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专题03 实际问题与二次函数
常考题型·精准突破
题型1 销售问题（高频）
题型2 拱桥问题（重）
题型3 投球问题（高频）
题型4 喷水问题（重）
题型5 图形问题（难）
题型6 图形运动问题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 销售问题
1．
【答案】(1)制作一件A 品的成本为6 元，制作一件B 品的成本为4 元
(2)
2
10
580
3600
w
x
x
= −
+
−
(3)制作A 品100 件，B 品200 件时，总成本不超过1400 元且总利润最大
【详解】（1）解：设制作一件B 品的成本为a 元，则制作一件A 品的成本为(
)
2
a +
元，
由题意可知：120
80
2
a
a
=
+
，
解得：
4
a =
，
经检验：
4
a =
是原方程的根，符合题意，
故
2
6
a+
=
，
答：制作一件A 品的成本为6 元，制作一件B 品的成本为4 元；
（2）解：∵当A 品售价为18元/件时，其销量为220 件，售价每涨1元，销量减少10件，
∴A 品的销量为：
(
)
220 10
18
400 10
x
x
−
−
=
−
(件)，
∴B 品的销量为：
(
)
300
400 10
10
100
x
x
−
−
=
−
(件)，
∴
(
)(
) (
)(
)
2
6
400 10
16
4 10
100
10
580
3600
w
x
x
x
x
x
=
−
−
+
−
−
= −
+
−
，
答：w 关于x 的函数解析式为：
2
10
580
3600
w
x
x
= −
+
−
；
（3）解：∵制作A 品和B 品的总成本不超过1400元，
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∴(
)
(
)
6 400 10
4 10
100
1400
x
x
−
+
−
，
解得：
30
x
，
又∵400 10
0
x
−
且10
100
0
x−
，即10
40
x
，
∴30
40
x
，
∵
(
)
2
2
10
580
3600
10
29
4810
w
x
x
x
= −
+
−
= −
−
+
，10
0
−
，
∴当30
40
x
时，w 随着x 的增大而减小，
∴当
30
x =
时，
(
)
2
max
10 30
29
4810
4800
w
= −
−
+
=
．
此时400 10
100
x
−
=
，10
100
200
x−
=
，总成本等于1400 元，
答：制作A 品100 件，B 品200 件时，总成本不超过1400 元且总利润最大．
2．
【答案】(1)此月平均增长率为10%
(2)
①每架迷你无人机的售价应降低20 元；②要想获得利润最大，售价应定为105元．
【详解】（1）解：设此月平均增长率为x，
由题意得，
(
)
2
1100 1
1331
x
+
=
，
解得
0.1 10%
x =
=
或
2.1
x = −
（舍去），
答：此月平均增长率为10% ；
（2）解：①设每架迷你无人机的售价应降低m 元，
由题意得，(
)(
)
120
80
20
2
1200
m
m
−
−
+
=
，
整理得
2
30
200
0
m
m
−
+
=
，
解得
10
m =
或
20
m =
，
∵需要尽量减少库存，
∴
20
m =
，
答：每架迷你无人机的售价应降低20 元；
②设获得的利润为W 元，每架迷你无人机的售价应降低n 元，
由题意得，
(
)(
)
120
80
20
2
W
n
n
=
−
−
+
(
)(
)
40
20
2
n
n
=
−
+
2
2
60
800
n
n
= −
+
+
(
)
2
2
15
1250
n
= −
−
+
，
∵2
0
−
，
∴当
15
n =
时，W 有最大值，最大值为1250，
此时120
105
n
−
=
，
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答：要想获得利润最大，售价应定为105元．
3．
【答案】(1)A、B 两款冰箱贴每件售价分别是25 元、22 元
(2)当B 款冰箱贴销售单价定为19元时，该景区一天内销售这款冰箱贴获得的利润最大，最大利润是4050元
【详解】（1）解：设A、B 两款冰箱贴每件售价分别为x 元，y 元，
根据题意得：
2
3
116
4
113
x
y
x
y
+
=
+
=
，解得
25
22
x
y
=
=
．
答：A、B 两款冰箱贴每件售价分别是25 元、22元．
（2）解：销售单价下降a 元，
∴销售量为(
)
300
50a
+
件，
根据题意得：
(
)(
)
2
22
10
300
50
50
300
3600
W
a
a
a
a
=
−
−
+
= −
+
+
，
(
)
2
2
50
300
3600
50
3
4050
W
a
a
a
= −
+
+
= −
−
+
，
50
0
−
，0
22
a
，
开口向下，
当
3
a = 时，W 有最大值为4050，
B 款冰箱贴销售单价：
−=
22 3 19（元）．
答：当B 款冰箱贴销售单价定为19元时，该景区一天内销售这款冰箱贴获得的利润最大，最大利润是4050
元．
◆题型2 拱桥问题
4．
【答案】(1)方案一，
(
)
5,0
B
；方案二，
(
)
10,0
B
；方案三，
(
)
5, 5
B
−
(2)方案一，
2
1
5
5
y
x
= −
+ ；方案二
(
)
2
1
5
5
5
y
x
= −
−
+ ；方案三，
2
1
y
x
5
= −
(3)4 5m
【详解】（1）解：分情况讨论：
选择方案一：
由题意得
5m
OB =
，
(
)
5,0
B
;
选择方案二：
由题意得
10m
OB =
，
(
)
10,0
B
;
选择方案三：
由对称性可知点A与点B 关于y 轴对称，
10
B
A
x
x
−
=
，
5
B
x
=
，
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又桥洞与水面的最大距离是5m ，
5
B
y
= −，
(
)
5, 5
B
−
．
（2）解：分情况讨论：
选择方案一：由题意得抛物线顶点坐标为(
)
0,5 ，
抛物线开口向下，故设抛物线解析式为
2
5
y
ax
= −
+ ，
代入
(
)
5,0
B
，得0
25
5
a
= −
+
，
解得
1
5
a =
，
抛物线解析式为
2
1
5
5
y
x
= −
+ ;
选择方案二：由题意得抛物线顶点坐标为(
)
5,5
A
，
抛物线开口向下，故设抛物线解析式为
(
)
2
5
5
y
a x
= −
−
+ ，
代入
(
)
10,0
B
，得0
25
5
a
= −
+
，
解得
1
5
a =
，
抛物线解析式为
(
)
2
1
5
5
5
y
x
= −
−
+ ;
选择方案三：由题意得抛物线顶点坐标为
(
)
0,0
O
，
抛物线开口向下，故设抛物线解析式为
2
y
ax
= −
，
代入
(
)
5, 5
B
−
，得5
25a
−= −
，
解得
1
5
a =
，
抛物线解析式为
2
1
y
x
5
= −
．
（3）解：选择方案三中的解析式，
5
B
y = −
，
暴雨水位上升1m后，代入
4
y
−
=
，得
2
1
4
5 x
−= −
，
解得
2 5
x =
或2 5
−
，
水面宽为
(
)
2 5
2 5
4 5m
−−
=
．
5．
【答案】(1)该抛物线的表达式为
2
3
48
400
y
x
−
=
+
(2)灯带两端水平距离的最大长度为40m
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【详解】（1）解：由题意可知，抛物线对称轴为y 轴，顶点C 坐标为(0,48) ，
设该抛物线表达式为
2
48
y
ax
=
+
，
80
AB
m
=
，
36
AE
m
=
，
由对称性得A点的坐标为( 40,36)
−
，
将
( 40,36)
A −
代入表达式得：
(
)
2
36
40
48
a
=
−
+
，
解得
3
400
a
−
=
，
该抛物线的表达式为
2
3
48
400
y
x
−
=
+
．
（2）解：要求离地高度不低于45m，即
45
y
，
令
45
y =
代入抛物线表达式得
2
3
45
48
400 x
−
=
+
，
整理得
2
400
x =
，
解得
1
20
x =
，
2
20
x = −
，
两个交点的水平距离为：
(
)
20
20
40m
−−
=
，
因此灯带两端水平距离的最大长度为40m ．
6．
【答案】(1)①
(
)
2
1
33
9
121
y
x
= −
−
+
；②44 米
(2)98 米
【详解】（1）解：①由题意得抛物线的顶点为桥拱最高点，横坐标为
33
2
OA =
，纵坐标为9，即顶点坐标为
(
)
33,9 ．
设函数表达式为
(
)
2
33
9
y
a x
=
−
+
，
将原点(
)
0,0 代入上式，得(
)
2
0
33
9
0
a
−
+
=
，
解得
1
121
a = −
，
∴该桥拱抛物线的函数表达式为
(
)
2
1
33
9
121
y
x
= −
−
+
；
②平台MN 距离桥面OA的垂直距离为5 米，即点M 的纵坐标
5
y =
，
将其代入抛物线解析式
(
)
2
1
33
9
121
y
x
= −
−
+
，
得
(
)
2
1
33
9
5
121 x
−
−
+
=
，
解得
1
2
11,
55
x
x
=
=
，
∴
55 11
44
MN =
−
=
（米）．
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答：该水平作业平台MN 的长度为44 米；
（2）解：设点D 的横坐标为m ，
由抛物线的对称性可知，点G 的横坐标为66
m
−
，
∴
(
)
66
66
2
DG
m
m
m
=
−
−
=
−
，
矩形的高DE 即为点D 的纵坐标，
2
1
6
121
11
DE
m
m
= −
+
．
设矩形DEFG 的周长为C ，
∴
(
)
2
1
6
2
66
2
121
11
C
m
m
m
=
−
+
+
−
2
1
16
2
66
121
11
m
m
=
−
−
+
2
2
32
132
121
11
m
m
−
=
−
+
(
)
2
2
88
260
121 m
−
=
+
+
，
∴抛物线的对称轴为直线
88
m = −
，开口向下，
∴当
88
m −
时，函数C 随m 的增大而减小，
根据题意，DE 边到桥墩距离不小于11 米，即
11
m
．
∴当m 取最小值11 时，周长C 取得最大值．
当
11
m =
时，
(
)
2
2
11 88
260
98
121
C
−
=
+
+
=
（米）．
答：单块宣传牌的周长最大值为98 米．
◆题型3 投球问题
7．
【答案】（1）解：根据题意可知，抛物线的顶点为(
)
4,3 ，点P 坐标为(
)
0,1.8 ，
设抛物线的顶点式为：
(
)
2
4
3
y
a x
=
−
+ ，
∴
2
1.8
(0
4)
3
a
=
−
+ ，
∴
3
40
a = −
，
∴抛物线的表达式为：
(
)
2
3
4
3
40
y
x
= −
−
+ ；
(2)小明此次练习能得满分．
理由：由（1）知抛物线表达式为
(
)
2
3
4
3
40
y
x
= −
−
+ ，出手点与落地点的水平距离，即点O和点M 之间距
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离，
当
0
y =
时，
(
)
2
3
0
4
3
40 x
= −
−
+ ，
解得
1
4
2 10
x =
+
，
2
4
2 10
x =
−
，
点M 坐标为(
)
4
2 10,0
+
或(
)
4
2 10,0
−
，
∵点M 在x 轴正半轴，
∴(
)
4
2 10,0
−
（不符合题意，舍去），
4
2 10
OM
=
+
，
36
40
49
，
6
2 10
7
，
10
4
2 10
11
+
，
小明此次练习能得满分．
8．
【答案】(1)8，1000
(2)
2
125
16
y
x
=
(3)4cm
【详解】（1）解：把
0.1
t =
，
0.8
x =
代入
0
x
v
t
=
得
0
0.8
8
/
0.1
x
v
cm s
t
=
=
=
；
把
0.1
t =
，
5
y = −代入
2
1
2
y
gt
= −
，得：
(
)
2
1
5
0.1
2 g
−
−=
，
解得：
2
2 5
1000
/
0.01
g
cm s
=
=
；
（2）解：由（1）知
8
x
t
=
，
2
500
y
t
= −
．
8
x
t
=
．
2
2
125
500
8
16
x
y
x
−
−
=
=
．
钢球运动轨迹所形成的抛物线的表达式为
2
125
16
y
x
= −
．
（3）解：当钢球恰好落到箱子里，且从箱子左侧进入，此时箱子左侧到点O 的水平距离最远．
(
)
140 15
125 cm
−
=
．
当
125
y = −
，即
2
125
125
16 x
−
= −
，解得
4
x = （负值已舍去）．
箱子左侧到点O 的水平距离最远是4cm ．
9．
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【答案】(1) (
)
9,8.1
A −
，
(
)
10,0
B
；
(2)能避开障碍物和暗礁；
(3) 41
21
4
2
p
．
【详解】（1）解：∵飞机在距水面垂直高度为8.1的A处投放跳弹，直线AO 的表达式为
0.9
y
x
= −
，
∴当
8.1
y =
时，0.9
8.1
x
−
=
，
解得：
9
x =
，
∴
(
)
9,8.1
A −
，
∵
2
1
0.2
.5
:
5
2
C
y
x
x
= −
+
，
当
0
y =
时，
2
0.25
2.5
0
x
x
−
+
=
，
解得：
1
0
x =
，
2
10
x =
，
∴
(
)
10,0
B
；
（2）解：∵
2
2
2
:
0. 5
C
y
x
mx
n
= −
+
+
，抛物线
2
C 在
14
x =
时距水面最高，
∴
(
)
14
2
0.25
m
x = −
=
−
，
解得：
7
m =
，
∴
2
2
2
:
0. 5
7
C
y
x
x
n
= −
+
+
，
∵
2
C 过点
(
)
10,0
B
，
∴当
10
x =
时，
2
0.25 10
7 10
0
n
−
+
+
=
，
解得：
45
n = −
，
∴
2
2
0.25
7
45
:
C
y
x
x
= −
+
−
，
当
0
y =
时，
2
0.25
7
45
0
x
x
−
+
−
=
，
解得：
1
10
x =
，
2
18
x =
，
∴
(
)
18,0
C
，
∵水面上
(
)
12,0
D
处有一个高为2 （宽忽略不计）的障碍物，
∴当
12
x =
时，
2
0.25 12
7 12
45
3
y = −
+
−
=
，
∵3
2
，
∴跳弹能避开障碍物，
∵暗礁的一个截面宽
4
DE =
，
12
OD =
，
∴
12
4
16
OE =
+
=
，
∴当
16
x =
时，
2
0.25 16
7 16
45
3
y = −
+
−
=
，
∵3
0
，
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∴跳弹能避开暗礁，
综上所述，跳弹沿路径
2
C 运动时能避开障碍物和暗礁；
（3）解：∵点H 的坐标(
)
20,0 ，
设
(
)
20,
F
f ，
∵
1
2
FH
MH
MH
NH
=
=
，
∴
1
2
FH
MH
=
，
1
2
MH
NH
=
，
∵6
10
NH
，
∴3
5
MH
，
∵要避开暗礁，
∴3
4
MH
，
∴3
2
2
FH
，即3
2
2
f
，
∵
3
C 过点
(
)
18,0
C
，
当
18
x =
时，
2
0.25 18
18
0
p
q
−
+
+
=
，即
81 18
q
p
=
−
，
∴当
20
x =
时，
2
3
0.25 20
2
00
20
:
0
1
C
y
p
q
p
q
= −
+
+
= −
+
+
，
100
20
81 18
19
2
p
p
p
= −
+
+
−
= −
+
，
即
19
2
f
p
= −
+
，
∵3
2
2
f
，
∴
19
2
2
3
19
2
2
p
p
−
+
−
+
，
解得：41
21
4
2
p
．
◆题型4 喷水问题
10．
【答案】(1)
2
0.1
0.8
2
y
x
x
−
=
+
+
；
(2)10m．
【详解】（1）解：由题可得，点A的坐标为(
)
0,2 ，该抛物线的顶点为(
)
4,3.6 ，
设该抛物线的顶点式为
(
)
2
4
3.6
y
a x−
=
+
，
把点A代入得2
16
3.6
a
=
+
，解得
1
10
a = −
，
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该抛物线的函数表达式为
(
)
2
2
1
4
3.6
0.1
0.8
2
10
y
x
x
x
−
−
−
=
+
=
+
+ ；
（2）解：令
0
y =
得
2
0.1
0.8
2
0
x
x
−
+
+
=
，
两边同时乘以10
−
得
2 8
20
0
x
x−
−
=
，
因式分解得(
)(
)
10
2
0
x
x
−
+
=
，
解得
1
10
x =
，
2
2
x = −，
点B 的坐标为(
)
10,0 ，
水柱落地点与雕塑OA的水平距离为10m．
11．
【答案】(1)
0.1
a = −
，
0.7
b =
(2)18米
【详解】（1）解：由题意得，抛物线经过(
)
8,0 ，对称轴为直线
3.5
x =
，
∴
64
8
0.8
0
3.5
2
a
b
b
a
+
+
=
−
=
解得
0.1
0.7
a
b
−
=
=
；
∴
0.1
a = −
，
0.7
b =
；
（2）解：由（1）可得原抛物线的表达式为
2
0.1
0.7
0.8
y
x
x
−
=
+
+
，
配方可得
(
)
2
0.1
3.5
2.025
y
x
−
−
=
+
，
∵现将水管向上增高1 米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变
∴新抛物线的表达式为
(
)
2
0.1
3.5
2.025 1
y
x
−
−
=
+
+ ，即
(
)
2
0.1
3.5
3.025
y
x
−
−
=
+
，
当
0
y =
时，
(
)
2
0.1
3.5
3.025
0
x−
−
+
=
，
解得
1
9
x =
，
2
2
x = −（舍去），
∴9 2
18
=
（米）
∴改造后圆形喷水池的直径至少18米．
12．
【答案】(1)1；
(2)0.4s；
(3)
7
89
80
80
f
−
．
【详解】（1）解：由题意得，
0.10
0.10
1
v =
= ；
（2）解：设抛物线解析式为
2
0.8
y
ax
bx
=
+
+
，
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由表格得
0.01
0.1
0.8
0.75
0.04
0.2
0.8
0.60
a
b
a
b
+
+
=
+
+
=
，
解得
5
0
a
b
= −
=
，
∴抛物线解析式为
2
5
0.8
y
x
= −
+
，
当
2
5
0.8
0
y
x
= −
+
=
时，
解得
0.4
x =
或
0.4
= −
x
（舍去），
∴水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过0.4 1
0.4s
=
；
（3）解：设平移后的抛物线解析式为
2
5
0.8
y
x
f
= −
+
+
，
∵一个高为0.4m，直径为0.3m的花盆放置在地面上，使花盆底面中心N 在图1 所示的x 轴上，且
0.4m
ON =
，
∴当水落在花盆最左边时，
0.3
1
0.4
0.25
2
4
x =
−
=
=
，此时
1
5
0.8
0.4
16
y
f
−
=
+
+
=
，解得
7
80
f
−
=
；
当水落在花盆最右边时，
0.3
11
0.4
0.55
2
20
x =
+
=
=
时，
2
11
5
0.8
0.4
20
y
f
−
=
+
+
=
，解得
89
80
f =
；
∴要使水滴落在花盆内（不包括边缘），出水点高度的变化量f 的取值范围为
7
89
80
80
f
−
．
◆题型5 图形问题
13．
【答案】(1)
2
2
36
y
x
x
= −
+
；8
18
x
(2)当
17
=
x
时，满足条件的花园面积能达到34平方米
(3)当
9
x =
时，y 最大，最大面积是162平方米
【详解】（1）解：
AB
x
=
米，三边栅栏总长为36米，
(
)
36
2
BC
x
=
−
米．
(
)
36
2
y
x
x
=
−
，即
2
2
36
y
x
x
= −
+
．
墙长20 米，
0
36
2
20
x
−
，
解得8
18
x
．
（2）解：令
34
y =
，则
2
2
36
34
x
x
−
+
=
，
整理，得
2
18
17
0
x
x
−
+
=
，
解得
17
=
x
或
1
x = ．
8
18
x
，
17
x
=
，
当
17
=
x
时，满足条件的花园面积能达到34平方米．
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（3）解：将
2
2
36
y
x
x
= −
+
化为顶点式为
2
2(
9)
162
y
x
= −
−
+
，
8
18
x
，
当
9
x =
时，y 最大，最大面积是162平方米．
14．
【答案】(1) AB 长7 米，BC 长13米
(2)花园可以围出的最大面积是
2
96m
【详解】（1）解：设AB 长x 米，则BC 长(
)
6
x +
米，
根据题意，得：
(
)
6
20
x
x
+
+
=
，
解得
7
x =
；
∴
6
13
x+
=
；
答：AB 长7 米，BC 长13米；
（2）解：设AB 长m 米，则BC 长(
)
20
m
−
米，
由题意得
6
20
12
m
m
−
，
解得6
8
m
，
∵花园面积
(
)
(
)
2
20
10
100
S
m
m
m
=
−
= −
−
+
1
0
−
，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴为
10
m =
，
∴当6
8
m
时，S随m 的增大而增大，
∴当
8
m =
时，花园的面积取得最大值，
(
)
2
2
8 10
100
96
S
m
−
=
−
+
=
花园
，
答：花园可以围出的最大面积是
2
96m ．
15．
【答案】(1)3
6
x
；9
(2)0
1
x
或4
6
x
(3)
5
2
x =
时，面积差的最大值为9
4
【详解】（1）解：
(
)
2
2
2
6
3
9
y
x
x
x
−
=
+
= −
−
+
，
1
0
−
，
抛物线的开口方向向下，当
3
x
时，滞洪池的滞洪面积随EF 长度增加而减小，
0
6
x
，
当3
6
x
时，滞洪池的滞洪面积随EF 长度增加而减小，滞洪池的最大调洪容量为
2
9m ；
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（2）解：由图像得，两函数交于点C ，E ，
所以，表示两个水池面积相等的点是C ，E ，
联立方程组
2
4
6
y
x
y
x
x
−
=
+
=
+
解得：
1
1
1
5
x
y
=
=
，
2
2
4
8
x
y
=
=
，
(
)
1,5
C
，
(
)
4,8
E
，
由图像知：图像中点C 的左侧部分和点E 的右侧部分，一次函数的函数值大于二次函数的函数值，
当0
1
x
或4
6
x
时调蓄池1 的蓄水面积大于滞洪池的滞洪面积；
（3）解：在1
4
x
范围内，由图像知滞洪池的滞洪面积大于调蓄池1 的蓄水面积，
两个水池面积差
(
)
2
2
2
5
9
6
(
4)
5
4
2
4
M
x
x
x
x
x
x
−
−
−
−
= −
+
−
+
=
+
=
+
，
1
0
−
，
函数有最大值，
1
4
x
当
5
2
x =
时，函数有最大值，为9
4 ，
当
5
2
x =
时，面积差的最大值为9
4 ．
◆题型6 图形运动问题
16．
【答案】(1)
2
4mm
(2)
2
4 (0
4)
S
t
t
t
= −
+
(3)当
2
t =
时，S的最大值为4
【详解】（1）解：
2
t =
时，
(
)
8
2 2
4
PB
mm
=
−
=
，
(
)
2 1
2
BQ
mm
=
=
，
(
)
2
1
4 2
4
2
S
mm
=
=
；
（2）解：
8
2
PB
t
=
−
，BQ
t
= ，
(
)
2
1 8
2
4 (0
4)
2
S
t t
t
t
t
=
−
= −
+
，
（3）解：
(
)
2
2
4
2
4
S
t
t
t
= −
+
= −
−
+ ，
1
0
−
，
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当
2
t =
时，S的最大值为4 ．
17．
【答案】(1)①
2
1cm ；②
2
S
t
=
(2)①16；②
(
)
2
2
20
4
10
3
3
S
t
t
t
= −
+
【详解】（1）解：①点P 从点A 出发以2cm/s的速度沿路线A
C
B
→
→
运动，点Q 从点A 出发以1cm/s 的速
度沿AB 运动．设运动时间为st ，
当
1
t = 时，
2cm
AP =
，
1cm
AQ =
，
作PE
AB
⊥
于点E，如图1，
30
CAB
=
，
1
1cm
2
PE
AP
=
=
，
平行四边形ADPQ 的面积为：
2
1cm
AQ PE
=
；
故答案为：
2
1cm ；
②由题意，得：
2 cm
AP
t
=
，
cm
AQ
t
=
，
1
cm
2
PE
AP
t
=
=
，
2
S
AQ PE
t
=
=
，
故答案为：
2
S
t
=
；
（2）解：①由图象可知，当
4
t =
时，此时点P 恰好运动到点C，由（1）②可知：
2
2
4
16
S
t
=
=
=
，
故
16
m =
，
故答案为：16；
②由图象和①可知，抛物线过(
)
4,16 ，(
)
10,0 ，将两点坐标分别代入
2
S
at
bt
=
+
，得：
0
100
10
16
16
4
a
b
a
b
=
+
=
+
，
解得
2
3
20
3
a
b
= −
=
，
S
关于t 的函数解析式为
(
)
2
2
20
4
10
3
3
S
t
t
t
= −
+
．
18．
【答案】
（1）①5；②
2
y
x
=
；
（2）
(
)
2
8
32 4
12
y
x
x
x
=
−
+
；
（3）0 或1；(
)
4,16 或(
)
5,17 ；
（4）点A 在
DFM
△
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内部时x 的取值范围为8
12
x
，y 的取值范围为32
80
y
．
【详解】解：（1）①若
5
x =
，则
(
)
2
5
5
y =
=
；
②y 关于x 的函数关系式为
2
y
x
=
；
故答案为：5；
2
y
x
=
；
（2）由题意可知，当
4
x = 时，点P 与点A重合，
∴
4
AD =
，此时
2
4
16
y =
=
，
连接CD，
由题图（2）可知点P 与点C 重合时，
80
y =
，即
2
80
CD =
，
在Rt ACD
中，
2
2
2
AD
AC
CD
+
=
，即
2
2
4
80
AC
+
=
，
∴
8
AC = （负值已舍），
当点P 在AC 上运动时，
4
x
AD
AP
AP
=
+
=
+
，
∴
4
AP
x
=
−，
∴在Rt ADP
中，
(
)
2
2
2
2
2
2
4
4
8
32
DP
AD
AP
x
x
x
=
+
=
+
−
=
−
+
，
∴
2
8
32
y
x
x
=
−
+
，
即当点P 在AC 上运动时，y 关于x 的函数关系式为
(
)
2
8
32 4
12
y
x
x
x
=
−
+
；
（3）当0
4
x
时，
2
y
x
=
，
则
12
y
x
−
=
时，
2
12
0
x
x
−
−
=
，
解得
3
x
−
=
（舍去）或
4
x = （舍去）；
当4
12
x
时，
2
8
32
y
x
x
=
−
+
，
则
12
y
x
−
=
时，
2
9
20
0
x
x
−
+
= ，
解得
4
x = 或
5
x = ；
当
4
x = 时，
16
y =
，此时
0
AP =
，
当
5
x = 时，
17
y =
，此时
1
AP = ，
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∴当
12
y
x
−
=
时，AP 的长为0 或1，此时y 关于x 的函数图象上点的坐标为(
)
4,16 或(
)
5,17 ；
故答案为：0 或1；(
)
4,16 或(
)
5,17 ；
（4）由（2）知，
4
AD =
，
8
AC = ，
又∵D 为AB 的中点，
∴
8
AB
AC
=
=
，
取AC 的中点N ，连接DN ，
∴
1
4
2
AN
AC
AD
=
=
=
，DN 是ABC
的中位线，
∴
∥
DN
BC ，
又∵
90
A
=
，
∴ADN
是等腰直角三角形，
∵四边形DPEF 是正方形，
∴MDP
是等腰直角三角形，
分析点P 的运动规律可知，当点P 运动到DP
BC
∥
，即点P 运动到点N 处时，点A与点M 重合，
点P 在线段CN (不含点N )上运动时，点A在
DFM
△
内部，
当点P 运动到点N 处时，
4
4
8
x =
+
=
，此时
2
8
32
32
y
x
x
=
−
+
=
；
当
12
x =
，
2
12
8 12
32
80
y =
−
+
=
；
∴点A 在
DFM
△
内部时x 的取值范围为8
12
x
，y 的取值范围为32
80
y
．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．B
2．B
二、填空题
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3．
2
1
1
1.2
80
4
y
x
x
= −
+
+
4．8
3 米
三、解答题
5．
【答案】(1)
(
)
2
80 19
40
y
x
x
= −
+
；
(
)
2
2
80
19
40
S
x
x
x
= −
+
(2)当x 的值是20m时，矩形实验田的面积S最大，最大面积是
2
800m
【详解】（1）解：设矩形实验田与墙垂直的一边长为x ，与墙平行的一边长为y ，面积为S，
∵栅栏总长为80 m
，
∴
80
x
x
y
+
+
=
，即
2
80
y
x
= −
+
，
其中
0
0
42
x
y
，
由0
2
80
42
x
−
+
，可得19
40
x
，
∴y 与x 的函数解析式为
(
)
2
80 19
40
y
x
x
= −
+
；
由矩形的面积可知，
(
)
(
)
2
2
80
2
80
19
40
S
x y
x
x
x
x
x
=
=
−
+
= −
+
；
（2）解：∵
(
)
2
2
80
19
40
S
x
x
x
= −
+
，
∴
(
)
(
)
2
2
20
800 19
40
S
x
x
= −
−
+
当
20
x =
时，矩形实验田的面积S最大，为800，且
20
x =
满足x 的取值范围，
答：当x 的值是20m时，矩形实验田的面积S最大，最大面积是
2
800m ．
6．
【答案】(1)
2
1 (
3)
4
4
y
x
= −
−
+
(2)
3
0
2
OM
或9
5
2
OM
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为
(
)
2
(
3)
0
y
a x
k a
=
−
+
，
由题可知：抛物线过点(
)
0,1.75
P
、
(
)
5,3
A
，
9
1.75
4
3
a
k
a
k
+
=
+
=
，
解得：
1
4
4
a
k
= −
=
，
抛物线的解析式为
2
1 (
3)
4
4
y
x
= −
−
+
；
（2）设OM
x
=
，此时篮球高度为
2
1 (
3)
4
4
y
x
= −
−
+
，
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要想拦截成功，必须能触碰到篮球，即篮球高度不高于55
16 米，就能拦截成功，
当
2
1
55
(
3)
4
4
16
x
−
−
+
=
时，解得
3
2
x =
或
9
2
x =
，
抛物线开口向下，对称轴为直线
3
x = ，最高点为
55
4
16
，
根据抛物线的函数值y 随自变量x 的变化趋势可知，当
3
2
x
时，篮球高度不高于55
16 米；当3
9
2
2
x
时，
篮球高度高于55
16 米；当
9
2
x
时，篮球高度不高于55
16 米．
小亮站在点O与点B 之间，即0
5
x
，
当
3
0
2
x
或9
5
2
x
时，篮球高度不超过55
16 米，小亮可以成功拦截，
3
0
2
OM
或9
5
2
OM
．
7．
【答案】(1)
(
)
2
1
1
3
3
18
y
x
= −
−
+ ；洒水车喷出水的最大射程OC 为3
3 6 m
+
(2)点B 的坐标为(
)
3 6
3,0
−
(3)
9
3 6
3
15 1
5
OD
−
−
【详解】（1）解：由题意得：
(
)
3,3
A
，
(
)
0,2.5
H
，且
(
)
3,3
A
是上边缘抛物线的顶点，
设
(
)
2
1
3
3
y
a x
=
−
+ ，
又抛物线过点
(
)
0,2.5
H
，
2.5
9
3
a
=
+ ，解得：
1
18
a
−
=
，
上边缘抛物线的函数解析式为
(
)
2
1
1
3
3
18
y
x
−
−
=
+ ；
令
1
0
y =
，则
(
)
2
1
0
3
3
18 x
−
−
=
+ ，解得
3 3 6
x = +
或
3 3 6
x = −
（舍去），
洒水车喷出水的最大射程OC 为3
3 6 m
+
.
（2）解：∵
(
)
2
1
1
3
3
18
y
x
−
−
=
+ ，
∴
1y 的对称轴为直线
3
x = ，
点
(
)
0,2.5
H
的对称点为(
)
6,2.5 ，
平移后
2y 仍过点(
)
0,2.5 ，
2y
是由
1y 向左平移6 m 得到的，
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(
)
3 3 6,0
C
+
，点B 是由点C 向左平移6 m 得到的，
点B 的坐标为(
)
3 6
3,0
−
．
（3）解：由题意可得，当点D 与点B重合时，OD 最小，
点B 的坐标为(
)
3 6
3,0
−
，
3 6
3
OB
=
−，
OD
的最小值为3 6
3
−，
当点F 在抛物线
1y 上时，OE 最大，OD 也最大
0.3m
EF =
，
点F 的纵坐标为0.3，
当
(
)
2
1
3
3
0.3
18 x−
−
+
=
时，解得
9
3
15
5
x = +
或
9
3
15
5
x = −
（舍去），
OE
的最大值为
9
3
15
5
+
，
OD
的最大值为
9
9
3
15
4
15 1
5
5
+
−
=
−，
OD
的取值范围为：
9
3 6
3
15 1
5
OD
−
−．
8．
【答案】(1)
(
)
2
0.05
1.8 0
20
y
x
x
x
= −
+
+
(2)①线段DE 的长为16m；②
(
)
1,0.85
N
，
(
)
19,0.85
H
【详解】（1）解：根据题意得：
(
)
10,6.8
A
，
(
)
0,1.8
B
，
(
)
20,1.8
C
，
设抛物线1l 的解析式为：
(
)
2
10
6.8
y
a x
=
−
+
，把
(
)
0,1.8
B
代入得：
(
)
2
1.8
0 10
6.8
a
=
−
+
，
解得：
0.05
a = −
，
∴抛物线1l 的解析式为：
(
)
(
)
2
2
0.05
10
6.8
0
0
.05
1.8 0
2
y
x
x
x
x
= −
−
+
+
−
=
+
；
（2）解：①根据题意得：抛物线2l 的顶点坐标为：(
)
10, 3.2
−
，
设抛物线2l 的解析式为：
(
)
2
10
3.2
y
a x
=
−
−
，把
(
)
0,1.8
B
代入得：
0.05
a=
，
∴抛物线2l 的解析式为：
(
)
2
2
0.05
10
3.2
0.05
1.8
y
x
x
x
=
−
−
=
−
+
，
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把
0
y =
代入得：
2
0.05
1.8
0
x
x
−
+
=
，
解得：
1
2
x =
，
2
18
x =
，
∵点D在点E 的左侧，
∴
(
)
2,0
D
，
(
)
18,0
E
，
∴
(
)
18
2
16 m
DE =
−
=
；
②把
2
x =
代入
2
0.05
1.8
y
x
x
= −
+
+
得：
3.6
y =
，
∵3.6
1.9
，
∴圆柱形装饰杆应该安装在点D 的左边，点E 的右侧，
∴
(
)
2
2
0.05
1.8
0.05
1.8
1.9
x
x
x
x
−
+
+
−
−
+
=
，
解得：
1
1
x = ，
2
19
x =
，
把
1
x = 代入
2
0.05
1.8
y
x
x
=
−+
得：
0.85
y =
，
把
19
x =
代入
2
0.05
1.8
y
x
x
=
−+
得：
0.85
y =
，
∴
(
)
1,0.85
N
，
(
)
19,0.85
H
．
9．
【答案】(1)一次函数，
0.8
180
y
x
= −
+
(2)当销售单价为137.5 元时，该文创企业销售这款刻花瓷的月利润最大，最大利润是5125 元
(3)①125
150
x
；②单价125元，销量80件
【详解】（1）解：由表格数据观察，售价每增加5 元，销量减少4 件，变化量均匀，
因此月销量y（件）与售价x （元）之间是一次函数关系，
可设 y
kx
b
=
+
，(
)
0
k
将(
) (
)
90,108 , 100,100 代入可得，
90
108
100
100
k
b
k
b
+
=
+
=
，解得
0.8
180
k
b
= −
=
，
因此
0.8
180
y
x
= −
+
；
（2）解：设月利润为W 元，由题意可得，
(
)(
)
50
0.8
180
1000
W
x
x
=
−
−
+
−
(
)
2
2
0.8
220
10000
0.8
137.5
5125
x
x
x
= −
+
−
= −
−
+
0.8
0
−
，
当
137.5
x =
时，不低于80元，符合题意，
此时W 最大，为5125 元．
答：当销售单价为137.5 元时，该文创企业销售这款刻花瓷的月利润最大，最大利润是5125 元．
（3）解：①令
5000
W =
，得
2
0.8
220
10000
5000
x
x
−
+
−
=
．
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解得
1
2
150,
125
x
x
=
=
．
由（2）知
(
)
2
0.8
137.5
5125
W
x
= −
−
+
，
0.8
0,
−
抛物线开口向下．
当
5000
W
时，125
150
x
．
②尽可能提高销量，
单价应最小，即
125
x =
元．
此时销量
0.8 125 180
100 180
80
y = −
+
= −
+
=
（件）．
10．
【答案】(1)①12 ②
2
4
16
y
x
x
=
−
+
(2)①
2
28
208
y
x
x
=
−
+
，自变量的取值范围为8
20
x
；②
3
2
【详解】（1）解：①当
2
x =
时，点P 与点C 重合，
在ABC
中，
90
ACB
=
，
60
B
=
，
30
BAC
=
，
2
4
AB
BC
=
=
，
2
2
2
2
4
2
2 3
AC
AB
BC
=
−
=
−
=
，
此时正方形APFG 的边长为2 3 ，面积为：
(
)
2
2
2 3
12
AC =
=
，即
12
y =
，
故答案为：12；
②当点P 由点B 运动到点D 时，每秒1 个单位的速度匀速运动，
BP
x
=
，
2
CP
BC
BP
x
=
−
=
−
，
2 3
AC =
，
2
2
2
AP
CP
AC
=
+
，即
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2 3
2
12
AP
x
x
=
−
+
=
−
+
，
正方形APFG 的面积为
2
y
AP
=
，
2
4
16
y
x
x
=
−
+
，
故答案为：
2
4
16
y
x
x
=
−
+
；
（2）①由图象可知，当点P 运动到点D 时，
48
S =
，
(
)
2
2
12
48
x −
+
=
，
解得：
1
8
x = ，
2
4
x = −（舍去），
当点P 运动到点D时，二次函数图象过点(
)
8,48 ，
由图象知顶点坐标为(
)
14,12 ，
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设
(
)
2
14
12
y
a x
=
−
+
，
将点(
)
8,48 代入，得
(
)
2
48
8 14
12
a
=
−
+
，
解得，
1
a = ，
y 关于x 的函数解析式为
(
)
2
2
14
12
28
208
y
x
x
x
=
−
+
=
−
+
，自变量的取值范围为8
20
x
；
②如图所示，当AP
DE
⊥
时，正方形APFG 的面积最小，
由
(
)
2
14
12
y
x
=
−
+
，
当
14
x =
时，
2
12
y
AP
=
=
，
14
14 8
6
PD
BD
=
−
=
−=
，
由上得，当点P 运动到点D 时，
48
S =
，则
8
BD =
，
6
CD
BD
BC
=
−
=
，
点P 运动到点E 时，
48
S =
，
即
(
)
2
14
12
48
y
x
=
−
+
=
，
解得：
1
8
x = （舍去），
2
20
x =
，
20 8
12
DE =
−=
，
6
PD
PE
=
=
，
2
2
6 3
EC
DE
CD
=
−
=
，
1
6
2
CP
DE
=
=
，
6 3
2 3
4 3
AE
CE
AC
=
−
=
−
=
，
6
3
2
4 3
CP
AE
=
=
，
故答案为：
3
2 ．
