营·一模）如图，抛物线经过 ， ， 三点．(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使 的值最小，求点P的坐标；
(3)动点M在第四象限内的抛物线上，求四边形ACMB面积最大时点M的坐标．
14．（2025·宁夏银川·一模）如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点B到直线 的距离；
(3)点P在第二象限的抛物线上运动，求当 的面积最大时，点P的坐标以及最大面积．
15．如图，已知抛物线经过点 ， ， 三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M是线段 上的点（不与B，C重合），过M作 轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，
请用含m的代数式表示 的长；
(3)在（2）的条件下，连接 ， ，是否存在点M，使 的面积最大？若存在，求出最大值及点M
的坐标；若不存在，说明理由．一、单选题
1．（2025·广东中山·一模）如图，抛物线 与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段 在抛
物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且 ．当四边形 的周长最小时，点D的坐标为（
）
A． B． C． D．
二、填空题
2．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，已知抛物线 过点 ，点 ．
（1）该抛物线的顶点坐标为 ．
（2）点C是 上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接 ， ，则 面积的最大值为
．
三、解答题
3．如图，二次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴的负半轴交于点 ．(1)求二次函数的解析式．
(2)若点 是这个二次函数图象在第二象限内的一点，过点 作 轴的垂线与线段 交于点 ，求线段
长度的最大值．
4．如图，已知抛物线 与 轴相交于 两点，与 轴相交于点 ，抛物
线的顶点为 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若 是直线 下方抛物线上任意一点，过点 作 轴于点 ，与 交于点 ，求线段 长度
的最大值．
(3)若点 在 轴上，且 ，直接写出点 的坐标．
5．如图，二次函数的图像与x轴交于 和 两点，交y轴与点 ，点C，D是二次函数图
象上的一对对称点，一次函数的图像过点B，D．
(1)求二次函数解析式；
(2)求出顶点坐标和点D的坐标；
(3)二次函数的对称轴上是否存在的一点M，使 的周长最小？若存在，求出M点坐标；若不存在，
请说明理由．(4)若 是线段 上任意一点，过点 作 轴交抛物线于点P，则点P坐标为多少时， 最长？
6．如图，已经抛物线经过点 ，且它的对称轴 ．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点B是抛物线线上的一点，当 的面积为15时，直接写B的坐标；
(3)P是对称轴上的一点，当 的值最大时，求P的坐标以及 的最大值．
7．如图，抛物线 （ ）与 轴交于点 ，点 ，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在对称轴上找一点 ，使 的周长最小，求点 的坐标；
(3) 是第四象限内抛物线上的动点，求 面积 的最大值及此时 点的坐标．
8．已知对称轴为 的二次函数 的图像与 轴交于 ， ，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式和直线 的解析式；
(2)点 是对称轴上的一个动点，连接 ， ，是否存在点 使 最大，若存在，求出点
的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使 是直角三角形？若存在，请直接写出点 的坐标，若不存
在请说明理由．9．已知二次函数 的图像经过点 ，点 ，点 ，
(1)求该二次函数的解析式；
(2)如图1，点 为线段 上方抛物线上任意一点，过 作 于点 轴交 于点 ，求
周长的最大值；
(3)在（2）的条件下， 为抛物线上一动点，当 时，求点 的横坐标．
10．如图①，已知二次函数 与 轴相交于 、 两点，与 轴相交于点 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图②，连结 、 ．
①在对称轴上是否存在一个点 ，使 的周长最小？若存在，请求出点 的坐标和此时 的周长；
若不存在，请说明理由；
②点 为抛物线在第四象限内图象上一个动点，是否存在点 ，使得 的面积最大？若存在，请求出
点 的坐标和此时 面积的最大值；若不存在，请说明理由．
