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1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题03 实际问题与二次函数 常考题型·精准突破 题型1 销售问题（高频） 题型2 拱桥问题（重） 题型3 投球问题（高频） 题型4 喷水问题（重） 题型5 图形问题（难） 题型6 图形运动问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 销售问题 1．（2026·湖北武汉·中考真题）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查 选取两类作品：原木小件(记作A 品)、滴胶花艺(记作B 品)． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A 品比一件B 品的成本高2 元，用120元制作A 品的件数与用80元制作B 品的件数相等． 信息2：当A 品售价为18元/件时，其销量为220 件，售价每涨1元，销量减少10件；B 品售价固定为16元/ 件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A 品和B 品共300件． 成本核算： (1)分别求制作一件A 品和一件B 品的成本． 模型建立： (2)设销售A 品和B 品的总利润为w 元，A 品售价为x 元/件，求w 关于x 的函数解析式(不要求写自变量x 的 取值范围)． 方案设计： (3)若制作A 品和B 品的总成本不超过1400元，且总利润最大，请设计A 品和B 品的数量分配方案． 2．（2026·四川雅安·一模）综合与实践： 【项目主题】探究新款迷你无人机校园营销案 【项目背景】某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无 人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【项目成果】请解答任务1，任务2． 【项目实施】 (1)任务1：从线上旗舰店调研数据知，2026 年1 月该款迷你无人机的销量为1100 架，2026 年3 月该款迷你 无人机的销量为1331 架，若2026 年1 月至3 月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求此月平均增长率． (2)任务2：校园调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架80 元且售价定为每架120 元时，每天能销售20 架，且售价每降低1 元，每天可多销售2 架． ①若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200 元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ ②要想获得利润最大，售价应定为多少元？ 3．（25-26 八年级下·重庆·期末）重庆市某景区是旅游热门景点，景区某商店有A、B 两款热销冰箱贴，小 鲁和小巴在旅游时购买了这两款冰箱贴，其中小鲁买2 件A 款冰箱贴和3件B 款冰箱贴共花费116元，小巴 买1件A 款冰箱贴和4 件B 款冰箱贴共花费113元． (1)求A、B 两款冰箱贴每件售价分别是多少元？ (2)景区内游客如潮，该商店推出了B 款冰箱贴的优惠活动．若按（1）中求出的单价销售，每天可销售B 款冰箱贴300件．销售单价每下降1元，每天可多售出50件．已知B 款冰箱贴成本为10元，请求出B 款冰 箱贴每天的销售利润W （元）与销售单价下降a （元）（ 0 a ）之间的函数关系，当每件售价为多少元时， B 款冰箱贴每天的销售利润最大，最大利润是多少？ ◆题型2 拱桥问题 4．（25-26 八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状， 水面的宽度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m ．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案 （如图）． (1)你选择的方案是______（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B 点坐标是______； (2)求出你所选方案中的抛物线的解析式； (3)因降暴雨水位上升1m，此时水面宽为多少？ 5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）西安东站坐落于西安灞桥区，东依白鹿原、西邻浐河，是西北地区特大型综 合交通枢纽，也是西安“米”字形高铁网核心枢纽之一，以“秦山渭水、丝路长安”为设计理念，如图①，其 站房主门楼顶部采用大气、对称的抛物线形拱檐设计，线条流畅优美，其拱檐轮廓可近似看作开口向下的 抛物线的一部分．如图②，现以拱檐对称轴与水平地面的交点为坐标原点O，水平向右为x 轴，竖直向上 为y 轴建立平面直角坐标系，结合东站实景真实比例：拱檐左右两端檐口水平总跨度AB 为80m ，檐口离地 3 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 高度AE 为36m，拱檐拱顶最高处离地高度OC 为48m． (1)求该抛物线的表达式； (2)为美化夜景，需要在拱檐安装亮化灯带，要求灯带安装位置离地高度不低于45m ，求灯带两端水平距离 的最大长度． 6．（2026·山西吕梁·二模）综合与实践 问题情境：漪汾桥是太原首座双七拱吊桥，具有划时代意义，它是中承式连续拱桥，其最亮眼的设计在于 桥体两侧对称舒展的抛物线形桥拱，远远望去犹如两道绚丽的彩虹横跨汾河，早已成为汾河畔极具辨识度 的城市景观，兼具工程美学与力学价值． 数学建模：图1 是太原漪汾桥实物图，桥面上方的桥拱可近似看作完全相同的抛物线，图2 为其一桥拱的 示意图，以桥面OA所在直线为x 轴，桥墩立柱OC 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已 知桥拱的跨度 66 OA = 米，桥拱最高点到桥面的距离为9 米． 问题解决： (1)①求该桥拱抛物线的函数表达式； ②为了方便给桥拱顶部喷涂除锈剂，养护工人需在桥拱上距离桥面5 米高的位置，搭建施工水平支架平台 MN （点 , M N 均在桥拱上），对桥拱横向作业，求该水平作业平台MN 的长度． (2)如图3，若需在漪汾桥桥拱下方安装一块内容为“晋善晋美，马到成功”的矩形灯牌DEFG ，其中点 , D G 在 抛物线上，点 , E F 在桥面OA上，DE 边靠近桥墩OC 且到桥墩OC 的距离不小于11 米，为更好地筹备所需 材料，需测算单块宣传牌的周长最大值（宣传牌厚度忽略不计），请你帮忙计算一下，直接写出结果即可． ◆题型3 投球问题 7．（25-26 八年级下·湖南长沙·期末）为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷 出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点P 距水平地面的高 度OP 为1.8 米，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是4 米，距水平地面的高度是3 米，记落地点 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 为M ，以O为原点，OM 所在直线为x 轴，OP 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系． (1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式； (2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到10 米为满分，请通过计算判断该次练习小明同学 能否得满分． 8．（2026·河南平顶山·三模）如图1，将一钢球从斜槽AO 的点A 处静止释放，钢球在点O 处被向右水平抛 出后，用频闪相机观察到钢球在下落过程中的几个位置如图2 所示，并以点O 为原点，钢球运动的水平方 向为x 轴建立平面直角坐标系，得到钢球的位置坐标为( , ) x y ，钢球的运动轨迹为抛物线．根据运动的原理， 可知x，y（单位：cm）与钢球下落运动时的时间t（单位：s）的关系式分别为 2 0 1 , 2 x v t y gt = = − （ 0v 为钢 球在水平方向上的速度，g 为重力加速度）．根据钢球的运动位置，测量数据如下： /s t 0.1 0.2 0.3 / cm x 0.8 1.6 2.4 / cm y 5 − 20 − 45 − (1)根据测量数据，钢球在水平方向上的速度 0v = ______cm/s ，重力加速度g = _____ 2 / cm s ． (2)求钢球运动轨迹所形成的抛物线的表达式 (3)若点O 距离地面的高度为140cm，钢球被水平抛出的正前方地面上有一个高为15cm的无盖的正方体箱子 （箱子厚度忽略不计），若要使钢球落到箱子里，则箱子左侧到点O 的水平距离最远是多少？ 9．（2026·贵州·中考真题）某课外实践小组用AI 模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图① 所示．跳弹在空中飞行的高度y 与水平距离x 之间的关系如图②所示．飞机在距水面垂直高度为8.1的A处 投放跳弹，跳弹与水面接触于点O开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别为 2 1 0.2 .5 : 5 2 C y x x = − + ， 2 2 2 : 0. 5 C y x mx n = − + + ， 2 3 2 : 0. 5 C y x px q = − + + ，与水面分别接触于点B ，点C ． （演 示过程在同一平面内，其他因素忽略不计） 5 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)已知点A与点O所在直线AO 的表达式为 0.9 y x = − ，分别求出A，B 两点的坐标； (2)若水面上 ( ) 12,0 D 处有一个高为2 （宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽 4 DE = 的暗礁，抛物线 2 C 在 14 x = 时距水面最高，请判断跳弹沿路径 2 C 运动时能否避开障碍物和暗礁； (3)在( ) 2 的条件下，若跳弹从水面上点C 弹起后，沿路径 3 C 撞击对方目标截面F 处时，启动跳弹内部回弹 装置，避开暗礁沿直线FM 加速飞向水面，接触水面后沿直线MN 撞向目标，该过程始终保持 1 2 FH MH MH NH = = ．且目标露出水面的垂直高度 6 HG = ，点H 的坐标( ) 20,0 ，打击点N 距水面的距离为NH ， 且6 10 NH ，求抛物线 3 C 中p 的取值范围． ◆题型4 喷水问题 10．（2026·广东清远·三模）某公园雕塑OA的顶端点A 处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑 OA的高度为2m，当喷出的水柱与OA的水平距离为4m 时，达到最大高度3.6m．以点O 为原点，OA所在 直线为y 轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑OA的水平距离． 11．（2026·新疆·中考真题）政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷 出抛物线形水柱．现将水管向上增高1 米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变， 圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法 说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x 轴，水管 6 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 说明 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系． 数据 测量 原喷水池直径为16 米，喷水头距离地面0.8 米，喷出的抛物线形水柱 在与水池中心的水管水平距离为3.5 米处达到最高． 建立 模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： (1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为 ( ) 2 0.8 0 y ax bx a = + + ，求a，b 的值； (2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 12．（2026·湖北武汉·三模）问题背景：某小组设计了一款自动浇花装置，小组同学调节浇花装置出水管， 使其沿水平方向．水滴从出水点水平喷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．从水滴离开出水点到 落地点的过程中，水滴距离地面的竖直高度为y（单位：m），水平距离为x（单位：m），建立如图1 所示 的平面直角坐标系． 信息1：通过仪器测量，小组同学记录了水滴离开出水点后的运动时间为t（单位：s）时的多组数据，其中 几组数据如下： 时间/s t 0 0.10 0.20 0.30 水平距离/ m x 0 0.10 0.20 0.30 竖直线高度 / m y 0.80 0.75 0.60 0.35 信息2：小组同学通过学习知道，水滴运动时，水平距离x 与时间t 的关系为x vt = （v 为水滴离开出水点时 的速度，单位m/ s ） 根据以上信息，解决下列问题： (1)v 的值是______； 7 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过多长时间？ (3)将如图2 所示的一个高为0.4m，直径为0.3m的花盆放置在地面上，使花盆底面中心N 在图1 所示的x 轴上，且 0.4m ON = ．若该装置可以调节出水点的高度（出水管保持水平），水喷出后运动路径的形状不变， 要使水滴落在花盆内（不包括边缘），出水点高度的变化量f 的取值范围为____________ m ． ◆题型5 图形问题 13． （2026·内蒙古通辽·二模）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长20 米）的空地上修建一个矩形花园ABCD， 花园的一边靠墙，另外三边用总长为36米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长AB 为x 米，面积为y 平 方米． (1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到34平方米？若能，请求出x 的值；若不能，请说明理由； (3)当x 是多少时，矩形花园面积y 最大？最大面积是多少？ 14．（2026·福建三明·二模）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长）， 用20 米长的栅栏围成一个矩形花园ABCD（栅栏只围AB ，BC 两边）． (1)若BC 比AB 长6 米，求AB 、BC 的长； (2)若在墙角P 处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是12米和6 米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考 虑树的粗细），花园可以围出的最大面积是多少？ 15．（2026·广东茂名·一模）【生活情境】 为提升城市防洪排涝能力，某市对矩形雨水调蓄池ABCD进行扩建，原池长 4m AD = ，宽 1m AB = （如图 ①）．改造后形成调蓄池ABNM （简称调蓄池1），用于雨季蓄水减灾：同时新建周长为12m的防洪滞洪池 EFGH （如图②），通过弹性扩容缓解内涝压力． 8 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【建立模型】 设调蓄池1 的边AD扩建长度为 ( 0) DM xm x = ，扩建后蓄水面积为 2 1m y ，则 1 4( 0) y x x = + ；设滞洪池 EFGH 的边EF 长为m(0 6) x x ，滞洪面积为 ( ) 2 2y m ，则 2 2 6 (0 6) y x x x = − + ．两函数图像如图③． 【问题解决】 (1)若滞洪池的滞洪面积随EF 长度增加而减小，则EF 的取值范围是______，滞洪池的最大调洪容量为 ______ 2 m ； (2)当调蓄池1 的蓄水面积大于滞洪池的滞洪面积时，求(m) x 的取值范围； (3)在1 4 x 范围内，求两池协同治水时面积差的最大值及对应x 的值． ◆题型6 图形运动问题 16．（25-26 九年级下·河南周口·阶段检测）如图，在 ABC 中， 90 B = ， 8mm AB = ， 16mm BC = ，动 点P 从 A 沿AB 以2mm/s 向 B 运动， 动点Q 从B 沿BC 以1mm/s向C 运动，同时出发．设 PBQ 面积 为 S，运动时间为t( 0 t )． (1)当 2 t = 时，求S 的值； (2)求S 关于t 的函数表达式； (3)求S 的最大值及对应t 的值． 9 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 17．（25-26 九年级上·江西南昌·期中）如图（1），在ABC 中， 30 A = ，点P 从点A 出发以2cm / s的速 度沿路线A C B → → 运动，点Q 从点A 出发以1cm / s 的速度沿AB 运动，P ，Q 两点同时出发，当某一点 运动到点B 时，两点同时停止运动．以 , AQ PQ 为边在AB 的上方作平行四边形ADPQ ，设运动时间为st ， 平行四边形ADPQ 的面积为 2 cm S （当点A，P，Q 重合或在一条直线上时，不妨设 0 S = ）．探究S 与t 的关 系． (1)当点P 由点A 运动到点C 时， ①若 1 t = ，S =______； ②S 关于t 的函数解析式为______． (2)当点P 由点C 运动到点B 时，经探究发现S 关于t 的函数解析式为 ( ) 2 4 10 S at bt t = + ，其图象如图（2） 所示． ①m 的值为______； ②求S 关于t 的函数解析式． 18．（25-26 九年级上·江西上饶·期末）综合与实践： 【问题提出】如图（1）在ABC 中， 90 A = ，D 为AB 的中点，点P 沿折线D A C − − 运动（运动到点C 停 止），以DP为边在DP上方作正方形DPEF ．设点P 运动的路程为x ，正方形DPEF 的面积为y ． 【初步感悟】（1）当点P 在AD上运动时，①若 5 x = ，则y = ； ②y 关于x 的函数关系式为 ； （2）当点P 从点A运动到点C 时，经探究发现y 是关于x 的二次函数，并绘制成如图（2）所示的函数图象， 直线 4 x = 是其图象所在抛物线的对称轴，求y 关于x 的函数关系式（写出自变量的取值范围）． 【延伸探究】（3）当 12 y x − = 时，AP 的长为 ，此时y 关于x 的函数图象上点的坐标 为 ； 10 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （4）连接正方形DPEF 的对角线DE PF ， ，两对角线的交点为M ，求点A在 DFM △ 内部时x 和y 的取值 范围． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（26-27 九年级·全国·暑假作业）从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h （单位：m ）与小球的运 动时间t （单位：s ）之间的关系是 ( ) 2 28 7 0 4 h t t t − = ．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要4 s ； ②小球运动中的高度可以是30m； ③小球运动1 s 时的高度小于运动3.5s 时的高度． 其中，正确结论的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2026·天津和平·三模）矩形ABCD中， 6cm AB = ， 10cm BC = ．动点P 从点B 出发，以1cm / s 的速度沿 边BC 向终点C 运动；动点Q 从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB 、边BC 向终点C 运动．规定其中一个动 点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为s t ．当 2s t = 时，点P ，Q 的位置如图所示．有 下列结论： ①当 4s t = 时， 2 PQ cm = ； ②当3 8 t 时，APQ 的面积随t 的增大而减小； ③在点P ，Q 运动的过程中，APQ 的最大面积为 2 9cm ； ④t 有两个不同的值满足APQ 的面积为 2 2cm ． 其中，正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 3．（25-26 八年级下·浙江金华·期末）2026 年6 月11 日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队．金华 队在第83 分钟时一记大力抽射，扳平比分．最终点球以6:5战胜温州队，获得冠军．如图，据球迷目测， 11 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 该球员在距离球门24 米处射门，当球飞出14 米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2 米高处入网．这 条抛物线的表达式为_________． 4．（2026·甘肃平凉·模拟预测）景区喷泉以出水口O为原点建立坐标系，水柱高度y （单位：米）与水平距 离x （单位：米）满足： 2 1 ( 4) 5 3 y x = − − + ．在水柱最高点正下方修建矩形观景通道EFGH ，通道顶部EH 距离水柱竖直高度不少于2 米，通道宽度 2 FG = 米，求通道顶部距离地面的最大高度：_______． 三、解答题 5．（2026·四川成都·模拟预测）如图，某校劳动实践基地用总长为80 m 的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形 实验田，墙长为42 m ，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m ）， 与墙平行的一边长为y （单位：m ），面积为S（单位： 2 m ）． (1)直接写出y 与x ，S与x 之间的函数解析式（要求写出x 的取值范围）； (2)当x 的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 6．（2026·福建福州·三模）在学校组织的班级篮球比赛中，九年级5班数学兴趣小组的同学想用数学知识研 究投篮轨迹．他们拍摄了小明投篮的照片（如图1），并测量了相关数据进行研究．如图2 所示，小明投篮的 出手点P 在地面的正投影为点O，以O为原点，水平方向为x 轴，竖直方向为y 轴，建立平面直角坐标系． 小明在某次投篮中，成功命中篮筐．已知小明出手点P 离地面高度OP 为1.75米，篮筐中心A到点O的水平 距离OR 为5米，离地面高度AB 为3米，篮球运动路线的最高点C 到点O的水平距离OD 为3米．假设篮球 运动的轨迹是抛物线的一部分．根据以上信息完成下列问题． 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求该抛物线的解析式； (2)如果球员小亮准备站在点O与点B 之间的点M （与点O、点B 不重合）处拦截篮球，他起跳后能成功拦 截的最大高度为55 16 米，当他能成功拦截时，求OM 的取值范围． 7．（2026·湖北武汉·一模）如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．如图2， 选取合适的原点O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H 点在y 轴上，喷水口H 离地竖直高度为 2.5 m OH = ，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG ，其中D ，E 点在x 轴上，测得其水平宽度 4 m DE = ，竖 直高度 0.3 m EF = ．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段OD 的长来表示． 信息1：把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为 1y ， 2y ， 上边缘抛物线 1y 的最高点A离喷水口的水平距离为3 m ，高出喷水口0.5 m ． 信息2：下边缘抛物线 2y 可以看作由上边缘抛物线 1y 向左平移得到，其开口方向与大小不变． 问题解决 (1)求上边缘抛物线 1y 的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程OC ． (2)求出下边缘抛物线 2y 与x 轴的正半轴交点B 的坐标． (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（矩形DEFG ），求出OD 的取值范围． 8．（2026·山西晋中·二模）综合与实践 【问题情境】 小明热爱数学与建筑，梦想长大后成为一名建筑设计师．他想以抛物线为创作灵感，运用绘图软件设计一 个造型别致又富有数学美感的创意建筑——山岚之眼（图1）．请你帮他一起设计，解决相关问题． 13 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【建立模型】 整座建筑分为上下两部分，上部是一条抛物线的造型1l ，其最高点A到水平地面的距离为6.8 m ，左右两端B ， C 两点到水平地面的距离均为1.8 m，且两点相距20 m ． 如图2，以水平地面所在直线为x 轴，垂直于水平地面且经过左端B 点的直线为y 轴，建立平面直角坐标系． (1)求建筑上部抛物线造型1l 对应的函数表达式； 【问题解决】 (2)将建筑上部的抛物线造型1l 沿直线BC 折叠得到一条新的抛物线2l ，其与水平地面交于D ，E 两点（点D 在点E 的左侧）．抛物线2l 在水平地面之上的部分与线段DE 共同组成了建筑的下部． ①求线段DE 的长； ②小明带着这份设计方案虚心请教了相关老师，老师建议增设两根竖直的圆柱形装饰杆MN ，GH（MN 在 GH 的左侧），其中点M ，G 在建筑的上部，点N ，H 在建筑的下部．小明只记得两根装饰杆的高度均为1.9 m ， 却忘记了它们的具体位置，请你直接写出点N ，H 的坐标． 9．（2026·山西忻州·二模）综合与实践 【问题情境】“刻花瓷，黑白花，一刀一剔见风华．”平定刻花瓷是山西国家级非物质文化遗产，始于唐、兴 于宋，以黑白对比的刻花技艺闻名，被誉为“中国古代陶瓷艺术的活化石”．某文创企业以平定刻花瓷为特色， 开发了系列文创产品．某校综合实践小组的同学想要了解该企业某款刻花瓷的销售情况，他们对这款刻花 瓷的制作成本和销售情况进行了数据收集与分析． 【信息收集】 信息①：该款刻花瓷的成本为50 元/件． 信息②：该款刻花瓷的售价x （元）不低于80 元． 信息③：该款刻花瓷的月销量y （件）与售价x （元）关系如下表所示． 售价x（元） 90 95 100 105 110 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 月销量y（件） 108 104 100 96 92 信息④：制作该款刻花瓷每月固定成本（设备折旧、场地租金等）为1000 元，且每月最大制作数量为150 件． 【问题解决】 (1)任务一：根据收集的信息可知，该款刻花瓷的月销量y（件）与售价x （元）之间是_____关系（填“一次 函数”“反比例函数”或“二次函数”），月销量y （件）与售价x （元）之间的函数关系式为__________． (2)任务二：在销售规律不变的情况下，销售单价为多少时，该文创企业销售这款刻花瓷的月利润最大，最 大利润是多少元？ (3)任务三：该文创企业计划使这款刻花瓷的月利润不低于5000 元，请解答下列问题： ①请结合售价与销量的实际关系，确定销售单价x （元）的取值范围； ②为进一步扩大市场占有率，企业希望在满足利润条件的前提下尽可能提高销量，试求此时的销售单价及 对应的月销量． 10．（2025 九年级上·全国·专题练习）综合与实践： 如图1，在ABC 中， 90 ACB = ， 60 B = ， 2 BC = ．点D 在射线BC 上，点E 在射线CA 上，动点P 从 点B 开始，以每秒1 个单位的速度匀速运动，沿折线BD DE − 运动到点E 时停止．以AP 为边作正方形 APFG ．设点P 的运动时间为x 秒，正方形APFG 的面积为y，探究y 与x 的关系． (1)填空：如图1，当点P 由点B 运动到点D 时， ①当 2 x = 时，y =________； ②y 关于x 的函数解析式为________（不必写出自变量的取值范围） (2)如图2，当点P 由点D 运动到点E 时，经探究发现y 是关于x 的二次函数，并绘制成如图3 所示的图象 段，请根据图象信息： ①求y 关于x 的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； ②当正方形APFG 的面积最小时，直接写出CP AE 的比值为________．
