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1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题03 实数计算综合 （题型突破·举一反三） ▌题型01 利用定义解方程 【典例1】 【答案】(1)𝑥1 = 10 13 ，𝑥2 = − 10 13 ， (2)𝑥= 8或𝑥= −10 (3)𝑥1 = 5 3 ，𝑥2 = − 5 3 ， (4)𝑥= 7 2或𝑥= 1 2 【分析】本题考查了平方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先系数化1，再开平方根，即可作答． （2）开平方根，然后再移项运算，即可作答． （3）先系数化1，再开平方根，即可作答． （4）先系数化1，再开平方根，移项运算，即可作答． 【详解】（1）解：169𝑥2 = 100 𝑥2 = 100 169 解得𝑥1 = 10 13 ，𝑥2 = − 10 13 ， （2）解：(𝑥+ 1)2 = 81 𝑥+ 1 = ±√81 = ±9 解得𝑥= 8或𝑥= −10； （3）解：9𝑥2 = 25 𝑥2 = 25 9 解得𝑥1 = 5 3 ，𝑥2 = − 5 3 ， （4）解：4(𝑥−2)2 = 9 (𝑥−2)2 = 9 4 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 𝑥−2 = ±√9 4 = ± 3 2 解得𝑥= 7 2或𝑥= 1 2． 【变式1-1】 【答案】(1)𝑥= 1或𝑥= − 1 3； (2)𝑥= −4 【分析】（1）方程两边直接开平方，得到两个一元一次方程，解一元一次方程即可； （2）将方程变形为(𝑥+ 1)3 = −27，然后利用立方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：(3𝑥−1)2 = 4 开平方得，3𝑥−1 = ±2， 即3𝑥−1 = 2或3𝑥−1 = −2， 解得𝑥= 1或𝑥= − 1 3； （2）解：3(𝑥+ 1)3 + 81 = 0 移项得，3(𝑥+ 1)3 = −81， 方程两边同除以3，得(𝑥+ 1)3 = −27， ∴𝑥+ 1 = −3， 解得𝑥= −4． 【变式1-2】 【答案】𝑥= 4或−2． 【分析】本题考查实数的运算及平方根，熟练掌握相关定义及运算法则是解题的关键，利用平方根的定义解 方程即可． 【详解】解：(𝑥−1)2 = 9， 开方得：𝑥−1 = ±3， 解得：𝑥= 4或−2． 【变式1-3】 【答案】𝑥= 5 2 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，算术平方根的定义，立方根的定义，根据立方根的定义求解即可． 3 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：(𝑥−3)3 = − 1 8 则𝑥−3 = √− 1 8 3 𝑥−3 = −1 2 解得：𝑥= 5 2； 【变式1-4】 【答案】(1)𝑥1 = 1, 𝑥2 = −3 (2)𝑥= − 1 4 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、幂的运算、平方根、立方根的应用等知识点，灵活运用相关运算 法则成为解题的关键． （1）先根据平方根求出𝑥+ 1，进而完成解答； （2）先根据平方根求出2𝑥−1，进而完成解答． 【详解】（1）解：(𝑥+ 1)2 = 4， 𝑥+ 1 = ±2， 𝑥1 = 1,𝑥2 = −3． （2）解：8(2𝑥−1)3 = −27， (2𝑥−1)3 = −27 8 ， 2𝑥−1 = −3 2 𝑥= − 1 4． 【变式1-5】 【答案】 （1）± 2 3，（2）𝑥= −3 【分析】（1）式子整理后，利用平方根的定义求解即可； （2）式子整理后，利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1） 9𝑥2 −4 = 0， 9𝑥2 = 4， 𝑥2 = 4 9， 𝑥= ±√ 4 9 = ± 2 3； （2）2(𝑥+ 1)3 + 16 = 0， 2(𝑥+ 1)3 = −16， (𝑥+ 1)3 = −8， 4 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 𝑥+ 1 = −2， 𝑥= −3． ▌题型02 二次根式的乘除 【典例2】 【答案】(1)12 (2)6 000 (3)10 (4) 9 2 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的 关键． （1）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可； （2）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可； （3）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可； （4）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可； 【详解】（1）√8 × √18 = 2√2 × 3√2 = 12； （2）√1.2 × 102 × √3 × 105 = √36 × 106 = 6000； （3）√2 × √5 × √10 = √2 × 5 × 10 = 10； （4） 1 4 √12 × 3√3 = 3 4 √36 = 9 2． 【典例3】 【答案】(1)√5 (2)4 (3)√2 (4)20 【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （2）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （3）根据二次根式的除法运算法则计算即可； 5 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （4）根据二次根式的除法运算法则计算即可． 【详解】（1）√50 √10 = √50 10 = √5； （2）√32 √2 = √32 2 = √16 = 4； （3） 2 √2 = √2 × √2 √2 = √2； （4） √1.6×104 √0.4×102 = √1.6 × 104 0.4 × 102 = √1.6 × 102 0.4 = √4 × 102 = √400 = 20． 【变式2-1】 【答案】(1)2√3 (2)2 + √2 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算： （1）根据二次根式乘法计算法则求解即可； （2）根据二次根式乘法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：√2 × √6 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 = √12 = 2√3； （2）解：(2 −√2)(3 + 2√2) = 6 −3√2 + 4√2 −4 = 2 + √2． 【变式2-2】 【答案】(1)2 + √2 (2)−6 + 2√15 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算． （1）按照二次根式的乘法运算法则计算即可． （2）利用平方差公式进行运算即可． 【详解】（1）解：(2 −√2)(3 + 2√2) = 6 + 4√2 −3√2 −4 = 2 + √2 （2）(√2 + √3 −√5)(√2 −√3 + √5) = (√2 + √3 −√5)[√2 −(√3 −√5)] = (√2) 2 −(√3 −√5) 2 = 2 −(3 −2√15 + 5) = 2 −3 + 2√15 −5 = −6 + 2√15 【变式2-3】 【答案】(1)√6；(2)2；(3)√2；(4) 3 2 √𝑏 【分析】（1）根据公式√𝑎 √𝑏= √ 𝑎 𝑏(𝑎≥0, 𝑏≻𝑜) 计算即可. （2）根据公式√𝑎 √𝑏= √ 𝑎 𝑏(𝑎≥0, 𝑏≻𝑜) 计算即可. （3）根据公式√𝑎 √𝑏= √ 𝑎 𝑏(𝑎≥0, 𝑏≻𝑜) 计算即可. （4）根据公式√𝑎 √𝑏= √ 𝑎 𝑏(𝑎≥0, 𝑏≻𝑜) 计算即可. 【详解】（1）√18 √3 = √ 18 3 = √6 7 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)√32 √8 = √ 32 8 = √4 = 2. (3)√3 1 5 ÷ √1 3 5 = √ 16 5 × 5 8 = √2 (4) 3√𝑎𝑏3 2√𝑎𝑏2 = 3 2 √𝑎𝑏3 𝑎𝑏2 = 3 2 √𝑏. 【变式2-4】 【答案】(1)𝑥𝑦𝑧√𝑧 (2)√6 3 (3)6𝑎𝑥2√15𝑎 (4) √2𝑥2−2𝑦2 2𝑥2−2𝑦2 【分析】（1）根据二次乘法法则计算即可； （2）根据二次除法法则计算即可； （3）根据二次乘法法则计算即可； （4）根据二次除法法则计算即可． 【详解】（1）解： 1 3 √𝑥𝑦𝑧2 ⋅3√𝑥𝑦𝑧= 1 3 × 3√𝑥𝑦𝑧2 ⋅𝑥𝑦𝑧= √𝑥2𝑦2𝑧3 = 𝑥𝑦𝑧√𝑧 （2）解： 3 2 √ 2 3 ÷ √ 3 2 ÷ 3√ 1 6 = 3 2 ⋅ 1 3 √ 2 3 ÷ 3 2 ÷ 1 6 = 1 2 √ 2 3 × 2 3 × 6 = 1 2 × 2√6 3 = √6 3 （3）解：5𝑎√ 3𝑎 𝑥⋅3𝑎𝑥√4𝑥3 5𝑎2 = 5𝑎⋅3𝑎𝑥√3𝑎 𝑥⋅ 4𝑥3 5𝑎2 = 15𝑎2𝑥√12𝑥2 5𝑎= 15𝑎2𝑥⋅ 2𝑥 5𝑎√15𝑎= 6𝑎𝑥2√15𝑎 （4）解：√ 6 𝑥+𝑦÷ √ 12 𝑥−𝑦= √ 6 𝑥+𝑦⋅ 𝑥−𝑦 12 = √ 𝑥−𝑦 2(𝑥+𝑦) = √2𝑥2−2𝑦2 2𝑥+2𝑦 【变式2-5】 【答案】(1)15 (2)20√6 (3)− 15 4 (4) 4𝑎 𝑏√𝑏 【分析】本题考查了二次根式的混合运算 （1）根据二次根式乘除法法则计算即可； （2）根据二次根式乘除法法则计算即可； （3）根据二次根式乘除法法则计算即可； 8 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （4）根据二次根式乘除法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式= 3√3 × 5√2 ÷ √6 = 15√6 ÷ √6 = 15 （2）原式= 3 × 2 3 × √45 ÷ 1 5 × 8 3 = 2 × √600 = 20√6； （3）原式3 × (− 1 8) × 2√ 2 3 × 15 × 5 2 = − 3 4 × 5= − 15 4 ； （4）原式= 4√𝑎2𝑏 𝑎𝑏⋅ 𝑎 𝑏= 4√𝑎2 𝑏= 4𝑎 𝑏√𝑏． 【变式2-6】 【答案】−𝑎2𝑏√𝑎𝑏 【分析】本题主要考查二次根式的乘除法，根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可 【详解】解：∵𝑏> 0 ∴𝑎> 0， ∴ 2 𝑏√𝑎𝑏5 ⋅(− 3 2 √𝑎3𝑏) ÷ (3√𝑏 𝑎 ) = 2 𝑏⋅(−3 2) × 1 3 √𝑎𝑏5 ⋅𝑎3𝑏⋅𝑎 𝑏 = −1 𝑏√𝑎5𝑏5 = −1 𝑏⋅𝑎2𝑏2√𝑎𝑏 = −𝑎2𝑏√𝑎𝑏 【变式2-7】 【答案】(1) 3 2 (2)9𝑥2𝑦√𝑦 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． （1）根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式性质和乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：3√3 1 2 × (1 8 √1 4 7) ÷ (1 4 √5 1 2) = 3√7 2 × 1 8 √11 7 × 4√2 11 9 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 = 3 × 1 8 × 4 × √7 2 × 11 7 × 2 11 = 3 2． （2）解： 2 𝑦√𝑥𝑦5 ⋅( 3 2 √𝑥2𝑦) ÷ (1 3 √ 𝑦 𝑥) = 2 𝑦× 3 2 √𝑥𝑦5 ⋅𝑥2𝑦÷ √𝑦 3√𝑥 = 2 𝑦× 3 2 √𝑥𝑦5 ⋅𝑥2𝑦⋅3√𝑥 √𝑦 = 2 𝑦× 3 2 × 3 × √𝑥𝑦5 ⋅𝑥2𝑦⋅𝑥 𝑦 = 2 𝑦× 3 2 × 3 × √𝑥4𝑦5 = 9 𝑦⋅𝑥2𝑦2√𝑦 = 9𝑥2𝑦√𝑦 【变式2-8】 【答案】(1)20 (2) 2 3 (3)10 (4)3√3 (5) 3√14 14 (6)5√5 【分析】本题考查二次根式的乘法、除法、乘除混合运算，以及二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式相 关运算法则是解题的关键． （1）直接利用二次根式的性质化简计算得出答案； （2）直接化简二次根式进而计算得出答案； （3）直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案； （4）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案； （5）直接利用二次根式的化简计算得出答案； （6）直接利用二次根式的乘除混合运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：(2√5) 2 = 20； 10 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）解：√(− 2 3) 2 = 2 3； （3）解：√5 × √20 = √100 = 10； （4）解：√ 3 2 ÷ √ 1 18 = √ 3 2 × 18 = √27 = 3√3； （5）解： 3√2 √28 = 3√2 2√7 = 3√14 14 ； （6）解：√15 × √50 ÷ √6 = √15 × 50 × 1 6 = √5 × 25 = 5√5． 【变式2-9】 【答案】(1)两人的做法都正确；9√5 (2) 1 3 【分析】（1）（2）先判断正确性，再对照已知做法计算即可． 【详解】（1）解：两人的做法都正确， 3√3 × √15 = 3√3 × √3 × √5 = 9√5； （2）√5 √45 = √5 45 = √1 9 = 1 3 【变式2-10】 【答案】(1)√𝑎𝑏= √𝑎× √𝑏；举例见解析 (2)①24；②77 (3)18 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的化简与运算是解题的关键． （1）由题意可得：√𝑎𝑏= √𝑎× √𝑏； （2）①根据√16 × 36 = √16 × √36，即可求解； ②根据√49 × 121 = √49 × √121，即可求解； 11 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）由长方形的面积可求𝑆= √27 × √12，再化简求值即可． 【详解】（1）解：√𝑎𝑏= √𝑎× √𝑏； 例如：√4 × 9 = √36 = 6，√4 × √9 = 2 × 3 = 6， ∴√4 × 9 = √4 × √9． （2）解：①√16 × 36 = √16 × √36 = 4 × 6 = 24； ②√49 × 121 = √49 × √121 = 7 × 11 = 77． （3）解：∵长方形的长为√27，宽为√12， ∴𝑆= √27 × √12 = √27 × 12 = 18， 答：这个长方形的面积为18． ▌题型03 二次根式的加减 【典例4】 【答案】0 【分析】本题二次根式的加减，先利用二次根式的性质化简各数，再加减运算即可． 【详解】解：√20 −√45 + √5 = 2√5 −3√5 + √5 = 0． 【变式3-1】 【答案】 13 12 √5 【分析】直接合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式= ( 3 2 − 3 4 + 1 3)√5 = ( 18 12 − 9 12 + 4 12)√5 = 13 12 √5 【变式3-2】 【答案】（1）<，<（2）①√2 −1；②√3 −√2（3）−1 + √2023 12 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】本题考查了无理数的大小比较，绝对值的意义，以及二次根式的加减运算，熟练掌握各知识点是解 答本题的关键． （1）比较被开方数的大小即可； （2）根据绝对值的意义化简即可； （3）先化简绝对值，再合并同类二次根式； 【详解】解：（1）∵1 < 2，2 < 3， ∴√1<√2，√2<√3； 故答案为：<，<； （2）∵√1<√2，√2<√3， ∴1 −√2 < 0，√2 − √3 < 0， ∴①|1 −√2| = −(1 −√2) = √2 −1； ②|√2 −√3| = −(√2 −√3) = √3 −√2； 故答案为：√2 −1；②√3 −√2； （3）|1 −√2|+|√2 −√3|+|√3 −√4|+ ⋯+|√2022 −√2023| = √2 −1 + √3 −√2 + √4 −√3 + ⋯+ √2023 −√2022 = −1 + √2023 ． 【变式3-3】 【答案】2√3 【分析】本题主要考查了二次根式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式加减混合运算法则． 先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减混合运算法则进行计算即可． 【详解】2√3 + 3√12 −2√27 = 2√3 + 6√3 −6√3 = 2√3． 【变式3-4】 【答案】(1)2√5； (2)16． 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值． （1）直接代入求解即可； （2）求得𝑥+ 𝑦和𝑥−𝑦的值，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵𝑥= √5 + 1，𝑦= √5 −1， 13 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴𝑥+ 𝑦= √5 + 1 + √5 −1 = 2√5； （2）解：∵𝑥= √5 + 1，𝑦= √5 −1， ∴𝑥+ 𝑦= 2√5；𝑥−𝑦= √5 + 1 −√5 + 1 = 2， ∴(𝑥+ 𝑦)2 −(𝑥−𝑦)2 = (2√5) 2 −22 = 20 −4 = 16． 【变式3-5】 【答案】√3 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出𝑥+ 𝑦= 2√3，𝑥𝑦= 2，再根据 1 𝑥+ 1 𝑦= 𝑥+𝑦 𝑥𝑦进行求解 即可． 【详解】解：∵𝑥= √3 + 1，𝑦= √3 −1， ∴𝑥+ 𝑦= √3 + 1 + √3 −1 = 2√3，𝑥𝑦= (√3 + 1)(√3 −1) = 3 −1 = 2， ∴ 1 𝑥+ 1 𝑦 = 𝑥+ 𝑦 𝑥𝑦 = 2√3 2 = √3． 【变式3-6】 【答案】(1)20 (2)8√5 【分析】本题考查了因式分解，二次根式的化简求值； （1）先求出𝑥+ 𝑦的值，再分解因式，并整体代入即可； （2）先求出𝑥+ 𝑦、𝑥−𝑦的值，再分解因式，并整体代入即可． 【详解】（1）解：由已知得：𝑥+ 𝑦= √5 + 2 + √5 −2 = 2√5， 𝑥2 + 2𝑥𝑦+ 𝑦2 = (𝑥+ 𝑦)2 = (2√5)2 = 20； （2）解：∵𝑥+ 𝑦= 2√5，𝑥−𝑦= √5 + 2 −(√5 −2) = 4， ∴𝑥2 −𝑦2 = (𝑥+ 𝑦)(𝑥−𝑦) = 2√5 × 4 = 8√5． 【变式3-7】 【答案】（1）4（2）8√3 + 2 【分析】此题考查了二次根式的化简求值，涉及的知识有：分母有理化，平方差根式，完全平方公式，熟练 掌握公式是解本题的关键． 14 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （1）把代数式𝑥2 + 2𝑥+ 2化为(𝑥+ 1)2 + 1的形式，再把𝑥的值代入进行计算即可； （2）将已知𝑥与𝑦分母有理化后，求出𝑥+ 𝑦与𝑥𝑦的值，将所求式子配方后，把𝑥+ 𝑦 ，𝑥−𝑦与𝑥𝑦的值代入 计算，即可求出值． 【详解】解：（1）∵𝑥= √3 −1， ∴𝑥2 + 2𝑥+ 2 = (𝑥+ 1)2 + 1 = (√3 −1 + 1) 2 + 1 = 4， （2）∵𝑥= 1 2−√3 = 2+√3 (2−√3)(2+√3) = 2 + √3， 𝑦= 1 2+√3 = 2−√3 (2+√3)(2−√3) = 2 −√3， ∴𝑥+ 𝑦= 2 + √3 + 2 −√3 = 4 ，𝑥−𝑦= 2 + √3 −(2 −√3) = 2√3，𝑥𝑦= (2 + √3)(2 −√3) = 1， 则𝑥2 + 2𝑥𝑦−𝑦2 = 𝑥2 −𝑦2 + 2𝑥𝑦 = (𝑥−𝑦)(𝑥+ 𝑦) + 2𝑥𝑦 = 2√3 × 4 + 2 × 1 = 8√3 + 2． ▌题型04 二次根式计算的应用 【典例5】 【答案】(1)21；(2)37 【分析】本题考查了平方根的应用： （1）将𝑡= 21代入关系式计算即可； （2）将𝑑= 35代入关系式求解即可． 【详解】（1）解：当𝑡= 21时， 𝑑= 7√21 −12 = 7 × 3 = 21（厘米）， 答：冰川消失21 年后苔藓的直径为21 厘米． （2）解：当𝑑= 35时， 即7√𝑡−12 = 35， 𝑡−12 = 25 𝑡= 37， 15 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 答：冰川约是在37 年前消失的． 【变式4-1】 【答案】B 【分析】将代数式化简即可判断． 【详解】(√6 −√2) 2 = (√6) 2 −2 × √6 × √2 + (√2) 2 = 6 −4√3 + 2 = 8 −4√3 故选：B 【变式4-2】 【答案】(1)𝑡= √ 𝑠 4.9 (2)6𝑠 【分析】本题主要考查算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义． （1）先将𝑡2的系数化为1，再根据算术平方根的定义可得； （2）将𝑠= 176.4代入计算可得． 【详解】（1）解：∵𝑠= 4.9𝑡2， ∴𝑡2 = 𝑠 4.9， ∴𝑡= √ 𝑠 4.9； （2）当𝑠= 176.4时，𝑡= √ 176.4 4.9 = 6， 答：它落到峡谷底经过了6 秒时间． 【变式4-3】 【答案】(1)1； (2)2√5 + 3√2； (3)𝑛= −2． 【分析】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算． （1）根据共轭二次根式的定义，即可得解； 16 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得𝑚的值即可； （3）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得𝑛的值即可； 【详解】（1）解：√ 1 2 × √2 = √ 1 2 × 2 = 1， ∴ √ 1 2与√2是关于1 的共轭二次根式， 故答案为：1； （2）解：∵𝑚与2√5 −3√2是关于2 的共轭二次根式， ∴𝑚(2√5 −3√2) = 2 ∴𝑚= 2 2√5−3√2 = 2(2√5+3√2) (2√5−3√2)(2√5+3√2) = 2√5 + 3√2， 故答案为：2√5 + 3√2； （3）解：∵3 + √3与6 + √3𝑛是关于12 的共轭二次根式， ∴(3 + √3)(6 + √3𝑛) = 12 ∴6 + √3𝑛= 12 3+√3 = 12(3−√3) (3+√3)(3−√3) = 6 −2√3， ∴𝑛= −2． 【变式4-4】 【答案】(1)6√6；(2)见解析； 【分析】（1）先求出𝑝的值，再根据海伦公式求三角形的面积即可或直接根据秦九韶公式即可； （2）过点𝐵作𝐵𝐻⊥𝐴𝐶于点𝐻，利用勾股定理即可求解； 【详解】（1）方法一：海伦公式． ∵𝑎= 5，𝑏= 6，𝑐= 7， ∴𝑝= 1 2 (𝑎+ 𝑏+ 𝑐) = 9， ∴𝑆= √𝑝(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐) = √9 × (9 −5) × (9 −6) × (9 −7) = 6√6； 方法二：秦九韶公式． ∵𝑎= 5，𝑏= 6，𝑐= 7， ∴𝑆= √1 4 [𝑎2𝑏2 −( 𝑎2+𝑏2−𝑐2 2 ) 2 ] = √1 4 × [25 × 36 −(25 + 36 −49 2 ) 2 ] = √1 4 × (900 −36) 17 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 = √216 = 6√6； （2）如解图1，过点𝐵作𝐵𝐻⊥𝐴𝐶于点𝐻， 设𝐴𝐻= 𝑥则𝐶𝐻= 6 −𝑥， 在Rt △𝐵𝐻𝐴中，𝐵𝐻2 = 72 −𝑥2， 在Rt △𝐵𝐻𝐶中，𝐵𝐻2 = 52 −(6 −𝑥)2， ∴72 −𝑥2 = 52 −(6 −𝑥)2， 解得𝑥= 5， ∴𝐵𝐻= √72 −52 = 2√6， ∴𝑆= 1 2 𝐴𝐶⋅𝐵𝐻= 1 2 × 6 × 2√6 = 6√6； 【变式4-5】 【答案】(1)1，2 (2)3. (3)25 【分析】此题考查了二次根式性质和运算的应用，掌握题目提供的结论是解题的关键． （1）对任意两个正数𝑎, 𝑏，都有𝑎+ 𝑏≥2√𝑎𝑏；上述不等式当且仅当𝑎= 𝑏时等号成立．据此即可进行解答； （2）把函数变形为𝑦= 𝑥+ 4 𝑥+1 = 𝑥+ 1 + 4 𝑥+1 −1，根据题意进行解答即可； （3）设𝑆 △𝐵𝑂𝐶= 𝑥，则𝑆 △𝐵𝑂𝐶: 𝑆 △𝐶𝑂𝐷= 𝑆 △𝐴𝑂𝐵: 𝑆 △𝐴𝑂𝐷，得到𝑆 △𝐴𝑂𝐷= 36 𝑥，根据四边形𝐴𝐵𝐶𝐷面积= 4 + 9 + 𝑥+ 36 𝑥≥13 + 2√𝑥⋅ 36 𝑥= 25，即可得到答案． 【详解】（1）解；当𝑚> 0时，𝑚+ 1 𝑚≥2√𝑚⋅ 1 𝑚= 2𝑚⋅ 1 𝑚= 2， 当且仅当𝑚= 1 𝑚即𝑚= 1时取等号 ∴当𝑚= 1时，𝑚+ 1 𝑚有最小值，最小值为2. 故答案为：1，2 （2）当𝑦> 0, 𝑥> 0时，函数𝑦= 𝑥+ 4 𝑥+1 = 𝑥+ 1 + 4 𝑥+1 −1， ∵𝑥+ 4 𝑥+1 = 𝑥+ 1 + 4 𝑥+1 −1 ≥2√(𝑥+ 1) ⋅ 4 𝑥+1 −1 ≥2 × 2 −1 = 3 18 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 当且仅当𝑥+ 1 = 4 𝑥+1即𝑥+ 1 = 2，即𝑥= 1时取等号， ∴当𝑥= 1时，𝑦= 𝑥+ 4 𝑥+1有最小值，最小值为3. （3）设𝑆 △𝐵𝑂𝐶= 𝑥， 由题意可知，𝑆 △𝐵𝑂𝐶: 𝑆 △𝐶𝑂𝐷= 𝑆 △𝐴𝑂𝐵: 𝑆 △𝐴𝑂𝐷， 则𝑥: 9 = 4: 𝑆 △𝐴𝑂𝐷 则𝑆 △𝐴𝑂𝐷= 36 𝑥， ∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷面积= 4 + 9 + 𝑥+ 36 𝑥≥13 + 2√𝑥⋅ 36 𝑥= 25， 当且仅当𝑥= 6时，等号成立， ∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷面积的最小值为25． 【变式4-6】 【答案】已有认识：（1）2；（2）①𝑎2 + 𝑏2 + 3 2 𝑎𝑏，②𝑐2 + 3 2 𝑎𝑏，③𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2；类比学习：2.236 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，二次根式的应用及整式与几何图形面积的实际应用． 已有认识： （1）根据正方形面积公式，利用算术平方根的定义即可解答； （2）①根据图形用三个直角三角形的面积加上两个正方形的面积即可表示出面积；②用三个直角三角形 的面积加上正方形的面积即可表示出面积；③根据两个图形的面积相等，建立等式，根据等式的性质即可 解答 类比学习：根据材料设√5 = 2.2 + 𝑥，仿照材料即可解答． 【详解】解：（1）∵(√2) 2 = 2， ∴ √2也能将其看成是面积为2 的正方形的边长； （2）①图1 的面积为𝑎2 + 𝑏2 + 3 × 1 2 𝑎𝑏= 𝑎2 + 𝑏2 + 3 2 𝑎𝑏， ②图2 的面积为𝑐2 + 3 × 1 2 𝑎𝑏= 𝑐2 + 3 2 𝑎𝑏． ③由此我们可以得到等式：𝑎2 + 𝑏2 + 3 2 𝑎𝑏= 𝑐2 + 3 2 𝑎𝑏，即𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2； 类比学习： 设√5 = 2.2 + 𝑥， ∴ (√5) 2 = (2.2 + 𝑥)2即5 = 4.84 + 4.4𝑥+ 𝑥2， 由于x 较小，𝑥2可忽略不计，得：4.4𝑥≈0.16， ∴ 𝑥≈0.036， ∴√5 ≈2.2 + 0.036，即√5 ≈2.236． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司
