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专题 02 二次根式的运算
目录
A题型建模・专项突破
题型一、同类二次根式..........................................................................................................................................1
题型二、同类二次根式..........................................................................................................................................3
题型三、二次根式的混合运算..............................................................................................................................4
题型四、二次根式中的分母有理化......................................................................................................................7
题型五、二次根式运算中的新定义型问题........................................................................................................11
题型六、二次根式运算中的规律探究问题........................................................................................................14
B综合攻坚・能力跃升
题型一、同类二次根式
1．（25-26九年级上·福建漳州·期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数是整数，且被开方数中不含能开
得尽方的因数，这样的二次根式叫做最简二次根式，即可解答．
【详解】解：A、 的被开方数是小数，不满足最简二次根式的条件，故此选项不符合题意；
B、 的被开方数是分数，不满足最简二次根式的条件，故此选项不符合题意；
C、7是质数，无平方因数，所以， 是最简二次根式，故此选项符合题意；
D、 , 可化简，所以， 不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）下列各式化成最简二次根式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键．
逐一检查每个选项是否满足被开方数不含分母和能开尽方的因数，根据二次根式的性质化简即可．【详解】解：A、 ， ，未化简，故此选项不符合题意；
B、 ，故此选项不符合题意；
C、 ， 分母有根号，未化简，故此选项不符合题意；
D、 ，是最简二次根式，故此选项符合题意．
故选：D．
3．（25-26八年级上·四川达州·月考）下列式子：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥
，其中最简二次根式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查最简二次根式的识别，根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且不含能开方的
因数或因式），逐一判断各二次根式是否符合条件．
【详解】解： ① 是三次根式，不是二次根式，故不是最简二次根式；
② 被开方数含分母，故不是最简二次根式；
③ 被开方数9能开方（ ），故不是最简二次根式；
④ 即 ，被开方数含分母，故不是最简二次根式；
⑤ 被开方数 无分母且不能因式分解为完全平方形式（在实数范围内），故是最简二次根
式；
⑥ 即 ，被开方数含能开得尽方的因式 ，故不是最简二次根式；
∴ 只有⑤是最简二次根式，共1个，
故选：A．
4．（25-26八年级上·全国·课后作业）若二次根式 是最简二次根式，则m可取的最小整数为
（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解本题的关键
根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因式或因数，不含分母，进行求解即可．
【详解】解： ，，当 时， ，不是最简二次根式；
当 时， ，是最简二次根式，
故 可取的最小整数为 ，
故选：D．
题型二、同类二次根式
5．（25-26八年级上·上海静安·期末）下列根式中，与 是同类二次根式的是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查同类二次根式，将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次
根式．先将各选项的二次根式化为最简二次根式，即可判断解答．
【详解】解：A、 ，与 不是同类二次根式；
B、 ，与 不是同类二次根式；
C、 ，与 不是同类二次根式；
D、 ，与 是同类二次根式．
故选：D．
6．（25-26九年级上·四川遂宁·期中）下列二次根式与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，
就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
【详解】解： 是最简二次根式，被开方数为 ．
选项A： ，被开方数为 ，不符合题意．
选项B： ，被开方数为 ，符合题意．
选项C： ，被开方数为 ，不符合题意．
选项D： ，被开方数为 ，不符合题意．
故选：B．
7．（25-26九年级上·四川眉山·期中）最简二次根式 与 是同类二次根式，则 的值为（ ）A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查同类二次根式的概念，解题的关键是利用“同类二次根式的被开方数相同”这一性质列
方程求解．
根据同类二次根式的定义，令两个最简二次根式的被开方数相等，列方程求解并验证．
【详解】解：因为最简二次根式 与 是同类二次根式，
所以同类二次根式的被开方数相同，可得方程： ，
解得： ，
验证：当 时， ，均为最简二次根式且被开方数相同，符合题意．
故选：B．
8．（25-26八年级上·山西大同·月考）若最简二次根式 与 能合并，则 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了最简二次根式、同类二次根式、二次根式的化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解
题关键．先化简二次根式可得 ，再得出最简二次根式 与 是同类二次根式，则可得
，由此即可得．
【详解】解： ，
∵最简二次根式 与 能合并，
∴最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴ ，
解得 ，
故选：A．
题型三、二次根式的混合运算
9．（25-26八年级上·全国·期中）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
（ ）先进行乘法运算，再利用二次根式的性质化简，最后进行减法运算即可；
（ ）先进行乘除运算，再进行加减运算即可；
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
．
10．（25-26八年级上·全国·期末）计算
(1) ；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】题目主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）根据平方差公式及二次根式的乘法运算求解即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
11．（25-26八年级上·上海·月考）计算：
(1) ；(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键，
（1）按顺序根据二次根式的运算法则进行计算即可；
（2）先分别化简每个二次根式，然后再按运算顺序进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
12．（25-26八年级上·山东青岛·月考）计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)(2)
(3)
【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）先化简二次根式再合并同类二次根式即可；
（2）先计算二次根式的除法、乘法，并化简二次根式，最后合并同类二次根式即可；
（3）化简二次根式，并利用平方差公式计算，再合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
．
题型四、二次根式中的分母有理化
13.[核心素养]阅读下面的解答过程：
；
；
……
根据以上解答过程解决下列问题：
(1) ；(2)试求 的值．
【答案】(1)
(2)8
【分析】本题是材料阅读题，考查了二次根式的混合运算，关键是读懂题中材料提供的解法，并能正确应
用．
（1）根据阅读材料提供的方法即可完成；
（2）对每一项用阅读材料中提供的方法化简再相加即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解：
．
14.阅读材料：在解决问题“若 ，求 的值”时，小俊是这样分析与解答的：
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．
∴ ．
请你根据小俊的解答过程，解决如下问题：
(1)化简： ；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平方差公式，将分母有理化即可；
（2）先将 化简，得出 ，则 ，进而得出 ，得出 ，代入计算即可．
本题主要考查了二次根式的化简，分母有理化，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式
和完全平方公式 ．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ，
则 ，
∴
则 ，
∴ ，
15.阅读材料：
像 两个含有二次根式的代数式相
乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．
例如， 与 、 与 、 与 等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，
利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
根据以上阅读材料回答下列问题：
(1)计算： ；
(2)计算： ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键．
（1）原式的分子和分母都乘以 解答即可；
（2）先将每一项分母有理化，再计算加减即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解：原式．
16.阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如 、 、 一样的
式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
（Ⅳ）
(1)请用不同的方法化简
①参照（Ⅲ）式得 ；
②参照（Ⅳ）式得 ；
(2)化简：
【答案】(1)① ；
②
(2)
【分析】本题主要考查了分母有理化以及分式的加减法运算，根据分母有理化的方法进行运算即可．
（1）根据分母有理化的两种方式分别进行运算即可．
（2）根据分母有理化的结果进行分式的加法运算即可．【详解】（1）解：① ，
②
（2）
题型五、二次根式运算中的新定义型问题
17.定义：若两个二次根式 ， 满足 ，且 是有理数．则称 与 是关于 的美好二次根式．
(1)若 与 是关于6的美好二次根式，求 的值：
(2)若 与 是关于 的美好二次根式，求 和 的值．
【答案】(1) ；
(2) ， ．
【分析】本题考查了二次根式的新定义运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（ ）利用二次根式的新定义运算解答即可求解
（ ）利用二次根式的新定义运算解答即可求解
【详解】（1）解：由题意可得， ，
∴ ；
（2）解：由题意可得， ，
整理得， ，
，
∴
∴ ，
∴ ．
18.对于任意的正数 ， 定义运算 为： .
(1)计算 的结果；
(2)计算 的结果.【答案】(1) ；
(2)2；
【分析】本题考查新运算及根式的混合运算：
（1）先根据新运算展开，再根据根式的运算法则直接计算即可得到答案；
（2）先根据新运算展开，再根据根式的运算法则直接计算即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
；
（2）解：由题意可得，
， ，
∴ ．
19.我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．例如，某三角
形的三边长分别是2，4和 ，因为 ，所以这个三角形是奇异三角形．
(1)若 的三边长分别是2， 和 ，判断此三角形是否是奇异三角形，说明理由．
(2)若Rt 是奇异三角形，直角边的长为a，b（ ），斜边长为c，写出a和b的等量关系式．
【答案】(1)此三角形是奇异三角形，理由见解析
(2)
【分析】考查了直角三角形的性质、勾股定理；
（1）根据勾股定理、奇异三角形的定义计算即可．
（2）由勾股定理得出 ①，由 是奇异三角形，且 ，得出 ②，由①②得
出 ，即可得出结论．
熟练掌握奇异三角形的定义、勾股定理是解题的关键．
【详解】（1）解：此三角形是奇异三角形；理由如下：
，
是奇异三角形，
（2） 中， ，
，
，
， ，
是奇异三角形，
，
，，
，
20．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）我们规定用 表示有序数对．给出如下定义：记 ，
，其中 ， ，将 与 称为有序数对 的一对“对称数对”．例如； 的一
对“对称数对”为 和 ．
(1)有序数对 的一对“对称数对”是＿＿＿；
(2)若有序数对 的一对“对称数对”相同，则y的值为＿＿＿；
(3)若有序数对 的一个“对称数对”是 ，则x的值为＿＿＿；
(4)若有序数对 的一个“对称数对”是 ，求 的值．
【答案】(1) 和
(2)
(3)
(4)6或
【分析】本题主要考查了新定义，解方程，二次根式的性质，理解和应用新定义是解本题的关键．
（1）根据新定义即可得出结论；
（2）根据新定义，列等式 ，解方程进而得出结论；
（3）根据新定义，列等式 ，解方程进而得出结论；
（4）根据新定义，列方程 或 ，解方程进而得出结论．
【详解】（1）解： ，
有序数对 的一对“对称数对”是 和 ，故答案为： 和 ；
（2）解： 有序数对 的一对“对称数对”相同，
，
，
故答案为： ；
（3）解： 有序数对 的一个“对称数对”是 ，
，
，
故答案为： ；
（4）解： 有序数对 的一个“对称数对”是 ，
或 ，
或 ，
或 ．
即 的值为6或 ．
题型六、二次根式运算中的规律探究问题
21.先观察下列等式，再回答问题：
①
②
③(1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想 的结果：
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：
(3)计算：
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理解
题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键．
（1）根据题目所给的例题可知 可化为 ，计算即可得出答案；
（2）利用根据前面等式的规律求解；
（3）根据题意可化为 ，根据有理数加法计算即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意可得：
（2）第n个式子为： ；
（3）
．
22.观察下列各个等式：
第①个等式： ；第②个等式： ；
第③个等式： ；
第④个等式： ；
……
按以上等式规律，解决下面的问题：
(1)写出第⑤个等式： ．
(2)完成第n个等式： ，并证明这个等式的正确性．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
【分析】此题考查了二次根式的运算，根据题意找到规律是解题的关键．
（1）根据题目提供的规律写出答案即可；
（2）根据题目中的规律得到答案，再利用二次根式的性质进行计算证明即可．
【详解】（1）根据题意：
第①个等式： ；
第②个等式： ；
第③个等式： ；
第④个等式： ；
则第⑤个等式：
故答案为：
（2）
故答案为：
证明如下：
左边
∵n为大于或等于1的整数，
∴∴左边 右边.
成立.
23.观察下列各式及验证过程： ，
验证 ； ，
验证 ，
验证
(1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想 的变形结果并进行验证．
(2)针对上述各式反映的规律，写出用 为任意的自然数，且 表示的等式，并给出证明．
【答案】(1) ，验证见解析
(2) ，验证见解析
【分析】本题主要考查了二次根式的性质．此题是一个找规律的题目，观察时，既要注意观察等式的左右
两边的联系，还要注意右边必须是一种特殊形式．
（1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质 ，把根号内的移到根号
外；
（2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，观察根号外的和根号内的分子、
分母之间的关系可得： ．
【详解】（1）
验证：
；（2） ．
验证：
．
24.观察下列各式并解答问题：
； ； ……
(1)计算： ；
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含 n的等式表示，n为正整数）．
【答案】(1)
(2) （n为正整数）
【分析】本题主要考查数字规律下的二次根式化简，
（1）总结规律，按规律解答；
（2）根据分式的性质和完全平方公式即可化简求得一般性结论．
【详解】（1）解：∵ ；
；
，
……
∴ ；
（2）解：根据（1）得到 ，
证明：．
一、单选题
1．（25-26八年级上·重庆·月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含完全平方数，逐一判断各选项.
【详解】解： 最简二次根式需满足被开方数为整数且无平方因子，
选项A： ， 不含完全平方数， 是最简二次根式；
选项B： ，不是最简二次根式；
选项C： ， 被开方数含分母， 不是最简二次根式；
选项D： ， 被开方数含分母， 不是最简二次根式．
故选A．
2．（25-26九年级上·吉林长春·期末）下列二次根式与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查同类二次根式的概念。关键在于将各选项化简为最简二次根式后，判断其被开方数是否
与 相同，只有D选项化简后为 ，符合题意．
同类二次根式需化简后比较被开方数， 化简为 ，与 被开方数相同．
【详解】解：∵ ，∴ 与 的被开方数均为3，
故 与 是同类二次根式．
故选：D．
3．（25-26九年级上·吉林长春·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，根据二次根式的四则运算法则求解判断即可．
【详解】解：A、 ，原式计算错误，不符合题意；
B、 ，原式计算错误，不符合题意；
C、 ，原式计算错误，不符合题意；
D、 ，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
4．（25-26八年级上·重庆·月考）估计 的值应在（ ）
A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．7与8之间
【答案】B
【分析】本题主要考查二次根式混合运算、无理数估算及不等式性质，熟练掌握二次根式混合运算和无理
数估算方法是解决问题的关键．先将表达式化简为 ，然后通过估计 的值范围，确定整个表达
式的取值范围即可．
【详解】解：∵
，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴原式的值在5与6之间；
故选：B．5．（25-26八年级上·湖南永州·期中）对于任意的正数 ，定义运算为： ，计
算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了二次根式的乘法运算，根据新运算定义分别计算 和 ，再求乘积即可求解，
理解新定义运算是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
二、填空题
6．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）化简 的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了将根式化为最简二次根式，将根号内的分数表示为分子和分母的平方根之比，然后化
简分母中的根号并有理化；
【详解】解： ．
故答案为： ．
7．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）二次根式 是最简二次根式，请写出一个符合条件的m的值：
．
【答案】1
【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含平方因子，因此
需无平方因子，故 不能是3的倍数且自身无平方因子，
【详解】解：当 ，则 ，3无平方因子，故 是最简二次根式
故答案为：1（答案不唯一）．8．（25-26九年级上·四川泸州·月考）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式乘除混合运算的法则是解题的关键．
直接根据二次根式乘除混合运算的法则进行计算即可．
【详解】解：
．
故答案为： ．
9．（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知最简二次根式 与 是同类二次根式，则a的值为
．
【答案】
【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式，先将 化简为最简二次根式，再根据被
开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式可得关于a的方程，解方程即可得到答案．
【详解】解： ，
∵最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
10．（25-26八年级上·江苏南通·月考）已知 ，则 的值为
．
【答案】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，化简求值，根据二次根式的被开方数非负，确定 的值，进而
求出 的值，然后代入表达式化简计算．
【详解】解：∵ ，
∴ 且 ，
解得 ．
∴ ．则 ， ，
∴ ，
∴
，
故答案为： ．
三、解答题
11．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（ ）根据二次根式乘除运算法则即可求解；
（ ）先分母有理化，二次根式乘法运算，然后进行二次根式加减运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：．
12．（25-26八年级上·上海·月考）计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．
（1）先化简二次根式，分母有理化，再计算加减即可；
（2）根据二次根式的乘除运算法则计算，再化简二次根式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
13．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知 ．求下列各式的值：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)20
(2)【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关
键．
（1）对原式根据完全平方公式进行因式分解，然后代入求值即可；
（2）对原式根据平方差公式进行因式分解，然后代入求值即可．
【详解】（1）∵
∴
；
（2）∵
∴
．
14．（2025八年级上·重庆·专题练习）在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活动经验，
类比探究了二次根式的运算规律，
特例 ；
特例 ；
(1)特例3： ________（填写一个符合上述运算特征的式子）；
(2)求证： （ ，且n为整数）；
(3)如果 的小数部分是0.1，那么整数部分为_____．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)5
【分析】本题考查二次根式的性质，数字类规律探究，根据题干信息，得到
（ ，且n为整数），是解题的关键：
（1）仿照题干给出的特例，作答即可；（2）根据二次根式的性质进行化简即可；
（3）利用规律先化简，再进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意， ；
（2）证明：∵ ，且n为整数，
∴
，
；
（3）解：
，
∵ 的小数部分是0.1
∴ ，
∴ ，∴ 的整数部分为 ．
15．（25-26九年级上·福建泉州·期中）阅读下面计算过程：
；
；
．
试求：
(1) 的值．
(2)求 的值．
(3)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的化简求值等知识，化简二次根式是解题的关键．
（1）分子分母同乘 即可求解；
（2）仿照题干中提供的材料所示的方法，把各项化简即可求解；
（3）把a化简为 ，进而可得 ，原式变形为 ，再代入即可求值．
【详解】（1）解： ；
（2）解：
…
；（3）解： ，
∴ ,
∴ ，
即 ，
．
16．（23-24八年级上·北京海淀·月考）嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法
探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律：
特例1： ，
特例2： ，
特例3： ，
特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）．
(2)观察、归纳，得出猜想：
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______．
(3)证明你的猜想；
(4)应用运算规律：
①化简： ______；
②若 （a，b均为正整数），则 的值为______．
【答案】(1) ；（答案不唯一）
(2)
(3)见解析(4)① ；②18
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．
（1）根据材料提示计算即可；
（2）由材料提示，归纳总结即可；
（3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可；
（4）根据材料提示的方法代入运算即可．
【详解】（1）解：根据材料提示可得，特例 4 为： ，
故答案为： ；
（2）解：由上述计算可得，如果 为正整数，上述的运算规律为： ，
故答案为： ；
（3）解： ，
等式左边 等式右边；
（4）①解：
．
② ，
，
，
．
