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专题03 定义与命题
（题型突破·举一反三）
题型01 定义的概念
题型02 画示意图
题型03 命题的概念
题型04 命题的构成
题型05 真命题与假命题
题型06 举反例
题型07 逆命题
题型08 根据给出的论断组命题并证明
题型09 定理
▌题型01 定义的概念
一般地，能明确说明某一名称或术语的意义的句子，叫作该名称或术语的定义（definition）。
【典例1】下列语句中，属于定义的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等
B．三角形内角和为180°
C．对顶角相等
D．数与字母的乘积叫作单项式
【分析】根据定义是对一个名称或术语的意义的规定解答即可．
【解答】解：∵A、B、C 选项都是对已有几何图形性质的判断，属于性质定理，不符合题意；
D 选项是对单项式这个名称的意义给出的明确规定，属于定义，符合题意，
故选：D．
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【变式1-1】（2025 秋•梅县区期末）在下列句子中，是定义的是（ ）
A．过一点画已知直线的垂线
B．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形
C．作一个角等于已知角
D．a，b 两条直线平行吗
【分析】定义是描述一个术语或概念的本质特征的陈述．选项B 明确给出了直角三角形的定义，符合要
求．
【解答】解：根据定义是描述一个术语或概念的本质特征的陈述可知：
选项B 中有一个角是直角的三角形叫做直角三角形符合定义的特征；
∴选项B 是定义，符合题意；
其他选项A、C 为操作指令，选项D 为疑问句，均不是定义．均不符合题意；
故选：B．
【变式1-2】下列语句中，属于定义的是（ ）
A．两个锐角的和一定大于90°
B．两直线平行，内错角相等
C．两点之间线段最短
D．直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离
【分析】根据定义的概念对各个选项进行分析，从而得到答案．
【解答】解：A．两个锐角的和一定大于90°，属于命题，不是定义，故A 选项不合题意；
B．两直线平行，内错角相等，属于定理，不是定义，故B 选项不合题意；
C．两点之间线段最短，属于命题，不是定义，故C 选项不合题意；
D．直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，属于定义，故D 选项符合题意；
故选：D．
【变式1-3】下列语句中，属于定义的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．同角的余角相等
C．组成三角形的三条线段叫三角形的边
D．对顶角相等
【分析】定义是描述概念或术语含义的语句，据此逐项判断即可．
【解答】解：A、两点确定一条直线，不是定义，不符合题意；
B、同角的余角相等，不是定义，不符合题意；
C、组成三角形的三条线段叫三角形的边，是定义，符合题意；
D、对顶角相等，不是定义，不符合题意；
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故选：C．
▌题型02 画示意图
先确定各概念的从属关系，再用圆圈嵌套表示层级关系
【典例1】下列“将三角形按边的相等关系分类”正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】将三角形按边的相等关系可以分为：不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形中包括等边三
角形，据此即可解答．
【解答】解：等腰三角形中包含等边三角形，即A 选项符合题意．
故选：A．
【变式1-1】设M 表示直角三角形，N 表示等腰三角形，P 表示等边三角形，Q 表示等腰直角三角形．下列
四个图中，能正确表示它们之间关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据它们的概念：有一个角是直角的三角形是直角三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角
形；有三条边相等的三角形是等边三角形；有一个角是直角且有两条边相等的三角形是等腰直角三角形．
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根据概念就可找到它们之间的关系．
【解答】解：根据各类三角形的概念可知，C 可以表示它们彼此之间的包含关系．
故选：C．
【变式1-2】用A 表示等边三角形，B 表示等腰三角形，C 表示不等边三角形．则下列四个分类图中，能
正确表示它们之间关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】三条边均不相等的三角形是不等边三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形；有三条边相等
的三角形是等边三角形；根据概念就可找到它们之间的关系．
【解答】解：根据各类三角形的概念可知，B 可以表示它们彼此之间的包含关系．
故选：B．
【变式1-3】（2025 秋•滨江区期末）若用A 表示有理数，B 表示无理数，C 表示分数，则下列四个图中，能
正确表示它们之间关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据实数的分类即可求解．
【解答】解：若用A 表示有理数，B 表示无理数，C 表示分数，则能正确表示它们之间关系的是
．
故选：A．
▌题型03 命题的概念
1.判断某一件事情的语甸命题。
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2.命题的定义包含两层含义：
（1）命题必须是一个完整的句子，常为陈述句；
（2）命题必须对某件事情作出肯定或否定的判断。
【典例1】下列语言叙述是命题的是（ ）
A．《飞驰人生3》是2026 年春节档电影票房冠军
B．你喜欢陇南吗？
C．赶紧写作业！
D．画一条端点为A 的射线
【分析】命题是一个判断的语句，是对事物的某些情况作出肯定或者否定的回答，必须是一个完整的句
子．据此逐一判断即可．
【解答】解：根据命题的概念是对事物的某些情况作出肯定或者否定的回答，必须是一个完整的句子逐项
分析判断如下：
A、《飞驰人生3》是2026 年春节档电影票房冠军，对事件作出了判断，是命题，符合题意；
B、“你喜欢陇南吗？”是疑问句，不是命题，不符合题意；
C、“赶紧写作业！”是祈使句，不是命题，不符合题意；
D、“画一条端点为A 的射线”是指令，不是命题，不符合题意．
故选：A．
【变式1-1】下列语句是命题的是（ ）
A．作一个角等于已知角
B．负数小于正数吗？
C．连接A，B 两点
D．﹣1 是一个负数
【分析】判断一件事情的语句叫做命题，由此即可判断．
【解答】解：A、作一个角等于已知角是作图指令，没有对一件事情作出判断，不是命题，故A 不符合题
意；
B、负数小于正数吗？是疑问句，没有对一件事情作出判断，不是命题，故B 不符合题意；
C、连接A，B 两点是作图指令，没有对一件事情作出判断，不是命题，故C 不符合题意；
D、﹣1 是一个负数对﹣1 的属性作出了明确判断，符合命题的定义，故D 符合题意．
故选：D．
【变式1-2】下列语句是命题的是（ ）
A．过点A 作一条射线
B．连结AB，并延长至点C
C．△ABC 是锐角三角形吗
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D．等角的补角相等
【分析】根据命题的概念判断即可．
【解答】解：A、过点A 作一条射线，不是命题，不符合题意；
B、连结AB，并延长至点C，不是命题，不符合题意；
C、△ABC 是锐角三角形吗，不是命题，不符合题意；
D、等角的补角相等，是命题，符合题意；
故选：D．
【变式1-3】（2025 秋•宝应县期末）下列语句不是命题的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．作∠ABC 的角平分线
C．若|a|＝|b|，则a＝b
D．同角的余角相等
【答案】B
【分析】判断一件事情的语句，叫做命题．
【解答】解：A、C、D 中的语句是命题，故A、C、D 不符合题意；
B、此语句不是命题，故B 符合题意．
故选：B．
▌题型04 命题的构成
命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”
后接的部分是结论。
（1）找条件（已知部分）；
（2）找结论（推出部分）；
（3）套句式。
【典例1】将“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是： 如果两个角是同一个角的补角，那
么这两个角相等 ．
【分析】把命题的题设和结论，写成“如果…那么…”的形式即可．
【解答】解：根据命题与定理的相关知识，把命题的题设和结论，写成“如果…那么…”的形式为：
如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等；
故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．
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【变式1-1】把命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式 如果两个角是对顶角，那么这两个角
相等 ．
【分析】根据把一个命题写成“如果…那么…”的形式，命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后
面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面解答即可．
【解答】解：把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两
个角相等．
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
【变式1-2】“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是 如果两个角相等，那么这
两个角是同一个角的余角 ．
【答案】如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角．
【分析】根据逆命题定义把题设和结论互换得到逆命题．
【解答】解：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这
两个角是同一个角的余角．
故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角
【变式1-3】命题“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”的题设为： 两条直
线都与第三条直线平行 ．
【答案】两条直线都与第三条直线平行．
【分析】命题可改写为“如果…，那么…”的形式，“如果”引出的部分为命题的题设，“那么”引出的
部分为命题的结论．据此确定该命题的题设即可．
【解答】解：∵该命题“如果”引出的部分为“两条直线都与第三条直线平行”，
∴题设为：两条直线都与第三条直线平行．
故答案为：两条直线都与第三条直线平行．
▌题型05 真命题与假命题
1．正确的命题叫做真命题。
2．要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和己学的有关公理、定理进行说明（推理、证明），
3．要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可。
【典例1】（2026 春•锡山区期末）下列命题中的真命题是（ ）
A．对顶角相等
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B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．两个锐角的和是钝角
D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直
【分析】根据相关知识点逐项判断即可．
【解答】解：A．对顶角相等，故本选项符合题意；
B．两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项不符合题意；
C．两个锐角的和可能是钝角、可能是锐角、也可能是直角，故本选项不符合题意；
D．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，故本选项不符合题意．
故选：A．
【变式1-1】（2026 春•两江新区期末）下列命题错误的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角相等
B．对顶角相等
C．两点之间，线段最短
D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】根据相关知识点逐项判断即可．
【解答】解：A．两直线平行，同旁内角互补，原命题为假命题，故本选项符合题意；
B．对顶角相等，原命题为真命题，故本选项不符合题意；
C．两点之间，线段最短，原命题为真命题，故本选项不符合题意；
D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，原命题为真命题，故本选项不符合题意．
故选：A．
【变式1-2】下列命题中真命题的个数是（ ）
①同位角相等；
②若a∥b，b∥c，则a∥c；
③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④如果两条直线都与同一条直线垂直，那么这两条直线互相平行；
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．1 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【分析】根据相关知识点逐项判断即可．
【解答】解：①两直线平行，同位角相等，故原命题为假命题；②若a∥b，b∥c，则a∥c，故原命题为
真命题；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题为假命题；④在同一平面
内，如果两条直线都与同一条直线垂直，那么这两条直线互相平行，故原命题为假命题；⑤过直线外一点
有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题为假命题．
故选：A．
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【变式1-3】（2026 春•宿城区期末）如图，线段AC，BD 相交于点O，连接AD，BC，并延长AD 至点E，
∠BCA 的平分线与∠BDE 的平分线相交于点M．①若∠A＝2∠BCM，则AE∥BC；②若∠A＝∠B，则∠
EDM+∠BCM＝90°；③若∠ADO＝∠BCO，则∠M﹣∠B＝90°；④若∠M＝2∠BDM，则AE∥MC．以
上命题中是真命题的有（ ）
A．①②③
B．①③④
C．①②④
D．①②③④
【分析】根据平行线的性质判断①，设∠BCM＝∠MCA＝x，则∠A＝2x，根据三角形内角和定理和等量
代换判断②；结合根据三角形内角和定理和等量代换判断③；结合角平分线定理和平行线的判定和性质
判断④．
【解答】解：1．判断命题①，设∠BCM＝∠MCA＝x，
∵∠A＝2∠BCM，
∴∠A＝2x．
∵AE∥BC，
∴∠A＝∠BCA．而∠BCA＝2x，∠A＝2x，满足条件，
所以命题①是真命题．
2．判断命题②设∠BCM＝∠MCA＝x，则∠A＝2x，
∵∠A＝∠B，
∴∠B＝2x．设∠BDM＝∠MDE＝y．∠BOC＝180°﹣（∠B+∠BCO）＝180°﹣（2x+2x）＝180°﹣4x，
∠DOM ＝ 180°﹣（∠M+∠MDO），
∵∠BOC＝∠DOM，且∠M ＝ 180°﹣（x+y），∠EDM+∠BCM＝y+x，∠A＝∠B，
在△AOD 和△BOC 中，∠ADO+∠A＝∠BCO+∠B，由于∠A＝∠B，∠ADO＝∠BCO，
所以∠EDM+∠BCM＝90°，
命题②是真命题．
3．判断命题③，
设∠BDM＝x，∠DCM＝y，
∵∠ADO＝∠BCD＝2∠OCM＝2y，
∴2x+2y＝180°，
∴x+y＝90°，
在△BDN 中，∠DNC＝x+∠B，
∵∠M＝∠DNC+y＝x+y+∠B，
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∴∠M＝90°+∠B，
∴∠M﹣∠B＝90°，
故③正确；
4．判断命题④，设∠BDM＝∠MDE ＝ y，
∵∠M＝2∠BDM，
∴∠M＝2y．
在△DCM 中，∠MCA＝∠M+∠MDE，
设∠BCM＝∠MCA＝z，则z＝2y+y＝3y．
∵∠A＝2∠BCM，
∴∠A＝6y．
若AE∥CM，则∠A＝∠MCA，但∠A＝6y，∠MCA＝3y，不相等，
所以命题④是假命题．
综上，真命题有①②③，
故选：A．
▌题型06 举反例
满足条件，但不满足结论，只要找到一个这样的例子，命题就是假命题。
（1）先把命题写成：如果……，那么……
（2）抓住条件，想一个符合条件的例子
（3）看这个例子结论是否不成立
（4）写出来：反例：……，满足……，但不满足……，所以是假命题。
【典例1】（2026 春•宝应县期末）对于命题“若a2＞b2，则a＞b．”下面四组关于a、b 的值中，能说明这
个命题是假命题的是（ ）
A．a＝﹣4，b＝3
B．a＝4，b＝3
C．a＝4，b＝﹣3
D．a＝﹣3，b＝4
【分析】要说明命题“若a2＞b2，则a＞b”是假命题，只需找到满足条件a2＞b2，但不满足结论a＞b 的
a，b 的值即可．
【解答】解：根据题意需找到满足条件a2＞b2，但不满足结论a＞b 的a，b 的值如下：
选项A：∵a＝﹣4，b＝3，
∴a2＝（﹣4）2＝16，b2＝32＝9，可得a2＞b2，满足命题条件，又a＝﹣4＜3＝b，不满足命题结论a＞
b，
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∴可以说明该命题是假命题；
选项B：a＝4，b＝3，满足a2＞b2，也满足a＞b，不能说明命题是假命题；
选项C：a＝4，b＝﹣3，满足a2＞b2，也满足a＞b，不能说明命题是假命题；
选项D：a＝﹣3，b＝4，a2＝9＜16＝b2，不满足命题条件，不能说明命题是假命题．
故选：A．
【变式1-1】对于命题“如果a＜1，那么a2＜1”能证明它是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣2
B．a＝2
C．𝑎= 1
2
D．a＝0
【答案】A
【分析】根据实数的大小比较、实数的平方以及假命题的概念判断．
【解答】解：A、当a＝﹣2 时，a＜1，而a2＞1，
说明命题“如果a＜1，那么a2＜1”是假命题，符合题意；
B、当a＝2 时，a＞1，
不能说明命题“如果a＜1，那么a2＜1”是假命题，不符合题意；
C、当a= 1
2时，a＜1，而a2＜1，
不能说明命题“如果a＜1，那么a2＜1”是假命题，不符合题意；
D、当a＝0 时，a＜1，而a2＜1，
不能说明命题“如果a＜1，那么a2＜1”是假命题，不符合题意；
故选：A．
【变式1-2】（2025 秋•乾县校级期末）对于命题“若∠1+∠2＞90°，则∠1、∠2 都大于45°”，能说明
它是假命题的反例是（ ）
A．∠1＝∠2＝45°
B．∠1＝50°，∠2＝50°
C．∠1＝46°，∠2＝40°
D．∠1＝40°，∠2＝60°
【答案】D
【分析】反例需满足∠1+∠2＞90°且至少有一个角不大于45°．
【解答】解：根据假命题的反例证明逐项分析判断如下：
A、∠1+∠2＝90°，不可以说明它是假命题，故选项不符合题意；
B、∠1+∠2＞90°，且∠1、∠2 都大于45°，不可以说明它是假命题，故选项不符合题意；
C、∠1+∠2＜90°，不可以说明它是假命题，故选项不符合题意；
D、∠1+∠2＞90°，且∠1＜45°，可以说明它是假命题，故选项符合题意．
故选：D．
【变式1-3】（2025 秋•临海市期末）要说明命题“如果a＝2，那么a2＝4．”的逆命题是假命题，可以举反
例为a＝﹣2 ．
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【答案】a＝﹣2．
【分析】根据实数的平方、假命题的概念解答．
【解答】解：命题“如果a＝2，那么a2＝4．”的逆命题是“如果a2＝4，那么a＝2”，
当a＝﹣2 时，a2＝4，
说明命题“如果a2＝4，那么a＝2”是假命题，
故答案为：a＝﹣2．
▌题型07 逆命题
把一个原命题的条件和结论互换，得到的新命题，就是原命题的逆命题。
【典例1】（2026 春•宿豫区期末）写出命题“如果a＞0，b＞0，那么a+b＞0”的逆命题： 如果a+b＞0，
那么a＞0，b＞0 ．
【分析】把原命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【解答】解：命题“如果a＞0，b＞0，那么a+b＞0”的逆命题是：如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0，
故答案为：如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0．
【变式1-1】（2025 秋•盘龙区期末）下列命题，逆命题成立的是（ ）
A．对顶角相等
B．等边三角形的三边都相等
C．若x＝y，则x2＝y2
D．全等三角形的对应角相等
【答案】B
【分析】根据逆命题的定义及真命题的判定作答即可．
【解答】解：A．逆命题：相等的角是对顶角，假命题，故本选项不符合题意；
B．三边都相等的三角形都是等边三角形，真命题，故本选项符合题意；
C．逆命题：若x2＝y2，则x＝y，假命题，故本选项不符合题意；
D．逆命题：对应角相等的三角形是全等三角形，假命题，故本选项不符合题意．
故选：B．
【变式1-2】命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 两个角相等三角形是等腰三角形 ．
【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．
【解答】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
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所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”．
【变式1-3】（2026 春•鼓楼区校级期末）命题“同旁内角互补”的逆命题是 互补的角为同旁内角 ．
【分析】交换原命题的题设与结论即可得到原命题的逆命题．
【解答】解：命题“同旁内角互补”的逆命题为：互补的角为同旁内角．
故答案为：互补的角为同旁内角．
▌题型08 根据给出的论断组命题并证明
（1）审题：拆解题干论断；
（2）组命题：写成标准“已知→求证”格式；
（3）找思路：从结论倒推；
（4）写证明：规范书写。
【典例1】（2025 春•句容市期末）如图，有下列三个条件：①DE∥BC；②∠1＝∠2；③∠B＝∠C．
（1）若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请
你都写出来；
（2）选择你写的一个真命题写出证明过程．
【分析】（1）根据题意写出命题；
（2）根据平行线的判定和性质逐一证明．
【解答】解：（1）一共能组成三个命题，
①如果DE∥BC，∠1＝∠2，那么∠B＝∠C；
②如果DE∥BC，∠B＝∠C，那么∠1＝∠2；
③如果∠1＝∠2，∠B＝∠C，那么DE∥BC；
（2）如果DE∥BC，∠1＝∠2，那么∠B＝∠C，是真命题，
理由如下：∵DE∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，
∵∠1＝∠2，
∴∠B＝∠C；
如果DE∥BC，∠B＝∠C，那么∠1＝∠2，是真命题，
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理由如下：∵DE∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，
∵∠B＝∠C，
∴∠1＝∠2；
如果∠1＝∠2，∠B＝∠C，那么DE∥BC，是真命题，
理由如下：∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC，
∵∠1+∠2+∠BAC＝180°，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠BAC，
∴∠B+∠C＝∠1+∠2，
∵∠1＝∠2，∠B＝∠C，
∴∠B＝∠1，
∴DE∥BC．
【变式1-1】（2025 秋•顺德区期末）如图，点E、F 分别在线段AB、CD 上（不含端点）．连接EC、BF，
EC、BF 分别交AD 于点G、H．有四个信息：①∠A＝∠D，②∠B＝∠C，③AB∥CD，④EC∥BF．从中
选择三个信息（两个作为条件，另一个作为结论），构造一个真命题．
（1）你选择的条件是 ①② ，结论是 ④ ；（填序号）
（2）证明你构造的命题是真命题．
【分析】（1）根据题意即可得出答案；
（2）根据内错角相等可得两直线平行，再根据平行线的性质可得∠B＝∠BFD，进而得出∠BFD＝∠C，
最后根据同位角相等即可得出答案．
【解答】解：（1）条件为①②，结论为④．
故答案为：①②；④．
（2）证明：∵∠A＝∠D，
∴AB∥CD，
∴∠B＝∠BFD，
∵∠B＝∠C，
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∴∠BFD＝∠C，
∴EC∥BF．
【变式1-2】（2025 秋•三原县期末）如图，点E、F 分别在AB、CD 上，连接CE、BF、AD，AD 分别交CE、
BF 于点G、H．有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③AB∥CD．
（1）请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题；
（2）在（1）中选择一个真命题，并证明其正确性．
【分析】根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，分三种情况根据平行线的
判定和性质及对顶角相等进行证明．
【解答】解：（1）命题1：若∠1＝∠2，∠B＝∠C，则AB∥CD．
命题2：若∠1＝∠2，AB∥CD，则∠B＝∠C．
命题3：若∠B＝∠C，AB∥CD，则∠1＝∠2．
（2）第一种情况：
已知：∠1＝∠2，∠B＝∠C，
求证：AB∥CD．
证明：如图，
∵∠1＝∠3，∠1＝∠2，
∴∠3＝∠2，
∴EC∥BF，
∴∠AEC＝∠B，
又∵∠B＝∠C，
∴∠AEC＝∠C，
∴AB∥CD；
第二种情况：
已知：∠B＝∠C，AB∥CD，
求证：∠1＝∠2．
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证明：如图，
∵AB∥CD
∴∠AEC＝∠C，
∵∠B＝∠C，
∴∠AEC＝∠B，
∴EC∥BF，
∴∠3＝∠2，
∵∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2；
第三种情况：
已知：∠1＝∠2，AB∥CD，
求证：∠B＝∠C．
证明：如图，
∵∠1＝∠3，∠1＝∠2，
∴∠3＝∠2，
∴EC∥BF，
∴∠AEC＝∠B，
∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠C，
∴∠B＝∠C，
【变式1-3】如图，已知直线EF∥GH，给出下列信息：
①AC⊥BC；
②BC 平分∠DCH；
③∠ACD＝∠DAC．
请在上述3 条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件
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是 ①② ，结论是 ③ ．（只要填写序号），并说明理由．
【分析】根据角平分线定义，平行线的性质，垂直定义逐一求解即可．
【解答】解：条件：①②，结论：③，理由如下：
∵BC 平分∠DCH，
∴∠BCD＝∠BCH，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，即∠ACD+∠BCD＝90°，
∵∠ACG+∠ACD+∠BCD+∠BCH＝180°，
∴∠ACG+∠BCH＝90°，
∴∠ACD＝∠ACG，
∵EF∥GH，
∴∠ACG＝∠DAC，
∴∠ACD＝∠DAC，
故答案为：①②，③．
▌题型09 定理
如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判
断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理。
【典例1】如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，P 为线段AD 上的一个动点，PE⊥AD 交BC 的延长线于点
E．
（1）若∠ACB＝75°，∠B＝45°，求∠E 的度数；
（2）当P 点在线段AD 上运动时，猜想∠B、∠ACB 与∠E 的数量关系，并证明．
【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC 的度数，再根据角平分线的定义求得∠BAD 的度
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数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADE 的度数，进一步求得∠E 的度数；
（2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系．
【解答】解：（1）根据三角形的内角和定理可得：∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝60°，
∵AD 平分∠BAC，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷= 1
2 ∠𝐵𝐴𝐶= 30°，
∵PE⊥AD 交BC 的延长线于点E，
∴∠DPE＝90°，
∵∠ADE＝∠B+∠BAD＝75°，
∴∠E＝90°﹣∠ADE＝15°．
（2）∠𝐸= 1
2 (∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵)；
证明：由条件可知：
∠𝐵𝐴𝐷= 1
2 ∠𝐵𝐴𝐶= 1
2 (180° −∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵) = 90° −1
2 ∠𝐴𝐶𝐵−1
2 ∠𝐵，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵+ 90° −1
2 ∠𝐴𝐶𝐵−1
2 ∠𝐵= 90° −1
2 ∠𝐴𝐶𝐵+ 1
2 ∠𝐵，
∵PE⊥AD 交BC 的延长线于点E，
∴∠DPE＝90°，
∴∠𝐸= 90° −∠𝐴𝐷𝐸= 90° −(90° −1
2 ∠𝐴𝐶𝐵+ 1
2 ∠𝐵) = 1
2 (∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵)，
即∠𝐸= 1
2 (∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵)．
【变式1-1】如图，在△ABC 中，∠BAC 的平分线交BC 于点E，若∠B＝70°，∠C＝30°，DE 是△AEC
的高，则∠AED＝ 50 °．
【答案】50．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC 的度数，再由角平分线的定义求出∠DAE 的度数，由DE
是△AEC 的高即可得出∠ADE＝90°，进而可得出结论．
【解答】解：∵∠B＝70°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∵∠BAC 的平分线交BC 于点E，
∴∠DAE= 1
2∠BAC＝40°，
∵DE 是△AEC 的高，
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∴∠ADE＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠DAE＝90°﹣40°＝50°．
故答案为：50．
【变式1-2】（2025 秋•安康期末）如图，在△ABC 中，BE 是△ABC 的角平分线，点D 在边AB 上（点D 不
与点A，B 重合），CD 与BE 交于点O．
（1）若∠ABC＝62°，CD 是高，求∠BOC 的度数；
（2）若∠A＝80°，CD 是角平分线，求∠BOC 的度数．
【分析】（1）根据三角形的角平分线的定义求出∠ABE 的度数，再根据三角形的外角定理即可求解；
（2）根据三角形的角平分线的定义得到∠𝐶𝐵𝑂+ ∠𝐵𝐶𝑂= 1
2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵)，再根据三角形的内角和定
理得到∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）即可求解．
【解答】解：（1）在△ABC 中，BE 为角平分线，∠ABC＝62°，
∴∠𝐴𝐵𝐸= 1
2 ∠𝐴𝐵𝐶= 1
2 × 62° = 31°（角平分线的定义），
∵CD 为△ABC 高，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BOC＝∠BDC+∠ABE＝90°+31°＝121°，
则∠BOC 的度数为121°；
（2）∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣80°＝100°，
在△ABC 中，BE 为角平分线，CD 为角平分线，
∴∠𝐶𝐵𝑂= 1
2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝑂= 1
2 ∠𝐴𝐶𝐵（角平分线的定义），
∴∠𝐶𝐵𝑂+ ∠𝐵𝐶𝑂= 1
2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 1
2 × 100° = 50°，
在△BCO 中，∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝180°﹣50°＝130°．
【变式1-3】（2025 秋•梁山县期末）如图，CD 是△ABC 的角平分线，E 是CD 的中点，过点E 作EF⊥AB
于点F，连接BE．
（1）若∠A＝36°，∠ABC＝66°，求∠DEF 的度数；
（2）若BD＝8，EF＝6，求△BCE 的面积．
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【分析】（1）根据三角形的内角和定理及角平分线的定义求出∠ACD，进而求出∠CDB，利用垂直的定
义进行计算即可解答；
（2）根据三角形的面积公式进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵CD 是△ABC 的角平分线，
∴∠𝐴𝐶𝐷= 1
2 ∠𝐴𝐶𝐵，
∵∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣36°﹣66°＝78°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= 1
2 ∠𝐴𝐶𝐵= 1
2 × 78° = 39°，
∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝36°+39°＝75°，
∵EF⊥AB，
∴∠EFD＝90°，
∴∠DEF＝90°﹣∠CDB＝90°﹣75°＝15°；
（2）∵BD＝8，EF＝6，EF⊥AB，
∴𝑆△𝐸𝐷𝐵= 1
2 𝐵𝐷⋅𝐸𝐹= 1
2 × 8 × 6 = 24，
∵E 是CD 的中点，
∴CE＝DE，
∵△EDB 的边DE 上的高与△BCE 的边CE 上的高相同，
∴S△BCE＝S△EDB＝24．
