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第2课时 二次根式的化简及加减运算
二次根式的性质与化简
1.实数0.5的算术平方根等于 ( )
√2 1
A.2 B.√2 C. D.
2 2
2.下列式子成立的是 ( )
A.√(-4)×(-3)=√-4×√-3
B.√(-3) √-3
=
(-4) √-4
C. =-3
√(-3)2
D.√(-4)×(-3)=√4×√3
3.化简:
(1)√25×49= ;
√27
(2) = ;
64
(3)√54= 。
最简二次根式
4.(2025泉州安溪县月考)下列二次根式中,是最简二次根式的是 ( )
√1
A.√4 B. C.√0.6 D.√x2+ y2
6
5.把下列二次根式化为最简二次根式:
√8 √27 √2
(1)√2.5; (2) ; (3) ; (4) 。
5 3 3√40
二次根式的加减6.若√5+√5=√N,则N=( )
A.25 B.20 C.24 D.30
7.(2024长春中考)计算:√12-√3= 。
8.计算:
√1
(1)√75+√48; (2)√27-6 。
3
1.若xy<0,则 化简后的结果是 ( )
√x2y
A.x√y B.x√- y C.-x√- y D.-x√y
2.若√a是最简二次根式,则a的值可能是 ( )
3
A.-2 B.2 C. D.8
2
3.若a是正整数,√3a+5是最简二次根式,则a最小为 。
4.(新定义题)定义一种新运算:a☆b=a√b-b√a,则2☆8= 。
√ y √ x
5.已知xy=3,那么x +y 的值是 。
x y
√3
6.如图是一个数值转换器的流程图,请在√8,- ,√3 -27,√25这4个数中选一个有理数和一个无理
7
数,并计算输出的结果。7.已知长方形的长和宽分别是2√3+√2和2√3-√2,试求长方形的面积S和对角线长l。
8.(易错题)先化简,再求值:a+ ,其中a=1 013。
√1-2a+a2
如图是小亮和小芳的解答过程。
(1) 的解法是错误的;
(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质: ;
(3)先化简,再求值:a+2 ,其中a=-2 025。
√a2-6a+9
9.(运算能力)阅读材料:
把根式√x±2√y进行化简,若能找到两个数 m,n,使 m2+n2=x 且 mn=√y,则把 x±2√y变成 m2+n2±
2mn=(m±n)2,从而使得√x±2√y化简。
例如:化简√3+2√2。
解:因为3+2√2=1+2+2√2=12+(√2)2+2×1×√2=(1+√2)2,
所以 =1+ 。
√3+2√2=√(1+√2)2 √2请你仿照上面的方法,化简下列各式:
(1)√5+2√6;
(2)√7-4√3。【详解答案】
基础达标
3√3
1.C 2.D 3.(1)35 (2) (3)3√6 4.D
8
√5 √5×2 √10
5.解:(1)原式= = = ;
2 2×2 2
√8×5 2√10
(2)原式= = ;
5×5 5
3√3
(3)原式= =√3;
3
√2 1 1 √5
(4)原式= = = = 。
3√2×√20 3×√20 3×2√5 30
6.B 7.√3
8.解:(1)原式=5√3+4√3=9√3;
√3
(2)原式=3√3-6×
3
=3√3-2√3
=√3。
能力提升
1.D 解析:因为x2y≥0,所以y≥0。因为xy<0,所以x<0,y>0。所以 =-x 。故选D。
√x2y √y
3
2.B 解析:因为√a是最简二次根式,所以a≥0,且a不含分母,也不含能开得尽方的因数。故选项中-2, ,8都不
2
符合题意,所以a的值可能是2。故选B。
3.2 解析:因为a是正整数,所以当a=1时,√3a+5=√8,不是最简二次根式;当a=2时,√3a+5=√11,是最简二
次根式。所以a最小为2。
4.-4√2 解析:因为a☆b=a√b-b√a,所以2☆8=2√8-8√2=4√2-8√2=-4√2。
5.±2 解析:因为xy=3,所以x,y同号。所以x√ y+y√ x=x√xy+y√xy x y 。当x>0,y>0
√3 = √xy+ √xy
x y x2 y2 |x| |y|
时,原式=√xy+√xy=2√3;当x<0,y<0时,原式=-√xy+(-√xy)=-2√3。
6.解:选√8和√3 -27。
1 1 1 1 1
- ÷√2=- × =- =- ,
√8 √8 √2 √16 4√| 1 | √1 1 1 1 √6。
÷√2= ÷√2= × = =
√3 -27 3 √3 √2 √6 6
1 √6
所以当输入√8和√3 -27时,输出的结果分别为- 和 。(答案不唯一)
4 6
7.解:面积S=(2√3+√2)(2√3-√2)=(2√3)2-(√2)2=12-2=10。
对角线长l=
√(2√3+√2)2+(2√3-√2)2
=√12+4√6+2+12-4√6+2
=√28
=2√7。
8.解:(1)小亮
(2) =-a(a<0)
√a2
(3)因为a=-2 025,
所以a-3=-2 028<0。
所以a+2 =a+2 =a+2|a-3|=a-2(a-3)=a-2a+6=-a+6=2 025+6=2 031。
√a2-6a+9 √(a-3)2
9.解:(1)因为5+2√6=3+2+2√6=(√3)2+(√2)2+2×√3×√2=(√3+√2)2,
所以 。
√5+2√6=√(√3+√2)2=√3+√2
(2)因为7-4√3=4+3-4√3=22+(√3)2-2×2×√3=(2-√3)2,
所以 =2- 。
√7-4√3=√(2-√3)2 √3
