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专题03 利用勾股定理和方程思想解决实际问题
（题型突破·举一反三）
题型01 利用勾股定理和方程思想解决实际问题
题型02 利用勾股定理和方程思想解决折叠问题
题型03 两次利用勾股定理得到方程求长度
▌题型01 利用勾股定理和方程思想解决实际问题
根据勾股定理我们知道，在一个直角三角形中，如果已知两边，可以根据勾股定理得到第三条边的长度。但
实际应用中，有时我们只知道一条边的长度，就没法直接利用勾股定理进行计算，此时，如果两条未知边的
数量关系已知的话，可以通过设未知数，表示出两条边，利用勾股定理列出方程，进行求解。
如图，Rt△ABC 中，BC=3，若已知AB+AC=9，我们可以设AB=x，则AC=9-x，根据勾股定理列出方程
32+x2=(9-x)2，若已知AC-AB=1，则设AB=x，AC=x+1，根据勾股定理列出方程32+x2=(x+1)2，这样就可以
求出所有边的长度了。
【典例1】“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去
本三尺．问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离
竹子根部三尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1 丈= 10尺）
【模型】如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形𝐴𝐵𝐶，其中一直角边𝐵𝐶长3 尺，其余两边
长度之和为10 尺．求折断后的竹子高度．
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【答案】折断后竹子的高度是4.55尺
【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是正确理解题意，设出未知数，根据勾股定理列出关于未知
数的方程．
已知三角形一条直角边的长度与其余两条边长度之和，即可设所求的一边长度为𝑥，通过勾股定理建立方程，
求出答案．
【详解】解：设折断后的竹子高度为x 尺，则被折断的竹子长度为(10 −𝑥)尺．
由勾股定理得：𝑥2 + 32 = (10 −𝑥)2，
解得：𝑥= 4.55，
答：折断后竹子的高度是4.55尺．
【变式1-1】（25-26 八年级上·山东德州·期中）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵
地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈＝10 尺），一阵风将竹子折断，其竹梢
恰好抵地，抵地处离竹子底部9 尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后垂直地面的竹子高度为x尺，
则可列方程为（ ）
A．𝑥2 −92 = (20 −𝑥)2
B．𝑥2 −92 = (10 −𝑥)2
C．𝑥2 + 92 = (20 −𝑥)2
D．𝑥2 + 92 = (10 −𝑥)2
【答案】C
【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x 尺，再利用勾股定理列出方程即可．
【详解】解：如图，设折断处离地面的高度为x 尺，则𝐴𝐵= (20 −𝑥)尺，𝐵𝐶= 9尺，
在Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2，即𝑥2 + 92 = (20 −𝑥)2．
故选：C．
【变式1-2】（25-26 八年级上·河南开封·期中）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触
到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m 处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为 （滑轮上
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方的部分忽略不计）（ ）
A．14m
B．15m
C．16m
D．17m
【答案】D
【分析】根据题意画出示意图，设棋杆的高度为x，可得𝐴𝐶= 𝐴𝐷= 𝑥m，𝐴𝐵= (𝑥−2)m，𝐵𝐶= 8m，在Rt △
𝐴𝐵𝐶中利用勾股定理可求出x．
【详解】解：设旗杆高度为x 米，则𝐴𝐶= 𝐴𝐷= 𝑥，𝐴𝐵= (𝑥−2)m，
在Rt △𝐴𝐵𝐶中，由勾股定理得𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐶2即(𝑥−2)2 + 82 = 𝑥2
解得：𝑥= 17
∴旗杆的高度为17 米．
故选：D．
【变式1-3】如图，𝐴𝐵为一棵大树，在树上距地面10 米的𝐷处有两只猴子，他们同时发现𝐶处有一筐水果，
一只猴子从𝐷处往上爬到树顶𝐴处，又沿滑绳𝐴𝐶滑到𝐶处，另一只猴子从𝐷滑到𝐵，再由𝐵跑到𝐶处，已知两只
猴子所经路程都为15 米，求树高𝐴𝐵．
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【答案】树高𝐴𝐵为12 米．
【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用．在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，则满足𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐶2，
𝐵𝐶= 𝑎米，𝐴𝐶= 𝑏米，𝐴𝐷= 𝑥米，根据两只猴子经过的路程一样可得10 + 𝑎= 𝑥+ 𝑏= 15解方程组可以求𝑥
的值，即可计算树高= 10 + 𝑥．
【详解】解：Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，
设𝐵𝐶= 𝑎（米)，𝐴𝐶= 𝑏米，𝐴𝐷= 𝑥米，
则10 + 𝑎= 𝑥+ 𝑏= 15米．
∴𝑎= 5（米)，𝑏= 15 −𝑥米，
又在Rt △𝐴𝐵𝐶中，由勾股定理得：(10 + 𝑥)2 + 𝑎2 = 𝑏2，
∴(10 + 𝑥)2 + 52 = (15 −𝑥)2，
解得，𝑥= 2，即𝐴𝐷= 2（米)
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐷+ 𝐷𝐵= 2 + 10 = 12（米)
答：树高𝐴𝐵为12 米．
【变式1-4】（25-26 八年级上·河南开封·期中）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目∶“今有立
木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何? ”译文为“今有一竖立着的木柱，在木
柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺着木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3 尺，牵着绳索沿地面退行，在
离木柱根部8 尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少? ”示意图如图所示，设绳索 AC 的长为x 尺，根据题意，
可列方程为（ ）
A．x2-（x+3）2=82 B．x2-（x-3）2=82
C．（x+3）-x2=82
D．（x-3）2-x2=82
【答案】B
【分析】设绳索𝐴𝐶的长为𝑥尺，则木柱𝐴𝐵的长为(𝑥−3)尺，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，根据勾股定理即可列出方程即
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可．
【详解】解：设绳索𝐴𝐶的长为𝑥尺，则木柱𝐴𝐵的长为(𝑥−3)尺，
在Rt △𝐴𝐵𝐶中，
由勾股定理得，𝐴𝐶2 −𝐴𝐵2 = 𝐵𝐶2，
∴𝑥2 −(𝑥−3)2 = 82，
故选：B．
【变式1-5】（25-26 八年级上·广西桂林·期中）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有
池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1 丈= 10
尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10 尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1
尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（ ）
A．10 尺
B．12 尺
C．13 尺
D．15 尺
【答案】B
【分析】设水深为h 尺，则芦苇高为(ℎ+ 1)尺，根据勾股定理列方程，求出h 即可．
【详解】解: 设水深为h 尺，则芦苇高为(ℎ+ 1)尺，
由题意知芦苇距离水池一边的距离为10 ÷ 2 = 5尺，
根据勾股定理得：52 + ℎ2 = (ℎ+ 1)2，
解得ℎ= 12，
即水深为12 尺，
故选：B．
【变式1-6】《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短，横之不出四尺，纵之不出二尺，邪
之适出．问户高、广、邪各几何？这段话翻译后是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，
竿比门宽长出4 尺；竖放，竿比门高长出2 尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别
是多少？若设门对角线长为x 尺，则可列方程为 ．
【答案】x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2
【分析】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运
用勾股定理可求出门高、宽、对角线长．
【详解】解：根据题意可列方程为x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，
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故答案为x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2．
【变式1-7】《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中卷九“勾股”中记载：
“今有垣高一丈，倚木于垣，上于垣齐．引木却行一尺，其木至地，问木长几何？”其意思是：如图，墙𝐴𝐵高
1 丈（1 丈=10 尺），一根木棒𝐴𝐶靠于墙上，木棒上端与墙头齐平．当木棒下端沿地面从C 处向右滑1 尺到
D 处时，木棒上端恰好沿墙壁从A 处下滑到B 处，则木棒长 尺．
【答案】50.5
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，根据题意解题即可．
【详解】解：设木杆𝐴𝐶的长为𝑥尺，
则木杆低端C 离墙的距离𝐵𝐶= (𝑥−1)尺，
在Rt △𝐴𝐵𝐶中，
∵𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐶2
∴102 + (𝑥−1)2 = 𝑥2，
解得：𝑥=
101
2 = 50.5
故答案为：50.5．
【变式1-8】《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.其中第九卷《勾
股》主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求，之中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：
“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”
译文：“一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4 尺远，则折断
后的竹子高度为多少尺？”（备注：1 丈=10 尺）
如果设竹梢到折断处的长度为𝑥尺，那么折断处到竹子的根部用含𝑥的代数式可表示为 尺，根据题
意，可列方程为 ．
【答案】 10 −𝑥 (10 −𝑥)2 + 42 = 𝑥2
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【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹梢到折断处的长度为𝑥尺，则折断处到竹子的根部为(10 −
𝑥)尺．利用勾股定理列式即可．
【详解】如图，𝐵𝐶= 4，
设竹梢到折断处的长度为𝑥尺，即斜边𝐴𝐶= 𝑥，
则𝐴𝐵= 10 −𝑥，
依题意得：𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐶2，
即：(10 −𝑥)2 + 42 = 𝑥2，
故答案为：10 −𝑥，(10 −𝑥)2 + 42 = 𝑥2
【变式1-9】体会空气动力，展示飞天梦想−−纸飞机大PK 比赛中，小明同学的纸飞机刚好飞越过学校操场的
旗杆，同学们都好奇纸飞机究竟飞了多高，于是小明测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2
米（如图1），将绳子拉直时，测得拉绳子的手到地面的距离𝐶𝐷为1 米，到旗杆的距离𝐶𝐸为9 米（如图2）．
(1)若旗杆的高度𝐴𝐵= 𝑥米，那么绳子的长度可以表示为______米（用含x 的代数式表示）；
(2)计算小明同学的纸飞机飞越的高度是多少？
【答案】(1)(𝑥+ 2)；(2)小明同学的纸飞机飞越的高度是13 米．
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
（1）由题意即可得出结论；
（2）在Rt △𝐴𝐶𝐸中，由勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设𝐴𝐵= 𝑥米，则绳子长为(𝑥+ 2)米，
故答案为：(𝑥+ 2)；
（2）在Rt △𝐴𝐶𝐸中，𝐴𝐵= 𝑥米，𝐴𝐸= (𝑥−1)米，𝐶𝐸= 9米，
由勾股定理得：(𝑥−1)2 + 92 = (𝑥+ 2)2，
解得：𝑥= 13，
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答：小明同学的纸飞机飞越的高度是13 米．
【变式1-10】如图，水池底面的宽𝐴𝐵= 1丈，芦苇𝑂𝐶生长在𝐴𝐵的中点O 处，高出水面的部分𝐶𝐷= 1尺．将
芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即𝑂𝐶= 𝑂𝐸， 求水池的深度和芦苇的长度(1 丈等于10
尺)．
(1)求水池的深度𝑂𝐷；
(2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代
符号语言可以表示为：若已知水池宽𝐴𝐵= 2𝑎， 芦苇高出水面的部分𝐶𝐷= 𝑛(𝑛< 𝑎)，则水池的深度𝑂𝐷
(𝑂𝐷= 𝑏)可以通过公式𝑏=
𝑎2−𝑛2
2𝑛计算得到．请证明刘徽解法的正确性．
【答案】(1)12 尺；(2)见解析
【分析】本题考查了勾股定理的应用；
（1）设水池深度为x 尺，则得芦苇高度为(𝑥+ 1)尺，在Rt △𝐸𝐴𝑂中，利用勾股定理建立方程即可求解；
（2）由水池深度𝑂𝐷= 𝑏，则得芦苇高度为𝑂𝐶= 𝑂𝐷+ 𝐶𝐷= 𝑏+ 𝑛，由题意有：𝑂𝐸= 𝑂𝐶= 𝑏+ 𝑛；由勾股
定理即可得证．
【详解】（1）解：设水池深度为x 尺，则芦苇高度为𝑂𝐶= 𝑂𝐷+ 𝐶𝐷= (𝑥+ 1)尺，
由题意有：𝑂𝐸= 𝑂𝐶= (𝑥+ 1)尺；
∵𝑂为𝐴𝐵中点，且𝐴𝐵= 1丈= 10尺，
∴𝑂𝐴=
1
2 𝐴𝐵=
1
2 × 10 = 5(尺)；
在Rt △𝐸𝐴𝑂中，由勾股定理得：𝐴𝐸2 + 𝑂𝐴2 = 𝑂𝐸2，
即𝑥2 + 52 = (𝑥+ 1)2，
解得：𝑥= 12；
即𝑂𝐷= 12尺；
答：水池的深度𝑂𝐷为12 尺；
（2）证明：水池深度𝑂𝐷= 𝑏，则芦苇高度为𝑂𝐶= 𝑂𝐷+ 𝐶𝐷= 𝑏+ 𝑛，
由题意有：𝑂𝐸= 𝑂𝐶= 𝑏+ 𝑛；
∵𝑂为𝐴𝐵中点，且𝐴𝐵= 2𝑎，
∴𝑂𝐴=
1
2 𝐴𝐵= 𝑎；
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在Rt △𝐸𝐴𝑂中，由勾股定理得：𝐴𝐸2 + 𝑂𝐴2 = 𝑂𝐸2，
即𝑏2 + 𝑎2 = (𝑏+ 𝑛)2，
整理得：𝑏=
𝑎2−𝑛2
2𝑛；
表明刘徽解法是正确的．
▌题型02 利用勾股定理和方程思想解决折叠问题
1.折叠的性质：对应边相等，对应角相等（角平分线），对应点连线被折痕垂直平分。
2.在折叠问题中，常会出现一条已知边被分成两部分，此时我们可以设其中一部分为x，则另一部分也可以
用x 表示，在图中找到可以利用的直角三角形，即可列方程进行求解。
【典例2】如图，折叠长方形的一边𝐴𝐷，点D 落在𝐵𝐶边的点F 处，已知𝐴𝐵= 8cm，𝐵𝐶= 10cm，则𝐸𝐶的
长为（ ）
A．3cm
B．4cm
C．3.5cm
D．5cm
【答案】A
【分析】此题考查了长方形的性质、勾股定理、折叠的性质等知识，利用勾股定理列方程是解题的关键．四
边形𝐴𝐵𝐶𝐷是长方形，则𝐴𝐵= 𝐶𝐷= 8cm，𝐴𝐷= 𝐵𝐶= 10cm，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°，由折叠的性
质可知𝐴𝐹= 𝐴𝐷= 10cm，𝐷𝐸= 𝐹𝐸,𝐶𝐸= 𝐶𝐷−𝐷𝐸= 8 −𝐷𝐸，由勾股定理得到𝐵𝐹= 6cm，则𝐶𝐹= 𝐵𝐶−
𝐵𝐹= 4cm，
在Rt △𝐶𝐸𝐹中，由勾股定理得到𝐶𝐹2 + 𝐶𝐸2 = 𝐸𝐹2，解方程即可．
【详解】解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是长方形，
∴𝐴𝐵= 𝐶𝐷= 8cm，𝐴𝐷= 𝐵𝐶= 10cm，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
∵折叠长方形的一边𝐴𝐷，点D 落在𝐵𝐶边的点F 处，
∴𝐴𝐹= 𝐴𝐷= 10cm，𝐷𝐸= 𝐹𝐸,𝐶𝐸= 𝐶𝐷−𝐷𝐸= 8 −𝐷𝐸，
∴𝐵𝐹= √𝐴𝐹2 −𝐴𝐵2 = √102 −82 = 6(cm)，
∴𝐶𝐹= 𝐵𝐶−𝐵𝐹= 4cm，
在Rt △𝐶𝐸𝐹中，由勾股定理得到𝐶𝐹2 + 𝐶𝐸2 = 𝐸𝐹2，
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即42 + (8 −𝐷𝐸)2 = 𝐷𝐸2，
解得𝐷𝐸= 5
∴𝐶𝐸= 𝐶𝐷−𝐷𝐸= 3cm
故选：A．
【变式2-1】如图所示，有一块直角三角形纸片，∠𝐶= 90°，𝐴𝐵= 5cm，𝐵𝐶= 3cm，将斜边𝐴𝐵翻折，使点
B 落在直角边𝐴𝐶的延长线上的点E 处，折痕为𝐴𝐷，则𝐶𝐷的长为（ ）
A．1cm
B．
4
3 cm
C．1.5cm
D．
5
3 cm
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠．熟练掌握勾股定理解直角三角形，折叠的性质，是解题关键．
由勾股定理求出𝐴𝐶值，根据折叠的性质可得出𝐶𝐸值，在Rt △𝐶𝐷𝐸中根据𝐷𝐸= 3 −𝐶𝐷运用勾股定理可求出
𝐶𝐷长．
【详解】解：∵∠𝐶= 90°，𝐴𝐵= 5，𝐵𝐶= 3，
∴𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐵𝐶2 = 4，
由折叠知，𝐴𝐸= 𝐴𝐵= 5．
∴𝐶𝐸= 𝐴𝐸−𝐴𝐶= 1，
∵𝐶𝐷2 + 𝐶𝐸2 = 𝐷𝐸2，𝐷𝐸= 𝐵𝐷= 3 −𝐶𝐷，
∴𝐶𝐷2 + 12 = (3 −𝐶𝐷)2，
解得：𝐶𝐷=
4
3，
𝐶𝐷的长为
4
3 cm．
故选：B．
【变式2-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，𝐴𝐵= 3，𝐵𝐶= 4，E 是边𝐵𝐶上一点，将△𝐴𝐵𝐸沿𝐴𝐸折叠，
使点B 的对应点𝐵′恰好落在边𝐴𝐶上，则𝐵𝐸的长等于 ．
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【答案】
3
2
【分析】本题考查了勾股定理与折叠，熟练掌握勾股定理与折叠的性质是解题关键．先利用勾股定理可得
𝐴𝐶= 5，再根据折叠的性质可得𝐴𝐵′ = 𝐴𝐵= 3, 𝐵′𝐸= 𝐵𝐸，∠𝐴𝐵′𝐸= ∠𝐴𝐵𝐶= 90°，从而可得𝐶𝐵′ = 𝐴𝐶−
𝐴𝐵′ = 2，设𝐵′𝐸= 𝐵𝐸= 𝑥，从而可得𝐶𝐸= 4 −𝑥，然后在Rt △𝐶𝐸𝐵′中利用勾股定理即可得．
【详解】解：∵∠𝐴𝐵𝐶= 90°,𝐴𝐵= 3, 𝐵𝐶= 4，
∴𝐴𝐶= √𝐵𝐶2 + 𝐴𝐵2 = 5，
由折叠的性质得：𝐴𝐵′ = 𝐴𝐵= 3, 𝐵′𝐸= 𝐵𝐸, ∠𝐴𝐵′𝐸= ∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
∴𝐶𝐵′ = 𝐴𝐶−𝐴𝐵′ = 2, ∠𝐶𝐵′𝐸= 90°，
设𝐵′𝐸= 𝐵𝐸= 𝑥，则𝐶𝐸= 𝐵𝐶−𝐵𝐸= 4 −𝑥，
在Rt △𝐶𝐸𝐵′中，𝐵′𝐸2 + 𝐵′𝐶2 = 𝐶𝐸2，即𝑥2 + 22 = (4 −𝑥)2，
解得𝑥=
3
2，
即𝐵𝐸的长为
3
2，
故答案为：
3
2．
【变式2-3】如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 6，𝐵𝐶= 4，D 是边𝐴𝐶的中点，E 是边𝐵𝐶上一点，
连接𝐵𝐷、𝐷𝐸．将△𝐶𝐷𝐸沿𝐷𝐸翻折，点C 落在𝐵𝐷上的点F 处，则𝐶𝐸= ．
【答案】
3
2
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出𝐵𝐷的长，折叠得到𝐶𝐷= 𝐷𝐹，𝐶𝐸= 𝐸𝐹, ∠𝐸𝐹𝐷= 90°，
设𝐶𝐸= 𝑥，在Rt △𝐵𝐹𝐸中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 6，𝐵𝐶= 4，D 是边𝐴𝐶的中点，
∴𝐶𝐷=
1
2 𝐴𝐶= 3，
∴𝐵𝐷= √𝐵𝐶2 + 𝐶𝐷2 = 5，
∵将△𝐶𝐷𝐸沿𝐷𝐸翻折，点C 落在𝐵𝐷上的点F 处，
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∴𝐶𝐷= 𝐷𝐹= 3，𝐶𝐸= 𝐸𝐹, ∠𝐸𝐹𝐷= 90°，
∴𝐵𝐹= 𝐵𝐷−𝐷𝐹= 2, ∠𝐵𝐹𝐸= 90°，
设𝐶𝐸= 𝑥，则：𝐸𝐹= 𝑥, 𝐵𝐸= 𝐵𝐶−𝐶𝐸= 4 −𝑥，
在Rt △𝐵𝐹𝐸中，由勾股定理，得：(4 −𝑥)2 = 𝑥2 + 22，
解得：𝑥=
3
2；
∴𝐶𝐸=
3
2；
故答案为：
3
2．
【变式2-4】
（25-26 八年级上·河南许昌·期中）已知直角三角形纸片𝐴𝐵𝐶的两直角边长分别为6，8，现将△𝐴𝐵𝐶
按如图所示的方式折叠，使点A 与点B 重合，则𝐶𝐸的长是（ ）
A．
5
4
B．
7
4
C．
15
4
D．
25
4
【答案】B
【分析】根据图形翻折变换的性质可知，𝐴𝐸= 𝐵𝐸，设𝐴𝐸= 𝑥，则𝐵𝐸= 𝑥，𝐶𝐸= 8 −𝑥，再Rt △𝐵𝐶𝐸中利
用勾股定理即可求出𝐶𝐸的长度．
【详解】解：∵△𝐴𝐷𝐸翻折后与△𝐵𝐷𝐸完全重合，
∴𝐴𝐸= 𝐵𝐸，
设𝐴𝐸= 𝑥，则𝐵𝐸= 𝑥，𝐶𝐸= 8 −𝑥，
∵在Rt △𝐵𝐶𝐸中，𝐶𝐸2 = 𝐵𝐸2 −𝐵𝐶2，
即(8 −𝑥)2 = 𝑥2 −62，
解得，𝑥=
7
4，
∴𝐶𝐸=
7
4．
故选：B
【变式2-5】
（25-26 八年级上·福建漳州·期中）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边𝐴𝐶= 6cm，𝐵𝐶= 8cm，
将△𝐴𝐵𝐶折叠，使𝐵点与点𝐴重合，折痕为𝐷𝐸，则𝐶𝐷等于（ ）cm．
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A．
25
4
B．
22
3
C．
7
4
D．
5
2
【答案】C
【分析】将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，得到BD=AD，要求CD 的长，设出未知数后，再表示出BD，再
利用勾股定理求出x，从而得出答案．
【详解】设CD 长为xcm，则BD=（8-x）cm，
∵将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，
∴AD=BD=（8-x）cm，
在Rt△ACD 中，AC2+DC2=AD2，
∴62+x2=（8-x）2，
解得：x=
7
4．
故选C．
【变式2-6】（25-26 八年级上·福建福州·期中）如图，已知矩形ABCD 的长𝐴𝐷= 9，𝐴𝐵= 3，将其折叠，
使点D 与点B 重合，求折叠后折痕EF 的长是 ．
【答案】√10
【分析】作𝐹𝑀⊥𝐴𝐷于M，设𝐴𝐸= 𝑥，则𝐵𝐸= 𝐷𝐸= 𝐵𝐹= 9 −𝑥，根据勾股定理得：𝐴𝐵2 + 𝐴𝐸2 = 𝐵𝐸2，
建立方程，解方程求得𝐴𝐸，即可求得𝐸𝑀，勾股定理即可求解
【详解】作𝐹𝑀⊥𝐴𝐷于M，如图所示：
则∠𝐹𝑀𝐸= 90°，𝐹𝑀= 𝐴𝐵= 3，根据题意得：𝐵𝐸= 𝐷𝐸，∠𝐵𝐸𝐹= ∠𝐷𝐸𝐹，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠𝐴= 90°，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐵𝐹𝐸= ∠𝐷𝐸𝐹，
∴∠𝐵𝐸𝐹= ∠𝐵𝐹𝐸，
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∴𝐵𝐹= 𝐵𝐸，
设𝐴𝐸= 𝑥，则𝐵𝐸= 𝐷𝐸= 𝐵𝐹= 9 −𝑥，
根据勾股定理得：𝐴𝐵2 + 𝐴𝐸2 = 𝐵𝐸2，
即32 + 𝑥2 = (9 −𝑥)2，解得：𝑥= 4，
∴𝐴𝐸= 4，
∴𝐷𝐸= 𝐵𝐹= 5，
∴𝐶𝐹= 𝐷𝑀= 4，
∴𝐸𝑀= 1，
根据勾股定理得：𝐸𝐹= √32 + 12 = √10，
故答案为：√10.
【变式2-7】（25-26 八年级上·福建泉州·期中）如图，已知长方形纸片ABCD 中，AB=10，AD=8，点E 在
AD 边上，将△ABE 沿BE 折叠后，点A 正好落在CD 边上的点F 处．
（1）求DF 的长；
（2）求△BEF 的面积．
【答案】（1）𝐷𝐹= 4；（2）𝛥𝐵𝐸𝐹的面积为25
【分析】（1）由翻折知：BF=AB=10，EF=EA，由矩形得BC=AD=8，由勾股定理算出CF=6，从而算出DF=4；
（2）由翻折知：△BEF 和△BEA 全等，在𝑅𝑡𝛥𝐷𝐸𝐹中求，设EF=x，依据勾股定理列方程解出，而AB=10，求
出直角△BEA 的面积，即为所求.
【详解】解：（1）由翻折知：BF=AB=10，EF=EA，
由矩形得BC=AD=8，CD=AB=10，∠𝐴= ∠𝐷= ∠𝐶= 90°,
∵在𝑅𝑡𝛥𝐵𝐶𝐹中，∠𝐶= 90°，BF=10，BC=8，
∴𝐶𝐹= √𝐵𝐹2 −𝐵𝐶2 = √102 −82 = 6
∴DF=CD-CF=10-6=4，
（2）设EF=EA=x，则DE=8-x，
∵在𝑅𝑡𝛥𝐷𝐸𝐹中，∠𝐷= 90°，DE=8-x，DF=4，EF=x，
∴42+(8-x)2=𝑥2
∴x=5.
∴直角△BEA 的面积为
1
2 × 5 × 10=25，
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又∵由翻折知：△BEF 和△BEA 全等，
∴△BEF 的面积为25.
【变式2-8】（25-26 八年级上·福建南平·期中）如图，将长方形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，
FC 交AD 于点E，若AB=4，BC＝8，则△ACE 的面积为 ．
【答案】10
【分析】利用折叠的性质可得出AF，CF 的值及∠ACF＝∠ACB，由AD∥BC，可得出∠CAD＝∠ACF，进而可
得出AE＝CE，设AE＝x，则EF＝8﹣x，在Rt△AEF 中，利用勾股定理可求出x 的值，再利用三角形的面积
公式即可求出△ACE 的面积．
【详解】由折叠的性质，可知：AF＝AB＝4，CF＝CB＝8，∠F＝∠B＝90°，∠ACF＝∠ACB．
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB，
∴∠CAD＝∠ACF，
∴AE＝CE．
设AE＝x，则EF＝8﹣x．
在Rt△AEF 中，AF＝4，AE＝x，EF＝8﹣x，∠F＝90°，
∴42+（8﹣x）2＝x2，
∴x＝5，
∴S△ACE＝
1
2AE•AB＝
1
2×5×4＝10．
故答案为10．
【变式2-9】如图，长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 15cm，点𝐸在𝐴𝐷上，且𝐴𝐸= 9cm，连结𝐸𝐶将长方形沿𝐵𝐸翻折，
点𝐴恰好落在𝐸𝐶上的点𝐴′处，求𝐴′𝐶的长度．
【答案】𝐴′𝐶= 8cm
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【分析】由矩形和翻折的性质可知：𝐴′𝐸= 𝐴𝐸= 9cm，𝐴′𝐵= 𝐴𝐵= 𝐶𝐷= 15cm，∠𝐸𝐶𝐵= ∠𝐶𝐸𝐷，从而可
利用“AAS”证明△𝐵𝐴′𝐶≌△𝐶𝐷𝐸，得出𝐶𝐸= 𝐶𝐵．设𝐴′𝐶= 𝑥cm，则𝐶𝐸= 𝐶𝐵= (𝑥+ 9)cm，根据勾股定理列
出关于x 的方程，解出x 即可．
【详解】解：由矩形和翻折的性质可知：𝐴′𝐸= 𝐴𝐸= 9cm，𝐴′𝐵= 𝐴𝐵= 𝐶𝐷= 15cm，𝐴𝐷∥𝐵𝐶．
∴∠𝐸𝐶𝐵= ∠𝐶𝐸𝐷，
∴在Rt △𝐴′𝐵𝐶和Rt △𝐷𝐸𝐶中
{
∠𝐸𝐶𝐵= ∠𝐶𝐸𝐷
∠𝐵𝐴′𝐶= ∠𝐷= 90°
𝐷𝐶= 𝐴′𝐵
，
∴△𝐵𝐴′𝐶≌△𝐶𝐷𝐸(𝐴𝐴𝑆)，
∴𝐴′𝐶= 𝐷𝐸
设𝐴′𝐶= 𝐷𝐸= 𝑥，则𝐶𝐸= 9 + 𝑥．
在Rt △𝐶𝐷𝐸中，𝐶𝐸2 = 𝐶𝐷2 + 𝐷𝐸2．
所以(9 + 𝑥)2 = 𝑥2 + 152，解得：𝑥= 8(cm)．
即：𝐴′𝐶= 8cm．
【变式2-10】如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 5，𝐵𝐶= 12，点𝐸是𝐵𝐶边上一点，连接𝐴𝐸，将△𝐴𝐵𝐸沿𝐴𝐸折叠，
使点𝐵落在点𝐵′处．当△𝐶𝐸𝐵′为直角三角形时，𝐵𝐸= ．
【答案】
10
3 或5
【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1 所示，连结AC，先利
用勾股定理计算出AC=13，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到
∠EB′C=90°，所以点A、B′、C 共线，即△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在对角线AC 上的点B′处，则EB=EB′，
AB=AB′=5，可计算出CB′=8，设BE=a，则EB′=a，CE=12-a，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出a．②
当点B′落在AD 边上时，如图2 所示．此时ABEB′为正方形．
【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如图1 所示，
连结AC，
在Rt△ABC 中，AB=5，BC=12，
∴AC=√52 + 122=13，
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∵将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即将△ABE沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，设：𝐵𝐸= a = B'E，则CE = 12 −a，
AB = AB' = 5，
B'C = AC −AB' = 13 −5 = 8，
由勾股定理得：(12 −a)2 = a2 + 82，
解得：a =
10
3 ；
②当点B′落在AD 边上时，如图2 所示，
此时ABEB′为正方形，
∴BE=AB=5，
综上所述，BE 的长为
10
3 或5，
故答案为
10
3 或5．
【变式2-11】如图，将正方形ABCD 分别沿BE，BG 折叠，使边AB，BC 在BF 处重合，折痕为BE，BG．若
正方形ABCD 的边长为6，E 是AD 边的中点，则CG 的长是（ ）
A．3
B．2.5
C．2
D．1
【答案】C
【分析】由点E 为AD 的中点可得AE＝DE＝3，设CG＝x，DG＝CD−CG＝6−x，由折叠性质可得EF＝AE
＝3，FG＝CG＝x，利用勾股定理即可求解．
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【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，
∴AD＝CD＝6，∠D＝90°，
∵点E 是AD 边的中点，
∴AE＝DE＝3，
∵正方形ABCD 分别沿BE，BG 折叠，
∴EF＝AE＝3，FG＝CG，
设CG＝x，则：
DG＝CD−CG＝6−x，FG＝CG＝x，
∴EG＝EF＋FG＝3＋x，
在Rt△DEG 中，DE2＋DG2＝EG2，
即32＋（6−x）2＝（3＋x）2，
解得：x＝2，
∴CG＝2，
故选：C．
【变式2-12】在△ABC 中，∠BCA=90∘,AC=6,BC=8,D 是AB 的中点，将△ACD 沿直线CD 折叠得到△ECD，连接
BE，则线段BE 的长等于（ ）
A．5
B．
7
5
C．
14
5
D．
36
5
【答案】C
【分析】根据勾股定理及直角三角形的中线、翻折得CD=DE=BD=5，CE=AC=6，作DH⊥BE 于H，EG⊥CD 于G，
证明△DHE≌△EGD，利用勾股定理求出𝐸𝐻= 𝐷𝐺=
7
5，即可得到BE.
【详解】∵∠BCA=90∘，AC=6，BC=8，
∴𝐴𝐵= √𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = √62 + 82 = 10，
∵D 是AB 的中点，
∴AD=BD=CD=5，
由翻折得：DE=AD=5，∠EDC=∠ADC，CE=AC=6，
∴BD=DE，
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作DH⊥BE 于H，EG⊥CD 于G，
∴∠DHE=∠EGD=90°，∠EDH=
1
2∠BDE=
1
2（180°-2∠EDC）=90°-∠EDC，
∴∠DEB= 90°-∠EDH=90°-(90°-∠EDC)=∠EDC，
∵DE=DE，
∴△DHE≌△EGD，
∴DH=EG，EH=DG，
设DG=x，则CG=5-x，
∵𝐸𝐺2=𝐷𝐸2 −𝐷𝐺2 = 𝐶𝐸2 −𝐶𝐺2，
∴52 −𝑥2 = 62 −(5 −𝑥)2，
∴𝑥=
7
5，
∴𝐸𝐻= 𝐷𝐺=
7
5，
∴BE=2EH=
14
5 ，
故选：C.
▌题型03 两次利用勾股定理得到方程求长度
1.在使用勾股定理时，我们还可以进行线段的表示，比如：在Rt△ABC 中，∠B=90゜，已知AB=5，BC=x，
则AC2=52+x2。
2.在实际问题中，常常存在公共边，或存在两条边的等量关系，此时，可以先在两个不同的直角三角形中表
示出两条边，再利用这种等量关系进行列方程，即可求解。
【典例3】如图，△ABC 中，AB=13，BC=14，AC=15，求△ABC 的面积。
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【答案】84
【分析】求三角形的面积，需要先求出高，故作AD 丄BC，得到两个直角三角形，以AD 为等量关系，利用
勾股定理列出方程，即可求解。
【详解】过点A 作AD 丄BC，则△ABD 和△ACD 为直角三角形，设BD=x，则CD=14-x，由勾股定理得，
AD2=AB2-BD2=132-x2，AD2=AC2-CD2=152-(14-x)2，所以132-x2=152-(14-x)2，解得x=5，所以AD=12，△ABC 的面
积=1
2×14×12=84。
【变式3-1】正方形ABCD 中，边长为8，沿EF 对折，使点A 落在BC 中点A'处，求FD 的长
【答案】1
【分析】由图可以看出，DF 不在直角三角形中，需要构造直角三角形，利用勾股定理进行解题，先连接AF，
然后根据轴对称的性质，A'F=AF，因此连接A'F，根据勾股定理分别表示AF 和A'F，得到方程，进而解决
问题
【详解】连接AF、A'F，设DF=x，则CF=8-x，在Rt△ADF 中，AF2=82+x2，在Rt△A'CF 中，A'F2=42+(8-x)2，
因为A'F=AF，所以82+x2=42+(8-x)2，解得x=1，故DF=1
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【变式3-2】 “三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，
公路上A、B 两点相距50km，C、D 为两村庄，𝐷𝐴⊥𝐴𝐵于A，𝐶𝐵⊥𝐴𝐵于B，已知𝐷𝐴= 30km，𝐶𝐵= 20km，
现在要在公路𝐴𝐵上建一个土特产品市场E，使得C、D 两村庄到市场E 的距离相等．
(1)求市场E 应建在距A 多少千米处？
(2)此时△𝐷𝐸𝐶的形状是 三角形，请直接写出答案，无需证明．
【答案】(1)20
(2)等腰直角
【分析】本题考查了勾股定理的运用；
（1）由得C、D 两村庄到市场E 的距离相等，可得𝐶𝐸= 𝐷𝐸，根据勾股定理列方程计算即可；
（2）证明△𝐴𝐷𝐸≌△𝐵𝐸𝐶即可判断△𝐷𝐸𝐶为等腰直角三角形．
【详解】（1）设𝐴𝐸= 𝑥，则𝐵𝐸= 𝐴𝐵−𝐴𝐸= 50 −𝑥，
∵𝐷𝐴⊥𝐴𝐵于A，𝐶𝐵⊥𝐴𝐵于B，已知𝐷𝐴= 30km，𝐶𝐵= 20km，
∴𝐷𝐸2 = 𝐴𝐸2 + 𝐴𝐷2 = 𝑥2 + 302，𝐶𝐸2 = 𝐵𝐸2 + 𝐵𝐶2 = (50 −𝑥)2 + 202，
∵C、D 两村庄到市场E 的距离相等，
∴𝐶𝐸= 𝐷𝐸，
∴𝑥2 + 302 = (50 −𝑥)2 + 202，
解得𝑥= 20，即𝐴𝐸= 20
∴市场𝐸应建在距𝐴20千米处；
（2）∵𝐴𝐸= 20，𝐵𝐸= 𝐴𝐵−𝐴𝐸= 30，
∴𝐴𝐸= 𝐵𝐶= 20，𝐵𝐸= 𝐴𝐷= 30，
∵𝐶𝐸= 𝐷𝐸，
∴△𝐴𝐷𝐸≌△𝐵𝐸𝐶(SSS)，
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∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵𝐸𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐷= 90° = ∠𝐵𝐸𝐶+ ∠𝐴𝐸𝐷，
∴∠𝐷𝐸𝐶= 90°，
∴△𝐷𝐸𝐶为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角．
【变式3-3】（25-26 八年级上·陕西汉中·期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．
【知识运用】
(1)如图，铁路上A、B 两点（看作直线上的两点）相距40 千米，C、D 为两个村庄（看作两个点），𝐴𝐷⊥𝐴𝐵，
𝐵𝐶⊥𝐴𝐵，垂足分别为A、B，𝐴𝐷= 35千米，𝐵𝐶= 5千米，则两个村庄的距离为 米．
(2)在（1）的背景下，若𝐴𝐵= 40千米，𝐴𝐷= 24千米，𝐵𝐶= 16千米，现要在𝐴𝐵上建造一个供应站P，使得
𝑃𝐶= 𝑃𝐷，请用尺规作图在图中作出P 点的位置并求出𝐴𝑃的距离．
【答案】(1)50；
(2)P 点的位置见解析，𝐴𝑃的距离为16 千米；
【分析】（1）连接𝐶𝐷，作𝐶𝐸⊥𝐴𝐷于点E，根据𝐴𝐷⊥𝐴𝐵，𝐵𝐶⊥𝐴𝐵得到𝐴𝐷∥𝐵𝐶，𝐴𝐵∥𝐶𝐸，由平行线间的
距离处处相等可得𝐵𝐶= 𝐴𝐸= 5千米，𝐶𝐸= 𝐴𝐵= 40千米，求出𝐷𝐸，然后利用勾股定理求得CD 两地之间
的距离；
（2）连接𝐶𝐷，作𝐶𝐷的垂直平分线交𝐴𝐵于P，根据线段垂直平分线的性质可得𝑃𝐶= 𝑃𝐷，点P 即为所求；
设𝐴𝑃= 𝑥千米，则𝐵𝑃= (40 −𝑥)千米，分别在Rt △𝐴𝐷𝑃和Rt △𝐵𝑃𝐶中，利用勾股定理表示出𝑃𝐷2和𝑃𝐶2，
然后根据𝑃𝐶= 𝑃𝐷建立方程，解方程即可；
【详解】（1）解：如图1，连接𝐶𝐷，作𝐶𝐸⊥𝐴𝐷于点E，
∵𝐴𝐷⊥𝐴𝐵，𝐵𝐶⊥𝐴𝐵，
∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶，𝐴𝐵∥𝐶𝐸，
∴𝐵𝐶= 𝐴𝐸= 5千米，𝐶𝐸= 𝐴𝐵= 40千米，
∴𝐷𝐸= 𝐴𝐷−𝐴𝐸= 35 −5 = 30千米，
∴𝐶𝐷= √𝐷𝐸2 + 𝐶𝐸2 = √302 + 402 = 50（千米），
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即两个村庄的距离为50千米，
故答案为：50；
（2）解：如图2，连接𝐶𝐷，作𝐶𝐷的垂直平分线交𝐴𝐵于P，点P 即为所求，
设𝐴𝑃= 𝑥千米，则𝐵𝑃= (40 −𝑥)千米，
在Rt △𝐴𝐷𝑃中，𝑃𝐷2 = 𝐴𝑃2 + 𝐴𝐷2 = 𝑥2 + 242，
在Rt △𝐵𝑃𝐶中，𝑃𝐶2 = 𝐵𝑃2 + 𝐵𝐶2 = (40 −𝑥)2 + 162，
∵𝑃𝐶= 𝑃𝐷，
∴𝑥2 + 242 = (40 −𝑥)2 + 162，
解得𝑥= 16，
即𝐴𝑃的距离为16 千米；
