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专题03 实际问题与二次函数
常考题型·精准突破
题型1 销售问题（高频）
题型2 拱桥问题（重）
题型3 投球问题（高频）
题型4 喷水问题（重）
题型5 图形问题（难）
题型6 图形运动问题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 销售问题
1．（2026·湖北武汉·中考真题）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．
市场调查 选取两类作品：原木小件(记作A 品)、滴胶花艺(记作B 品)．
收集到如下信息：
信息1：制作一件A 品比一件B 品的成本高2 元，用120元制作A 品的件数与用80元制作B 品的件数相等．
信息2：当A 品售价为18元/件时，其销量为220 件，售价每涨1元，销量减少10件；B 品售价固定为16元/
件．
信息3：根据市场需求，制作并销售A 品和B 品共300件．
成本核算：
(1)分别求制作一件A 品和一件B 品的成本．
模型建立：
(2)设销售A 品和B 品的总利润为w 元，A 品售价为x 元/件，求w 关于x 的函数解析式(不要求写自变量x 的
取值范围)．
方案设计：
(3)若制作A 品和B 品的总成本不超过1400元，且总利润最大，请设计A 品和B 品的数量分配方案．
【答案】(1)制作一件A 品的成本为6 元，制作一件B 品的成本为4 元
(2)
2
10
580
3600
w
x
x
= −
+
−
(3)制作A 品100 件，B 品200 件时，总成本不超过1400 元且总利润最大
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【分析】（1）设制作一件B 品的成本为a 元，则制作一件A 品的成本为(
)
2
a +
元，根据“用120元制作A 品
的件数与用80元制作B 品的件数相等”列出分式方程并求解即可；
（2）根据“当A 品售价为18元/件时，其销量为220 件，售价每涨1元，销量减少10件”求出A 品的销量，再
根据总销量300 件求出B 品的销量，从而利用利润公式求出w 关于x 的函数解析式；
（3）先利用不等式求出x 的取值范围，再根据二次函数的图象和性质求解即可．
【详解】（1）解：设制作一件B 品的成本为a 元，则制作一件A 品的成本为(
)
2
a +
元，
由题意可知：120
80
2
a
a
=
+
，
解得：
4
a =
，
经检验：
4
a =
是原方程的根，符合题意，
故
2
6
a+
=
，
答：制作一件A 品的成本为6 元，制作一件B 品的成本为4 元；
（2）解：∵当A 品售价为18元/件时，其销量为220 件，售价每涨1元，销量减少10件，
∴A 品的销量为：
(
)
220 10
18
400 10
x
x
−
−
=
−
(件)，
∴B 品的销量为：
(
)
300
400 10
10
100
x
x
−
−
=
−
(件)，
∴
(
)(
) (
)(
)
2
6
400 10
16
4 10
100
10
580
3600
w
x
x
x
x
x
=
−
−
+
−
−
= −
+
−
，
答：w 关于x 的函数解析式为：
2
10
580
3600
w
x
x
= −
+
−
；
（3）解：∵制作A 品和B 品的总成本不超过1400元，
∴(
)
(
)
6 400 10
4 10
100
1400
x
x
−
+
−
，
解得：
30
x
，
又∵400 10
0
x
−
且10
100
0
x−
，即10
40
x
，
∴30
40
x
，
∵
(
)
2
2
10
580
3600
10
29
4810
w
x
x
x
= −
+
−
= −
−
+
，10
0
−
，
∴当30
40
x
时，w 随着x 的增大而减小，
∴当
30
x =
时，
(
)
2
max
10 30
29
4810
4800
w
= −
−
+
=
．
此时400 10
100
x
−
=
，10
100
200
x−
=
，总成本等于1400 元，
答：制作A 品100 件，B 品200 件时，总成本不超过1400 元且总利润最大．
2．（2026·四川雅安·一模）综合与实践：
【项目主题】探究新款迷你无人机校园营销案
【项目背景】某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无
人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费．
【项目成果】请解答任务1，任务2．
【项目实施】
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(1)任务1：从线上旗舰店调研数据知，2026 年1 月该款迷你无人机的销量为1100 架，2026 年3 月该款迷你
无人机的销量为1331 架，若2026 年1 月至3 月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求此月平均增长率．
(2)任务2：校园调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架80 元且售价定为每架120 元时，每天能销售20
架，且售价每降低1 元，每天可多销售2 架．
①若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200 元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？
②要想获得利润最大，售价应定为多少元？
【答案】(1)此月平均增长率为10%
(2)
①每架迷你无人机的售价应降低20 元；②要想获得利润最大，售价应定为105元．
【分析】（1）设此月平均增长率为x，根据1 月和3 月的销量建立方程求解即可；
（2）①设每架迷你无人机的售价应降低m 元，根据利润= （售价−进价）销售量建立方程求解即可；②
设获得的利润为W 元，每架迷你无人机的售价应降低n 元，根据利润=（售价−进价）销售量列出W 关于
n 的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设此月平均增长率为x，
由题意得，
(
)
2
1100 1
1331
x
+
=
，
解得
0.1 10%
x =
=
或
2.1
x = −
（舍去），
答：此月平均增长率为10% ；
（2）解：①设每架迷你无人机的售价应降低m 元，
由题意得，(
)(
)
120
80
20
2
1200
m
m
−
−
+
=
，
整理得
2
30
200
0
m
m
−
+
=
，
解得
10
m =
或
20
m =
，
∵需要尽量减少库存，
∴
20
m =
，
答：每架迷你无人机的售价应降低20 元；
②设获得的利润为W 元，每架迷你无人机的售价应降低n 元，
由题意得，
(
)(
)
120
80
20
2
W
n
n
=
−
−
+
(
)(
)
40
20
2
n
n
=
−
+
2
2
60
800
n
n
= −
+
+
(
)
2
2
15
1250
n
= −
−
+
，
∵2
0
−
，
∴当
15
n =
时，W 有最大值，最大值为1250，
此时120
105
n
−
=
，
答：要想获得利润最大，售价应定为105元．
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3．（25-26 八年级下·重庆·期末）重庆市某景区是旅游热门景点，景区某商店有A、B 两款热销冰箱贴，小
鲁和小巴在旅游时购买了这两款冰箱贴，其中小鲁买2 件A 款冰箱贴和3件B 款冰箱贴共花费116元，小巴
买1件A 款冰箱贴和4 件B 款冰箱贴共花费113元．
(1)求A、B 两款冰箱贴每件售价分别是多少元？
(2)景区内游客如潮，该商店推出了B 款冰箱贴的优惠活动．若按（1）中求出的单价销售，每天可销售B
款冰箱贴300件．销售单价每下降1元，每天可多售出50件．已知B 款冰箱贴成本为10元，请求出B 款冰
箱贴每天的销售利润W （元）与销售单价下降a （元）（
0
a
）之间的函数关系，当每件售价为多少元时，
B 款冰箱贴每天的销售利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)A、B 两款冰箱贴每件售价分别是25 元、22 元
(2)当B 款冰箱贴销售单价定为19元时，该景区一天内销售这款冰箱贴获得的利润最大，最大利润是4050元
【分析】（1）设A、B 两款冰箱贴每件售价分别为x 元，y 元，根据买2 件A 款冰箱贴和3件B 款冰箱贴共
花费116元，买1件A 款冰箱贴和4 件B 款冰箱贴共花费113元，列方程组求解即可；
（2）根据销售利润等于销售量乘以售价与进价的差，列出销售利润W （元）与销售单价下降a （元）之间
的函数关系式，再依据二次函数的性质求得最大利润即可．
【详解】（1）解：设A、B 两款冰箱贴每件售价分别为x 元，y 元，
根据题意得：
2
3
116
4
113
x
y
x
y
+
=
+
=
，解得
25
22
x
y
=
=
．
答：A、B 两款冰箱贴每件售价分别是25 元、22元．
（2）解：销售单价下降a 元，
∴销售量为(
)
300
50a
+
件，
根据题意得：
(
)(
)
2
22
10
300
50
50
300
3600
W
a
a
a
a
=
−
−
+
= −
+
+
，
(
)
2
2
50
300
3600
50
3
4050
W
a
a
a
= −
+
+
= −
−
+
，
50
0
−
，0
22
a
，
开口向下，
当
3
a = 时，W 有最大值为4050，
B 款冰箱贴销售单价：
−=
22 3 19（元）．
答：当B 款冰箱贴销售单价定为19元时，该景区一天内销售这款冰箱贴获得的利润最大，最大利润是4050
元．
◆题型2 拱桥问题
4．（25-26 八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，
水面的宽度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m ．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案
（如图）．
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(1)你选择的方案是______（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B 点坐标是______；
(2)求出你所选方案中的抛物线的解析式；
(3)因降暴雨水位上升1m，此时水面宽为多少？
【答案】(1)方案一，
(
)
5,0
B
；方案二，
(
)
10,0
B
；方案三，
(
)
5, 5
B
−
(2)方案一，
2
1
5
5
y
x
= −
+ ；方案二
(
)
2
1
5
5
5
y
x
= −
−
+ ；方案三，
2
1
y
x
5
= −
(3)4 5m
【分析】（1）根据水面的宽度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m ，求出点B 坐标；
（2）三种方案中抛物线开口都向下，故抛物线解析式二次项系数为负，根据题意先求出顶点坐标，设解析
式为顶点式，再代入（1）中点B 坐标，即可求出抛物线解析式；
（3）任意选择三种方案中的一种，根据暴雨水位上升1m代入对应抛物线解析式，求解即可．
【详解】（1）解：分情况讨论：
选择方案一：
由题意得
5m
OB =
，
(
)
5,0
B
;
选择方案二：
由题意得
10m
OB =
，
(
)
10,0
B
;
选择方案三：
由对称性可知点A与点B 关于y 轴对称，
10
B
A
x
x
−
=
，
5
B
x
=
，
又桥洞与水面的最大距离是5m ，
5
B
y
= −，
(
)
5, 5
B
−
．
（2）解：分情况讨论：
选择方案一：由题意得抛物线顶点坐标为(
)
0,5 ，
抛物线开口向下，故设抛物线解析式为
2
5
y
ax
= −
+ ，
代入
(
)
5,0
B
，得0
25
5
a
= −
+
，
解得
1
5
a =
，
抛物线解析式为
2
1
5
5
y
x
= −
+ ;
选择方案二：由题意得抛物线顶点坐标为(
)
5,5
A
，
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抛物线开口向下，故设抛物线解析式为
(
)
2
5
5
y
a x
= −
−
+ ，
代入
(
)
10,0
B
，得0
25
5
a
= −
+
，
解得
1
5
a =
，
抛物线解析式为
(
)
2
1
5
5
5
y
x
= −
−
+ ;
选择方案三：由题意得抛物线顶点坐标为
(
)
0,0
O
，
抛物线开口向下，故设抛物线解析式为
2
y
ax
= −
，
代入
(
)
5, 5
B
−
，得5
25a
−= −
，
解得
1
5
a =
，
抛物线解析式为
2
1
y
x
5
= −
．
（3）解：选择方案三中的解析式，
5
B
y = −
，
暴雨水位上升1m后，代入
4
y
−
=
，得
2
1
4
5 x
−= −
，
解得
2 5
x =
或2 5
−
，
水面宽为
(
)
2 5
2 5
4 5m
−−
=
．
5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）西安东站坐落于西安灞桥区，东依白鹿原、西邻浐河，是西北地区特大型综
合交通枢纽，也是西安“米”字形高铁网核心枢纽之一，以“秦山渭水、丝路长安”为设计理念，如图①，其
站房主门楼顶部采用大气、对称的抛物线形拱檐设计，线条流畅优美，其拱檐轮廓可近似看作开口向下的
抛物线的一部分．如图②，现以拱檐对称轴与水平地面的交点为坐标原点O，水平向右为x 轴，竖直向上
为y 轴建立平面直角坐标系，结合东站实景真实比例：拱檐左右两端檐口水平总跨度AB 为80m ，檐口离地
高度AE 为36m，拱檐拱顶最高处离地高度OC 为48m．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)为美化夜景，需要在拱檐安装亮化灯带，要求灯带安装位置离地高度不低于45m ，求灯带两端水平距离
的最大长度．
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【答案】(1)该抛物线的表达式为
2
3
48
400
y
x
−
=
+
(2)灯带两端水平距离的最大长度为40m
【分析】（1）设抛物线表达式为：
2
48
y
ax
=
+
，根据题意可得A点坐标为( 40,36)
−
，代入求解即可；
（2）要求离地高度不低于45m，即
45
y
，将
45
y =
代入抛物线表达式求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知，抛物线对称轴为y 轴，顶点C 坐标为(0,48) ，
设该抛物线表达式为
2
48
y
ax
=
+
，
80
AB
m
=
，
36
AE
m
=
，
由对称性得A点的坐标为( 40,36)
−
，
将
( 40,36)
A −
代入表达式得：
(
)
2
36
40
48
a
=
−
+
，
解得
3
400
a
−
=
，
该抛物线的表达式为
2
3
48
400
y
x
−
=
+
．
（2）解：要求离地高度不低于45m，即
45
y
，
令
45
y =
代入抛物线表达式得
2
3
45
48
400 x
−
=
+
，
整理得
2
400
x =
，
解得
1
20
x =
，
2
20
x = −
，
两个交点的水平距离为：
(
)
20
20
40m
−−
=
，
因此灯带两端水平距离的最大长度为40m ．
6．（2026·山西吕梁·二模）综合与实践
问题情境：漪汾桥是太原首座双七拱吊桥，具有划时代意义，它是中承式连续拱桥，其最亮眼的设计在于
桥体两侧对称舒展的抛物线形桥拱，远远望去犹如两道绚丽的彩虹横跨汾河，早已成为汾河畔极具辨识度
的城市景观，兼具工程美学与力学价值．
数学建模：图1 是太原漪汾桥实物图，桥面上方的桥拱可近似看作完全相同的抛物线，图2 为其一桥拱的
示意图，以桥面OA所在直线为x 轴，桥墩立柱OC 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已
知桥拱的跨度
66
OA =
米，桥拱最高点到桥面的距离为9 米．
问题解决：
(1)①求该桥拱抛物线的函数表达式；
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②为了方便给桥拱顶部喷涂除锈剂，养护工人需在桥拱上距离桥面5 米高的位置，搭建施工水平支架平台
MN （点
,
M N 均在桥拱上），对桥拱横向作业，求该水平作业平台MN 的长度．
(2)如图3，若需在漪汾桥桥拱下方安装一块内容为“晋善晋美，马到成功”的矩形灯牌DEFG ，其中点
,
D G 在
抛物线上，点
,
E F 在桥面OA上，DE 边靠近桥墩OC 且到桥墩OC 的距离不小于11 米，为更好地筹备所需
材料，需测算单块宣传牌的周长最大值（宣传牌厚度忽略不计），请你帮忙计算一下，直接写出结果即可．
【答案】(1)①
(
)
2
1
33
9
121
y
x
= −
−
+
；②44 米
(2)98 米
【分析】
（1）①待定系数法求函数表达式；②根据题意可得点M 的纵坐标，代入解析式，解方程可得点
,
M N
的横坐标，即可求解；
（2）设点D 的横坐标为m ，表示出矩形的周长，根据二次函数的图象和性质求出最值．
【详解】（1）解：①由题意得抛物线的顶点为桥拱最高点，横坐标为
33
2
OA =
，纵坐标为9，即顶点坐标为
(
)
33,9 ．
设函数表达式为
(
)
2
33
9
y
a x
=
−
+
，
将原点(
)
0,0 代入上式，得(
)
2
0
33
9
0
a
−
+
=
，
解得
1
121
a = −
，
∴该桥拱抛物线的函数表达式为
(
)
2
1
33
9
121
y
x
= −
−
+
；
②平台MN 距离桥面OA的垂直距离为5 米，即点M 的纵坐标
5
y =
，
将其代入抛物线解析式
(
)
2
1
33
9
121
y
x
= −
−
+
，
得
(
)
2
1
33
9
5
121 x
−
−
+
=
，
解得
1
2
11,
55
x
x
=
=
，
∴
55 11
44
MN =
−
=
（米）．
答：该水平作业平台MN 的长度为44 米；
（2）解：设点D 的横坐标为m ，
由抛物线的对称性可知，点G 的横坐标为66
m
−
，
∴
(
)
66
66
2
DG
m
m
m
=
−
−
=
−
，
矩形的高DE 即为点D 的纵坐标，
2
1
6
121
11
DE
m
m
= −
+
．
设矩形DEFG 的周长为C ，
∴
(
)
2
1
6
2
66
2
121
11
C
m
m
m
=
−
+
+
−
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2
1
16
2
66
121
11
m
m
=
−
−
+
2
2
32
132
121
11
m
m
−
=
−
+
(
)
2
2
88
260
121 m
−
=
+
+
，
∴抛物线的对称轴为直线
88
m = −
，开口向下，
∴当
88
m −
时，函数C 随m 的增大而减小，
根据题意，DE 边到桥墩距离不小于11 米，即
11
m
．
∴当m 取最小值11 时，周长C 取得最大值．
当
11
m =
时，
(
)
2
2
11 88
260
98
121
C
−
=
+
+
=
（米）．
答：单块宣传牌的周长最大值为98 米．
◆题型3 投球问题
7．（25-26 八年级下·湖南长沙·期末）为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷
出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点P 距水平地面的高
度OP 为1.8 米，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是4 米，距水平地面的高度是3 米，记落地点
为M ，以O为原点，OM 所在直线为x 轴，OP 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系．
(1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式；
(2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到10 米为满分，请通过计算判断该次练习小明同学
能否得满分．
【答案】(1)
(
)
2
3
4
3
40
y
x
= −
−
+ ；
(2)小明此次练习能得满分．
理由：由（1）知抛物线表达式为
(
)
2
3
4
3
40
y
x
= −
−
+ ，出手点与落地点的水平距离，即点O和点M 之间距
离，
当
0
y =
时，
(
)
2
3
0
4
3
40 x
= −
−
+ ，
解得
1
4
2 10
x =
+
，
2
4
2 10
x =
−
，
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点M 坐标为(
)
4
2 10,0
+
或(
)
4
2 10,0
−
，
∵点M 在x 轴正半轴，
∴(
)
4
2 10,0
−
（不符合题意，舍去），
4
2 10
OM
=
+
，
36
40
49
，
6
2 10
7
，
10
4
2 10
11
+
，
小明此次练习能得满分．
【分析】（1）根据题意写出坐标，待定系数法计算抛物线表达式；
（2）根据（1）中的抛物线表达式求出x 轴交点坐标，对比交点到原点的距离和10大小关系即可．
【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线的顶点为(
)
4,3 ，点P 坐标为(
)
0,1.8 ，
设抛物线的顶点式为：
(
)
2
4
3
y
a x
=
−
+ ，
∴
2
1.8
(0
4)
3
a
=
−
+ ，
∴
3
40
a = −
，
∴抛物线的表达式为：
(
)
2
3
4
3
40
y
x
= −
−
+ ；
（2）略．
8．（2026·河南平顶山·三模）如图1，将一钢球从斜槽AO 的点A 处静止释放，钢球在点O 处被向右水平抛
出后，用频闪相机观察到钢球在下落过程中的几个位置如图2 所示，并以点O 为原点，钢球运动的水平方
向为x 轴建立平面直角坐标系，得到钢球的位置坐标为( , )
x y ，钢球的运动轨迹为抛物线．根据运动的原理，
可知x，y（单位：cm）与钢球下落运动时的时间t（单位：s）的关系式分别为
2
0
1
,
2
x
v t y
gt
=
= −
（
0v 为钢
球在水平方向上的速度，g 为重力加速度）．根据钢球的运动位置，测量数据如下：
/s
t
0.1
0.2
0.3
/ cm
x
0.8
1.6
2.4
/ cm
y
5
−
20
−
45
−
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(1)根据测量数据，钢球在水平方向上的速度
0v = ______cm/s ，重力加速度g = _____
2
/
cm s ．
(2)求钢球运动轨迹所形成的抛物线的表达式
(3)若点O 距离地面的高度为140cm，钢球被水平抛出的正前方地面上有一个高为15cm的无盖的正方体箱子
（箱子厚度忽略不计），若要使钢球落到箱子里，则箱子左侧到点O 的水平距离最远是多少？
【答案】(1)8，1000
(2)
2
125
16
y
x
=
(3)4cm
【分析】（1）取
0.1
t =
，
0.8
x =
代入
0
x
v
t
=
可求
0v ；取
0.1
t =
，
5
y = −代入
2
1
2
y
gt
= −
，可求g ；
（2）由（1）知
8
x
t
=
，
2
500
y
t
= −
求出
8
x
t =
，消去t 即可；
（3）把
125
y = −
代入二次函数解析式求解即可．
【详解】（1）解：把
0.1
t =
，
0.8
x =
代入
0
x
v
t
=
得
0
0.8
8
/
0.1
x
v
cm s
t
=
=
=
；
把
0.1
t =
，
5
y = −代入
2
1
2
y
gt
= −
，得：
(
)
2
1
5
0.1
2 g
−
−=
，
解得：
2
2 5
1000
/
0.01
g
cm s
=
=
；
（2）解：由（1）知
8
x
t
=
，
2
500
y
t
= −
．
8
x
t
=
．
2
2
125
500
8
16
x
y
x
−
−
=
=
．
钢球运动轨迹所形成的抛物线的表达式为
2
125
16
y
x
= −
．
（3）解：当钢球恰好落到箱子里，且从箱子左侧进入，此时箱子左侧到点O 的水平距离最远．
(
)
140 15
125 cm
−
=
．
当
125
y = −
，即
2
125
125
16 x
−
= −
，解得
4
x = （负值已舍去）．
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箱子左侧到点O 的水平距离最远是4cm ．
9．（2026·贵州·中考真题）某课外实践小组用AI 模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图①
所示．跳弹在空中飞行的高度y 与水平距离x 之间的关系如图②所示．飞机在距水面垂直高度为8.1的A处
投放跳弹，跳弹与水面接触于点O开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别为
2
1
0.2
.5
:
5
2
C
y
x
x
= −
+
，
2
2
2
:
0. 5
C
y
x
mx
n
= −
+
+
，
2
3
2
:
0. 5
C
y
x
px
q
= −
+
+
，与水面分别接触于点B ，点C ．
（演
示过程在同一平面内，其他因素忽略不计）
(1)已知点A与点O所在直线AO 的表达式为
0.9
y
x
= −
，分别求出A，B 两点的坐标；
(2)若水面上
(
)
12,0
D
处有一个高为2 （宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽
4
DE =
的暗礁，抛物线
2
C 在
14
x =
时距水面最高，请判断跳弹沿路径
2
C 运动时能否避开障碍物和暗礁；
(3)在( )
2 的条件下，若跳弹从水面上点C 弹起后，沿路径
3
C 撞击对方目标截面F 处时，启动跳弹内部回弹
装置，避开暗礁沿直线FM 加速飞向水面，接触水面后沿直线MN 撞向目标，该过程始终保持
1
2
FH
MH
MH
NH
=
=
．且目标露出水面的垂直高度
6
HG =
，点H 的坐标(
)
20,0 ，打击点N 距水面的距离为NH ，
且6
10
NH
，求抛物线
3
C 中p 的取值范围．
【答案】(1) (
)
9,8.1
A −
，
(
)
10,0
B
；
(2)能避开障碍物和暗礁；
(3) 41
21
4
2
p
．
【分析】( )
1 将
8.1
y =
，代入
0.9
y
x
= −
，求得A的坐标，将
0
y =
，代入
2
1
0.2
.5
:
5
2
C
y
x
x
= −
+
，即可求得B 的
坐标；
( )
2 先根据对称轴为
14
x =
得出
7
m =
，代入
(
)
10,0
B
求得
45
n = −
，得出
2
2
0.25
7
45
:
C
y
x
x
= −
+
−
，分别计算
12
x =
和
16
x =
的函数值，结合题意，即可求解；
( )
3 设
(
)
20,
F
f ，根据已知得出3
2
2
f
，将
(
)
18,0
C
代入
3
C ，得出
81 18
q
p
=
−
，将
20
x =
代入，得出
19
2
f
p
= −
+
，进而解不等式组，即可求解．
【详解】（1）解：∵飞机在距水面垂直高度为8.1的A处投放跳弹，直线AO 的表达式为
0.9
y
x
= −
，
∴当
8.1
y =
时，0.9
8.1
x
−
=
，
解得：
9
x =
，
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∴
(
)
9,8.1
A −
，
∵
2
1
0.2
.5
:
5
2
C
y
x
x
= −
+
，
当
0
y =
时，
2
0.25
2.5
0
x
x
−
+
=
，
解得：
1
0
x =
，
2
10
x =
，
∴
(
)
10,0
B
；
（2）解：∵
2
2
2
:
0. 5
C
y
x
mx
n
= −
+
+
，抛物线
2
C 在
14
x =
时距水面最高，
∴
(
)
14
2
0.25
m
x = −
=
−
，
解得：
7
m =
，
∴
2
2
2
:
0. 5
7
C
y
x
x
n
= −
+
+
，
∵
2
C 过点
(
)
10,0
B
，
∴当
10
x =
时，
2
0.25 10
7 10
0
n
−
+
+
=
，
解得：
45
n = −
，
∴
2
2
0.25
7
45
:
C
y
x
x
= −
+
−
，
当
0
y =
时，
2
0.25
7
45
0
x
x
−
+
−
=
，
解得：
1
10
x =
，
2
18
x =
，
∴
(
)
18,0
C
，
∵水面上
(
)
12,0
D
处有一个高为2 （宽忽略不计）的障碍物，
∴当
12
x =
时，
2
0.25 12
7 12
45
3
y = −
+
−
=
，
∵3
2
，
∴跳弹能避开障碍物，
∵暗礁的一个截面宽
4
DE =
，
12
OD =
，
∴
12
4
16
OE =
+
=
，
∴当
16
x =
时，
2
0.25 16
7 16
45
3
y = −
+
−
=
，
∵3
0
，
∴跳弹能避开暗礁，
综上所述，跳弹沿路径
2
C 运动时能避开障碍物和暗礁；
（3）解：∵点H 的坐标(
)
20,0 ，
设
(
)
20,
F
f ，
∵
1
2
FH
MH
MH
NH
=
=
，
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∴
1
2
FH
MH
=
，
1
2
MH
NH
=
，
∵6
10
NH
，
∴3
5
MH
，
∵要避开暗礁，
∴3
4
MH
，
∴3
2
2
FH
，即3
2
2
f
，
∵
3
C 过点
(
)
18,0
C
，
当
18
x =
时，
2
0.25 18
18
0
p
q
−
+
+
=
，即
81 18
q
p
=
−
，
∴当
20
x =
时，
2
3
0.25 20
2
00
20
:
0
1
C
y
p
q
p
q
= −
+
+
= −
+
+
，
100
20
81 18
19
2
p
p
p
= −
+
+
−
= −
+
，
即
19
2
f
p
= −
+
，
∵3
2
2
f
，
∴
19
2
2
3
19
2
2
p
p
−
+
−
+
，
解得：41
21
4
2
p
．
◆题型4 喷水问题
10．（2026·广东清远·三模）某公园雕塑OA的顶端点A 处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑
OA的高度为2m，当喷出的水柱与OA的水平距离为4m 时，达到最大高度3.6m．以点O 为原点，OA所在
直线为y 轴建立平面直角坐标系（如图）．
(1)求水柱所在抛物线的函数表达式；
(2)求水柱落地点与雕塑OA的水平距离．
【答案】(1)
2
0.1
0.8
2
y
x
x
−
=
+
+
；
(2)10m．
【分析】（1）由题目所给条件可得点A的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点A代入求解即可得
到该抛物线的函数表达式；
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（2）题意为求点B 的坐标，令（1）中求得的函数表达式值为0 求解即可．
【详解】（1）解：由题可得，点A的坐标为(
)
0,2 ，该抛物线的顶点为(
)
4,3.6 ，
设该抛物线的顶点式为
(
)
2
4
3.6
y
a x−
=
+
，
把点A代入得2
16
3.6
a
=
+
，解得
1
10
a = −
，
该抛物线的函数表达式为
(
)
2
2
1
4
3.6
0.1
0.8
2
10
y
x
x
x
−
−
−
=
+
=
+
+ ；
（2）解：令
0
y =
得
2
0.1
0.8
2
0
x
x
−
+
+
=
，
两边同时乘以10
−
得
2 8
20
0
x
x−
−
=
，
因式分解得(
)(
)
10
2
0
x
x
−
+
=
，
解得
1
10
x =
，
2
2
x = −，
点B 的坐标为(
)
10,0 ，
水柱落地点与雕塑OA的水平距离为10m．
11．（2026·新疆·中考真题）政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造．
问题
圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷
出抛物线形水柱．现将水管向上增高1 米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，
圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外．
过程
方法
说明
利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算．
操作
说明
以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x 轴，水管
所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．
数据
测量
原喷水池直径为16 米，喷水头距离地面0.8 米，喷出的抛物线形水柱
在与水池中心的水管水平距离为3.5 米处达到最高．
建立
模型
计算，交流展示……
请根据上述信息，完成下列问题：
(1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为
(
)
2
0.8
0
y
ax
bx
a
=
+
+
，求a，b 的值；
(2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？
【答案】(1)
0.1
a = −
，
0.7
b =
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(2)18米
【分析】（1）抛物线经过(
)
8,0 ，对称轴为直线
3.5
x =
，再由待定系数法求解即可；
（2）根据二次函数的平移求出平移后的抛物线的表达式，再令
0
y =
，求出x ，即可求解半径．
【详解】（1）解：由题意得，抛物线经过(
)
8,0 ，对称轴为直线
3.5
x =
，
∴
64
8
0.8
0
3.5
2
a
b
b
a
+
+
=
−
=
解得
0.1
0.7
a
b
−
=
=
；
∴
0.1
a = −
，
0.7
b =
；
（2）解：由（1）可得原抛物线的表达式为
2
0.1
0.7
0.8
y
x
x
−
=
+
+
，
配方可得
(
)
2
0.1
3.5
2.025
y
x
−
−
=
+
，
∵现将水管向上增高1 米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变
∴新抛物线的表达式为
(
)
2
0.1
3.5
2.025 1
y
x
−
−
=
+
+ ，即
(
)
2
0.1
3.5
3.025
y
x
−
−
=
+
，
当
0
y =
时，
(
)
2
0.1
3.5
3.025
0
x−
−
+
=
，
解得
1
9
x =
，
2
2
x = −（舍去），
∴9 2
18
=
（米）
∴改造后圆形喷水池的直径至少18米．
12．（2026·湖北武汉·三模）问题背景：某小组设计了一款自动浇花装置，小组同学调节浇花装置出水管，
使其沿水平方向．水滴从出水点水平喷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．从水滴离开出水点到
落地点的过程中，水滴距离地面的竖直高度为y（单位：m），水平距离为x（单位：m），建立如图1 所示
的平面直角坐标系．
信息1：通过仪器测量，小组同学记录了水滴离开出水点后的运动时间为t（单位：s）时的多组数据，其中
几组数据如下：
时间/s
t
0
0.10
0.20
0.30
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水平距离/ m
x
0
0.10
0.20
0.30
竖直线高度
/ m
y
0.80
0.75
0.60
0.35
信息2：小组同学通过学习知道，水滴运动时，水平距离x 与时间t 的关系为x
vt
=
（v 为水滴离开出水点时
的速度，单位m/ s ）
根据以上信息，解决下列问题：
(1)v 的值是______；
(2)水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过多长时间？
(3)将如图2 所示的一个高为0.4m，直径为0.3m的花盆放置在地面上，使花盆底面中心N 在图1 所示的x
轴上，且
0.4m
ON =
．若该装置可以调节出水点的高度（出水管保持水平），水喷出后运动路径的形状不变，
要使水滴落在花盆内（不包括边缘），出水点高度的变化量f 的取值范围为____________ m ．
【答案】(1)1；
(2)0.4s；
(3)
7
89
80
80
f
−
．
【分析】（1）依据题意，由水平距离x 与时间t 的关系为x
vt
=
，结合表格中的数据求解即可；
（2）依据题意，利用待定系数法求出对应的抛物线解析式，再求出
0
y =
时，x 的值，然后根据时间= 距离
速度，即可得到答案；
（3）设平移后的抛物线解析式为
2
5
0.8
y
x
f
= −
+
+
，由题意得，当
0.25
x =
时，
0.4
y =
，当
0.55
x =
时，
0.4
y =
，
分别求出f 的值，最后下结论即可．
【详解】（1）解：由题意得，
0.10
0.10
1
v =
= ；
（2）解：设抛物线解析式为
2
0.8
y
ax
bx
=
+
+
，
由表格得
0.01
0.1
0.8
0.75
0.04
0.2
0.8
0.60
a
b
a
b
+
+
=
+
+
=
，
解得
5
0
a
b
= −
=
，
∴抛物线解析式为
2
5
0.8
y
x
= −
+
，
当
2
5
0.8
0
y
x
= −
+
=
时，
解得
0.4
x =
或
0.4
= −
x
（舍去），
∴水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过0.4 1
0.4s
=
；
（3）解：设平移后的抛物线解析式为
2
5
0.8
y
x
f
= −
+
+
，
∵一个高为0.4m，直径为0.3m的花盆放置在地面上，使花盆底面中心N 在图1 所示的x 轴上，且
0.4m
ON =
，
∴当水落在花盆最左边时，
0.3
1
0.4
0.25
2
4
x =
−
=
=
，此时
1
5
0.8
0.4
16
y
f
−
=
+
+
=
，解得
7
80
f
−
=
；
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当水落在花盆最右边时，
0.3
11
0.4
0.55
2
20
x =
+
=
=
时，
2
11
5
0.8
0.4
20
y
f
−
=
+
+
=
，解得
89
80
f =
；
∴要使水滴落在花盆内（不包括边缘），出水点高度的变化量f 的取值范围为
7
89
80
80
f
−
．
◆题型5 图形问题
13．
（2026·内蒙古通辽·二模）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长20 米）的空地上修建一个矩形花园ABCD，
花园的一边靠墙，另外三边用总长为36米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长AB 为x 米，面积为y 平
方米．
(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
(2)满足条件的花园面积能否达到34平方米？若能，请求出x 的值；若不能，请说明理由；
(3)当x 是多少时，矩形花园面积y 最大？最大面积是多少？
【答案】(1)
2
2
36
y
x
x
= −
+
；8
18
x
(2)当
17
=
x
时，满足条件的花园面积能达到34平方米
(3)当
9
x =
时，y 最大，最大面积是162平方米
【分析】（1）根据矩形周长、面积公式列二次函数，结合墙长限制求自变量范围；
（2）把
34
y =
代入解方程并检验取值；
（3）配方法求二次函数在定义域内的最值．
【详解】（1）解：
AB
x
=
米，三边栅栏总长为36米，
(
)
36
2
BC
x
=
−
米．
(
)
36
2
y
x
x
=
−
，即
2
2
36
y
x
x
= −
+
．
墙长20 米，
0
36
2
20
x
−
，
解得8
18
x
．
（2）解：令
34
y =
，则
2
2
36
34
x
x
−
+
=
，
整理，得
2
18
17
0
x
x
−
+
=
，
解得
17
=
x
或
1
x = ．
8
18
x
，
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17
x
=
，
当
17
=
x
时，满足条件的花园面积能达到34平方米．
（3）解：将
2
2
36
y
x
x
= −
+
化为顶点式为
2
2(
9)
162
y
x
= −
−
+
，
8
18
x
，
当
9
x =
时，y 最大，最大面积是162平方米．
14．（2026·福建三明·二模）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），
用20 米长的栅栏围成一个矩形花园ABCD（栅栏只围AB ，BC 两边）．
(1)若BC 比AB 长6 米，求AB 、BC 的长；
(2)若在墙角P 处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是12米和6 米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考
虑树的粗细），花园可以围出的最大面积是多少？
【答案】(1) AB 长7 米，BC 长13米
(2)花园可以围出的最大面积是
2
96m
【分析】（1）设AB 长x 米，依据BC 比AB 长6 米表示出BC 的代数式，再结合栅栏总长20 米列一元一次方
程，解方程得到AB 长后算出BC 长度；
（2）先设AB 为m 米，用总长表示BC ，根据树木位置列出m 的取值不等式确定取值范围，列出面积二次
函数，根据函数性质即可求出最大面积．
【详解】（1）解：设AB 长x 米，则BC 长(
)
6
x +
米，
根据题意，得：
(
)
6
20
x
x
+
+
=
，
解得
7
x =
；
∴
6
13
x+
=
；
答：AB 长7 米，BC 长13米；
（2）解：设AB 长m 米，则BC 长(
)
20
m
−
米，
由题意得
6
20
12
m
m
−
，
解得6
8
m
，
∵花园面积
(
)
(
)
2
20
10
100
S
m
m
m
=
−
= −
−
+
1
0
−
，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴为
10
m =
，
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∴当6
8
m
时，S随m 的增大而增大，
∴当
8
m =
时，花园的面积取得最大值，
(
)
2
2
8 10
100
96
S
m
−
=
−
+
=
花园
，
答：花园可以围出的最大面积是
2
96m ．
15．（2026·广东茂名·一模）【生活情境】
为提升城市防洪排涝能力，某市对矩形雨水调蓄池ABCD进行扩建，原池长
4m
AD =
，宽
1m
AB =
（如图
①）．改造后形成调蓄池ABNM （简称调蓄池1），用于雨季蓄水减灾：同时新建周长为12m的防洪滞洪池
EFGH （如图②），通过弹性扩容缓解内涝压力．
【建立模型】
设调蓄池1 的边AD扩建长度为
(
0)
DM
xm x
=
，扩建后蓄水面积为
2
1m
y
，则
1
4(
0)
y
x
x
=
+
；设滞洪池
EFGH 的边EF 长为m(0
6)
x
x
，滞洪面积为
(
)
2
2y
m
，则
2
2
6 (0
6)
y
x
x
x
= −
+
．两函数图像如图③．
【问题解决】
(1)若滞洪池的滞洪面积随EF 长度增加而减小，则EF 的取值范围是______，滞洪池的最大调洪容量为
______
2
m ；
(2)当调蓄池1 的蓄水面积大于滞洪池的滞洪面积时，求(m)
x
的取值范围；
(3)在1
4
x
范围内，求两池协同治水时面积差的最大值及对应x 的值．
【答案】(1)3
6
x
；9
(2)0
1
x
或4
6
x
(3)
5
2
x =
时，面积差的最大值为9
4
【分析】（1）依据函数图像和函数解析式，利用 二次函数的性质解答即可；
（2）依据图像，利用数形结合法解答即可；
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（3）在1
4
x
范围内，求得两个水池面积差的解析式，利用二次函数性质解答即可．
【详解】（1）解：
(
)
2
2
2
6
3
9
y
x
x
x
−
=
+
= −
−
+
，
1
0
−
，
抛物线的开口方向向下，当
3
x
时，滞洪池的滞洪面积随EF 长度增加而减小，
0
6
x
，
当3
6
x
时，滞洪池的滞洪面积随EF 长度增加而减小，滞洪池的最大调洪容量为
2
9m ；
（2）解：由图像得，两函数交于点C ，E ，
所以，表示两个水池面积相等的点是C ，E ，
联立方程组
2
4
6
y
x
y
x
x
−
=
+
=
+
解得：
1
1
1
5
x
y
=
=
，
2
2
4
8
x
y
=
=
，
(
)
1,5
C
，
(
)
4,8
E
，
由图像知：图像中点C 的左侧部分和点E 的右侧部分，一次函数的函数值大于二次函数的函数值，
当0
1
x
或4
6
x
时调蓄池1 的蓄水面积大于滞洪池的滞洪面积；
（3）解：在1
4
x
范围内，由图像知滞洪池的滞洪面积大于调蓄池1 的蓄水面积，
两个水池面积差
(
)
2
2
2
5
9
6
(
4)
5
4
2
4
M
x
x
x
x
x
x
−
−
−
−
= −
+
−
+
=
+
=
+
，
1
0
−
，
函数有最大值，
1
4
x
当
5
2
x =
时，函数有最大值，为9
4 ，
当
5
2
x =
时，面积差的最大值为9
4 ．
◆题型6 图形运动问题
16．（25-26 九年级下·河南周口·阶段检测）如图，在
ABC
中，
90
B
=
，
8mm
AB =
，
16mm
BC =
，动
点P 从 A 沿AB 以2mm/s 向 B 运动， 动点Q 从B 沿BC 以1mm/s向C 运动，同时出发．设
PBQ
面积
为 S，运动时间为t(
0
t
)．
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(1)当
2
t =
时，求S 的值；
(2)求S 关于t 的函数表达式；
(3)求S 的最大值及对应t 的值．
【答案】(1)
2
4mm
(2)
2
4 (0
4)
S
t
t
t
= −
+
(3)当
2
t =
时，S的最大值为4
【分析】（1）
2
t =
时，
8
2 2
4
PB = −=
，
2 1
2
BQ = =
，由三角形面积公式求解即可；
（2）
8
2
PB
t
=
−
，BQ
t
= ，由三角形面积公式求解即可；
（3）
(
)
2
2
4
S
t
= −
−
+
，由二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：
2
t =
时，
(
)
8
2 2
4
PB
mm
=
−
=
，
(
)
2 1
2
BQ
mm
=
=
，
(
)
2
1
4 2
4
2
S
mm
=
=
；
（2）解：
8
2
PB
t
=
−
，BQ
t
= ，
(
)
2
1 8
2
4 (0
4)
2
S
t t
t
t
t
=
−
= −
+
，
（3）解：
(
)
2
2
4
2
4
S
t
t
t
= −
+
= −
−
+ ，
1
0
−
，
当
2
t =
时，S的最大值为4 ．
17．（25-26 九年级上·江西南昌·期中）如图（1），在ABC
中，
30
A
=
，点P 从点A 出发以2cm / s的速
度沿路线A
C
B
→
→
运动，点Q 从点A 出发以1cm / s 的速度沿AB 运动，P ，Q 两点同时出发，当某一点
运动到点B 时，两点同时停止运动．以
,
AQ PQ 为边在AB 的上方作平行四边形ADPQ ，设运动时间为st ，
平行四边形ADPQ 的面积为
2
cm
S
（当点A，P，Q 重合或在一条直线上时，不妨设
0
S =
）．探究S 与t 的关
系．
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(1)当点P 由点A 运动到点C 时，
①若
1
t = ，S =______；
②S 关于t 的函数解析式为______．
(2)当点P 由点C 运动到点B 时，经探究发现S 关于t 的函数解析式为
(
)
2
4
10
S
at
bt
t
=
+
，其图象如图（2）
所示．
①m 的值为______；
②求S 关于t 的函数解析式．
【答案】(1)①
2
1cm ；②
2
S
t
=
(2)①16；②
(
)
2
2
20
4
10
3
3
S
t
t
t
= −
+
【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查动点的函数图象，含30 度角的直角三角形，待定系数法求函
数解析式，正确求出函数解析式是解题的关键，
（1）①作PE
AB
⊥
于点E，求出PE的长，根据平行四边形的性质，求出面积即可；
②同①法计算即可；
（2）①把
4
t =
代入（1）①中的解析式，计算即可；
②待定系数法求出函数解析式即可．
【详解】（1）解：①点P 从点A 出发以2cm/s的速度沿路线A
C
B
→
→
运动，点Q 从点A 出发以1cm/s 的速
度沿AB 运动．设运动时间为st ，
当
1
t = 时，
2cm
AP =
，
1cm
AQ =
，
作PE
AB
⊥
于点E，如图1，
30
CAB
=
，
1
1cm
2
PE
AP
=
=
，
平行四边形ADPQ 的面积为：
2
1cm
AQ PE
=
；
故答案为：
2
1cm ；
②由题意，得：
2 cm
AP
t
=
，
cm
AQ
t
=
，
1
cm
2
PE
AP
t
=
=
，
2
S
AQ PE
t
=
=
，
故答案为：
2
S
t
=
；
（2）解：①由图象可知，当
4
t =
时，此时点P 恰好运动到点C，由（1）②可知：
2
2
4
16
S
t
=
=
=
，
故
16
m =
，
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故答案为：16；
②由图象和①可知，抛物线过(
)
4,16 ，(
)
10,0 ，将两点坐标分别代入
2
S
at
bt
=
+
，得：
0
100
10
16
16
4
a
b
a
b
=
+
=
+
，
解得
2
3
20
3
a
b
= −
=
，
S
关于t 的函数解析式为
(
)
2
2
20
4
10
3
3
S
t
t
t
= −
+
．
18．（25-26 九年级上·江西上饶·期末）综合与实践：
【问题提出】如图（1）在ABC
中，
90
A
=
，D 为AB 的中点，点P 沿折线D
A C
−
−
运动（运动到点C 停
止），以DP为边在DP上方作正方形DPEF ．设点P 运动的路程为x ，正方形DPEF 的面积为y ．
【初步感悟】（1）当点P 在AD上运动时，①若
5
x =
，则y = ；
②y 关于x 的函数关系式为 ；
（2）当点P 从点A运动到点C 时，经探究发现y 是关于x 的二次函数，并绘制成如图（2）所示的函数图象，
直线
4
x = 是其图象所在抛物线的对称轴，求y 关于x 的函数关系式（写出自变量的取值范围）．
【延伸探究】（3）当
12
y
x
−
=
时，AP 的长为 ，此时y 关于x 的函数图象上点的坐标
为 ；
（4）连接正方形DPEF 的对角线DE
PF
，
，两对角线的交点为M ，求点A在
DFM
△
内部时x 和y 的取值
范围．
【答案】
（1）①5；②
2
y
x
=
；
（2）
(
)
2
8
32 4
12
y
x
x
x
=
−
+
；
（3）0 或1；(
)
4,16 或(
)
5,17 ；
（4）点A 在
DFM
△
内部时x 的取值范围为8
12
x
，y 的取值范围为32
80
y
．
【分析】（1）根据正方形面积公式求解即可；
（2）当
4
x = 时，点P 与点A重合，求得
4
AD =
，由题图（2）可知点P 与点C 重合时，
20
y =
，即
2
20
CD =
，
在Rt ACD
中，利用勾股定理即可求解；
（3）分当0
4
x
和当4
12
x
时，即可求解；
（4）取AC 的中点N ，连接DN ，分析点P 的运动规律可求得，点A 在
DFM
△
内部时x 的取值范围为
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8
12
x
，y 的取值范围为32
80
y
．
【详解】解：（1）①若
5
x =
，则
(
)
2
5
5
y =
=
；
②y 关于x 的函数关系式为
2
y
x
=
；
故答案为：5；
2
y
x
=
；
（2）由题意可知，当
4
x = 时，点P 与点A重合，
∴
4
AD =
，此时
2
4
16
y =
=
，
连接CD，
由题图（2）可知点P 与点C 重合时，
80
y =
，即
2
80
CD =
，
在Rt ACD
中，
2
2
2
AD
AC
CD
+
=
，即
2
2
4
80
AC
+
=
，
∴
8
AC = （负值已舍），
当点P 在AC 上运动时，
4
x
AD
AP
AP
=
+
=
+
，
∴
4
AP
x
=
−，
∴在Rt ADP
中，
(
)
2
2
2
2
2
2
4
4
8
32
DP
AD
AP
x
x
x
=
+
=
+
−
=
−
+
，
∴
2
8
32
y
x
x
=
−
+
，
即当点P 在AC 上运动时，y 关于x 的函数关系式为
(
)
2
8
32 4
12
y
x
x
x
=
−
+
；
（3）当0
4
x
时，
2
y
x
=
，
则
12
y
x
−
=
时，
2
12
0
x
x
−
−
=
，
解得
3
x
−
=
（舍去）或
4
x = （舍去）；
当4
12
x
时，
2
8
32
y
x
x
=
−
+
，
则
12
y
x
−
=
时，
2
9
20
0
x
x
−
+
= ，
解得
4
x = 或
5
x = ；
当
4
x = 时，
16
y =
，此时
0
AP =
，
当
5
x = 时，
17
y =
，此时
1
AP = ，
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∴当
12
y
x
−
=
时，AP 的长为0 或1，此时y 关于x 的函数图象上点的坐标为(
)
4,16 或(
)
5,17 ；
故答案为：0 或1；(
)
4,16 或(
)
5,17 ；
（4）由（2）知，
4
AD =
，
8
AC = ，
又∵D 为AB 的中点，
∴
8
AB
AC
=
=
，
取AC 的中点N ，连接DN ，
∴
1
4
2
AN
AC
AD
=
=
=
，DN 是ABC
的中位线，
∴
∥
DN
BC ，
又∵
90
A
=
，
∴ADN
是等腰直角三角形，
∵四边形DPEF 是正方形，
∴MDP
是等腰直角三角形，
分析点P 的运动规律可知，当点P 运动到DP
BC
∥
，即点P 运动到点N 处时，点A与点M 重合，
点P 在线段CN (不含点N )上运动时，点A在
DFM
△
内部，
当点P 运动到点N 处时，
4
4
8
x =
+
=
，此时
2
8
32
32
y
x
x
=
−
+
=
；
当
12
x =
，
2
12
8 12
32
80
y =
−
+
=
；
∴点A 在
DFM
△
内部时x 的取值范围为8
12
x
，y 的取值范围为32
80
y
．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（26-27 九年级·全国·暑假作业）从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h （单位：m ）与小球的运
动时间t （单位：s ）之间的关系是
(
)
2
28
7
0
4
h
t
t
t
−
=
．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要4 s ；
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②小球运动中的高度可以是30m；
③小球运动1 s 时的高度小于运动3.5s 时的高度．
其中，正确结论的个数是（）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的实际应用，分别通过解方程求落地时间，配方求最大高度，代入计算函数值
比较大小，逐一验证三个结论即可．
【详解】解：①：小球落地时高度
0
h =
，令
0
h =
，
得
2
28
7
0
t
t
−
=
，
因式分解得
(
)
7
4
0
t
t
−
=
，
解得
0
t =
或
4
t =
，
0
t =
为抛出时刻，因此小球从抛出到落地需要4s，①正确．
②：
(
)
2
2
2
28
7
7
4
7(
2)
28
h
t
t
t
t
t
=
−
= −
−
= −
−
+
，
7
0
−
，
h
的最大值为28m，28
30
，
因此小球高度不可能达到30m，②错误．
③：当
1
t = 时，
2
1
28 1 7 1
21m
h =
−
=
，
当
3.5
t =
时，
2
3.5
28 3.5
7 (3.5)
12.25m
h
=
−
=
，
21 12.25
，
因此小球运动1s 时的高度大于运动3.5s 时的高度，③错误．
综上，正确结论的个数是1，故选B．
2．（2026·天津和平·三模）矩形ABCD中，
6cm
AB =
，
10cm
BC =
．动点P 从点B 出发，以1cm / s 的速度沿
边BC 向终点C 运动；动点Q 从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB 、边BC 向终点C 运动．规定其中一个动
点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为s
t ．当
2s
t =
时，点P ，Q 的位置如图所示．有
下列结论：
①当
4s
t =
时，
2
PQ
cm
=
；
②当3
8
t
时，APQ
的面积随t 的增大而减小；
③在点P ，Q 运动的过程中，APQ
的最大面积为
2
9cm ；
④t 有两个不同的值满足APQ
的面积为
2
2cm ．
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其中，正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据题意分段讨论点Q 的位置，分别计算PQ 的长度和APQ
的面积表达式，进而判断各个结论的
正确性．
【详解】解：由题意可知，点P 到达点C 所需时间为10 1 10s
=
，
点Q 到达点C 所需时间为(
)
6 10
2
8s
+
=
，
运动时间t 的取值范围是0
8
t
．
当
4
t =
时，点P 运动的路程为1 4
4cm
=
，即
4cm
BP =
，
点P 在BC 上；
点Q 运动的路程为
(
)
2 4
8 cm
=
，
∵
6cm
AB =
，
∴点Q 在BC 上，且
(
)
8
6
2
BQ
cm
=
−
=
，
∴
4
2
2
PQ
BP
BQ
cm
=
−
=
−
=
，故①正确；
②当3
8
t
时，点Q 在BC 上，点P 在BC 上，
此时BP
t
= ，
2
6
BQ
t
=
−
，
∴
(
)
2
6
6
PQ
t
t
t
=
−
−
=
−
，
APQ
的高为
6
AB =
，
∴
1
1
6
6
3 6
2
2
APQ
S
PQ
AB
t
t
=
=
−=
−
，
当3
6
t
时，
3(6
)
18
3
=
−
=
−
S
t
t ，S随t 的增大而减小；
当6
8
t
时，
(
)
3
6
3
18
S
t
t
=
−
=
−
，S随t 的增大而增大，故②错误；
③当0
3
t
时，点Q 在AB 上，
2
AQ
t
=
，点P 在BC 上，BP
t
= ，
此时APQ
以AQ 为底，BP为高，
∴
2
1
1
2
2
2
APQ
S
AQ BP
t t
t
=
=
=
，0
3
t
，
∴当
3
t =
时，S取得最大值9；
当3
8
t
时，由②知
3 6
S
t
=
−
，
当
3
t =
时，S
9
=
；当
8
t =
时，
6
S =
；当
6
t =
时，
0
S =
，
∴此阶段S的最大值为9，
综上，APQ
的最大面积为
2
9cm ，故③正确；
④当0
3
t
时，令
2
2
t =
，解得
2
t =
（负值舍去），符合题意；
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当3
8
t
时，令3 6
2
t
−
=
，解得
2
6
3
t
−
=
，
∴
2
6
3
t
−=
或
2
6
3
t
−= −
，
解得
16
3
t =
或
20
3
t =
，均符合题意，
∴共有3个不同的t 值满足条件，故④错误．
综上所述，正确的结论有①③，共2 个．
二、填空题
3．（25-26 八年级下·浙江金华·期末）2026 年6 月11 日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队．金华
队在第83 分钟时一记大力抽射，扳平比分．最终点球以6:5战胜温州队，获得冠军．如图，据球迷目测，
该球员在距离球门24 米处射门，当球飞出14 米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2 米高处入网．这
条抛物线的表达式为_________．
【答案】
2
1
1
1.2
80
4
y
x
x
= −
+
+
【分析】先求出点B 的横坐标为10，设这条抛物线的表达式为
(
)
(
)
2
10
0
y
a x
k a
=
−
+
，再利用待定系数法
计算即可得出结果．
【详解】解：由题意可得：点B 的横坐标为24 14
10
−
=
，
设这条抛物线的表达式为
(
)
(
)
2
10
0
y
a x
k a
=
−
+
，
将(
)
0,1.2 ，(
)
24,0 代入解析式得
(
)
(
)
2
2
0
24 10
1.2
0 10
a
k
a
k
=
−
+
=
−
+
，
解得
1
80
49
20
a
k
= −
=
，
∴
(
)
2
2
1
49
1
1
10
1.2
80
20
80
4
y
x
x
x
= −
−
+
= −
+
+
．
4．（2026·甘肃平凉·模拟预测）景区喷泉以出水口O为原点建立坐标系，水柱高度y （单位：米）与水平距
离x （单位：米）满足：
2
1 (
4)
5
3
y
x
= −
−
+ ．在水柱最高点正下方修建矩形观景通道EFGH ，通道顶部EH
距离水柱竖直高度不少于2 米，通道宽度
2
FG =
米，求通道顶部距离地面的最大高度：_______．
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【答案】8
3 米
【分析】由题意易得该二次函数的顶点坐标为(
)
4,5 ，对称轴为直线
4
x = ，然后可得
(
)
(
)
3,0 ,
5,0
F
G
，当通
道顶部EH 到水柱的竖直距离均等于2 米时，通道顶端到地面有最大高度，进而问题可求解．
【详解】解：∵喷出水的竖直高度y（单位：米）与距出水口的水平距离x（单位：米）近似满足函数关系
2
1 (
4)
5
3
y
x
= −
−
+ ，
∴该二次函数的顶点坐标为(
)
4,5 ，对称轴为直线
4
x = ，
∵在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形EFGH 通道，
∴矩形EFGH 关于抛物线的对称轴对称，
∵通道宽FG 为2 米，
∴
(
)
(
)
4 1,0 ,
4 1,0
F
G
−
+
，即
(
)
(
)
3,0 ,
5,0
F
G
，
∵通道顶部EH 到水柱的竖直距离均不小于2 米，
∴
2
EH
y
y
−
水柱
，即
2
EH
y
y
−
水柱
，
即当通道顶部EH 到水柱的竖直距离均等于2 米时，通道顶端到地面有最大高度，
当
3
x = 时，则有
(
)
2
14
3 4
5
3
1
3
y = −
−
+
=
，
∴通道顶端到地面的最大高度为14
8
2
3
3
−
=
（米）．
三、解答题
5．（2026·四川成都·模拟预测）如图，某校劳动实践基地用总长为80 m
的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形
实验田，墙长为42 m
，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m ），
与墙平行的一边长为y （单位：m ），面积为S（单位：
2
m ）．
(1)直接写出y 与x ，S与x 之间的函数解析式（要求写出x 的取值范围）；
(2)当x 的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？
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【答案】(1)
(
)
2
80 19
40
y
x
x
= −
+
；
(
)
2
2
80
19
40
S
x
x
x
= −
+
(2)当x 的值是20m时，矩形实验田的面积S最大，最大面积是
2
800m
【分析】（1）根据栅栏总长为80 m
可得到y 与x 的函数解析式，再由矩形的面积公式得到S与x 的函数解析
式；
（2）将S与x 的函数解析式转化为顶点式，结合x 的取值范围求解最大值即可．
【详解】（1）解：设矩形实验田与墙垂直的一边长为x ，与墙平行的一边长为y ，面积为S，
∵栅栏总长为80 m
，
∴
80
x
x
y
+
+
=
，即
2
80
y
x
= −
+
，
其中
0
0
42
x
y
，
由0
2
80
42
x
−
+
，可得19
40
x
，
∴y 与x 的函数解析式为
(
)
2
80 19
40
y
x
x
= −
+
；
由矩形的面积可知，
(
)
(
)
2
2
80
2
80
19
40
S
x y
x
x
x
x
x
=
=
−
+
= −
+
；
（2）解：∵
(
)
2
2
80
19
40
S
x
x
x
= −
+
，
∴
(
)
(
)
2
2
20
800 19
40
S
x
x
= −
−
+
当
20
x =
时，矩形实验田的面积S最大，为800，且
20
x =
满足x 的取值范围，
答：当x 的值是20m时，矩形实验田的面积S最大，最大面积是
2
800m ．
6．（2026·福建福州·三模）在学校组织的班级篮球比赛中，九年级5班数学兴趣小组的同学想用数学知识研
究投篮轨迹．他们拍摄了小明投篮的照片（如图1），并测量了相关数据进行研究．如图2 所示，小明投篮的
出手点P 在地面的正投影为点O，以O为原点，水平方向为x 轴，竖直方向为y 轴，建立平面直角坐标系．
小明在某次投篮中，成功命中篮筐．已知小明出手点P 离地面高度OP 为1.75米，篮筐中心A到点O的水平
距离OR 为5米，离地面高度AB 为3米，篮球运动路线的最高点C 到点O的水平距离OD 为3米．假设篮球
运动的轨迹是抛物线的一部分．根据以上信息完成下列问题．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如果球员小亮准备站在点O与点B 之间的点M （与点O、点B 不重合）处拦截篮球，他起跳后能成功拦
截的最大高度为55
16 米，当他能成功拦截时，求OM 的取值范围．
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【答案】(1)
2
1 (
3)
4
4
y
x
= −
−
+
(2)
3
0
2
OM
或9
5
2
OM
【分析】（1）设抛物线的解析式为
(
)
2
(
3)
0
y
a x
k a
=
−
+
，将点P、A 的坐标代入计算即可；
（2）设OM
x
=
，先求出当
55
16
y =
时x 的值，再根据二次函数的性质，可得答案．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为
(
)
2
(
3)
0
y
a x
k a
=
−
+
，
由题可知：抛物线过点(
)
0,1.75
P
、
(
)
5,3
A
，
9
1.75
4
3
a
k
a
k
+
=
+
=
，
解得：
1
4
4
a
k
= −
=
，
抛物线的解析式为
2
1 (
3)
4
4
y
x
= −
−
+
；
（2）设OM
x
=
，此时篮球高度为
2
1 (
3)
4
4
y
x
= −
−
+
，
要想拦截成功，必须能触碰到篮球，即篮球高度不高于55
16 米，就能拦截成功，
当
2
1
55
(
3)
4
4
16
x
−
−
+
=
时，解得
3
2
x =
或
9
2
x =
，
抛物线开口向下，对称轴为直线
3
x = ，最高点为
55
4
16
，
根据抛物线的函数值y 随自变量x 的变化趋势可知，当
3
2
x
时，篮球高度不高于55
16 米；当3
9
2
2
x
时，
篮球高度高于55
16 米；当
9
2
x
时，篮球高度不高于55
16 米．
小亮站在点O与点B 之间，即0
5
x
，
当
3
0
2
x
或9
5
2
x
时，篮球高度不超过55
16 米，小亮可以成功拦截，
3
0
2
OM
或9
5
2
OM
．
7．（2026·湖北武汉·一模）如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．如图2，
选取合适的原点O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H 点在y 轴上，喷水口H 离地竖直高度为
2.5 m
OH =
，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG ，其中D ，E 点在x 轴上，测得其水平宽度
4 m
DE =
，竖
直高度
0.3 m
EF =
．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段OD 的长来表示．
小学
初中
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信息1：把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为
1y ，
2y ，
上边缘抛物线
1y 的最高点A离喷水口的水平距离为3 m ，高出喷水口0.5 m ．
信息2：下边缘抛物线
2y 可以看作由上边缘抛物线
1y 向左平移得到，其开口方向与大小不变．
问题解决
(1)求上边缘抛物线
1y 的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程OC ．
(2)求出下边缘抛物线
2y 与x 轴的正半轴交点B 的坐标．
(3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（矩形DEFG ），求出OD 的取值范围．
【答案】(1)
(
)
2
1
1
3
3
18
y
x
= −
−
+ ；洒水车喷出水的最大射程OC 为3
3 6 m
+
(2)点B 的坐标为(
)
3 6
3,0
−
(3)
9
3 6
3
15 1
5
OD
−
−
【分析】（1）由顶点
(
)
3,3
A
得，设
(
)
2
1
3
3
y
a x
=
−
+ ，再根据抛物线过点
(
)
0,2.5
H
，可得a 的值，即可求得
抛物线的解析式；令
1
0
y =
，求得x 的值，即可确定最大射程；
（2）由对称轴知点
(
)
0,2.5
H
的对称点为(
)
6,2.5 ，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移6m得到的，
即可得点B 的坐标；
（3）求出OD 的最小值为3 6
3
−，OE 的最大值为
9
3
15
5
+
，得到OD 的最大值为9 15
1
5
−，从而确定OD
的取值范围．
【详解】（1）解：由题意得：
(
)
3,3
A
，
(
)
0,2.5
H
，且
(
)
3,3
A
是上边缘抛物线的顶点，
设
(
)
2
1
3
3
y
a x
=
−
+ ，
又抛物线过点
(
)
0,2.5
H
，
2.5
9
3
a
=
+ ，解得：
1
18
a
−
=
，
上边缘抛物线的函数解析式为
(
)
2
1
1
3
3
18
y
x
−
−
=
+ ；
令
1
0
y =
，则
(
)
2
1
0
3
3
18 x
−
−
=
+ ，解得
3 3 6
x = +
或
3 3 6
x = −
（舍去），
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洒水车喷出水的最大射程OC 为3
3 6 m
+
.
（2）解：∵
(
)
2
1
1
3
3
18
y
x
−
−
=
+ ，
∴
1y 的对称轴为直线
3
x = ，
点
(
)
0,2.5
H
的对称点为(
)
6,2.5 ，
平移后
2y 仍过点(
)
0,2.5 ，
2y
是由
1y 向左平移6 m 得到的，
(
)
3 3 6,0
C
+
，点B 是由点C 向左平移6 m 得到的，
点B 的坐标为(
)
3 6
3,0
−
．
（3）解：由题意可得，当点D 与点B重合时，OD 最小，
点B 的坐标为(
)
3 6
3,0
−
，
3 6
3
OB
=
−，
OD
的最小值为3 6
3
−，
当点F 在抛物线
1y 上时，OE 最大，OD 也最大
0.3m
EF =
，
点F 的纵坐标为0.3，
当
(
)
2
1
3
3
0.3
18 x−
−
+
=
时，解得
9
3
15
5
x = +
或
9
3
15
5
x = −
（舍去），
OE
的最大值为
9
3
15
5
+
，
OD
的最大值为
9
9
3
15
4
15 1
5
5
+
−
=
−，
OD
的取值范围为：
9
3 6
3
15 1
5
OD
−
−．
8．（2026·山西晋中·二模）综合与实践
【问题情境】
小明热爱数学与建筑，梦想长大后成为一名建筑设计师．他想以抛物线为创作灵感，运用绘图软件设计一
个造型别致又富有数学美感的创意建筑——山岚之眼（图1）．请你帮他一起设计，解决相关问题．
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【建立模型】
整座建筑分为上下两部分，上部是一条抛物线的造型1l ，其最高点A到水平地面的距离为6.8 m ，左右两端B ，
C 两点到水平地面的距离均为1.8 m，且两点相距20 m ．
如图2，以水平地面所在直线为x 轴，垂直于水平地面且经过左端B 点的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．
(1)求建筑上部抛物线造型1l 对应的函数表达式；
【问题解决】
(2)将建筑上部的抛物线造型1l 沿直线BC 折叠得到一条新的抛物线2l ，其与水平地面交于D ，E 两点（点D
在点E 的左侧）．抛物线2l 在水平地面之上的部分与线段DE 共同组成了建筑的下部．
①求线段DE 的长；
②小明带着这份设计方案虚心请教了相关老师，老师建议增设两根竖直的圆柱形装饰杆MN ，GH（MN 在
GH 的左侧），其中点M ，G 在建筑的上部，点N ，H 在建筑的下部．小明只记得两根装饰杆的高度均为1.9 m ，
却忘记了它们的具体位置，请你直接写出点N ，H 的坐标．
【答案】(1)
(
)
2
0.05
1.8 0
20
y
x
x
x
= −
+
+
(2)①线段DE 的长为16m；②
(
)
1,0.85
N
，
(
)
19,0.85
H
【分析】（1）待定系数法求出抛物线1l 的解析式即可；
（2）①先求出抛物线2l 的解析式为：
(
)
2
2
0.05
10
3.2
0.05
1.8
y
x
x
x
=
−
−
=
−
+
，然后求出
(
)
2,0
D
，(
)
18,0
E
，
再求出DE 的长度即可；
②先判断圆柱形装饰杆应该安装在点D 的左边，点E 的右侧，然后根据函数解析式得出
(
)
2
2
0.05
1.8
0.05
1.8
1.9
x
x
x
x
−
+
+
−
−
+
=
，求出x 的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意得：
(
)
10,6.8
A
，
(
)
0,1.8
B
，
(
)
20,1.8
C
，
设抛物线1l 的解析式为：
(
)
2
10
6.8
y
a x
=
−
+
，把
(
)
0,1.8
B
代入得：
(
)
2
1.8
0 10
6.8
a
=
−
+
，
解得：
0.05
a = −
，
∴抛物线1l 的解析式为：
(
)
(
)
2
2
0.05
10
6.8
0
0
.05
1.8 0
2
y
x
x
x
x
= −
−
+
+
−
=
+
；
（2）解：①根据题意得：抛物线2l 的顶点坐标为：(
)
10, 3.2
−
，
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设抛物线2l 的解析式为：
(
)
2
10
3.2
y
a x
=
−
−
，把
(
)
0,1.8
B
代入得：
0.05
a=
，
∴抛物线2l 的解析式为：
(
)
2
2
0.05
10
3.2
0.05
1.8
y
x
x
x
=
−
−
=
−
+
，
把
0
y =
代入得：
2
0.05
1.8
0
x
x
−
+
=
，
解得：
1
2
x =
，
2
18
x =
，
∵点D在点E 的左侧，
∴
(
)
2,0
D
，
(
)
18,0
E
，
∴
(
)
18
2
16 m
DE =
−
=
；
②把
2
x =
代入
2
0.05
1.8
y
x
x
= −
+
+
得：
3.6
y =
，
∵3.6
1.9
，
∴圆柱形装饰杆应该安装在点D 的左边，点E 的右侧，
∴
(
)
2
2
0.05
1.8
0.05
1.8
1.9
x
x
x
x
−
+
+
−
−
+
=
，
解得：
1
1
x = ，
2
19
x =
，
把
1
x = 代入
2
0.05
1.8
y
x
x
=
−+
得：
0.85
y =
，
把
19
x =
代入
2
0.05
1.8
y
x
x
=
−+
得：
0.85
y =
，
∴
(
)
1,0.85
N
，
(
)
19,0.85
H
．
9．（2026·山西忻州·二模）综合与实践
【问题情境】“刻花瓷，黑白花，一刀一剔见风华．”平定刻花瓷是山西国家级非物质文化遗产，始于唐、兴
于宋，以黑白对比的刻花技艺闻名，被誉为“中国古代陶瓷艺术的活化石”．某文创企业以平定刻花瓷为特色，
开发了系列文创产品．某校综合实践小组的同学想要了解该企业某款刻花瓷的销售情况，他们对这款刻花
瓷的制作成本和销售情况进行了数据收集与分析．
【信息收集】
信息①：该款刻花瓷的成本为50 元/件．
信息②：该款刻花瓷的售价x （元）不低于80 元．
信息③：该款刻花瓷的月销量y （件）与售价x （元）关系如下表所示．
售价x（元）
90
95
100
105
110
月销量y（件）
108
104
100
96
92
信息④：制作该款刻花瓷每月固定成本（设备折旧、场地租金等）为1000 元，且每月最大制作数量为150
件．
【问题解决】
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(1)任务一：根据收集的信息可知，该款刻花瓷的月销量y（件）与售价x （元）之间是_____关系（填“一次
函数”“反比例函数”或“二次函数”），月销量y （件）与售价x （元）之间的函数关系式为__________．
(2)任务二：在销售规律不变的情况下，销售单价为多少时，该文创企业销售这款刻花瓷的月利润最大，最
大利润是多少元？
(3)任务三：该文创企业计划使这款刻花瓷的月利润不低于5000 元，请解答下列问题：
①请结合售价与销量的实际关系，确定销售单价x （元）的取值范围；
②为进一步扩大市场占有率，企业希望在满足利润条件的前提下尽可能提高销量，试求此时的销售单价及
对应的月销量．
【答案】(1)一次函数，
0.8
180
y
x
= −
+
(2)当销售单价为137.5 元时，该文创企业销售这款刻花瓷的月利润最大，最大利润是5125 元
(3)①125
150
x
；②单价125元，销量80件
【分析】
（1）由表格数据观察，售价每增加5 元，销量减少4 件，变化量均匀，符合一次函数特征，设 y
kx
b
=
+
，
代入两组数据求解即可；
（2）设月利润为W 元，由月利润=（售价-成本）×销量-固定成本 ，列出
(
)(
)
50
0.8
180
1000
W
x
x
=
−
−
+
−
，
再将二次函数配方，根据二次函数的性质求出最大值即可；
（3）①令
5000
W =
解二次方程得
125
x =
或
150
x =
，结合抛物线开口向下，得
5000
W
的解集为
125
150
x
，
②销量随售价的增大而减小，要销量最大需售价最低，故取
125
x =
，代入销量公式得
80
y =
件即可．
【详解】（1）解：由表格数据观察，售价每增加5 元，销量减少4 件，变化量均匀，
因此月销量y（件）与售价x （元）之间是一次函数关系，
可设 y
kx
b
=
+
，(
)
0
k
将(
) (
)
90,108 , 100,100 代入可得，
90
108
100
100
k
b
k
b
+
=
+
=
，解得
0.8
180
k
b
= −
=
，
因此
0.8
180
y
x
= −
+
；
（2）解：设月利润为W 元，由题意可得，
(
)(
)
50
0.8
180
1000
W
x
x
=
−
−
+
−
(
)
2
2
0.8
220
10000
0.8
137.5
5125
x
x
x
= −
+
−
= −
−
+
0.8
0
−
，
当
137.5
x =
时，不低于80元，符合题意，
此时W 最大，为5125 元．
答：当销售单价为137.5 元时，该文创企业销售这款刻花瓷的月利润最大，最大利润是5125 元．
（3）解：①令
5000
W =
，得
2
0.8
220
10000
5000
x
x
−
+
−
=
．
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解得
1
2
150,
125
x
x
=
=
．
由（2）知
(
)
2
0.8
137.5
5125
W
x
= −
−
+
，
0.8
0,
−
抛物线开口向下．
当
5000
W
时，125
150
x
．
②尽可能提高销量，
单价应最小，即
125
x =
元．
此时销量
0.8 125 180
100 180
80
y = −
+
= −
+
=
（件）．
10．（2025 九年级上·全国·专题练习）综合与实践：
如图1，在ABC
中，
90
ACB
=
，
60
B
=
，
2
BC =
．点D 在射线BC 上，点E 在射线CA 上，动点P 从
点B 开始，以每秒1 个单位的速度匀速运动，沿折线BD
DE
−
运动到点E 时停止．以AP 为边作正方形
APFG ．设点P 的运动时间为x 秒，正方形APFG 的面积为y，探究y 与x 的关系．
(1)填空：如图1，当点P 由点B 运动到点D 时，
①当
2
x =
时，y =________；
②y 关于x 的函数解析式为________（不必写出自变量的取值范围）
(2)如图2，当点P 由点D 运动到点E 时，经探究发现y 是关于x 的二次函数，并绘制成如图3 所示的图象
段，请根据图象信息：
①求y 关于x 的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；
②当正方形APFG 的面积最小时，直接写出CP
AE 的比值为________．
【答案】(1)①12 ②
2
4
16
y
x
x
=
−
+
(2)①
2
28
208
y
x
x
=
−
+
，自变量的取值范围为8
20
x
；②
3
2
【分析】本题考查了二次函数的应用，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，熟练掌握以上
知识点的应用是解题的关键．
（1）①当
2
x =
时，点P 与点C 重合，然后利用直角三角形的性质得
4
AB =
，再由勾股定理求出
2 3
AC =
，
最后由面积公式即可求解；②由勾股定理求出
2
AP ，最后由面积公式即可求解；
（2）①由图象可知，当点P 运动到点D 时，
48
S =
，则二次函数图象过点(
)
8,48 ，由图象知顶点坐标为(
)
14,12 ，
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再通过待定系数法即可求解；
②当AP
DE
⊥
时，正方形APFG 的面积最小，分别求出CD，PD，DE 的长，然后根据直角三角形斜边上
的中线等于斜边一半得出
1
6
2
CP
DE
=
=
，然后代入即可求解．
【详解】（1）解：①当
2
x =
时，点P 与点C 重合，
在ABC
中，
90
ACB
=
，
60
B
=
，
30
BAC
=
，
2
4
AB
BC
=
=
，
2
2
2
2
4
2
2 3
AC
AB
BC
=
−
=
−
=
，
此时正方形APFG 的边长为2 3 ，面积为：
(
)
2
2
2 3
12
AC =
=
，即
12
y =
，
故答案为：12；
②当点P 由点B 运动到点D 时，每秒1 个单位的速度匀速运动，
BP
x
=
，
2
CP
BC
BP
x
=
−
=
−
，
2 3
AC =
，
2
2
2
AP
CP
AC
=
+
，即
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2 3
2
12
AP
x
x
=
−
+
=
−
+
，
正方形APFG 的面积为
2
y
AP
=
，
2
4
16
y
x
x
=
−
+
，
故答案为：
2
4
16
y
x
x
=
−
+
；
（2）①由图象可知，当点P 运动到点D 时，
48
S =
，
(
)
2
2
12
48
x −
+
=
，
解得：
1
8
x = ，
2
4
x = −（舍去），
当点P 运动到点D时，二次函数图象过点(
)
8,48 ，
由图象知顶点坐标为(
)
14,12 ，
设
(
)
2
14
12
y
a x
=
−
+
，
将点(
)
8,48 代入，得
(
)
2
48
8 14
12
a
=
−
+
，
解得，
1
a = ，
y 关于x 的函数解析式为
(
)
2
2
14
12
28
208
y
x
x
x
=
−
+
=
−
+
，自变量的取值范围为8
20
x
；
②如图所示，当AP
DE
⊥
时，正方形APFG 的面积最小，
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由
(
)
2
14
12
y
x
=
−
+
，
当
14
x =
时，
2
12
y
AP
=
=
，
14
14 8
6
PD
BD
=
−
=
−=
，
由上得，当点P 运动到点D 时，
48
S =
，则
8
BD =
，
6
CD
BD
BC
=
−
=
，
点P 运动到点E 时，
48
S =
，
即
(
)
2
14
12
48
y
x
=
−
+
=
，
解得：
1
8
x = （舍去），
2
20
x =
，
20 8
12
DE =
−=
，
6
PD
PE
=
=
，
2
2
6 3
EC
DE
CD
=
−
=
，
1
6
2
CP
DE
=
=
，
6 3
2 3
4 3
AE
CE
AC
=
−
=
−
=
，
6
3
2
4 3
CP
AE
=
=
，
故答案为：
3
2 ．
