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专题 22.6 难点探究专题：利用二次函数求面积、周长、线段最值问题
之三大考点
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目录
【典型例题】.....................................................................................................................................................1
【考点一 利用二次函数求面积最值问题】....................................................................................................1
【考点二 利用二次函数求周长最值问题】..................................................................................................12
【考点三 利用二次函数求线段最值问题】..................................................................................................26
【典型例题】
【考点一 利用二次函数求面积最值问题】
例题：（2022春·九年级单元测试）如图，抛物线 经过点 ，与 轴的另一
个交点为 ．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点 为抛物线上一动点（与点 ， 不重合），设点 的横坐标为 ，连接 ， ，若点 在直线
的下方运动，当 的面积最大时，求 的值．【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x
轴交于 ， 两点，与y轴交于C点，点P是直线 下方抛物线上一动点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)当动点P运动到什么位置时，使四边形 的面积最大，求出此时四边形 的面积最大值和P的
坐标．
2．（2022秋·天津滨海新·九年级校考期中）如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点，与y
轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为 ．(1)求D点的坐标；
(2)连接 ，说明 ；
(3)若点P是直线 下方抛物线上一动点，当点P位于何处时， 的面积最大？求出此时点P的坐标．
3．（2023年辽宁省营口市中考模拟考试（一模）数学试卷）已知直线l与 轴、 轴分别相交于 、
两点，抛物线 经过点 ，交 轴正半轴于点 ．
(1)求直线 的函数解析式和抛物线的函数解析式；
(2)在第一象限内抛物线上取点 ，连接 、 ，求 面积的最大值及点 的坐标．
(3)抛物线上是否存在点 使 为直角三角形，如果存在，请直接写出点 的坐标；如果不存在，请说明理由．
4．（2023·广东佛山·统考三模）如图，抛物线 交直线 于坐标轴上 两点，交
轴于另一点 ，连接 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 为线段 上一点，过点 作直线 ，交 轴于点 ．连接 ，求 面积的最大值；
(3)若在直线 上存在点 ，使得以点 为顶点的四边形为菱形，求点 的坐标．
【考点二 利用二次函数求周长最值问题】
例题：（2023秋·河南周口·九年级统考期末）已知抛物线 的图象与 轴交于点A、B（A在B的左侧），与 轴交于点 ，顶点为D．
(1)试确定 的值，并直接写出D点的坐标．
(2)试在 轴上求一点P，使得 的周长取最小值．
【变式训练】
1．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，抛物线 与x轴相交于点 ， ，与y
轴交于点 ，点D为抛物线的顶点．
(1)直接写出抛物线的函数表达式；
(2)如图，抛物线的对称轴上是否存在点F，使得△BCF周长最小，若存在求点F坐标，并求周长的最小值；
若不存在，请说明理由2．（2023秋·浙江温州·九年级期末）如图，抛物线 与x轴交于 、 两点，与 轴交于
点，且 ．
(1)求抛物线的解析式及顶点 的坐标；
(2)判断 的形状，证明你的结论；
(3)点 是抛物线对称轴上的一个动点，当 周长最小时，求点 的坐标及 的最小周长；
(4)在该抛物线位于第四象限内的部分上是否存在点 ，使得 的面积最大？若存在，求出点 的坐标；
若不存在，请说明理由.
3．（2022秋·江苏连云港·九年级连云港市新海实验中学校考阶段练习）如图，已知抛物线
的对称轴为直线 ，且抛物线经过 ， 两点，与x轴的另一个交点为
点B，其顶点为点D．(1)求抛物线的解析式．
(2)在抛物线的对称轴 上找一点M．使 的周长最小，求出点M的坐标．
(3)在（2）的条件下，连接 ，点E是直线 上的一个动点，过点E作 交抛物线于点F，以
M，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E的坐标；若不能，请说明理由．
4．（2022秋·山西大同·九年级大同一中校考阶段练习）如图，已知抛物线 与 轴交于 ，
两点，与 轴交于点 ，点 的坐标为 ，
(1)求 的值及抛物线的顶点坐标
(2)点 是抛物线对称轴 上的一个动点，当 的周长最小时，求点 的坐标．
(3)点 为抛物线在第一象限上的一个点，连接 ， ，当 的面积最大时，求出 的最大面积
和点 的坐标；5．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线过点 ， ，矩形 的边 在线段
上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设 ，当 时， ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当t为何值时，矩形 的周长有最大值？最大值是多少？
(3)保持 时的矩形 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且
直线 平分矩形 的面积时，求抛物线平移的距离．
【考点三 利用二次函数求线段最值问题】
例题：（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知抛物线 ： ，抛物线 与 关于点 中心
对称， 与 相交于A，B两点，点M在抛物线 上，且位于点A和点B之间；点N在抛物线 上，也
位于点A和点B之间，且 轴．(1)求抛物线 的表达式；
(2)求线段 长度的最大值．
【变式训练】
1．（2023·四川巴中·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 和
，其顶点的横坐标为 ．
(1)求抛物线的表达式．
(2)若直线 与 轴交于点 ，在第一象限内与抛物线交于点 ，当 取何值时，使得 有最大
值，并求出最大值．
(3)若点 为抛物线 的对称轴上一动点，将抛物线向左平移 个单位长度后， 为平移后抛物线上一动点．在（ ）的条件下求得的点 ，是否能与 、 、 构成平行四边形？若能构成，求
出 点坐标；若不能构成，请说明理由．
2．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于
， 两点．与y轴交于点 ．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线 下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交 于点K，过点P作y轴的平行线
交x轴于点D，求与 的最大值及此时点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得 是以 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求
出点M的坐标，若不存在，请说明理由．3．（2023·海南海口·海师附中校考三模）如图，抛物线 与x轴交于点 和点
B，与y轴交于点 ，顶点为D，连接 ，P是第一象限内抛物线上的动点，连接
，设点P的横坐标为t．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当t为何值时， 的面积最大？并求出最大面积；
(3)M为直线 上一点，求 的最小值；
(4)过P点作 轴，交 于E点．是否存在点P，使得 为等腰三角形？若存在，请直接写出点
P的坐标；若不存在，请说明理由．
