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专题03 反比例函数中k 的几何意义
常考题型·精准突破
题型1 一点一垂直求三角形的面积（重）
题型2 一点两垂直求阴影部分的面积（重）
题型3 两点一垂直求阴影部分的面积（重）
题型4 两点两垂直求阴影部分的面积（高频）
题型5 同号K 值一平行求阴影部分的面积（难）
题型6 异号K 值一平行求阴影部分的面积（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 一点一垂直求阴影部分的面积
1．（25-26 九年级上·甘肃武威·期末）已知反比例函数
6
y
x
=
的图像的一支如图所示，则OAB
的面积是
________．
【答案】3
【分析】此题主要考查了反比例函数系数k 的几何意义，正确表示出三角形面积是解题关键．
过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 是个定值，
即
1
2
S
k
=
，依此解答即可．
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【详解】解：根据题意可知：
1
3
2
AOB
S
k
=
=
△
，
故答案为：3．
2．（25-26 八年级下·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A为反比例函数
(
)
6
0
y
x
x
= −
的图象
上的点，AB
y
轴交x 轴于点B ，点C 为y 轴上任意一点，连接AC ，BC ，则ABC
的面积为________．
【答案】3
【详解】解：如图，连接OA，
∵AB
y
轴，
∴
3
2
ABC
OAB
k
S
S
=
=
=
．
3．（2026·广西贵港·二模）如图，在平面直角坐标系中，OAB
的顶点A在x 轴正半轴上，OC 是OAB
的中
线，点
,
B C 在反比例函数
8
y
x
=
（
0
x
）的图象上，则OAB
的面积等于______．
【答案】
12
【分析】过点B 、点C 作x 轴的垂线，垂足为D
E
、，则BD
CE
，得出CE
AE
AC
BD
AD
AB
=
=
，设CE
x
=
，则
2
BD
x
=
，
根据反比例函数的解析式表示出
8
OE
x
=
，
4
OD
x
=
，
12
OA
x
=
，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，过点B 、点C 作x 轴的垂线，垂足为D
E
、，则BD
CE
，
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∴CE
AE
AC
BD
AD
AB
=
=
，
∵OC 是OAB
的中线，
∴
1
2
CE
AE
AC
BD
AD
AB
=
=
=
，
设CE
x
=
，则
2
BD
x
=
，
∵点
,
B C 在反比例函数
8
y
x
=
（
0
x
）的图象上，
∴C 的横坐标为8
x ，B 的横坐标为4
x ，
∴
8
OE
x
=
，
4
OD
x
=
，
∴
8
4
4
DE
OE
OD
x
x
x
=
−
=
−
=
，
∴
4
AE
DE
x
=
=
，
∴
8
4
12
OA
OE
AE
x
x
x
=
+
=
+
=
，
∴
1
1
12
·
2
12
2
2
OAB
S
OA BD
x
x
=
=
=
．
◆题型2 一点两垂直求阴影部分的面积
4．（25-26 九年级上·湖南株洲·期末）反比例函数
(
)
6
0
y
x
x
= −
如图，则矩形OAPB的面积是________．
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【答案】6
【分析】直接设点P 的坐标，表示出AP 和OA，再计算矩形OAPB的面积即可．
【详解】解：设
6
,
P a
a
−
，
∴
6
AP
a
= −
，AO
a
= −，
∴矩形OAPB的面积是
(
)
6
6
AP AO
a
a
= −
−
= ．
5．（25-26 九年级下·云南玉溪·开学考试）如图，A、B 两点在双曲线
(
)
12
0
y
x
x
=
上，分别经过A、B 两
点向坐标轴作垂线段，已知
2
S
=
阴影
，则
1
2
S
S
+
=______．
【答案】20
【分析】根据反比例函数
k
y
x
=
(
)
0
k
，求出
1S 与阴影面积的和，
2
S 与阴影面积的和，再结合阴影面积求
出
1S 、
2
S ，最后计算
1
2
S
S
+
的值．
【详解】解：
12
y
x
=
，且
2
S
=
阴影
，
1
12
S
S
+
=
阴影
，
2
12
S
S
+
=
阴影
，
1
12
2
10
S
=
−
=
，
2
12
2
10
S =
−
=
，
1
2
20
S
S
+
=
20 ．
6．（25-26 九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
的图象上有点
1
2
3
,
,
P P P ，它们的横坐
标依次为1，3，6，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为
1
2
,
S S ．若
2
6
S =
，则
1S
的值为_____．
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【答案】8
【分析】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据坐标求各个阴影的面积表达式是解题的关键．由
点
1P ，
2P ，
3P ，它们的横坐标依次为1，3，6，得
(
)
1 1,
P
k ，
2 3, 3
k
P
，
3 6, 6
k
P
，由
2
6
S =
，可求出k 的值，
进而求出
1S 的值．
【详解】解：∵
(
)
1 1,
P
k ，
2 3, 3
k
P
，
3 6, 6
k
P
，
∴
(
)
2
6 3
6
6
k
S =
−
=
，
∴
12
k =
，
∴
1
12
1
12
8
3
3
k
S
k
=
−
=
−
=
．
故答案为：8．
◆题型3 两点一垂直求阴影部分的面积
7．（25-26 九年级上·内蒙古包头·阶段检测）如图，正比例函数
(
)
0
y
kx k
=
和反比例函数
6
y
x
=
的图像交于
A，B 两点，过点A作AC
y
⊥
轴于点C ，则ABC
的面积为________．
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【答案】6
【分析】此题考查了正比例函数与反比例函数的图像性质、中心对称性以及三角形面积的计算，理解反比
例函数中k 的几何意义是解题的关键．
根据题意得点A与点B 关于原点对称，进而得到
BOC
AOC
S
S
=
，再利用反比例函数中k 的几何意义得到
3
AOC
S
=
，最后由
2
ABC
AOC
S
S
=
即可得出答案．
【详解】解：正比例函数
(
)
0
y
kx k
=
和反比例函数
6
y
x
=
的图像交于A，B 两点，
点A与点B 关于原点对称，
BOC
AOC
S
S
=
，
反比例函数
6
y
x
=
中
6
k =
，
1
6
3
2
AOC
S
=
=
，
2
2 3
6
ABC
AOC
S
S
=
= =
．
故答案为：6 ．
8．（25-26 九年级上·安徽淮南·期末）如图，点A，B 在反比例函数
6
y
x
=
的图象上，且关于原点对称，过点
A 作AC
x
⊥
轴于点C，连接AB ，BC ．则ABC
的面积是________．
【答案】6
【分析】本题考查反比例函数与几何综合，设点B 坐标为
6
,
m m
，且
0
m
，根据A、B 关于原点对称，得
6
,
A
m
m
−
−
，再根据
(
)
1
2
ABC
B
A
S
AC
x
x
=
−
△
即可求解．
【详解】解：根据题意，设点B 坐标为：
6
,
m m
，且
0
m
，
∵A、B 关于原点对称，
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∴点A 坐标为：
6
,
m
m
−
−
，
∵过点A 作AC
x
⊥
轴于点C，
∴点C 坐标为：(
)
,0
m
−
，
6
AC
m
=
，
∴
(
)
(
)
1
1 6
1 6 2
6
2
2
2
ABC
B
A
S
AC
x
x
m
m
m
m
m
=
−
=
−−
=
=
，
故答案为：6．
9．（2026·陕西西安·一模）如图，正比例函数与反比例函数
6
y
x
=
的图象交于A B
，两点，点C 在x 轴上，且
AC
OA
=
，则ABC
的面积为______．
【答案】12
【分析】本题考查了反比例函数的几何应用，反比例函数比例系数k 的几何意义，等腰三角形的性质，过点
A作AD
x
⊥
轴于点D，可得AO
BO
=
，
1
6
3
2
AOD
S
=
=
，即得
2
ABC
AOC
S
S
=
，利用等腰三角形的性质可得
OD
CD
=
，即得到
2
6
AOC
AOD
S
S
=
=
△
△
，进而即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：如图所示，过点A作AD
x
⊥
轴于点D ，
∵正比例函数与反比例函数
6
y
x
=
的图象交于A B
，两点，
∴AO
BO
=
，
1
6
3
2
AOD
S
=
=
，
∴
2
ABC
AOC
S
S
=
，
∵AC
OA
=
，AD
x
⊥
轴，
∴OD
CD
=
，
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∴
2
6
AOC
AOD
S
S
=
=
△
△
，
∴
2
12
ABC
AOC
S
S
=
=
，
故答案为：12．
◆题型4 两点两垂直求阴影部分的面积
10．（24-25 九年级上·广东茂名·阶段检测）如图，双曲线解析式为
6
y
x
=
，则阴影的面积为________．
【答案】12
【分析】本题考查了反比例函数
k
y
x
=
中k 的几何意义，设
(
)
,
A x y ，得到
6
xy =
，然后求出
(
)
,
B
x
y
−
−
，表
示出
(
)
2
AC
y
y
y
=
−−
=
，
(
)
2
BC
x
x
x
=
−−
=
，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图所示，
∵点A，B 在双曲线
6
y
x
=
上，
设
(
)
,
A x y ，
∴
6
xy =
∵AB 经过原点，
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∴点A 和点B 关于y 轴对称
∴
(
)
,
B
x
y
−
−
∵AC
BC
⊥
∴
(
)
2
AC
y
y
y
=
−−
=
，
(
)
2
BC
x
x
x
=
−−
=
∴阴影的面积
1
1 2
2
2
12
2
2
ABC
S
BC AC
x
y
xy
=
=
=
=
=
．
故答案为：12．
11．（25-26 九年级上·山东青岛·期末）如图所示，由反比例函数的对称性可知，点P 关于原点的对称点Q
也在图象
k
y
x
=
上．作PA
x
⊥
轴于点A，QC
PA
⊥
交延长线于点C，则
PQC
△
的面积为 ________ ．（用含
k 的式子表示）
【答案】2k
−
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，设点P 的坐标为(
)
0
0
,
x
y
，可得出
0
0
k
x y
=
，由点P 和点Q
关于原点对称可得出
(
)
0
0
,
Q
x
y
−
−
，再结合已知条件可得出
(
)
0
0
,
C x
y
−
，再得出PC ，CQ ，再根据三角形面
积公式得出
1
2
2
PQC
S
PC CQ
k
=
=
，最后根据反比例函数的图象得出
0
k
即可得出答案．
【详解】解：设点P 的坐标为(
)
0
0
,
x
y
，
∵点P 在反比例函数
k
y
x
=
上，
∴
0
0
k
x y
=
，
∵点P 和点Q 关于原点对称，
∴
(
)
0
0
,
Q
x
y
−
−
，
∵PA
x
⊥
轴，QC
PA
⊥
，
∴
(
)
0
0
,
C x
y
−
，
∴
(
)
0
0
0
2
PC
y
y
y
=
−−
=
，
0
0
0
2
CQ
x
x
x
= −
−
=
，
∴
0
0
0
0
1
1
2
2
2
2
2
2
PQC
S
PC CQ
y
x
y x
k
=
=
=
=
，
∵反比例函数
k
y
x
=
在第二和第四象限，
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∴
0
k
，
∴
1
2
2
2
PQC
S
PC CQ
k
k
=
=
= −
，
故答案为：2k
−
．
12．（25-26 九年级上·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 经过原点O，且与反比例函数
2
y
x
= −
的图象交于点A，B ，以AB 为对角线作矩形ACBD，则矩形ACBD的面积为_____．
【答案】8
【分析】本题考查了反比例函数的对称性，反比例函数k 的几何意义，矩形的性质等，熟知反比例函数的对
称性是解题的关键．设
2
,
A a
a
−
，则
2
,
B
a a
−
，然后根据矩形的性质求解即可．
【详解】解：设
2
,
A a
a
−
，
∵直线AB 经过原点O，且与反比例函数
2
y
x
= −
的图象交于点A，B ，
∴
2
,
B
a a
−
，
∴矩形ACBD的面积为(
)
2
2
4
2
8
a
a
a
a
a
a
−−
−
−
= −
−
=
，
故答案为：8．
◆题型5 同号K 值一平行求阴影部分的面积
13．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，两个反比例函数
6
y
x
−
=
和
2
y
x
= −
在第
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二象限内的图象依次为
1
C ，
2
C ．已知点P 在
1
C 上，点A，B 在
2
C 上，且PA
x
⊥
轴，PB
y
⊥
轴，则四边形OAPB
的面积为____．
【答案】4
【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义得到
1,
6,
AEO
OBF
PEOF
S
S
S
=
=
=
四边形
即可求出答案．
【详解】解：如图，
由反比例函数比例系数的几何意义可得，
1
2
1,
6
6,
2
AEO
OBF
PEOF
S
S
S
=
=
−
=
= −
=
四边形
∴四边形OAPB的面积为
6 1 1
4
AEO
OBF
PEOF
S
S
S
−
−
=
−−=
四边形
．
14．（25-26 九年级上·陕西汉中·期末）如图，点A、B 分别在反比例函数
1
y
x
=
（
0
x
）和
4
y
x
=
（
0
x
）
的图象上，连接BA并延长交y 轴于点E ，点C 、D 在x 轴上，连接AD、BC ，若四边形ABCD是矩形，则
它的面积为______．
【答案】3
【分析】本题考查了反比例函数k 的几何意义，根据题意可得矩形ABCD面积为矩形EBCO 的面积减去矩形
EADO的面积，即可求解．
【详解】解：依题意，矩形EBCO 的面积为4 ，矩形EADO的面积为1
∴矩形ABCD的面积为4 1
3
−= ，
故答案为：3．
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15．（25-26 九年级上·广东东莞·期末）如图，点A 在
(
)
0
m
y
x
x
=
的图象上，过点A 作AB
x
⊥
轴，垂足为B，
过点A 作AC
y
⊥
轴，垂足为C ，交
(
)
0
n
y
x
x
=
的图象于点E，连接OE ，若
3
AE
CE
=
，四边形OBAE 的面
积为7，则m
n
−
=__________．
【答案】6
【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k 的几何意义，先理解反比例函数k 的几何意义，再分析四边形
OBAE 的面积构成，利用线段比例
3
AE
CE
=
建立m与n的关系，最后代入面积条件求解m和n即可求得m
n
−
．
【详解】解：由题意知，
0
m
，
0
n
，
∵AB
x
⊥
轴，AC
y
⊥
轴，点A 在
(
)
0
m
y
x
x
=
的图象上，点E 在
(
)
0
n
y
x
x
=
的图象上，
∴
OBAC
S
m
=
四边形
，
2
OCE
n
S
=
△
，
∵
3
AE
CE
=
，
∴
4
AC
CE
=
，
∴
4
m
n
=
，
∵
7
7
2
2
OCE
OBAE
OBAC
n
S
S
S
m
n
=
−
=
−
=
=
四边形
四边形
△
，
∴
2
n =
，
8
m =
，
∴
6
m
n
−
= ，
故答案为：6．
◆题型6 异号K 值一平行求阴影部分的面积
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16．（25-26 九年级上·全国·期末）如图，反比例函数
2
y
x
=
和
4
y
x
−
=
，点B 、C 在x 轴上，点A、D 在反比
例函数图象上，则矩形ABCD的面积为__________．
【答案】6
【分析】本题主要考查了反比例函数的k 的几何意义，熟练将k 的几何意义与图形的面积有机结合是解题的
关键．
如图：设AD与y 轴相交于点E，利用反比例函数k 的几何意义可得
2,
4
CDOE
ABOE
S
S
=
=
矩形
矩形
，再根据面积间
的关系即可解答．
【详解】解：如图：设AD与y 轴相交于点E，
∵反比例函数
2
y
x
=
和
4
y
x
−
=
，点B 、C 在x 轴上，点A、D 在反比例函数图象上，
∴
2
2,
4
4
CDOE
ABOE
S
S
=
=
= −
=
矩形
矩形
，
∴矩形ABCD的面积为：
2
4
6
CDOE
ABOE
S
S
+
=
+
=
矩形
矩形
．
故答案为：6．
17．（25-26 九年级上·全国·期末）如图，过y 轴上任意一点P，作x 轴的平行线，分别与反比例函数
6
y
x
−
=
和
2
y
x
=
的图象交于点A 和点B，若C 为x 轴上任意一点，连接AC ，BC ，则ABC
的面积为___．
【答案】4
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【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，系数k 的几何意义，平行线的性质，三角形的面
积公式等知识点，属于常考题型，熟练掌握反比例函数的基本知识是解题的关键．设
(0, )
P
b ，（
0
b
），则
易得点A 和点B 的坐标，于是可得AB 的长，再根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：设
(0, )
P
b ，（
0
b
），
则OP
b
=
．
直线AB
x
轴，则点A 和点B 的纵坐标都为b ，
又点A 和点B 分别在反比例函数
6
y
x
−
=
和
2
y
x
=
的图象上，
6
(
, )
A
b
b
−
，
,
(2
)
B
b
b
，
2
6
8
(
)
AB
b
b
b
=
−−
=
，
1
1
8
4
2
2
ABC
S
AB OP
b
b
=
=
=
．
故答案为：4．
18．（25-26 九年级上·山东济南·期中）如图，点A，D 分别在函数
1
y
x
= −
，
2
y
x
=
的图象上，点B，C 在x
轴上．若四边形ABCD 为矩形，点D 在第一象限，点E 在线段AD 上，则BCE
的面积为_____．
【答案】1.5
【分析】本题主要考查反比例函数k 的几何意义，由k 的几何意义可得
1
2
3
ABCD
S
= +
=
矩形
，再结合三角形的
面积公式可得答案．
【详解】解：∵点A、D 分别在函数
1
y
x
= −
、
2
y
x
=
的图象上，
∴
1
2
3
ABCD
S
= +
=
矩形
，
∴
1
1
1.5
2
2
EBC
ABCD
S
BC AB
S
=
=
=
矩形
，
故答案为：1.5
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综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（2026·广西南宁·二模）反比例函数
4 (
0)
y
x
x
=
的图象如图所示，点
(
)
,
A x y 是反比例函数图象上一点，
过点A作AB
y
⊥
轴于点B ，连接OA，则AOB
的面积是（ ）
A．1
B．2
C．5
D．6
【答案】B
【分析】直接根据k 值的几何意义，即可得出结果.
【详解】解：∵点
(
)
,
A x y 是反比例函数
4 (
0)
y
x
x
=
图象上一点，AB
y
⊥
轴于点B ，
∴AOB
的面积是4
2
2 =
.
2．（25-26 八年级下·吉林长春·期中）如图，两个反比例函数
4
y
x
=
和
2
y
x
=
在第一象限内的图象分别是
1
C 和
2
C ，设点P 在
1
C 上，PA
x
⊥
轴于点A，交
2
C 于点B，则POB
的面积为（ ）
A．3
B．1.5
C．2
D．1
【答案】D
【分析】根据反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
系数k 的几何意义得到
1
4
2
2
POA
S
=
=
，
1
2
1
2
BOA
S
=
=
，然后利用
POB
POA
BOA
S
S
S
=
−
进行计算即可．
【详解】解：∵PA
x
⊥
轴于点A，交
2
C 于点B，
∴
1
4
2
2
POA
S
=
=
，
1
2
1
2
BOA
S
=
=
，
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∴
2 1 1
POB
S
=
−=
．
3．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，点A 在反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象上，点B 在反比例函数
(
)
4
0
y
x
x
−
=
的图象上，AB 平行于x 轴，连接OA
OB
，
，若4
6
k
，则AOB
的面积可以是（ ）
A．7
2
B．4
C．9
2
D．5
【答案】C
【分析】设
,
k
A
a
a
，
4 ,
B
a
a
−
，将
AOB
的面积表示出来，建立面积与k 的函数关系，结合k 的取值范
围即可求解．
【详解】解：∵ 点A在反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
的图象上，
点B 在反比例函数
4 (
0)
y
x
x
−
=
的图象上，
∴设
,
k
A
a
a
，
∵AB 平行x 轴，
∴
4 ,
B
a
a
−
，
∴
1
1
4
4
2
2
2
2
2
AOB
k
k
k
S
AB
a
a
a
a
−
+
=
=
−
=
=
+
，
∵4
6
k
，
∴2
3
2
k
，
∴4
2
5
2
k
+
， 即 4
5
AOB
S
，只有9
2 符合题意．
4．（2026·山东临沂·二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A，B 分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边
形OACB是矩形，函数
(
)
1
0
y
x
x
=
的图象与边AC 交于点M ，与边BC 交于点N （M ，N 不重合）．给出
下面四个结论：
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①
COM
△
与CON
的面积不一定相等； ②
MON
△
与
MCN
△
的面积不可能相等；
③
MON
△
一定是锐角三角形； ④
MON
△
可能是等边三角形．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．②④
B．①④
C．②③
D．④③
【答案】A
【分析】根据矩形的性质结合反比例函数k 的意义即可判断①；
设点M 的坐标为
1
,a a
，点N 的坐标为
1
,b b
，表示出相关线段的长度，表示出两个三角形的面积进行比
较即可判断②；
根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④；
根据
,
M N 是反比例函数图象上的动点，可得
OMN
或
ONM
为钝角，即可判断③，即可求解．
【详解】解：①∵四边形OACB是矩形，
∴
OBC
OAC
S
S
=
，
∵点
,
M N 在反比例函数
1
y
x
=
的图象上，
∴
1
2
OBN
OAM
S
S
=
=
，
∴
OBC
OBN
OAC
OAM
S
S
S
S
−
=
−
△
△
△
△
，
即
CON
COM
S
S
=
，
故①错误；
②设点M 的坐标为
1
,a a
，点N 的坐标为
1
,b b
，
则
(
)
1
1
,0 ,
0,
,
,
A a
B
C a
b
b
，
(
)
(
)
2
1
1
1
1
2
2
2
MCN
a
b
S
CN CM
a
b
b
a
ab
−
=
=
−
−
=
，
(
)
2
2
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2
MON
OBN
OAM
MCN
OACB
a
b
a
b
S
S
S
S
S
a
b
a
b
b
a
ab
ab
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
=
矩形
，
当
MON
△
与
MCN
△
的面积相等时，(
)
2
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
ab
−
−
=
，即a
b
=
，
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当a
b
=
时，点
,
M N 重合，与题意不符，
∴
MON
△
与
MCN
△
的面积不可能相等，
故②正确；
③如图所示，
当
,
M N 在y
x
=
的同侧时，
MON
△
可能是钝角三角形，故③错误；
④如图所示，
∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，
∴当
60
NOM
=
且对称轴都为直线y
x
=
，
MON
△
可能是等边三角形，
故④正确；
综上，正确的选项为②④．
5．（2026·北京·二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A是函数
(
)
4
0
y
x
x
=
图象上的动点，点B 在x 轴
上，OA
AB
=
，以OA，OB 为边的平行四边形AOBC 的边BC 交该函数的图象于点D ，连接AD，OD ．
给出下面四个结论：
①四边形AOBC 可能是菱形；
②AOD
的面积始终等于4 ；
③点D可能是BC 的中点；
④AOD
不可能是直角三角形．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
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A．①②
B．①③
C．②④
D．①④
【答案】A
【分析】对于①，取
60
AOB
=
，容易证明四边形AOBC 是菱形；对于②，作AE
OB
⊥
于点E ，由k 的
几何意义可得，
2
OAE
S
=
，由等腰三角形的性质可得
△
△
2
4
OAB
OAE
S
S
=
=
，结合等积变形可得
△
△
4
AOD
OAB
S
S
=
=
为定值；对于③，设点A的坐标为
4
,a a
，利用平行四边形的性质和等腰三角形的性质
可计算出BC 的中点坐标为5
2
,
2
a
a
，由5
2
5
4
2
a
a
=
可判断BC 的中点不在双曲线上；对于④，取
60
AOB
=
，容易证明此时∠
90
OAD
，再取
45
AOB
=
，此时∠
90
OAD
，因此必定存在
90
OAD
=
的时刻．
【详解】解：对于①，当
60
AOB
=
时，四边形AOBC 是菱形，证明如下：
∵
60
AOB
=
，OA
AB
=
，
∴OAB
是等边三角形，
∴OA
OB
=
，
又∵四边形AOBC 是平行四边形，
∴四边形AOBC 是菱形，故①正确；
对于②，如图，作AE
OB
⊥
于点E ，
由反比例函数比例系数k 的几何意义可知，
1
2
2
OAE
S
k
=
=
，
∵OA
AB
=
，AE
OB
⊥
，
∴
1
2
OE
BE
OB
=
=
，
∴
△
△
2
4
OAB
OAE
S
S
=
=
，
∵四边形AOBC 是平行四边形，
∴OA
BC
∥
，
∴
△
△
4
AOD
OAB
S
S
=
=
为定值，故②正确；
对于③，设点A的坐标为
4
,a a
，
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∴OE
BE
a
=
=
，
2
=
OB
a，
∴点B 的坐标为(
)
2 ,0
a
，
∵四边形AOBC 是平行四边形，
∴AC
OB
，
2
AC
OB
a
=
=
，
∴点C 的坐标为
4
3 ,a a
，
由中点公式可得，BC 的中点坐标为5
2
,
2
a
a
，
∵5
2
5
4
2
a
a
=
，
∴BC 的中点不在反比例函数的图象上，
∴点D不可能是BC 的中点，故③错误；
对于④，当
60
AOB
=
，如图，取BC 的中点F ，连接AF ，
由①可知，四边形AOBC 是菱形，
∴
60
C
AOB
=
=
，AC
BC
=
，OA
BC
∥
，
∴ABC
是等边三角形，
∵点F 是BC 的中点，
∴AF
CD
⊥
，
∴
90
AFC
=
，
∵OA
BC
∥
，
∴∠
∠
90
OAF
AFC
=
=
，
由③可知，点F 的坐标为5
2
,
2
a
a
，
∵5
2
5
4
2
a
a
=
，
∴点F 在反比例函数的图象的上方，
∴BD
BF
，
∴
OAD
OAF
，即∠
90
OAD
，
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当
45
AOB
=
时，
∵OA
AB
=
，
∴OAB
是等腰直角三角形，
∴
90
OAB
=
，
∵
OAD
OAB
，
∴∠
90
OAD
，
∴在点A移动的过程中，必然存在一个时刻，使得
90
OAD
=
，
∴AOD
可能是直角三角形，故④错误；
综上，正确的结论为①②．
二、填空题
6．（2026·浙江温州·二模）如图，点A，B 是反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
上的两点，过点B 作BC
x
⊥
轴于点C ，
作BD
y
⊥
轴于点D．若点A的坐标为
1
3 ,t
t
−
，则矩形ODBC 的面积为_______．
【答案】3
【分析】将点A代入反比例函数解析式即可求出k 值，即可求解．
【详解】解：将点A代入反比例函数解析式，
得：1
3
k
t
t
−=
，
解得：
3
k = −，
则反比例函数的解析式为：
3
y
x
−
=
，
∴
3
xy = −
设点(
)
,
B m n ，
∴BD
m
=
，BC
n
=
，
∴矩形ODBC 的面积为：
·
3
BC BD
m
n
mn
=
=
=
．
7．（25-26 八年级下·山西临汾·期中）如图，点A 在反比例函数
(
)
10
0
y
x
x
=
的图象上，过点A 作AB
y
⊥
轴，
垂足为B，交反比例函数
(
)
7
0
y
x
x
=
的图象于点C，点D 为x 轴负半轴上的一点，连接
,
DA DC ，则DAC
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的面积为______．
【答案】1.5
【分析】连接
,
OC OA，可得
ACD
ACO
S
S
=
，再根据反比例函数比例系数的几何意义，可得
1
1
10
5,
7
3.5
2
2
AOB
COB
S
S
=
=
=
=
，即可求解．
【详解】解：如图，连接
,
OC OA，
∵AB
y
⊥
轴，
∴AC
x
轴，
∴
ACD
ACO
S
S
=
，
∵点A 在反比例函数
(
)
10
0
y
x
x
=
的图象上，点C 在反比例函数
(
)
7
0
y
x
x
=
的图象上，
∴
1
1
10
5,
7
3.5
2
2
AOB
COB
S
S
=
=
=
=
，
∴
1.5
ACD
ACO
AOB
COB
S
S
S
S
=
=
−
=
．
8．
（25-26 八年级下·山东济南·期末）如图，点A 在反比例函数
(
)
6
0
y
x
x
= −
的图象上，过点A 作AB
x
⊥
轴，
垂足为B，AB 与反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象交于点D．若
2
AOD
S
=
，则k 的值为__________．
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【答案】2
−
【分析】根据反比例函数k 的几何意义得
6 =3,
2
2
AOB
DOB
k
S
S
−
=
=
，结合
2
AOD
S
=
，可得
3
2
2
AOB
DOB
k
S
S
−
=
−
=
，进而可求出k 的值．
【详解】解：∵点A 在反比例函数
(
)
6
0
y
x
x
= −
的图象上，点D 在反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象上，AB
x
⊥
轴，
∴
6 =3,
2
2
AOB
DOB
k
S
S
−
=
=
，
∵
2
AOD
S
=
，
∴
3
2
2
AOB
DOB
k
S
S
−
=
−
=
，
∴
2
k =
，
∵
0
k
，
∴
2
k
−
=
．
9．（25-26 八年级下·上海·阶段检测）如图，在反比例函数
(
)
2
0
y
x
x
=
的图象上，有点
1P ，2P ，3P ，…，nP ，
1
nP + ，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n，
1
n + ．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影
部分的面积从左到右依次为
1S ，
2
S ，
3
S ，…，
n
S ，
1
n
S + ，则
1
2
3
1
n
S
S
S
S +
+
+
++
= ____________．
【答案】2
1
n
n +
【分析】根据题意阴影矩形的一边长都为1，将面积为
2
3
1
,
,
,
n
S S
S +
的矩形向左平移到
1S 下方，则有：
1
1
2
3
1
n
DABP
S
S
S
S
S
+
+
+
+
+
=
矩形
，最后利用
1
1
DABP
OCP D
OABC
S
S
S
S
=
=
−
矩形
矩
矩形
阴影
形
计算即可．
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【详解】解：
1
2
3
1
,
,
,
,
,
n
n
P P P
P P +
等点，它们的横坐标依次为1，2 ，3，…，n，
1
n + ，
阴影矩形的一边长都为1，如图：
由题意得：
1PD
y
⊥
轴，
1PC
x
⊥
轴，
1
nP A
y
+
⊥
轴，交
1PC 于点B ，
将面积为
2
3
1
,
,
,
n
S S
S +
的矩形向左平移到
1S 下方，
∴
1
1
2
3
1
n
DABP
S
S
S
S
S
+
+
+
+
+
=
矩形
，
当
1
x
n
=
+ 时，
2
1
y
n
=
+ ，即
2
1
OA
n
=
+ ，
2
1
OABC
S
OA OC
n
=
=
+
矩形
，
根据反比例函数k 值的几何意义得：
1
2
OCPD
S
=
矩形
，
1
1
2
2
2
1
1
DABP
OCPD
OABC
n
S
S
S
S
n
n
=
=
−
=
−
=
+
+
阴影
矩形
矩形
矩形
．
10．（25-26 八年级下·福建泉州·期末）如图，四边形OABC是平行四边形，对角线OB 在y 轴正半轴上，位
于第一象限的点A和第二象限内的点C 分别在双曲线
1k
y
x
=
和
2k
y
x
=
的一支上，分别过点A、C 作x 轴的垂
线，垂足分别为M 和N ，则有以下的结论：
①若B 点坐标为(
)
0,6 ，A点坐标为(
)
2,2 ，则
2
8
k = −；
②阴影部分的面积为(
)
1
2
1
2 k
k
+
；
③当
90
AOC
=
时，
1
2
k
k
=
；
④若四边形OABC是菱形，则两双曲线既关于x 轴对称，也关于y 轴对称．
其中正确的结论是_____________（填写正确结论的序号）．
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【答案】①④
【详解】解：①过点A作AD
y
⊥
轴于点D ，过点C 作CE
y
⊥
轴于点E ，
四边形OABC是平行四边形，
OC
AB
=
，OC
AB
，
ABO
COB
=
，
在CEO
和ADB
中，
90
CEO
ADB
BOC
ABO
OC
AB
=
=
=
=
CEO
ADB
≌
(
)
AAS ，
CE
AD
=
，OE
BD
=
，
B 点坐标为(
)
0,6 ，A点坐标为(
)
2,2 ，
2
AD
CE
=
=
，
4
BD
OE
=
=
，
点C 的坐标为(
)
2 4
−，，
把C (
)
2 4
−，代入
2k
y
x
=
得：
2
8
k = −，结论符合题意
②点C 在双曲线
2k
y
x
=
的一支上，点A在双曲线
1k
y
x
=
的一支上，
2
0
k
，
1
0
k
，
2
2
1
1
|
|
2
2
CON
S
k
k
=
= −
，
1
1
1
1
|
|
2
2
AOM
S
k
k
=
=
，
阴影部分的面积为(
)
1
2
1
2 k
k
−
，结论不符合题意．
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③当
90
AOC
=
时，
OABC
是矩形，
OC 不一定等于OA,
CON
与AOM
不一定全等，
1
|
|
k 不一定等于
2
|
|
k
，结论不符合题意．
④连结AC 交y 轴于点G ，
四边形OABC是菱形，
CG
AG
=
，OB
AC
⊥
，
点A、C 关于y 轴对称，
如图所示的两个图像关于y 轴对称，
双曲线
1k
y
x
=
和
2k
y
x
=
各自关于原点对称，
两双曲线既关于x 轴对称，也关于y 轴对称，结论符合题意．
三、解答题
11．（2026·河南洛阳·一模）如图，AOCB
的顶点A，B 分别在双曲线
1k
y
x
=
和
5
y
x
= −
上，顶点C 在x 轴上，
已知点A 的坐标为(1,2) ．
(1)求双曲线
1k
y
x
=
的解析式；
(2)求AOCB
的面积．
【答案】(1)
2
y
x
=
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(2)7
【分析】（1）将点
(1,2)
A
代入
1k
y
x
=
求解即可；
（2）连接OB ，设AB 与y 轴交于点D，根据反比例函数的比例系数的几何意义可得
5
2
BOD
S
=
，
1
AOD
S
=
，
从而可知
7
2
AOB
S
=
，即可求得答案．
【详解】（1）解：将点
(1,2)
A
代入
1k
y
x
=
得：
1
2
1
k
=
，
解得：
1
2
k =
，
双曲线的解析式为
2
y
x
=
；
（2）解：连接OB ，设AB 与y 轴交于点D，
四边形AOCB为平行四边形，点C 在x 轴上，
AB
y
∥
轴，
点A 和点B 分别在双曲线
2
y
x
=
和
5
y
x
= −
上，
5
2
BOD
S
=
△
，
1
AOD
S
=
，
5
7
1
2
2
AOB
BOD
AOD
S
S
S
=
+
=
+ =
△
△
△
，
7
2
2
7
2
AOCB
AOB
S
S
=
=
=
△
．
12．（2026 九年级·吉林·专题练习）如图，直线
1
2
y
x
=
与双曲线
k
y
x
=
交于B，D 两点，分别过点B，D 作x
轴的垂线，垂足分别为点A，C，连接AD，BC ，已知点(
)
2,0
A −
．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求四边形ABCD的面积．
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【答案】(1)
2
y
x
=
(2)4
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用、平行四边形判定及k 的几何意义，掌握利用函数
对称性判定平行四边形，结合反比例函数面积性质计算图形面积是解题的关键．
（1）由AB
x
⊥
轴及(
)
2,0
A −
得B 的横坐标，代入直线解析式求B 坐标，再代入反比例函数求k ；
（2）利用函数对称性得B
D
、
关于原点对称，证四边形ABCD是平行四边形，再由k 的几何意义求面积．
【详解】（1）解：
AB
x
⊥
轴于点(
)
2,0
A −
，
点B 的横坐标为2
−，
将
2
x = −代入
1
2
y
x
=
，得
1
y
−
=
，
(
)
2, 1
B
−
−
．
将
(
)
2, 1
B
−
−
代入
k
y
x
=
，得
(
)
2
1
2
k = −−
=
，
故反比例函数的解析式为
2
y
x
=
．
（2）解：直线
1
2
y
x
=
与双曲线
k
y
x
=
均关于原点对称，
它们的交点B，D 关于原点对称，
OB
OD
=
∴
，OA
OC
=
，
四边形ABCD是平行四边形．
由k 的几何意义可知
1
1
2
AOB
S
k
=
=
，
4
4
AOB
ABCD
S
S
=
=
△
四边形
．
13．（2026·吉林松原·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过点
(
)
6,2
P
，直线
4
y =
与y 轴交于点M，与反
比例函数的图象交于点N，点Q 在反比例函数第三象限的图象上．
(1)记图中两处矩形阴影的面积分别为
1S 、
2
S ，则
1S ______
2
S （填“＞”“＜”或“＝”）；
(2)求反比例函数的解析式，并求ON 的长．
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【答案】(1)＝
(2)
12
y
x
=
，
5
ON =
【分析】（1）根据反比例函数比例系数的几何意义即可解答；
（2）根据待定系数法求出反比例函数的解析式为
12
y
x
=
，再解方程组
12
4
y
x
y
=
=
得到点N 的坐标，根据两点
间的距离公式求解即可．
【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为
k
y
x
=
（
0
k
），
根据反比例函数比例系数的几何意义可得，图中两处矩形阴影的面积
1
2
S
S
k
=
=
．
（2）解：设反比例函数的解析式为
k
y
x
=
（
0
k
），
∵反比例函数
k
y
x
=
的图象过点
(
)
6,2
P
，
∴2
6
k
=
，解得
12
k =
，
∴反比例函数的解析式为
12
y
x
=
，
解方程组
12
4
y
x
y
=
=
，得
3
4
x
y
=
=
，
∴
(
)
3,4
N
，
∴
2
2
3
4
5
ON =
+
=
．
14．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在反比例函数
k
y
x
=
的图象上有
1P ，
2P ，
3P ，…，
2020
P
等点，它们
的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从
左到右依次为
1S ，
2
S ，
3
S ，…，
2024
S
，
2025
S
．
(1)当
1
k = 时，
1
2
3
2024
2025
S
S
S
S
S
+
+
++
+
= ______；
(2)当
2
k =
时，
1
2
3
2024
2025
S
S
S
S
S
+
+
++
+
= ______；
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(3)当
3
k = 时，
1
2
3
2024
2025
S
S
S
S
S
+
+
++
+
= ______；
(4)当k
n
=
时，
1
2
3
2024
2025
S
S
S
S
S
+
+
++
+
= ______．
【答案】(1) 2025
2026
(2) 2025
1013
(3) 6075
2026
(4) 2025
2026
n
【分析】本题主要考查了反比例函数k 的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．将面积
为
2
S ，
3
S ，…，
2025
S
的矩形向左平移到面积为
1S 的矩形的下方，然后再利用
1
1
ABP D
OCP D
OABC
S
S
S
=
−
矩形
矩形
矩形
求
解即可．
【详解】（1）解：
1P
，
2P ，
3P ，…，
2026
P
的横坐标依次为1，2，3，…，2026，
阴影矩形的一边长都为1，
记
1PD
y
⊥
轴于点D，
1PC
x
⊥
轴于点C ，
2026
P
A
y
⊥
轴于点A，且交
1PC 于点B ，如图所示：
将面积为
2
S ，
3
S ，…，
2025
S
的矩形向左平移到面积为
1S 的矩形的下方，则
1
1
2
3
2025
ABP D
S
S
S
S
S
+
+
++
=
矩形
，
当
1
k = 时，把
2026
x =
代入
1
y
x
=
，得
1
2026
y =
，即
1
2026
OA =
，
1
2026
OABC
S
OA OC
=
=
矩形
，
根据反比例函数中k 的几何意义可知
1
1
OCP D
S
=
矩形
，
1
2
3
2024
2025
1
2025
1
2026
2026
S
S
S
S
S
+
+
++
+
= −
=
，
故答案为：2025
2026 ；
（2）解：同理当
2
k =
时，把
2026
x =
代入
2
y
x
=
，得
2
2026
y =
，即
2
2026
OA =
，
2
2026
OABC
S
OA OC
=
=
矩形
，
根据反比例函数中k 的几何意义可知
1
2
OCPD
S
=
矩形
，
1
2
3
2024
2025
2
2025 2
4050
2025
2
2026
2026
2026
1013
S
S
S
S
S
+
+
++
+
=
−
=
=
=
，
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故答案为：2025
1013 ；
（3）解：当
3
k = 时，把
2026
x =
代入
3
y
x
=
，得
3
2026
y =
，即
3
2026
OA =
，
3
2026
OABC
S
OA OC
=
=
矩形
，根据反比例函数中k 的几何意义可知
1
3
OCP D
S
=
矩形
，
1
2
3
2024
2025
3
2025 3
6075
3
2026
2026
2026
S
S
S
S
S
+
+
++
+
= −
=
=
，
故答案为：6075
2026 ；
（4）解：当k
n
=
时，把
2026
x =
代入
n
y
x
=
，得
2026
n
y =
，即
2026
n
OA =
，
2026
OABC
n
S
OA OC
=
=
矩形
，
根据反比例函数中k 的几何意义可知
1
OCP D
S
n
=
矩形
，
1
2
3
2024
2025
2025
2026
2026
n
n
S
S
S
S
S
n
+
+
++
+
=
−
=
，
故答案为：2025
2026
n
．
15．（25-26 九年级上·全国·单元复习）知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点A
是反比例函数
k
y
x
=
上任意一点，则矩形ABOC 的面积为k ．
(1)初步尝试
如图2，点A，E 分别在反比例函数
2
y
x
=
和
4
y
x
−
=
的图象上，四边形ABOC 和EFOB都是矩形，易知四边
形EFCA也是矩形，分别求矩形EFOB和EFCA的面积．
(2)类比探究
如图3，点A，C 在反比例函数
(
)
0
a
y
a
x
=
的图象上，点B，D 在反比例函数
(
)
0
b
y
b
x
=
的图象上，
AB
CD
x
∥
∥轴，AB 与CD在x 轴的两侧，
3
AB =
，
2
CD =
，AB 与CD的距离为5，求a
b
−
的值．
(3)拓展延伸
如图5，已知反比例函数
m
y
x
=
和
n
y
x
=
，
0
m
n
，若点B，C 在
m
y
x
=
图象上，点A，D 在
n
y
x
=
图象上，
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且AB
CD
x
∥
∥轴，
5
3
AB =
，
5
6
CD =
，AB 和CD间的距离为12，求m
n
−
的值．
【答案】(1)4，6
(2)6
(3)
20
m n
−
=
或20
3
【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，反比例函数k 的几何意义，二元一次方程组的解法，熟练的利用
反比例函数k 的几何意义建立方程或方程组解题是关键．
（1）由反比例函数k 的几何意义可得答案；
（2）如图4，过A，B，C，D 四点分别作AE 、BF 、CG 、DH
x
⊥
轴于点E，F，G，H，设AB ，CD分
别与y 轴交于N，M，可得AB BF
CD CG
=
，设CG 为h，而
3
AB =
，
2
CD =
，AB 与CD的距离为5，再
进一步建立方程求解即可；
（3）分别延长BA，CD交y 轴于
,
M N ，过点, ,
,
A B C D 作
,
,
,
AE BF CG DH
x
⊥
轴于点
,
,
,
E F G H ，则四边形
AMOE ，BMOF ，DNOH ，CNOG都为矩形，且
AMOE
S
n
=
矩形
，
BMOF
S
m
=
矩形
，
DNOH
S
n
=
矩形
，
CNOG
S
m
=
矩形
，
设AE
h
=
，如图，当CD在AB 的上方时， 如图，当CD在AB 的下方时， 再进一步利用面积建立方程组解
题即可．
【详解】（1）解：∵点A，E 分别在反比例函数
2
y
x
=
和
4
y
x
−
=
的图象上，四边形ABOC 和EFOB都是矩形，
∴
2
ABOC
S
=
矩形
，
4
BEFO
S
=
矩形
，
∴
2
4
6
AEFC
S
=
+
=
矩形
；
（2）解：如图4，过A，B，C，D 四点分别作AE 、BF 、CG 、DH
x
⊥
轴于点E，F，G，H，设AB ，CD
分别与y 轴交于N，M，
∴四边形ANOE ，BNOF ，CMOG，DMOH 均为矩形，且
ANOE
BNOF
CMOG
DMOH
S
S
S
S
a
b
+
=
+
=
−
矩形
矩形
矩形
矩形
，
∴AB BF
CD CG
=
，
设CG 为h，而
3
AB =
，
2
CD =
，AB 与CD的距离为5，
∴
5
BF
h
=
−
，
∴
(
)
2
3 5
h
h
−
=
，
解得：
3
h = ，
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∴
2 3
6
CMOG
DMOH
S
S
a
b
−
+
=
=
=
矩形
矩形
；
（3）解：分别延长BA，CD交y 轴于
,
M N ，过点, ,
,
A B C D 作
,
,
,
AE BF CG DH
x
⊥
轴于点
,
,
,
E F G H ，则四
边形AMOE ，BMOF ，DNOH ，CNOG都为矩形，且
AMOE
S
n
=
矩形
，
BMOF
S
m
=
矩形
，
DNOH
S
n
=
矩形
，
CNOG
S
m
=
矩形
，
设AE
h
=
，
如图，
当CD在AB 的上方时，而AB
CD
x
∥
∥轴，AB 和CD间的距离为12，
∴
12
DH
h
=
+
，
∵
5
3
AB =
，
5
6
CD =
，
∴
(
)
5
3
5
12
6
m
n
h
m
n
h
−
=
−
=
+
，
解得：
20
12
m
n
h
−
=
=
，
如图，当CD在AB 的下方时，而AB
CD
x
∥
∥轴，AB 和CD间的距离为12，
∴
12
CG
h
=
−
，
同理可得：
(
)
5
3
5 12
6
m
n
h
m
n
h
−
=
−
=
−
，解得：
20
3
4
m
n
h
−
=
=
，
综上：
20
m n
−
=
或20
3 ．
