专题04二次根式的运算及规律、新定义型问题（专项训练）（答案版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2027新《8上数学•同步备课资料合集》（新教材北师大）

 
 
 
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专题04 二次根式的运算及规律、新定义型问题 
 
常考题型·精准突破 
题型1 最简二次根式（重） 
题型2 同类二次根式（重） 
题型3 二次根式的混合运算（高频） 
题型4 二次根式中的分母有理化（高频） 
题型5 二次根式运算中的规律探究问题（难） 
题型6 二次根式运算中的新定义型问题（难） 
综合攻坚·知能拔高 
常考题型·精准突破 
◆题型1 最简二次根式 
1．A 
2．B 
3．C 
 
◆题型2 同类二次根式 
4．A 
5．B 
6．4 
 
◆题型3 二次根式的混合运算 
7． 
【答案】(1)3
2 6
+
 
(2)5
2 3
−
 
【详解】（1）解：
(
)
0
1
48
3
2
30
2 2
3
5

+

−
+
 
1
48 3
2
30
1
5
=
+

− 
 
 
 
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4
2 6
1
=
+
− 
3
2 6
= +
； 
（2）(
)(
) (
)
2
5
2
5
2
3
1
+
−
+
−
 
(
)
(
)
2
2
2
5
2
3
2 3
1




=
−
+
−
+







 
5
4
3
2 3 1
= −+ −
+ 
5
2 3
=
−
． 
8． 
【答案】(1)15 
(2)10
2 15
+
 
(3) 4
6
+
 
【详解】（1）解： 
27
50
6


 
27 50 6
=


 
225
=
 
15
=
 
（2）解：(
)
(
)(
)
2
3
5
3
1
3
1
+
+
−
+
 
(
2
2
2
2
[( 3)
2 3
5
( 5)
3)
1 
=
+

+
+
−
 
(3
2 15
5)
(3 1)
=
+
+
+
−
 
8
2 15
2
= +
+ 
10
2 15
=
+
 
（3）解：
1
48
3
12
24
2

−

+
 
1
48 3
12
2 6
2
=
−

+
 
16
6
2 6
=
−
+
 
4
6
=
+
 
9． 
【答案】(1) 9 2
2
 
(2)
2
4
 
(3) 23 3
6
 
 
 
 
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(4)6 5
45
−
 
【详解】（1）解：
8
1
32
2
2
+
−
 
2
4 2
2
2
2
2
=
+
−
 
9 2
2
=
． 
（2）解：
27
2
18
8
3


 
27
2
18
8
3
=


 
1
9
8
4
=

 
1
9
8
4
=

 
1
9
1
4
8
=

 
1
8
=
 
1
2 2
=
 
2
4
=
． 
（3）解：
1
2
24
2
27
6
3


−

+






 
6
6
3
6
2
2
2
3
3


=
−

+







 
3
11
2
2
3
6
3
6
=

+

 
11
2
3
6
3
=
+
 
23 3
6
=
． 
（4）解：(
)(
) (
)
2
7
4 3
7
4 3
3 5
1
+
−
−
−
 
(
)
(
)
2
2
2
7
4 3
3 5
6 5
1


=
−
−
−
+



 
 
 
 
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49
48
45 6 5 1


=
−
−
−
+

 
49
48
46
6 5
=
−
−
+
 
6 5
45
=
−
． 
 
◆题型4 二次根式中的分母有理化 
10． 
【答案】(1) 2 3
3
，7
6
+
 
(2)18 
(3)
101 1
100
x
+
=
 
【详解】（1）解：2
2
3
2 3
3
3
3
3

=
=

； 
(
)(
)
1
7
6
7
6
7
6
7
6
7
6
7
6
7
6
+
+
=
=
=
+
−
−
−
+
； 
（2）解：
(
)
(
) (
)
1
5
2
1
5
2
5
2
5
2
5
2
a

−
=
=
=
−
+
+

−

，
(
)
(
) (
)
1
5
2
1
5
2
5
2
5
2
5
2
b

+
=
=
=
+
−
−

+
， 
(
)
(
)
2
2
2
2
5
2
5
2
5
4 5
4
5
4 5
4
18
a
b

+
=
−
+
+
=
−
+
+ +
+
=
； 
（3）解：
2
2
2
2
1
1
3
3
5
5
7
99
101
x
x
x
x
+
+
+
+
=
+
+
+
+

， 
(
)
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
) (
)
2
3
1
2
5
3
2
7
5
2
101
99
1
1
3
3
1
3
5
5
3
5
7
7
5
99
101
101
99
x
x
x
x

−

−

−

−
+
+
+
+
=
+

−
+

−
+

−
+

−

， 
(
)
(
)
(
)
(
)
2
3 1
2
5
3
2
7
5
2
101
99
1
3 1
5
3
7
5
101 99
x
x
x
x

−

−

−

−
+
+
+
+
=
−
−
−
−

， 
(
)
(
)
(
)
(
)
3 1
5
3
7
5
101
99
1
x
x
x
x
−
+
−
+
−
+
+
−
=

， 
(
)
101 1
1
x
−
= ， 
解得：
(
)(
)
1
101 1
101 1
100
101 1
101 1
101 1
x
+
+
=
=
=
−
−
+
． 
11． 
【答案】(1) 2 1
− 
(2) 
 
 
 
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(3)
2026
1
− 
【详解】（1）解： 
1
2
1
2
1
2
1
2 1
2
1
( 2
1)( 2
1)
−
−
=
=
=
−
−
+
+
−
． 
（2）解： 
( 100
99)( 100
99)
1
100
99
100
99
100
99
−
+
−
=
=
+
+
，
(
)(
)
99
98
99
98
1
99
98
99
98
99
98
−
+
−
=
=
+
+
， 
 因为100
99
99
98
0
+

+

，分子相同，分母越大分数越小， 
所以
1
1
100
99
99
98

+
+
，即100
99
99
98
−

−
． 
（3）解：
(
)(
)
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
+ −
=
=
+ −
+ +
+ +
+ −

， 
1
1
1
1
2
1
3
2
4
3
2026
2025

+
+
++
+
+
+
+
 
2
1
3
2
4
3
2026
2025
=
−+
−
+
−
++
−
 
2026 1
=
−． 
12． 
【答案】(1) 3
2
−
 
(2)10 
(3)12 
【详解】（1）解：
(
)(
)
1
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
−
=
=
−
+
+
−
 
（2）解：原式
2
1
3
2
4
3
121
120
=
−+
−
+
−
+
+
−

 
121 1
=
− 
11 1
=
− 
10
=
 
（3）解：
1
10
3
10
3
a =
=
+
−

， 
0
3
1
a
−=
， 
(
)
2
3
10
a

−
=
， 
2
6
11
a
a

−
+
 
(
)
2
3
2
a
=
−
+
 
10
2
=
+ 
12
=
． 
 
 
 
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◆题型5 二次根式运算中的规律探究问题 
13． 
【答案】(1)
5
5
5
5
24
24
+
=
； 
(2) (
)
(
)
(
)
(
)
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
+
+
+
+
=
+
+
−
+
−
； 
(3)24 
【详解】（1）解：由前面式子所展示的规律可得第4 个等式：
5
5
5
5
24
24
+
=
； 
（2）解：由前面式子所展示的规律可得第n 个等式：(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
+
+
+
+
=
+
+
−
+
−
； 
（3）解：由（2）中规律(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
+
+
+
+
=
+
+
−
+
−
可得： 
12
143
12
143
12
12
12 4
24
143
3
143
3
+

=

=
=
． 
14． 
【答案】（1）①
1
1
4
5
6
6
+
=
；②
(
)
1
1
1
2
2
n
n
n
n
+
=
+
+
+
； 
（2）证明：等式左边
(
)
2
2
1
2
1
1
1
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
+
+
+
=
=
=
+
+
+
+
 
又
1
0
n + 
， 
(
)
1
1
1
1
2
2
n
n
n
n

+
=
+
=
+
+
右边， 
等式成立 
（3）2024 3 
【详解】解：（1）①
1
1
4
5
6
6
+
=
 
故答案为：
1
1
4
5
6
6
+
=
． 
②
(
)
1
1
1
2
2
n
n
n
n
+
=
+
+
+
 
故答案为：
(
)
1
1
1
2
2
n
n
n
n
+
=
+
+
+
． 
（2） 略 
 
 
 
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（3）原式
1
2024
3 2025
2025
=


 
2024 3
=
 
15． 
【答案】（1）①5；②100；（2）
(
)
2
2
2
2
1 1
1
1
n
n
n
n
−+
=
−
=
−；（3）1012 
【详解】解：（1）由题意得： 
①
2
2
2
6
2 6 1 1
5
5
−+
=
=
， 
②
2
2
2
101
2 101 1 1
100
100
−
+
=
=
， 
故答案为：5，100 
（2）第1 个等式：
(
)
2
2
2
1
2 1 1 1
1 1
0
0
−+
=
−
=
=
； 
第2 个等式：
(
)
2
2
2
2
2 2 1 1
2 1
1
1
−+
=
−
=
= ； 
第3 个等式：
(
)
2
2
2
3
2 3 1 1
3 1
4
2
−+
=
−
=
=
； 
第4 个等式：
(
)
2
2
2
4
2 4 1 1
4 1
9
3
−+
=
−
=
= ； 
第5 个等式：
(
)
2
2
2
5
2 5 1 1
5 1
16
4
−+
=
−
=
=
； 
…… 
出第n 个等式：
(
)
2
2
2
2
1 1
1
1
n
n
n
n
−+
=
−
=
−， 
故答案为：
(
)
2
2
2
2
1 1
1
1
n
n
n
n
−+
=
−
=
−； 
（3）
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2 1 1 1
2
2 2 1 1
3
2 3 1 1
4
2 4 1 1
−+
−
−+
+
−+
−
−+
+
+

 
2
2
2
2
2
2
2023
2 2023 1 1
2024
2 2024 1 1
2025
2 2025 1 1
−
+
−
−
+
+
−
+
 
0 1 2 3 4 5
2022
2023 2024
=
−+ −+ −++
−
+
 
(
) (
) (
)
(
)
0 1
2
3
4
5
2022
2023
2024
=
−
+
−
+
−
++
−
+
 
(
) (
)
(
)
1
1
1
1
2024
= −+ −
+ −
++ −
+
 
1012
2024
= −
+
． 
1012
=
 
 
◆题型6 二次根式运算中的新定义型问题 
16. 
【答案】(1)
3 2
m =
； 
(2)
8
n = −，
4
m =
． 
 
 
 
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【详解】（1）解：由题意可得，·
6
2
m
=
， 
∴
3 2
m =
； 
（2）解：由题意可得，(
)(
)
1
3
4
3m
n
−
+
=
， 
整理得，(
)
3
3
4 3
4
m
n
−
=
−+ ， 
3
3
4 3
4
m
m
n
−
=
−+
， 
∴
4
3
4
m
m
n
=
−
=
−
，
 
∴
4
m =
， 
∴
8
n = −． 
17. 
【答案】(1)9 3 ； 
(2)2； 
【详解】（1）解：由题意可得， 
48 75
48
75
4 3
5 3
9 3
=
+
=
+
=
※
； 
（2）解：由题意可得， 
3 2
3
2
=
−
※
，8 12
8
12
2 2
2 3
=
+
=
+
※
， 
∴(
) (
) (
)
(
)
3 2
8 12
3
2
2
3
2
2

=
−

+
=
※
※
． 
18. 
【答案】(1)此三角形是奇异三角形，理由见解析 
(2)
2
b
a
=
 
【详解】（1）解：此三角形是奇异三角形；理由如下： 
2
2
2
2
(2 2)
12
2 ( 6)
+
=
=


， 
ABC

是奇异三角形， 
（2）Rt
ABC
△
中，
90
C

=
， 
2
2
2
a
b
c

+
=
， 
c
b
a



， 
2
2
2
2c
b
a

，
2
2
2
2a
b
c

， 
Rt ABC

是奇异三角形， 
2
2
2
2b
a
c

=
+
， 
2
2
2
2
2b
a
a
b

， 
2
2
2
b
a

=
， 
2
b
a
=
， 
 
 
 
 
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综合攻坚·知能拔高 
一、单选题 
1．D 
2．B 
3．A 
4．C 
5．C 
二、填空题 
6．2 
7．4
2 7
+
 
8．9 2
8
4
−
 
9．6 6 
10．7
2
+
 
三、解答题 
11． 
【答案】(1) 
3 2
10
 
(2) 
4
6
+
 
【详解】（1）解：
3
2 12
5 2
4


 
3
4 3
5 2
4
=


 
3 5 2
= 
 
3 2
10
=
； 
（2）解：
1
48
3
12
24
2

−

+
 
1
48 3
12
2 6
2
=
−

+
 
4
6
2 6
=
−
+
 
 
 
 
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4
6
=
+
． 
12． 
【答案】(1) 2
− 
(2)10 
(3)3
2 3
−
 
【详解】（1）解：原式
3 2
2 3 2
=
−−
 
2
= −． 
（2）解：原式
6
2 6
4 3
3
2
=

+

 
6
4 3
3
=
+

 
6
4
=
+
 
10
=
． 
（3）解：原式(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
3
2 3
1
3
2


=
−
+
−
−



 
4
2 3 1
=
−
− 
3
2 3
= −
． 
13． 
【答案】(1) 
5

 
(2) 
9 
【详解】（1）解：∵最简二次根式
2
3
a −
与12
a
−
是同类二次根式， 
∴2
3
12
a
a
−=
−
， 
∴
5
a =
， 
∴a 的平方根为
5

； 
（2）解：∵
5
2
a =

，18
45

， 
∴(
) (
)
(
) (
)
*2
18*45
5*2
18*45
a

=

 
(
) (
)
5
2
18
45
=
−

+
 
(
) (
)
5
2
3 2
3 5
=
−

+
 
(
) (
)
3
5
2
2
5
=
−

+
 
(
)
3
5
2
= 
−
 
9
=
 
14． 
 
 
 
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【答案】(1)(
)(
)
1
1
1
n
n
n
n
+ +
+ −
= 
(2)9 
(3) 19
18
18
17
−

−
 
【详解】（1）解：(
)(
)
1
1
1
n
n
n
n
+ +
+ −
= （n 为正整数）. 
（2）解：
1
1
1
1
2
1
3
2
4
3
100
99
+
+
++
+
+
+
+
 
(
)(
) (
)(
) (
)(
)
(
)(
)
2
1
3
2
4
3
100
99
2
1
2
1
3
2
3
2
4
3
4
3
100
99
100
99
−
−
−
−
=
+
+
++
+
−
+
−
+
−
+
−
 
(
) (
)
(
)
2 1
3
2
100
99
=
−
+
−
++
−
 
100 1
=
− 
10 1
=
− 
9
=
. 
（3）解：
1
18
17
18
17
−
=
+

，
1
19
18
19
18
−
=
+
， 
而
1
1
19
18
18
17

+
+
， 
19
18
18
17

−

−
. 
15． 
【答案】(1) 7
2
+
，
7
n
n
+
−
 
(2)3 
(3) 2027
1
− 
【详解】（1）解：对于
5
7
2
−
，
7,
2
a
b
=
=
，可得
7
2
5
a
b
m
−=
−
=
=
， 
根据题目规律得
5
7
2
7
2
=
+
−
， 
对于
7
7
n
n
+
+
，
7,
a
n
b
n
=
+
=
，可得
(
)
7
7
a
b
n
n
m
−
=
+
−
=
=
， 
根据题目规律得
7
7
7
n
n
n
n
=
+
−
+
+
； 
（2）已知
6
15
15
x
x
=
−
+
，根据规律可得(
)
2
2
15
6
x
−
=
， 
整理得
2
15
6
x
−
=
，解得
2
9
x =
， 
由二次根式的非负性可知
0
x 
， 
∴
3
x = ； 
（3）根据题意可知，原式中每一项满足分子
(
) (
)
2
2
1
2
1
k
k
=
+
−
−
， 
 
 
 
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因此可得
2
2
1
2
1
2
1
2
1
k
k
k
k
=
+ −
−
+ +
−
， 
∴原式(
) (
) (
)
(
)
3
1
5
3
7
5
2027
2025
=
−
+
−
+
−
++
−
 
3
1
5
3
7
5
2027
2025
=
−
+
−
+
−
++
−
 
2027
1
=
−． 
16． 
【答案】(1)B 
(2)2 
(3)
1
x = − 
【详解】（1）解：∵(
) (
)
2
3
2
3
4 3
1
+

−
=
−= ， 
∴2
3
+
和2
3
−
互为倒数； 
（2）解：∵(
)(
)
(
)
18
6
18
6
18
6
12
x
x
x
x
x
x
−
+
−
−
−
−
=
−−
−
=
， 
又18
6
6
x
x
−
+
−
=
， 
∴18
6
12
6
2
x
x
−
−
−
=

=
； 
（3）解：(
)(
) (
)
(
)
2
2
10
2
10
2
10
2
10
2
8
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
+
−
+
=
+
−
+
=
+
−
−
=
∵
， 
10
2
4
x
x
+
+
+
=
又∵
， 
10
2
2
x
x

+
−
+
=
， 
∴
10
2
4
10
2
2
x
x
x
x

+
+
+
=

+
−
+
=

①
②
， 
+
①
②得，2 10
6
x
+
=
，即10
3
x
+
=
， 
两边平方得，10
9
x
+
=
， 
解得
1
x = −， 
经检验，
1
x = −是原方程的解．