文档文本内容
1 / 16
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
专题03 利用勾股定理和方程思想解决实际问题
（题型突破·举一反三）
▌题型01 利用勾股定理和方程思想解决实际问题
【典例1】
【答案】折断后竹子的高度是4.55尺
【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是正确理解题意，设出未知数，根据勾股定理列出关于未知
数的方程．
已知三角形一条直角边的长度与其余两条边长度之和，即可设所求的一边长度为𝑥，通过勾股定理建立方程，
求出答案．
【详解】解：设折断后的竹子高度为x 尺，则被折断的竹子长度为(10 −𝑥)尺．
由勾股定理得：𝑥2 + 32 = (10 −𝑥)2，
解得：𝑥= 4.55，
答：折断后竹子的高度是4.55尺．
【变式1-1】
【答案】C
【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x 尺，再利用勾股定理列出方程即可．
【详解】解：如图，设折断处离地面的高度为x 尺，则𝐴𝐵= (20 −𝑥)尺，𝐵𝐶= 9尺，
在Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2，即𝑥2 + 92 = (20 −𝑥)2．
故选：C．
【变式1-2】
【答案】D
2 / 16
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【分析】根据题意画出示意图，设棋杆的高度为x，可得𝐴𝐶= 𝐴𝐷= 𝑥m，𝐴𝐵= (𝑥−2)m，𝐵𝐶= 8m，在Rt △
𝐴𝐵𝐶中利用勾股定理可求出x．
【详解】解：设旗杆高度为x 米，则𝐴𝐶= 𝐴𝐷= 𝑥，𝐴𝐵= (𝑥−2)m，
在Rt △𝐴𝐵𝐶中，由勾股定理得𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐶2即(𝑥−2)2 + 82 = 𝑥2
解得：𝑥= 17
∴旗杆的高度为17 米．
故选：D．
【变式1-3】
【答案】树高𝐴𝐵为12 米．
【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用．在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，则满足𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐶2，
𝐵𝐶= 𝑎米，𝐴𝐶= 𝑏米，𝐴𝐷= 𝑥米，根据两只猴子经过的路程一样可得10 + 𝑎= 𝑥+ 𝑏= 15解方程组可以求𝑥
的值，即可计算树高= 10 + 𝑥．
【详解】解：Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，
设𝐵𝐶= 𝑎（米)，𝐴𝐶= 𝑏米，𝐴𝐷= 𝑥米，
则10 + 𝑎= 𝑥+ 𝑏= 15米．
∴𝑎= 5（米)，𝑏= 15 −𝑥米，
又在Rt △𝐴𝐵𝐶中，由勾股定理得：(10 + 𝑥)2 + 𝑎2 = 𝑏2，
∴(10 + 𝑥)2 + 52 = (15 −𝑥)2，
解得，𝑥= 2，即𝐴𝐷= 2（米)
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐷+ 𝐷𝐵= 2 + 10 = 12（米)
答：树高𝐴𝐵为12 米．
【变式1-4】
【答案】B
【分析】设绳索𝐴𝐶的长为𝑥尺，则木柱𝐴𝐵的长为(𝑥−3)尺，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，根据勾股定理即可列出方程即
3 / 16
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
可．
【详解】解：设绳索𝐴𝐶的长为𝑥尺，则木柱𝐴𝐵的长为(𝑥−3)尺，
在Rt △𝐴𝐵𝐶中，
由勾股定理得，𝐴𝐶2 −𝐴𝐵2 = 𝐵𝐶2，
∴𝑥2 −(𝑥−3)2 = 82，
故选：B．
【变式1-5】
【答案】B
【分析】设水深为h 尺，则芦苇高为(ℎ+ 1)尺，根据勾股定理列方程，求出h 即可．
【详解】解: 设水深为h 尺，则芦苇高为(ℎ+ 1)尺，
由题意知芦苇距离水池一边的距离为10 ÷ 2 = 5尺，
根据勾股定理得：52 + ℎ2 = (ℎ+ 1)2，
解得ℎ= 12，
即水深为12 尺，
故选：B．
【变式1-6】
【答案】x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2
【分析】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运
用勾股定理可求出门高、宽、对角线长．
【详解】解：根据题意可列方程为x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，
故答案为x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2．
【变式1-7】
【答案】50.5
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，根据题意解题即可．
【详解】解：设木杆𝐴𝐶的长为𝑥尺，
则木杆低端C 离墙的距离𝐵𝐶= (𝑥−1)尺，
在Rt △𝐴𝐵𝐶中，
∵𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐶2
∴102 + (𝑥−1)2 = 𝑥2，
解得：𝑥=
101
2 = 50.5
故答案为：50.5．
4 / 16
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【变式1-8】
【答案】 10 −𝑥 (10 −𝑥)2 + 42 = 𝑥2
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹梢到折断处的长度为𝑥尺，则折断处到竹子的根部为(10 −
𝑥)尺．利用勾股定理列式即可．
【详解】如图，𝐵𝐶= 4，
设竹梢到折断处的长度为𝑥尺，即斜边𝐴𝐶= 𝑥，
则𝐴𝐵= 10 −𝑥，
依题意得：𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐶2，
即：(10 −𝑥)2 + 42 = 𝑥2，
故答案为：10 −𝑥，(10 −𝑥)2 + 42 = 𝑥2
【变式1-9】
【答案】(1)(𝑥+ 2)；(2)小明同学的纸飞机飞越的高度是13 米．
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
（1）由题意即可得出结论；
（2）在Rt △𝐴𝐶𝐸中，由勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设𝐴𝐵= 𝑥米，则绳子长为(𝑥+ 2)米，
故答案为：(𝑥+ 2)；
（2）在Rt △𝐴𝐶𝐸中，𝐴𝐵= 𝑥米，𝐴𝐸= (𝑥−1)米，𝐶𝐸= 9米，
由勾股定理得：(𝑥−1)2 + 92 = (𝑥+ 2)2，
解得：𝑥= 13，
答：小明同学的纸飞机飞越的高度是13 米．
【变式1-10】
【答案】(1)12 尺；(2)见解析
【分析】本题考查了勾股定理的应用；
（1）设水池深度为x 尺，则得芦苇高度为(𝑥+ 1)尺，在Rt △𝐸𝐴𝑂中，利用勾股定理建立方程即可求解；
5 / 16
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（2）由水池深度𝑂𝐷= 𝑏，则得芦苇高度为𝑂𝐶= 𝑂𝐷+ 𝐶𝐷= 𝑏+ 𝑛，由题意有：𝑂𝐸= 𝑂𝐶= 𝑏+ 𝑛；由勾股
定理即可得证．
【详解】（1）解：设水池深度为x 尺，则芦苇高度为𝑂𝐶= 𝑂𝐷+ 𝐶𝐷= (𝑥+ 1)尺，
由题意有：𝑂𝐸= 𝑂𝐶= (𝑥+ 1)尺；
∵𝑂为𝐴𝐵中点，且𝐴𝐵= 1丈= 10尺，
∴𝑂𝐴=
1
2 𝐴𝐵=
1
2 × 10 = 5(尺)；
在Rt △𝐸𝐴𝑂中，由勾股定理得：𝐴𝐸2 + 𝑂𝐴2 = 𝑂𝐸2，
即𝑥2 + 52 = (𝑥+ 1)2，
解得：𝑥= 12；
即𝑂𝐷= 12尺；
答：水池的深度𝑂𝐷为12 尺；
（2）证明：水池深度𝑂𝐷= 𝑏，则芦苇高度为𝑂𝐶= 𝑂𝐷+ 𝐶𝐷= 𝑏+ 𝑛，
由题意有：𝑂𝐸= 𝑂𝐶= 𝑏+ 𝑛；
∵𝑂为𝐴𝐵中点，且𝐴𝐵= 2𝑎，
∴𝑂𝐴=
1
2 𝐴𝐵= 𝑎；
在Rt △𝐸𝐴𝑂中，由勾股定理得：𝐴𝐸2 + 𝑂𝐴2 = 𝑂𝐸2，
即𝑏2 + 𝑎2 = (𝑏+ 𝑛)2，
整理得：𝑏=
𝑎2−𝑛2
2𝑛；
表明刘徽解法是正确的．
▌题型02 利用勾股定理和方程思想解决折叠问题
【典例2】
【答案】A
【分析】此题考查了长方形的性质、勾股定理、折叠的性质等知识，利用勾股定理列方程是解题的关键．四
边形𝐴𝐵𝐶𝐷是长方形，则𝐴𝐵= 𝐶𝐷= 8cm，𝐴𝐷= 𝐵𝐶= 10cm，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°，由折叠的性
质可知𝐴𝐹= 𝐴𝐷= 10cm，𝐷𝐸= 𝐹𝐸,𝐶𝐸= 𝐶𝐷−𝐷𝐸= 8 −𝐷𝐸，由勾股定理得到𝐵𝐹= 6cm，则𝐶𝐹= 𝐵𝐶−
𝐵𝐹= 4cm，
在Rt △𝐶𝐸𝐹中，由勾股定理得到𝐶𝐹2 + 𝐶𝐸2 = 𝐸𝐹2，解方程即可．
【详解】解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是长方形，
6 / 16
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴𝐴𝐵= 𝐶𝐷= 8cm，𝐴𝐷= 𝐵𝐶= 10cm，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
∵折叠长方形的一边𝐴𝐷，点D 落在𝐵𝐶边的点F 处，
∴𝐴𝐹= 𝐴𝐷= 10cm，𝐷𝐸= 𝐹𝐸,𝐶𝐸= 𝐶𝐷−𝐷𝐸= 8 −𝐷𝐸，
∴𝐵𝐹= √𝐴𝐹2 −𝐴𝐵2 = √102 −82 = 6(cm)，
∴𝐶𝐹= 𝐵𝐶−𝐵𝐹= 4cm，
在Rt △𝐶𝐸𝐹中，由勾股定理得到𝐶𝐹2 + 𝐶𝐸2 = 𝐸𝐹2，
即42 + (8 −𝐷𝐸)2 = 𝐷𝐸2，
解得𝐷𝐸= 5
∴𝐶𝐸= 𝐶𝐷−𝐷𝐸= 3cm
故选：A．
【变式2-1】
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠．熟练掌握勾股定理解直角三角形，折叠的性质，是解题关键．
由勾股定理求出𝐴𝐶值，根据折叠的性质可得出𝐶𝐸值，在Rt △𝐶𝐷𝐸中根据𝐷𝐸= 3 −𝐶𝐷运用勾股定理可求出
𝐶𝐷长．
【详解】解：∵∠𝐶= 90°，𝐴𝐵= 5，𝐵𝐶= 3，
∴𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐵𝐶2 = 4，
由折叠知，𝐴𝐸= 𝐴𝐵= 5．
∴𝐶𝐸= 𝐴𝐸−𝐴𝐶= 1，
∵𝐶𝐷2 + 𝐶𝐸2 = 𝐷𝐸2，𝐷𝐸= 𝐵𝐷= 3 −𝐶𝐷，
∴𝐶𝐷2 + 12 = (3 −𝐶𝐷)2，
解得：𝐶𝐷=
4
3，
𝐶𝐷的长为
4
3 cm．
故选：B．
【变式2-2】
【答案】
3
2
【分析】本题考查了勾股定理与折叠，熟练掌握勾股定理与折叠的性质是解题关键．先利用勾股定理可得
𝐴𝐶= 5，再根据折叠的性质可得𝐴𝐵′ = 𝐴𝐵= 3, 𝐵′𝐸= 𝐵𝐸，∠𝐴𝐵′𝐸= ∠𝐴𝐵𝐶= 90°，从而可得𝐶𝐵′ = 𝐴𝐶−
𝐴𝐵′ = 2，设𝐵′𝐸= 𝐵𝐸= 𝑥，从而可得𝐶𝐸= 4 −𝑥，然后在Rt △𝐶𝐸𝐵′中利用勾股定理即可得．
【详解】解：∵∠𝐴𝐵𝐶= 90°,𝐴𝐵= 3, 𝐵𝐶= 4，
7 / 16
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴𝐴𝐶= √𝐵𝐶2 + 𝐴𝐵2 = 5，
由折叠的性质得：𝐴𝐵′ = 𝐴𝐵= 3, 𝐵′𝐸= 𝐵𝐸, ∠𝐴𝐵′𝐸= ∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
∴𝐶𝐵′ = 𝐴𝐶−𝐴𝐵′ = 2, ∠𝐶𝐵′𝐸= 90°，
设𝐵′𝐸= 𝐵𝐸= 𝑥，则𝐶𝐸= 𝐵𝐶−𝐵𝐸= 4 −𝑥，
在Rt △𝐶𝐸𝐵′中，𝐵′𝐸2 + 𝐵′𝐶2 = 𝐶𝐸2，即𝑥2 + 22 = (4 −𝑥)2，
解得𝑥=
3
2，
即𝐵𝐸的长为
3
2，
故答案为：
3
2．
【变式2-3】
【答案】
3
2
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出𝐵𝐷的长，折叠得到𝐶𝐷= 𝐷𝐹，𝐶𝐸= 𝐸𝐹, ∠𝐸𝐹𝐷= 90°，
设𝐶𝐸= 𝑥，在Rt △𝐵𝐹𝐸中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 6，𝐵𝐶= 4，D 是边𝐴𝐶的中点，
∴𝐶𝐷=
1
2 𝐴𝐶= 3，
∴𝐵𝐷= √𝐵𝐶2 + 𝐶𝐷2 = 5，
∵将△𝐶𝐷𝐸沿𝐷𝐸翻折，点C 落在𝐵𝐷上的点F 处，
∴𝐶𝐷= 𝐷𝐹= 3，𝐶𝐸= 𝐸𝐹, ∠𝐸𝐹𝐷= 90°，
∴𝐵𝐹= 𝐵𝐷−𝐷𝐹= 2, ∠𝐵𝐹𝐸= 90°，
设𝐶𝐸= 𝑥，则：𝐸𝐹= 𝑥, 𝐵𝐸= 𝐵𝐶−𝐶𝐸= 4 −𝑥，
在Rt △𝐵𝐹𝐸中，由勾股定理，得：(4 −𝑥)2 = 𝑥2 + 22，
解得：𝑥=
3
2；
∴𝐶𝐸=
3
2；
故答案为：
3
2．
【变式2-4】
【答案】B
【分析】根据图形翻折变换的性质可知，𝐴𝐸= 𝐵𝐸，设𝐴𝐸= 𝑥，则𝐵𝐸= 𝑥，𝐶𝐸= 8 −𝑥，再Rt △𝐵𝐶𝐸中利
用勾股定理即可求出𝐶𝐸的长度．
【详解】解：∵△𝐴𝐷𝐸翻折后与△𝐵𝐷𝐸完全重合，
∴𝐴𝐸= 𝐵𝐸，
设𝐴𝐸= 𝑥，则𝐵𝐸= 𝑥，𝐶𝐸= 8 −𝑥，
∵在Rt △𝐵𝐶𝐸中，𝐶𝐸2 = 𝐵𝐸2 −𝐵𝐶2，
8 / 16
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
即(8 −𝑥)2 = 𝑥2 −62，
解得，𝑥=
7
4，
∴𝐶𝐸=
7
4．
故选：B
【变式2-5】
【答案】C
【分析】将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，得到BD=AD，要求CD 的长，设出未知数后，再表示出BD，再
利用勾股定理求出x，从而得出答案．
【详解】设CD 长为xcm，则BD=（8-x）cm，
∵将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，
∴AD=BD=（8-x）cm，
在Rt△ACD 中，AC2+DC2=AD2，
∴62+x2=（8-x）2，
解得：x=
7
4．
故选C．
【变式2-6】
【答案】√10
【分析】作𝐹𝑀⊥𝐴𝐷于M，设𝐴𝐸= 𝑥，则𝐵𝐸= 𝐷𝐸= 𝐵𝐹= 9 −𝑥，根据勾股定理得：𝐴𝐵2 + 𝐴𝐸2 = 𝐵𝐸2，
建立方程，解方程求得𝐴𝐸，即可求得𝐸𝑀，勾股定理即可求解
【详解】作𝐹𝑀⊥𝐴𝐷于M，如图所示：
则∠𝐹𝑀𝐸= 90°，𝐹𝑀= 𝐴𝐵= 3，根据题意得：𝐵𝐸= 𝐷𝐸，∠𝐵𝐸𝐹= ∠𝐷𝐸𝐹，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠𝐴= 90°，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐵𝐹𝐸= ∠𝐷𝐸𝐹，
∴∠𝐵𝐸𝐹= ∠𝐵𝐹𝐸，
9 / 16
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴𝐵𝐹= 𝐵𝐸，
设𝐴𝐸= 𝑥，则𝐵𝐸= 𝐷𝐸= 𝐵𝐹= 9 −𝑥，
根据勾股定理得：𝐴𝐵2 + 𝐴𝐸2 = 𝐵𝐸2，
即32 + 𝑥2 = (9 −𝑥)2，解得：𝑥= 4，
∴𝐴𝐸= 4，
∴𝐷𝐸= 𝐵𝐹= 5，
∴𝐶𝐹= 𝐷𝑀= 4，
∴𝐸𝑀= 1，
根据勾股定理得：𝐸𝐹= √32 + 12 = √10，
故答案为：√10.
【变式2-7】
【答案】（1）𝐷𝐹= 4；（2）𝛥𝐵𝐸𝐹的面积为25
【分析】（1）由翻折知：BF=AB=10，EF=EA，由矩形得BC=AD=8，由勾股定理算出CF=6，从而算出DF=4；
（2）由翻折知：△BEF 和△BEA 全等，在𝑅𝑡𝛥𝐷𝐸𝐹中求，设EF=x，依据勾股定理列方程解出，而AB=10，求
出直角△BEA 的面积，即为所求.
【详解】解：（1）由翻折知：BF=AB=10，EF=EA，
由矩形得BC=AD=8，CD=AB=10，∠𝐴= ∠𝐷= ∠𝐶= 90°,
∵在𝑅𝑡𝛥𝐵𝐶𝐹中，∠𝐶= 90°，BF=10，BC=8，
∴𝐶𝐹= √𝐵𝐹2 −𝐵𝐶2 = √102 −82 = 6
∴DF=CD-CF=10-6=4，
（2）设EF=EA=x，则DE=8-x，
∵在𝑅𝑡𝛥𝐷𝐸𝐹中，∠𝐷= 90°，DE=8-x，DF=4，EF=x，
∴42+(8-x)2=𝑥2
∴x=5.
∴直角△BEA 的面积为
1
2 × 5 × 10=25，
又∵由翻折知：△BEF 和△BEA 全等，
∴△BEF 的面积为25.
【变式2-8】
【答案】10
【分析】利用折叠的性质可得出AF，CF 的值及∠ACF＝∠ACB，由AD∥BC，可得出∠CAD＝∠ACF，进而可
得出AE＝CE，设AE＝x，则EF＝8﹣x，在Rt△AEF 中，利用勾股定理可求出x 的值，再利用三角形的面积
公式即可求出△ACE 的面积．
10 / 16
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【详解】由折叠的性质，可知：AF＝AB＝4，CF＝CB＝8，∠F＝∠B＝90°，∠ACF＝∠ACB．
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB，
∴∠CAD＝∠ACF，
∴AE＝CE．
设AE＝x，则EF＝8﹣x．
在Rt△AEF 中，AF＝4，AE＝x，EF＝8﹣x，∠F＝90°，
∴42+（8﹣x）2＝x2，
∴x＝5，
∴S△ACE＝
1
2AE•AB＝
1
2×5×4＝10．
故答案为10．
【变式2-9】
【答案】𝐴′𝐶= 8cm
【分析】由矩形和翻折的性质可知：𝐴′𝐸= 𝐴𝐸= 9cm，𝐴′𝐵= 𝐴𝐵= 𝐶𝐷= 15cm，∠𝐸𝐶𝐵= ∠𝐶𝐸𝐷，从而可
利用“AAS”证明△𝐵𝐴′𝐶≌△𝐶𝐷𝐸，得出𝐶𝐸= 𝐶𝐵．设𝐴′𝐶= 𝑥cm，则𝐶𝐸= 𝐶𝐵= (𝑥+ 9)cm，根据勾股定理列
出关于x 的方程，解出x 即可．
【详解】解：由矩形和翻折的性质可知：𝐴′𝐸= 𝐴𝐸= 9cm，𝐴′𝐵= 𝐴𝐵= 𝐶𝐷= 15cm，𝐴𝐷∥𝐵𝐶．
∴∠𝐸𝐶𝐵= ∠𝐶𝐸𝐷，
∴在Rt △𝐴′𝐵𝐶和Rt △𝐷𝐸𝐶中
{
∠𝐸𝐶𝐵= ∠𝐶𝐸𝐷
∠𝐵𝐴′𝐶= ∠𝐷= 90°
𝐷𝐶= 𝐴′𝐵
，
∴△𝐵𝐴′𝐶≌△𝐶𝐷𝐸(𝐴𝐴𝑆)，
∴𝐴′𝐶= 𝐷𝐸
设𝐴′𝐶= 𝐷𝐸= 𝑥，则𝐶𝐸= 9 + 𝑥．
在Rt △𝐶𝐷𝐸中，𝐶𝐸2 = 𝐶𝐷2 + 𝐷𝐸2．
所以(9 + 𝑥)2 = 𝑥2 + 152，解得：𝑥= 8(cm)．
即：𝐴′𝐶= 8cm．
【变式2-10】
【答案】
10
3 或5
【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1 所示，连结AC，先利
用勾股定理计算出AC=13，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到
∠EB′C=90°，所以点A、B′、C 共线，即△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在对角线AC 上的点B′处，则EB=EB′，
11 / 16
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
AB=AB′=5，可计算出CB′=8，设BE=a，则EB′=a，CE=12-a，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出a．②
当点B′落在AD 边上时，如图2 所示．此时ABEB′为正方形．
【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如图1 所示，
连结AC，
在Rt△ABC 中，AB=5，BC=12，
∴AC=√52 + 122=13，
∵将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即将△ABE沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，设：𝐵𝐸= a = B'E，则CE = 12 −a，
AB = AB' = 5，
B'C = AC −AB' = 13 −5 = 8，
由勾股定理得：(12 −a)2 = a2 + 82，
解得：a =
10
3 ；
②当点B′落在AD 边上时，如图2 所示，
此时ABEB′为正方形，
∴BE=AB=5，
综上所述，BE 的长为
10
3 或5，
故答案为
10
3 或5．
【变式2-11】
【答案】C
【分析】由点E 为AD 的中点可得AE＝DE＝3，设CG＝x，DG＝CD−CG＝6−x，由折叠性质可得EF＝AE
＝3，FG＝CG＝x，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，
∴AD＝CD＝6，∠D＝90°，
12 / 16
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵点E 是AD 边的中点，
∴AE＝DE＝3，
∵正方形ABCD 分别沿BE，BG 折叠，
∴EF＝AE＝3，FG＝CG，
设CG＝x，则：
DG＝CD−CG＝6−x，FG＝CG＝x，
∴EG＝EF＋FG＝3＋x，
在Rt△DEG 中，DE2＋DG2＝EG2，
即32＋（6−x）2＝（3＋x）2，
解得：x＝2，
∴CG＝2，
故选：C．
【变式2-12】
【答案】C
【分析】根据勾股定理及直角三角形的中线、翻折得CD=DE=BD=5，CE=AC=6，作DH⊥BE 于H，EG⊥CD 于G，
证明△DHE≌△EGD，利用勾股定理求出𝐸𝐻= 𝐷𝐺=
7
5，即可得到BE.
【详解】∵∠BCA=90∘，AC=6，BC=8，
∴𝐴𝐵= √𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = √62 + 82 = 10，
∵D 是AB 的中点，
∴AD=BD=CD=5，
由翻折得：DE=AD=5，∠EDC=∠ADC，CE=AC=6，
∴BD=DE，
作DH⊥BE 于H，EG⊥CD 于G，
∴∠DHE=∠EGD=90°，∠EDH=
1
2∠BDE=
1
2（180°-2∠EDC）=90°-∠EDC，
∴∠DEB= 90°-∠EDH=90°-(90°-∠EDC)=∠EDC，
∵DE=DE，
∴△DHE≌△EGD，
∴DH=EG，EH=DG，
设DG=x，则CG=5-x，
∵𝐸𝐺2=𝐷𝐸2 −𝐷𝐺2 = 𝐶𝐸2 −𝐶𝐺2，
∴52 −𝑥2 = 62 −(5 −𝑥)2，
∴𝑥=
7
5，
13 / 16
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴𝐸𝐻= 𝐷𝐺=
7
5，
∴BE=2EH=
14
5 ，
故选：C.
▌题型03 两次利用勾股定理得到方程求长度
【典例3】
【答案】84
【分析】求三角形的面积，需要先求出高，故作AD 丄BC，得到两个直角三角形，以AD 为等量关系，利用
勾股定理列出方程，即可求解。
【详解】过点A 作AD 丄BC，则△ABD 和△ACD 为直角三角形，设BD=x，则CD=14-x，由勾股定理得，
AD2=AB2-BD2=132-x2，AD2=AC2-CD2=152-(14-x)2，所以132-x2=152-(14-x)2，解得x=5，所以AD=12，△ABC 的面
积=1
2×14×12=84。
【变式3-1】
【答案】1
14 / 16
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【分析】由图可以看出，DF 不在直角三角形中，需要构造直角三角形，利用勾股定理进行解题，先连接AF，
然后根据轴对称的性质，A'F=AF，因此连接A'F，根据勾股定理分别表示AF 和A'F，得到方程，进而解决
问题
【详解】连接AF、A'F，设DF=x，则CF=8-x，在Rt△ADF 中，AF2=82+x2，在Rt△A'CF 中，A'F2=42+(8-x)2，
因为A'F=AF，所以82+x2=42+(8-x)2，解得x=1，故DF=1
【变式3-2】
【答案】(1)20
(2)等腰直角
【分析】本题考查了勾股定理的运用；
（1）由得C、D 两村庄到市场E 的距离相等，可得𝐶𝐸= 𝐷𝐸，根据勾股定理列方程计算即可；
（2）证明△𝐴𝐷𝐸≌△𝐵𝐸𝐶即可判断△𝐷𝐸𝐶为等腰直角三角形．
【详解】（1）设𝐴𝐸= 𝑥，则𝐵𝐸= 𝐴𝐵−𝐴𝐸= 50 −𝑥，
∵𝐷𝐴⊥𝐴𝐵于A，𝐶𝐵⊥𝐴𝐵于B，已知𝐷𝐴= 30km，𝐶𝐵= 20km，
∴𝐷𝐸2 = 𝐴𝐸2 + 𝐴𝐷2 = 𝑥2 + 302，𝐶𝐸2 = 𝐵𝐸2 + 𝐵𝐶2 = (50 −𝑥)2 + 202，
∵C、D 两村庄到市场E 的距离相等，
∴𝐶𝐸= 𝐷𝐸，
∴𝑥2 + 302 = (50 −𝑥)2 + 202，
解得𝑥= 20，即𝐴𝐸= 20
∴市场𝐸应建在距𝐴20千米处；
（2）∵𝐴𝐸= 20，𝐵𝐸= 𝐴𝐵−𝐴𝐸= 30，
∴𝐴𝐸= 𝐵𝐶= 20，𝐵𝐸= 𝐴𝐷= 30，
∵𝐶𝐸= 𝐷𝐸，
∴△𝐴𝐷𝐸≌△𝐵𝐸𝐶(SSS)，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵𝐸𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐷= 90° = ∠𝐵𝐸𝐶+ ∠𝐴𝐸𝐷，
15 / 16
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴∠𝐷𝐸𝐶= 90°，
∴△𝐷𝐸𝐶为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角．
【变式3-3】
【答案】(1)50；
(2)P 点的位置见解析，𝐴𝑃的距离为16 千米；
【分析】（1）连接𝐶𝐷，作𝐶𝐸⊥𝐴𝐷于点E，根据𝐴𝐷⊥𝐴𝐵，𝐵𝐶⊥𝐴𝐵得到𝐴𝐷∥𝐵𝐶，𝐴𝐵∥𝐶𝐸，由平行线间的
距离处处相等可得𝐵𝐶= 𝐴𝐸= 5千米，𝐶𝐸= 𝐴𝐵= 40千米，求出𝐷𝐸，然后利用勾股定理求得CD 两地之间
的距离；
（2）连接𝐶𝐷，作𝐶𝐷的垂直平分线交𝐴𝐵于P，根据线段垂直平分线的性质可得𝑃𝐶= 𝑃𝐷，点P 即为所求；
设𝐴𝑃= 𝑥千米，则𝐵𝑃= (40 −𝑥)千米，分别在Rt △𝐴𝐷𝑃和Rt △𝐵𝑃𝐶中，利用勾股定理表示出𝑃𝐷2和𝑃𝐶2，
然后根据𝑃𝐶= 𝑃𝐷建立方程，解方程即可；
【详解】（1）解：如图1，连接𝐶𝐷，作𝐶𝐸⊥𝐴𝐷于点E，
∵𝐴𝐷⊥𝐴𝐵，𝐵𝐶⊥𝐴𝐵，
∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶，𝐴𝐵∥𝐶𝐸，
∴𝐵𝐶= 𝐴𝐸= 5千米，𝐶𝐸= 𝐴𝐵= 40千米，
∴𝐷𝐸= 𝐴𝐷−𝐴𝐸= 35 −5 = 30千米，
∴𝐶𝐷= √𝐷𝐸2 + 𝐶𝐸2 = √302 + 402 = 50（千米），
即两个村庄的距离为50千米，
故答案为：50；
（2）解：如图2，连接𝐶𝐷，作𝐶𝐷的垂直平分线交𝐴𝐵于P，点P 即为所求，
设𝐴𝑃= 𝑥千米，则𝐵𝑃= (40 −𝑥)千米，
16 / 16
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
在Rt △𝐴𝐷𝑃中，𝑃𝐷2 = 𝐴𝑃2 + 𝐴𝐷2 = 𝑥2 + 242，
在Rt △𝐵𝑃𝐶中，𝑃𝐶2 = 𝐵𝑃2 + 𝐵𝐶2 = (40 −𝑥)2 + 162，
∵𝑃𝐶= 𝑃𝐷，
∴𝑥2 + 242 = (40 −𝑥)2 + 162，
解得𝑥= 16，
即𝐴𝑃的距离为16 千米；
