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专题05 二次函数背景的面积与周长问题
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、三角形面积的最值问题
题型2、已知三角形面积解决问题
题型3、已知两个三角形的面积关系解决二次函数问题
题型4、二次函数背景下的图形面积不等关系问题
题型5、二次函数背景下的四边形面积问题
题型6、二次函数背景下的图形面积的分割问题
题型7、二次函数背景下的三角形周长最值问题
题型8、二次函数背景下的四边形周长最值问题
题型9、已知周长关系解答二次函数问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
解决二次函数背景下的面积与周长问题，核心在于用坐标法把几何量转化为代数表达式；面积问题要
善于利用“底×高÷2”“水平宽×铅垂高÷2”及割补法，把三角形、四边形面积表示为动点坐标的函数；周长最
值问题则要抓住轴对称、将军饮马、三角形三边关系等几何模型，把折线拉直后求最短；无论是求最值还
是由面积、周长关系反求参数，都必须注意动点的取值范围、等号成立条件及多解取舍，最后回代检验．
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
目 录
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题型1、三角形面积的最值问题
典例1 如图，抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 与x 轴交于
(
)
1,0
A
，
(
)
3,0
B −
两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得
QAC
△
的周长最小？若存
在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使PBC
的面积最大？若存在，求出PBC
面积的
最大值．若没有，请说明理由．
题型模版
1.特征：在二次函数图象上给定动点，与定点构成三角形，求该三角形面积的最大或最小值．
2.方法：用“底×高÷2”或“水平宽×铅垂高÷2”表示三角形面积；将面积表示为动点横坐标的二次函数，利用
顶点、对称轴或区间端点求最值，注意动点坐标范围．
变式1-1 已知抛物线
(
)
2
3
2
3
2
1
0
y
ax
ax
a
a
a
= −
−
+
−
+
过点(
)
1,0
A x
和
(
)(
)
2
1
2
,0
B x
x
x
．
(1)抛物线的对称轴是__________；
(2)若直线l 过点
3 ,1
2
M
−
，交线段AB 于点D ，记MDB
的周长为
1
C ，MDA
的周长为
2
C ，且
1
2
2
C
C
=
+
，
过点M 作x 轴的平行线l，直线l与抛物线交于E ，F 两点，点E 在点F 的左边．
①求点D 的坐标；
②设DEF
的面积为S，求S的最小值及此时抛物线的解析式；
③点P 在②中所求抛物线上，横坐标为2
−，点Q 在抛物线对称轴上，纵坐标为n ．当
BPQ
△
为直角三角形
时，直接写出n 的值．
变式1-2 （25-26 九年级上·浙江绍兴·期中）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线
2
2
3
y
ax
ax
a
=
−
−
与x 轴交于点A、B 两点（点A在B 的左侧），与y 轴交于点C ，且过点(
)
2,
3
−
．
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(1)求a 的值和点A，点B 的坐标；
(2)如图2，点(
)
,
P m n 是抛物线第四象限上的点，且
2.5
m
，直线BP交y 轴于点D ，连结AP ，过点B 作
BE
AP
∥
交y 轴于点E ，连结PE，求PDE
面积的最大值．
变式1-3 综合与探究，已知抛物线
2
4
y
ax
bx
=
+
+
与x 轴交于点
(
)
1,0
A −
，
(
)
4,0
B
，与y 轴交于点C ，点O
为坐标原点，作直线BC ．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)在抛物线上有两个动点P ，Q ，点P 在第一象限，横坐标为m ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为N ，交BC
于点M ，点Q 的横坐标为
3
2
m −
．若
MCN
△
的面积记作
1S ，
PMQ
△
的面积记作
2
S ，当
1
2
S
S
S
=
+
有最大值
时，求点P 的坐标．（自行完成作图并解答）
(3)把抛物线
2
4
y
ax
bx
=
+
+
沿射线BC 方向平移，平移后，新抛物线y过点C ，点E 是新抛物线y对称轴与
x 轴的交点，点F 是新抛物线y对称轴上的动点，连接FC ，FO．若FO平分
CFE
，请直接写出符合条
件的点F 坐标．（自行完成作图并作答）
题型2、已知三角形面积解决问题
典例2 （25-26 九年级下·浙江金华·阶段检测）已知二次函数
2
2
2
1
y
x
ax
a
=
−
+
−（其中a 为常数），
(1)将二次函数
2
2
2
1
y
x
ax
a
=
−
+
−化为顶点式，并写出它的最小值．
(2)设该二次函数的图象与x 轴的两个交点分别为A、B（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C，当ABC
的面
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积为3 时，求a 的值．
(3)当
2
a =
时，是否存在实数t，使得
2
t
x
t
+
时二次函数
2
2
2
1
y
x
ax
a
=
−
+
−最大值与最小值的差为8？若
存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
题型模版
1.特征：已知三角形面积（或面积比、定值），反求动点坐标、二次函数解析式或相关参数．
2.方法：设出动点坐标，用面积公式列出方程；解方程求出坐标或参数，并回代验证结果．
变式2-1 （25-26 八年级下·浙江宁波·期中）已知抛物线
2
1 :
C
y
x
bx
c
= −
+
+ 与y 轴交于点
(
)
0,3
A
，顶点P 在
直线
1
x = 上．
(1)求抛物线
1
C 的解析式及顶点P 的坐标；
(2)将抛物线
1
C 向右平移
(
)
0
m m
个单位，再向下平移(
)
0
n n
个单位，得到新抛物线
2
C ，新抛物线
2
C 的顶
点为Q ，与抛物线
1
C 的交点为B ，如果四边形PABQ 是平行四边形．求m 、n 之间的关系式（结果用含m 的
代数式表示n ）；
(3)在（2）的条件下，若抛物线
2
C 的对称轴与直线AP 交于点E ，与抛物线
1
C 交于点F ，且
:
3:1
PEQ
BFQ
S
S
=
△
△
．
①求m 的值；
②若抛物线
1
C 上落在平行四边形PABQ 内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标记为t ，请直接
写出t 的取值范围．
变式2-2 （25-26 九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图1，抛物线
(
)
2
1
y
x
a
x
a
= −
+
−
+
与x 轴交于A，B 两点
（点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C．
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(1)求点A 的坐标；
(2)如图2，过点A 作BC 的平行线交抛物线于点D，点E 在CB 延长线上，DBE
AEB
=
，求DE 的长．（用
含a 的代数式表示）
(3)在（2）的条件下，若ADE
的面积为
2
4
AE ，求a 的值．
变式2-3 （2025 九年级上·浙江·专题练习）如图 1，已知抛物线
2
1
:
4
C y
x
=
，点
(
)
0,1
F
，过点F 的直线l 交
抛物线C 于
,
A B 两点，过点F 且与l 垂直的直线交抛物线C 于
,
D E 两点，其中
,
B D 在y 轴右侧，
,
M N 分
别为
,
AB DE 的中点．
(1)证明： 直线MN 过定点．
(2)如图 2，设G 为直线AE 与直线BD的交点，连结
、
GM
GN ，
① 证明：
1
4
四边形
=
GMN
AEBD
S
S
；
② 求
GMN
△
面积的最小值．
题型3、已知两个三角形的面积关系解决二次函数问题
典例3 （25-26 九年级上·浙江衢州·期中）如图，直线
3
y
x
= −+
与x 轴交于点A，与y 轴交于点B ，抛物线
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2
y
x
bx
c
−
=
+
+ ，经过
,
A B 两点，与x 轴的另一个交点为C ．
(1)求点A和点B 的坐标，以及抛物线的表达式；
(2)若点P 为抛物线上第一象限内一动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ，与直线AB 交于点E ，设点P 的
横坐标为m ，PE的长为l ，请写出l 关于m 的表达式，当l 取最大值时，求出点P 的坐标；
(3)若点P 为抛物线上y 轴右侧的一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ，与直线AB 交于点E ，连接
,
,
PB BC CE ，是否存在点P 使得
3
8
PBE
BCE
S
S
=
△
△
，若存在，求出此时点P 的横坐标；若不存在，说明理由．
题型模版
1.特征：两个三角形同底、同高、共顶点或存在倍数关系，利用面积关系解决二次函数问题．
2.方法：由面积关系转化为线段比、底边长或高的关系；结合二次函数解析式列方程求解，注意分类讨论不
同位置．
变式3-1 如图1，已知抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 与x 轴交于
( 1,0)
A −
、(3,0)
B
两点，与y 轴交于点C ，顶点为点D ．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点E 是点D关于x 轴的对称点，经过点A的直线
1
y
mx
=
+ 与该抛物线交于点F ，点P 是直线AF 上的一
个动点，连接AE 、PE、PB，记
PAE
△
的面积为
1S ，PAB
的面积为
2
S ，那么
1
2
S
S 的值是否是定值？如果
是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
(3)如图2，设直线AC 与直线BD交于点M ，点N 是直线AC 上一点，若
ONC
BMC
=
，求点N 的坐标．
变式3-2 （25-26 九年级上·浙江·单元复习）如图，抛物线
2
2
3
y
x
ax
a
=
+
+
与x 轴交于点A，B（点A 在点B
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左侧），与y 轴的负半轴交于点C，顶点为D，且OB
OC
=
．
(1)求点B、D 的坐标；
(2)在y 轴左侧的抛物线上存在一点E，使得
BEC
的面积是BCD
面积的27
8 倍．
①求直线BE的函数表达式；
②设直线BE交y 轴于点M，点P 在线段BM 上运动，点Q 在射线AM 上运动，是否存在这样的点P、Q，
使得
OPQ
△
为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
变式3-3 （24-25 九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 交x 轴于点
(
)
1,0
A −
、(
)
3,0
B
，交y 轴于点C．连结AC
BC
、
．点D 在该抛物线上，过点D 作DE
AC
，交直线BC 于
点E，连结AD
AE
BD
、
、
．设点D 横坐标为
(
)
0
m m
，DAE
的面积为
1S ，DBE
的面积为
2
S ．
(1)求a，b 的值；
(2)设抛物线上D、B 两个点和它们之间的部分为图象G，当图象G 的最高点的纵坐标与m 无关时，求m 的
取值范围；
(3)当点D 在第一象限时，求
1
2
S
S
+
的最大值．
变式3-4 （24-25 九年级上·湖北黄石·期中）如图，已知抛物线
2
1
3
L
y
ax
bx
+
=
+
：
与x 轴交于A，B 两点，与
y 轴交于点C，且
(
)
3 0
A −，，
(
)
1,0
B
．
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(1)求抛物线
1L 的解析式；
(2)若M 是抛物线上的一动点，且
MAB
BCO
=
，求点M 的坐标；
(3)点Q 在抛物线上，且Q 的横坐标为
3
2
−
，将抛物线
1L 沿水平方向平移得到抛物线
2L ，抛物线
2L 的顶点为
P，且ACP
的面积等于AQC
的面积，求点P 的坐标．
变式3-5 已知有如下抛物线：
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ ，经过A，B，C，已知A 为(
)
1,0
−
，
(
)
0,3
C
，请回答以下题
目：
(1)求解该抛物线的解析式并求出顶点的坐标；
(2)若点D 在x 轴的上方的抛物线上，点N 在点C 上方：
①当ACD
是以AC 为底边的等腰三角形时，求出点D 的坐标；
②若
CAB
ABD
=
时，求出点D 的坐标；
③若直线BD交y 轴于点N，过B 作AD的平行线交y 轴于点M，当D 点运动时，求出
CBD
AMN
S
S
△
△
的最大值以及
此时D 的坐标．
变式3-6 如图 1，已知抛物线
2
1
:
4
C y
x
=
，点
(
)
0,1
F
，过点F 的直线l 交抛物线C 于
,
A B 两点，过点F 且
与l 垂直的直线交抛物线C 于
,
D E 两点，其中
,
B D 在y 轴右侧，
,
M N 分别为
,
AB DE 的中点．
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(1)证明： 直线MN 过定点．
(2)如图 2，设G 为直线AE 与直线BD的交点，连结
、
GM
GN ，
① 证明：
1
4
四边形
=
GMN
AEBD
S
S
；
② 求
GMN
△
面积的最小值．
题型4、二次函数背景下的图形面积不等关系问题
典例4 在平面直角坐标系中，已知二次函数
2
1
y
x
bx
= −
+
+ （b 为常数）．
(1)若二次函数图象经过点(
)
2, 5
−
，求该函数表达式与顶点坐标．
(2)当1
2
x
−
时，二次函数
2
1
y
x
bx
= −
+
+ 有最大值3，求b 的值．
(3)若抛物线
2
1
0.8
y
mx
nx
=
+
−
与题（1）中抛物线交于A，B 两点（如图所示），且这两点的横坐标分别是1.2
−
与1，两条抛物线在A，B 两点之间形成一个封闭曲线．求证：封闭曲线所围成的图形面积大于2 ．
题型模版
1.特征：在二次函数背景下比较两个图形面积大小，或证明面积满足某种不等关系．
2.方法：作差法比较面积表达式，化为二次函数或不等式；利用开口方向、判别式、最值证明不等关系成立．
变式4-1 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(0 2)
，，在x 轴上任取一点M，完成以下作图步骤：①
连接AM ，过点A 作AM 的垂线1l ，过点M 作x 轴的垂线2l ，记1l ，2l 的交点为P；②在x 轴上多次改变M
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点的位置，用①的方法得到相应的点P．
(1)小明按要求已完成了①的作图，并确定了
1
M ，
2
M ，
3
M …的位置，请你根据小明步骤，描出
．．对应的
1P ，
2P ，
3P …并把这些点用平滑的曲线连接起来，观察画出的曲线L，猜想
．．它是我们学过的哪一种曲线；
(2)对于曲线L 上的任意一点P，设点P 的坐标是( , )
x y ，试求出x，y 满足的函数关系式；
(3)连
1
3
PP ，若
1 3
PPP
△
的面积不超过
1 3
APP
△
面积的一半，设P 点的横坐标为a，请直接写出a 的取值范围．
变式4-2 （24-25 九年级下·辽宁大连·阶段检测）已知，抛物线
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
交x 轴于A、B ，交y
轴于C ，若OC
OA
=
或OC
OB
=
，那么就称二次函数为“和协二次函数”．
(1)判断函数
2
3
2
y
x
x
= −
−
−
是否为“和协二次函数” （填“是”或“否”）；
(2)若
2
2
3
y
x
bx
=
−
+ 是“和协二次函数”，求b 值；
(3)已知“和协二次函数”
2
1
2
3
y
x
x
= −
+
+ 交x 轴于A、B （A在B 的左边）交y 轴于C ，顶点为D ．
①如图（1），在直线BC 上方的抛物线上有P 、Q 两点，是否存在这样的P 点，使
PBC
S
总是大于
QBC
S
，若
存在，求P 点坐标，若不存在请说明理由；
②如图（2），逆时针旋转CB ，使其恰好经过抛物线的顶点D ，沿射线CD方向平移抛物线，得到新抛物线
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2y ，其顶点为E ，两抛物线交于F 点，若
90
CFE
=
，求平移的距离．
题型5、二次函数背景下的四边形面积问题
典例5 如图1，抛物线
2
1
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 与y 轴交于点A，直线
1
2
2
y
x
−
=
+ 经过点A，与x 轴交于点B，且
与抛物线的另一交点C 的横坐标为5．
(1)求点A、C 的坐标和抛物线的函数表达式；
(2)将AOB
沿y 轴向上平移到
A O B
，点O恰好与点A 重合，点B 的对应点为点B′，判断点B′是否在抛
物线上，说明理由；
(3)如图2，点P 是直线AC 上方的抛物线上的一个动点，那么平面直角坐标系内是否存在一点Q，使以点A、
C、P、Q 为顶点的平行四边形面积最大？如果存在，求出点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标；如果不存
在，请说明理由．
题型模版
1.特征：动点与抛物线、坐标轴构成平行四边形、梯形或一般四边形，求面积或最值．
2.方法：用割补法把四边形拆成三角形或梯形；分别表示各部分面积为坐标的函数，求和后再求最值．
变式5-1 如图，抛物线
2
2
y
ax
x
c
=
−
+ （a，c 是常数，且
0
a
）与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C．并
且A，B 两点的坐标分别是
(
)
1,0
A
，
(
)
3.0
B −
，抛物线顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
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(2)若E 为线段BD上的一个动点，其横坐标为m，过点E 作EF
x
⊥
轴，垂足为点F，当m 为何值时，四边
形EFOC 的面积最大？
(3)点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P 逆时针旋转90后，点A的对应点A恰好也落在此抛物线上，
请直接写出点P 的坐标．
变式5-2 如图，抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，其中
(
)
4,0
B
，
(
)
0,4
C
，对
称轴是直线
1
x = ．动点M 以每秒1 个单位长度的速度，沿x 轴从点O 向点B 运动，设运动时间为t（0
4
t
）
秒，过点M 作x 轴的垂线交BC 于点N，交抛物线于点P．
(1)求抛物线解析式；
(2)抛物线的对称轴交BC 于点E，顶点是点D，当t 为何值时，四边形DENP 为平行四边形；
(3)动点M 开始运动时，另一动点Q 同时以每秒0.5 个单位长度的速度，沿x 轴从点O 向点A 运动．当t 为
何值时，四边形PCQB 的面积最大，并求最大面积．
变式5-3 如图，抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 交x 轴于
(
)
4,0
A −
，B 两点，交y 轴于点
(
)
0,4
C
．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)点D 在线段OA上运动，过点D 作x 轴的垂线，与AC 交于点Q ，与抛物线交于点P ，连接AP 、CP ，求
四边形AOCP的面积的最大值．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得以点A、C、M 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求
出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
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题型6、二次函数背景下的图形面积的分割问题
典例6 （24-25 九年级上·湖北十堰·阶段检测）如图，抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 分别交x 轴于点
,
A B ，交y 轴于
点
(0, 3)
C
−
，顶点为
(1, 4)
D
−
．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)如图①，点E 是x 轴上一动点，连接
,
,
CD CE DE ，是否存在一点E ，使得
CDE
△
的周长最小，若存在，
请求出点E 的坐标及此时
CDE
△
的周长，若不存在，请说明理由；
(3)如图②，点Q 是x 轴上方抛物线上的一个动点，连接CQ ，若直线CQ 将四边形CBQA的面积分为1:3 的
两部分，求直线CQ 的解析式．
题型模版
1.特征：按给定面积比或定值直线分割抛物线相关图形，确定分割位置或直线方程．
2.方法：设分割点坐标或分割线方程，用面积公式列方程；通过解方程或二次函数最值确定分割位置．
变式6-1 （24-25 九年级上·湖北黄石·期中）如图，已知抛物线
2
5
y
ax
bx
=
+
+ 与x 轴交于
)
,
,
,
( 1 0)
(5 0
A
B
−
两
点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D 是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B 不重合），过点D 作DF
x
⊥
轴于点F，交直线BC 于
点E，连接BD，直线BC 能否把BDF
分成面积之比为2 :3的两部分？若能，请求出点D 的坐标；若不能，
请说明理由．
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(3)若M 为抛物线对称轴上一动点，使得MBC
为直角三角形，请直接写出点M 的坐标．
变式6-2 如图，抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 与x 轴交于点
(
)
1,0
A −
和点B，其顶点坐标为(
)
1,4 ，P 是第一象限内
抛物线上的动点，过点P 向x 轴作垂线，交直线BC 于点M，交x 轴于点N，连接PB、PC ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当PM 取得最大值时，求线段MN 的长；
(3)若直线BC 把BPN
的面积分成2 :3两部分，求点P 的坐标．
题型7、二次函数背景下的三角形周长最值问题
典例7 如图，已知平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴，点B在x轴的负半轴，点
(0,4)
C
且OA
OC
=
，
1
2
OB
OC =
，
抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 过点A、B、C，点P 是抛物线对称轴的一个动点．
（1）求A，B 两点坐标及抛物线的解析式；
（2）在对称轴上确定点P 使
PBC
△
的周长最小，求出P 点坐标及
PBC
△
的周长；
（3）若点M 是抛物线在第一象限
．．．．图象上的一个动点，点N 是坐标平面内的动点，是否存在点P，M，N 使
以A，P，M，N 为顶点的四边形为正方形？若存在求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．
题型模版
1.特征：在二次函数图象上动点与两定点构成三角形，求该三角形周长的最小或最大值．
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2.方法：利用轴对称（将军饮马）把折线拉直，化周长为定点到对称点距离加第三边；结合二次函数确定动
点位置，注意取等条件．
变式7-1 如图，抛物线
2
2
3
y
x
x
= −
−
+ 的图象与x 轴交于A、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点
C，点D 为抛物线的顶点.
（1）求A、B、C 的坐标；
（2）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E，与
抛物线交于点P，过点P 作PQ∥AB 交抛物线于点Q，过点Q 作QN⊥x 轴于点N.若点P 在点Q 左边，当矩
形PQNM 的周长最大时，求△AEM 的面积；
（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ.过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直
线AC 交于点G（点G 在点F 的上方）.若FG=
DQ，求点F 的坐标.
变式7-2 如图1，抛物线
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的顶点为
(
)
1 4
C
，，交x 轴于A、B 两点，交y 轴于点D ，其中
点B 的坐标为(
)
3 0
，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2 ，过点A的直线与抛物线交于点 E ，交y 轴于点F ，其中点E 的横坐标为2 ，若直线PQ 为抛物
线的对称轴，点G 为直线 PQ 上的一动点，则x 轴上是否存在一点H ，使D 、G ，H 、F 四点所围成的四
边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G 、H 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图3，在抛物线上是否存在一点T ，过点T 作x 轴的垂线，垂足为点M ，过点M 作MN
BD
∥
，交线段
AD于点N ，连接MD，使
DNM
BMD
△
∽△
？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．
变式7-3 如图，抛物线
(
)
2
1
y
x
n
=
−
+
与x 轴交于A，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点
(
)
0
3
C
−
，
，点
D 与点C 关于抛物线的对称轴对称.
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(1)求抛物线的解析式及点D 的坐标；
(2)点P 是抛物线对称轴上的一动点，当PAC
的周长最小时，求出点P 的坐标；
(3)点Q 在x 轴上，且
ADQ
DAC
=
，请直接写出点Q 的坐标.
题型8、二次函数背景下的四边形周长最值问题
典例8 如图，在平面直角坐标系中，抛物线
2
3
y
x
bx
= −
+
+ （b 为常数）与x 轴正半轴交于点A，与y 轴交
于点B ，对称轴直线
1
x = 与x 轴交于点C ．点P 为抛物线上第一象限内的动点，设P 点的横坐标为m ．
(1)求b 的值．
(2)当0
x
m
时，记二次函数
2
3
y
x
bx
= −
+
+ 的最大值、最小值分别为s，t ．若
0.5
s
t
−=
，求m 的值．
(3)过点P 分别作x 轴和对称轴的垂线，垂足分别为点D ，E ，当矩形PECD 的周长最大时，求点P 的坐标．
题型模版
1.特征：四边形顶点含抛物线上的动点，求该四边形周长的最值．
2.方法：分析各边定长与动边，用对称转化动边；将周长表示为动点坐标的函数，利用二次函数最值或几何
最短路径求解．
变式8-1 （24-25 九年级下·广西南宁·阶段检测）如图，抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 与y 轴交于
(
)
0,4
A
，且对称
轴
2
x =
，顶点为H．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)点P 是抛物线上位于对称轴左侧x 轴上方的一个动点．过点P 作x 轴的平行线交抛物线于点D，作x 轴
的垂线交x 轴于点F，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点E，四边形PDEF 的周长为C：
①当周长C 最大时，求点P 的坐标；
②如图2，当周长C 最大时，点P，D 的位置分别记为
1
1
,
P D ，将抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 平移，使其顶点始终
在直线
1
HP ，当平移后的抛物线与射线
1
D H 只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点横坐标为
(
2)
m m
，
求m 的值．
变式8-2 （24-25 九年级上·陕西渭南·期末）在平面直角坐标系中，抛物线
2
3
2
y
ax
x
c
=
−
+
与x 轴交于点A
B
、，
点B 的坐标为(
)
1,0 ，与y 轴交于点C ，直线
2
y
kx
=
+ 经过A C
、
两点．
(1)求抛物线的解析式与顶点坐标；
(2)若点D 为线段AC 上的一个动点，过点D 作DE
y
∥
轴，交抛物线于点E ，过E 作EF
y
⊥
轴，交直线AC
于点F ，以DE
EF
、
为边作矩形DEFG ，设矩形DEFG 的周长为l ，求当D 点在何位置时，周长l 有最大值，
并求出最大值．
变式8-3 （25-26 九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）如图，抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象与x 轴交于
(
)
3,0
A −
，
(
)
1,0
B
两点，与y 轴交于点
(
)
0,3
C
，点D 为抛物线的顶点．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物
线交于点P ，过点P 作PQ
AB
∥
交抛物线于点Q ，过点Q 作QN
x
⊥
轴于点N ．点P 在点Q 左边，设点M 的
横坐标为m ，矩形PMNQ 的周长为d ．
①MN = ______；
②在①的条件下，求d 关于m 的关系式（不用写出m 的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ ，过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线
AC 交于点G （点G 在点F 的上方）．若
2
2
FG
DQ
=
，直接写出点F 的坐标．
题型9、已知周长关系解答二次函数问题
典例9 如图，抛物线
2
4
y
x
x
= −
+
与x 轴的正半轴交于点A．
（1）求点A的坐标和该抛物线的对称轴．
（2）点P 在y 轴的正半轴上，PC
y
⊥轴交抛物线于点B 、C （点B 在点C 的左侧），设PC
m
=
，
①当B 是PC 的中点时，求m 的值；
②连结AC ，设ΔOAC 与ABC
的周长之差为L ，求L 关于m 的函数表达式．
题型模版
1.特征：已知三角形或四边形周长（或周长关系），反求动点坐标、参数或解析式．
2.方法：用两点间距离公式表示各边长，列周长方程；解方程并回代检验，注意多解取舍．
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变式9-1 抛物线
2
1
2
y
x
x
c
=
−
+ 与x 轴相交于点
( 1,0)
A −
和点B，与y 轴相交于点C,T 是抛物线的顶点，P 是
抛物线上一动点，设点P 的横坐标为t．
(1)求c 的值；
(2)如图1，若点P 在对称轴左侧，过点P 作对称轴的垂线，垂足为H，求
2
PH
TH 的值；
(3)定义：抛物线上两点M,N 之间的部分叫做抛物线弧MN (含端点M 和N)．过M,N 分别作x 轴的垂线1
2
,
l l ，
过抛物线弧MN 的最高点和最低点分别作y 轴的垂线3
4
,
l l ，直线1
2
3
,
l l
l
，与4l 围成的矩形叫做抛物线弧MN 的
特征矩形，若点P 在第四象限，记抛物线弧CP 的特征矩形的周长为f．
①求f 关于t 的函数解析式；
②过点P 作PQ
x
∥
轴，交抛物线于点Q，点Q 与点C 不重合．记抛物线弧CQ 的特征矩形的周长为g．若
11
2
f
g
+
=
，直接写出PQ 的长．
变式9-2 已知抛物线
2
2
y
x
mx
n
−
=
+
+ （其中m
n
、为常数且
0
m
）与x 轴交于(
)
2,0
A −
和B 两点，与y 轴交
于点C ．连接BC ，线段BC 的垂直平分线交抛物线的对称轴于点,
P y 轴上存在一点D （异于点C ）使得
PD
PB
=
．
(1)用含m 的式子表示n ；
(2)求点D 的坐标；
(3)点C 关于抛物线对称轴的对称点为点E ，连接BE，BD，DE ，BDE
的周长记为
1
C ，
APC
△
的周长记
为
2
C ，试求
1
2
C
C 的值．
变式9-3 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线
2
y
x
bx
=
+
（b 是常数）经过(
)
2,0 ，点A在抛物
线上，横坐标为m ，点B 的坐标为(
)
2
1,4
m −
，过点B 作BD垂直该抛物线的对称轴于点D ．
(1)求该抛物线对应的函数表达式及对称轴；
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(2)当点A落在直线BD上时，求点B 的坐标；
(3)连结BA并延长交抛物线对称轴于点C ，作点A关于抛物线对称轴对称点A，连结AD、CA和DA．
①求A D
BC
的值；
②当A在对称轴左侧时，若四边形CADA的周长与ABD
周长之比为5
4 ，直接写出所有满足条件的m 的值．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
38．（2025·湖北·二模）如图，已知抛物线
2
y
x
px
q
= −
+
+
的对称轴为直线
3
x = −，过其顶点M 的一条直线
y
kx
b
=
+
与该抛物线的另一个交点为
(
)
1,1
N −
，要在坐标轴上找一点P，使得PMN
的周长最小，则点P
的坐标为（ ）
A．
4 ,0
3
−
B．(
)
2,0
C．(
)
0,2
D．
4 ,0
3
−
或(
)
0,2
39．（25-26 九年级上·辽宁抚顺·期中）如图，抛物线
2
1
4
6
2
y
x
x
=
−
+
与y 轴交于点A，与x 轴交于点B，线
段CD在抛物线的对称轴上移动（点C 在点D 下方），且
3
CD =
．当四边形ABCD的周长最小时，点D 的坐
标为______．
40．如图，抛物线
2
1
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 与x 轴交于点A和点
(
)
4 0
B
，，与y 轴交于点
(
)
0 4
C
，，点E 在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
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(2)点E 在第一象限内，过点E 作EF
y
∥轴，交BC 于点F ，作EH
x
轴，交抛物线于点H ，点H 在点E 的
左侧，以线段
,
EF EH 为邻边作矩形EFGH ，当矩形EFGH 的周长为11 时，求线段EH 的长；
(3)点M 在直线AC 上，点N 在平面内，当四边形OENM 是正方形时，请直接写出点N 的坐标．
41．（24-25 九年级上·山东威海·期末）抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 与x 轴交于点( 1,0)
A −
，(3,0)
B
，与y 轴交于点
C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P 为第一象限内抛物线上一点，过点P 作PQ
x
∥
轴交直线BC 于点Q．过点P 作PH
x
⊥
轴于点H，过
点Q 作QG
x
⊥
轴于点G．当点P 位于何处时，四边形PQGH 的周长最大？最大周长为多少？
42．如图，在平面直角坐标系中，抛物线
2
2
y
ax
bx
=
+
+
过点(
)
1,3 ，且交x 轴于点
(
)
1,0
A −
，B 两点，交y 轴
于点C ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点P 作PD
BC
⊥
于点D ，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于
点E ，求PDE
周长的最大值及此时点P 的坐标；
(3)在(2)中PDE
周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB 方向平移5 个单位长度，点M 为平移后
的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点N ，使得以点A，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，直接
写出所有符合条件的点N 的坐标．
43．（25-26 九年级上·广东中山·期中）已知二次函数
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 与y 轴交于C ，与x 轴交于点
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(
)
(
)
3,0
1,0
A
B
−
，
两点，作直线AC ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图，点D 是直线AC 上方抛物线上的一动点，过D 作DE
y
∥
轴交AC 于点E
DG
AC
⊥
，
交AC 于点G ，
是否存在一点D ，使DEG
的周长取得最大值，若存在，求出点D 坐标．若不存在，请说明理由；
(3)在（2）中DEG
的周长取得最大值的条件下，点M 是抛物线对称轴上一动点，点N 是抛物线上一动点，
当以B
D
M
N
，，，
为顶点的四边形是平行四边形时，请求出点N 的横坐标．
44．如图，已知二次函数
2
y
x
bx
c
=
+
+ 经过A，B 两点，BC
x
⊥
轴于点C，且点
(
)
1,0
A −
，(
)
4,0
C
，AC
BC
=
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E 是线段AB 上一动点（不与A，B 重合），过点E 作x 轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF 的长度
最大时，求点E 的坐标及
ABF
S△
；
(3)点P 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P 点，使ABP
成为直角三角形？若存在，求出所
有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
45．（2025·浙江·一模）在平面直角坐标系中，
(
)
2,
A
m
−
，
(
)
1,1
B
是二次函数
2
y
ax
=
图象上的两点．
(1)求a ，m 的值；
(2)若点C 在直线AB 下方的抛物线上，点D 在直线AB 上方的抛物线上，问：
①求ABC
面积的最大值；
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②当CD垂直平分线段AB 时，求点D 的坐标；
(3)过点B 作两条互相垂直的直线分别交抛物线于点E ，F ，求BEF
中EF 边上的高的最大值．
46．二次函数
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的图象与x 轴分别交于点
(
)
(
)
1,0
3,0
A
B
−
，
，与y 轴交于点
(
)
0, 3
C
−
，
P
Q
，
为抛物线上的两点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)当P
C
，
两点关于抛物线对称轴对称，
OPQ
△
是以点P 为直角顶点的直角三角形时，求点Q 的坐标；
(3)设P 的横坐标为m ，Q 的横坐标为
1
m+ ，试探究：
OPQ
△
的面积S是否存在最小值，若存在，请求出最
小值，若不存在，请说明理由．
47．如图在平面直角坐标系中，抛物线
(
)
2
2
0
y
ax
bx
a
=
+
+
与x 轴交于点(
)
4,0
A −
和点B （点A在点B 的
左侧），与y 轴交于点C ，经过点A的直线与抛物线交于点
(
)
1,3
D −
，与y 轴交于点E ．
(1)求抛物线的表达式和顶点P 的坐标；
(2)点F 是x 轴下方抛物线上的一个动点，使ADF
的面积为27
2 ，求点F 的坐标．
(3)点M 是线段OA上一动点，点N 是线段AE 上一动点，且AM
EN
=
，请直接写出EM
ON
+
的最小值为
___________．
48．给出如下定义：对于二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ （其中a 、b 、c 为常数，且
0
a
，
0
b
），我们把一次函
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数
2
b
c
y
x
a
a
= −
+
叫作该二次函数的“随轴函数”．例如：二次函数
2
1
3
4
2
y
x
x
−
=
+
+
的“随轴函数”为
3
8
y
x
=
−．
(1)已知二次函数
2
3
9
6
2
y
x
x−
=
+
，求该二次函数的“随轴函数”的表达式；
(2)如图，设二次函数
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 的图象
1
C 交x 轴于点( 1,0)
A −
，交y 轴于点
(0,3)
C
，它的“随轴函数”
y
kx
d
=
+
的图象为
2L ，图象
1
C 与
2L 相交于B ，D 两点（点D 在点B 的左侧）．
①求该二次函数的表达式，并写出B ，D 两点的坐标；
②直线x
n
=
与
1
C ，
2L 分别交于点E ，F ，与x 轴交于点G ．连接BE，CE ，CF ，当0
3
n
时，且四边
形CEBF 的面积为75
8 ，求n 的值；
③若二次函数
2
(
3)
y
x
bx
c x
= −
+
+
与它的“随轴函数”
(
3)
y
kx
d x
=
+
组成新函数w ，若在函数w 图象上有
两点P ，Q（P 与Q 不重合），点P 的横坐标为m ，点Q 的横坐标为
m 5
−
+ ．当P ，Q 之间（包含P ，Q 两
点的图象）对应函数的最大值与最小值均不随m 的变化而变化，请直接写出m 的取值范围．
49．如图①，平面直角坐标系中，抛物线y =
(
)
2
3
0
ax
bx
a
+
+
与x 轴分别交于点
(
)
3,0
A −
，和点
(1,0)
B
，与
y 轴交于点C，P 为抛物线上一动点．
(1)拋物线的对称轴为直线______，拋物线的函数表达式为______；
(2)如图②，连接AC ，若点P 在AC 上方，作PQ
y
∥
轴交AC 于点Q ，把上述抛物线沿射线PQ 的方向向下
平移，平移的距离为(
)
0
h h
，在平移过程中，该抛物线与直线AC 始终有交点，求h 的最大值；
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(3)若点P 在AC 上方，设直线AP ，BP与抛物线的对称轴分别相交于点F，E．请探索以
,
,
,
A F B G （G 是点
E 关于x 轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着点P 的运动而发生变化？若不变，求出这个四边形的面
积；若变化，请说明理由．
50．如图，已知二次函数
2
2
y
ax
x
c
=
+
+ 的图象与x 轴交于A，B 两点．A点坐标为(
)
1,0
−
，与y 轴交于点
(
)
0,3
C
，点M 为抛物线顶点，点E 为AB 中点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)在直线BC 上方的抛物线上存在点Q ，使得
2
QCB
ABC
=
，求点Q 的坐标；
(3)已知D ，F 为抛物线上不与A，B 重合的相异两点．
①若点F 与点C 重合，
(
)
, 12
D m −
，且
1
m ，求证：D ，E ，F 三点共线；
②若直线AD，BF 交于点P ，则无论D ，F 在抛物线上如何运动，只要D ，E ，F 三点共线，AMP
，MEP
，
ABP
中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
51．如图，边长为8 的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A，点P 是抛物线
上点A，C 间的一个动点（含端点），过点P 作PF
BC
⊥
于点F，点D、E 的坐标分别为(
)
0,6 ，(
)
4,0
−
，连
接PD、PE、DE ．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）小明探究点P 的位置发现：当点P 与点A 或点C 重合时，PD与PF 的差为定值，进而猜想：对于任
意一点P，PD与PF 的差为定值，请你判断该猜想是否正确，请说明理由；
（3）小明进一步探究得出结论：若将“使PDE
的面积为整数”的点P 记作“好点”，则存在多个“好点”，且
使PDE
的周长最小的点P 也是一个“好点”．请求出PDE
周长最小时“好点”的坐标，并直接写出所有“好
点”的个数．
52．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于C 点，顶点D
的坐标为(1 4)
，，点P 是第一象限抛物线上的一动点．
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(1)求抛物线的函数表达式．
(2)如图2，连接AC 、BC 、PC ，线段BC 与AP 相交于点E，设
PEC
ACE
S
W
S
=
，则w 有最大值还是最小值？请
做出判断，并求出w 的最值．
(3)如图3，点Q 为第四象限抛物线上的另一动点，连接AQ 交y 轴于点H，线段AP 与y 轴的交点记为G，
用m 表示OG 的长，用n 表示OH 的长，若在P、Q 两点运动的过程中，m 与n 始终满足函数关系式
4
m
n
=
，试
探究直线PQ 是否过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
