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1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题03 利用勾股定理和方程思想解决实际问题 （题型突破·举一反三） 题型01 利用勾股定理和方程思想解决实际问题 题型02 利用勾股定理和方程思想解决折叠问题 题型03 两次利用勾股定理得到方程求长度 ▌题型01 利用勾股定理和方程思想解决实际问题 根据勾股定理我们知道，在一个直角三角形中，如果已知两边，可以根据勾股定理得到第三条边的长度。但 实际应用中，有时我们只知道一条边的长度，就没法直接利用勾股定理进行计算，此时，如果两条未知边的 数量关系已知的话，可以通过设未知数，表示出两条边，利用勾股定理列出方程，进行求解。 如图，Rt△ABC 中，BC=3，若已知AB+AC=9，我们可以设AB=x，则AC=9-x，根据勾股定理列出方程 32+x2=(9-x)2，若已知AC-AB=1，则设AB=x，AC=x+1，根据勾股定理列出方程32+x2=(x+1)2，这样就可以 求出所有边的长度了。 【典例1】“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去 本三尺．问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离 竹子根部三尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1 丈= 10尺） 【模型】如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形𝐴𝐵𝐶，其中一直角边𝐵𝐶长3 尺，其余两边 长度之和为10 尺．求折断后的竹子高度． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】（25-26 八年级上·山东德州·期中）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵 地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈＝10 尺），一阵风将竹子折断，其竹梢 恰好抵地，抵地处离竹子底部9 尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后垂直地面的竹子高度为x尺， 则可列方程为（ ） A．𝑥2 −92 = (20 −𝑥)2 B．𝑥2 −92 = (10 −𝑥)2 C．𝑥2 + 92 = (20 −𝑥)2 D．𝑥2 + 92 = (10 −𝑥)2 【变式1-2】（25-26 八年级上·河南开封·期中）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触 到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m 处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为 （滑轮上 方的部分忽略不计）（ ） A．14m B．15m C．16m D．17m 【变式1-3】如图，𝐴𝐵为一棵大树，在树上距地面10 米的𝐷处有两只猴子，他们同时发现𝐶处有一筐水果， 一只猴子从𝐷处往上爬到树顶𝐴处，又沿滑绳𝐴𝐶滑到𝐶处，另一只猴子从𝐷滑到𝐵，再由𝐵跑到𝐶处，已知两只 猴子所经路程都为15 米，求树高𝐴𝐵． 3 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-4】（25-26 八年级上·河南开封·期中）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目∶“今有立 木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何? ”译文为“今有一竖立着的木柱，在木 柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺着木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3 尺，牵着绳索沿地面退行，在 离木柱根部8 尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少? ”示意图如图所示，设绳索 AC 的长为x 尺，根据题意， 可列方程为（ ） A．x2-（x+3）2=82 B．x2-（x-3）2=82 C．（x+3）-x2=82 D．（x-3）2-x2=82 【变式1-5】（25-26 八年级上·广西桂林·期中）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有 池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1 丈= 10 尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10 尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1 尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（ ） A．10 尺 B．12 尺 C．13 尺 D．15 尺 【变式1-6】《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短，横之不出四尺，纵之不出二尺，邪 之适出．问户高、广、邪各几何？这段话翻译后是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放， 竿比门宽长出4 尺；竖放，竿比门高长出2 尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别 4 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 是多少？若设门对角线长为x 尺，则可列方程为 ． 【变式1-7】《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中卷九“勾股”中记载： “今有垣高一丈，倚木于垣，上于垣齐．引木却行一尺，其木至地，问木长几何？”其意思是：如图，墙𝐴𝐵高 1 丈（1 丈=10 尺），一根木棒𝐴𝐶靠于墙上，木棒上端与墙头齐平．当木棒下端沿地面从C 处向右滑1 尺到 D 处时，木棒上端恰好沿墙壁从A 处下滑到B 处，则木棒长 尺． 【变式1-8】《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.其中第九卷《勾 股》主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求，之中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题： “今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？” 译文：“一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4 尺远，则折断 后的竹子高度为多少尺？”（备注：1 丈=10 尺） 如果设竹梢到折断处的长度为𝑥尺，那么折断处到竹子的根部用含𝑥的代数式可表示为 尺，根据题 意，可列方程为 ． 【变式1-9】体会空气动力，展示飞天梦想−−纸飞机大PK 比赛中，小明同学的纸飞机刚好飞越过学校操场的 旗杆，同学们都好奇纸飞机究竟飞了多高，于是小明测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2 米（如图1），将绳子拉直时，测得拉绳子的手到地面的距离𝐶𝐷为1 米，到旗杆的距离𝐶𝐸为9 米（如图2）． (1)若旗杆的高度𝐴𝐵= 𝑥米，那么绳子的长度可以表示为______米（用含x 的代数式表示）； 5 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)计算小明同学的纸飞机飞越的高度是多少？ 【变式1-10】如图，水池底面的宽𝐴𝐵= 1丈，芦苇𝑂𝐶生长在𝐴𝐵的中点O 处，高出水面的部分𝐶𝐷= 1尺．将 芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即𝑂𝐶= 𝑂𝐸， 求水池的深度和芦苇的长度(1 丈等于10 尺)． (1)求水池的深度𝑂𝐷； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代 符号语言可以表示为：若已知水池宽𝐴𝐵= 2𝑎， 芦苇高出水面的部分𝐶𝐷= 𝑛(𝑛< 𝑎)，则水池的深度𝑂𝐷 (𝑂𝐷= 𝑏)可以通过公式𝑏= 𝑎2−𝑛2 2𝑛计算得到．请证明刘徽解法的正确性． ▌题型02 利用勾股定理和方程思想解决折叠问题 1.折叠的性质：对应边相等，对应角相等（角平分线），对应点连线被折痕垂直平分。 2.在折叠问题中，常会出现一条已知边被分成两部分，此时我们可以设其中一部分为x，则另一部分也可以 用x 表示，在图中找到可以利用的直角三角形，即可列方程进行求解。 【典例2】如图，折叠长方形的一边𝐴𝐷，点D 落在𝐵𝐶边的点F 处，已知𝐴𝐵= 8cm，𝐵𝐶= 10cm，则𝐸𝐶的 长为（ ） A．3cm B．4cm C．3.5cm D．5cm 6 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式2-1】如图所示，有一块直角三角形纸片，∠𝐶= 90°，𝐴𝐵= 5cm，𝐵𝐶= 3cm，将斜边𝐴𝐵翻折，使点 B 落在直角边𝐴𝐶的延长线上的点E 处，折痕为𝐴𝐷，则𝐶𝐷的长为（ ） A．1cm B． 4 3 cm C．1.5cm D． 5 3 cm 【变式2-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，𝐴𝐵= 3，𝐵𝐶= 4，E 是边𝐵𝐶上一点，将△𝐴𝐵𝐸沿𝐴𝐸折叠， 使点B 的对应点𝐵′恰好落在边𝐴𝐶上，则𝐵𝐸的长等于 ． 【变式2-3】如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 6，𝐵𝐶= 4，D 是边𝐴𝐶的中点，E 是边𝐵𝐶上一点， 连接𝐵𝐷、𝐷𝐸．将△𝐶𝐷𝐸沿𝐷𝐸翻折，点C 落在𝐵𝐷上的点F 处，则𝐶𝐸= ． 【变式2-4】 （25-26 八年级上·河南许昌·期中）已知直角三角形纸片𝐴𝐵𝐶的两直角边长分别为6，8，现将△𝐴𝐵𝐶 按如图所示的方式折叠，使点A 与点B 重合，则𝐶𝐸的长是（ ） A． 5 4 B． 7 4 C． 15 4 D． 25 4 7 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式2-5】 （25-26 八年级上·福建漳州·期中）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边𝐴𝐶= 6cm，𝐵𝐶= 8cm， 将△𝐴𝐵𝐶折叠，使𝐵点与点𝐴重合，折痕为𝐷𝐸，则𝐶𝐷等于（ ）cm． A． 25 4 B． 22 3 C． 7 4 D． 5 2 【变式2-6】（25-26 八年级上·福建福州·期中）如图，已知矩形ABCD 的长𝐴𝐷= 9，𝐴𝐵= 3，将其折叠， 使点D 与点B 重合，求折叠后折痕EF 的长是 ． 【变式2-7】（25-26 八年级上·福建泉州·期中）如图，已知长方形纸片ABCD 中，AB=10，AD=8，点E 在 AD 边上，将△ABE 沿BE 折叠后，点A 正好落在CD 边上的点F 处． （1）求DF 的长； （2）求△BEF 的面积． 【变式2-8】（25-26 八年级上·福建南平·期中）如图，将长方形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处， FC 交AD 于点E，若AB=4，BC＝8，则△ACE 的面积为 ． 【变式2-9】如图，长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 15cm，点𝐸在𝐴𝐷上，且𝐴𝐸= 9cm，连结𝐸𝐶将长方形沿𝐵𝐸翻折， 8 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 点𝐴恰好落在𝐸𝐶上的点𝐴′处，求𝐴′𝐶的长度． 【变式2-10】如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 5，𝐵𝐶= 12，点𝐸是𝐵𝐶边上一点，连接𝐴𝐸，将△𝐴𝐵𝐸沿𝐴𝐸折叠， 使点𝐵落在点𝐵′处．当△𝐶𝐸𝐵′为直角三角形时，𝐵𝐸= ． 【变式2-11】如图，将正方形ABCD 分别沿BE，BG 折叠，使边AB，BC 在BF 处重合，折痕为BE，BG．若 正方形ABCD 的边长为6，E 是AD 边的中点，则CG 的长是（ ） A．3 B．2.5 C．2 D．1 【变式2-12】在△ABC 中，∠BCA=90∘,AC=6,BC=8,D 是AB 的中点，将△ACD 沿直线CD 折叠得到△ECD，连接 BE，则线段BE 的长等于（ ） 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．5 B． 7 5 C． 14 5 D． 36 5 ▌题型03 两次利用勾股定理得到方程求长度 1.在使用勾股定理时，我们还可以进行线段的表示，比如：在Rt△ABC 中，∠B=90゜，已知AB=5，BC=x， 则AC2=52+x2。 2.在实际问题中，常常存在公共边，或存在两条边的等量关系，此时，可以先在两个不同的直角三角形中表 示出两条边，再利用这种等量关系进行列方程，即可求解。 【典例3】如图，△ABC 中，AB=13，BC=14，AC=15，求△ABC 的面积。 【变式3-1】正方形ABCD 中，边长为8，沿EF 对折，使点A 落在BC 中点A'处，求FD 的长 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式3-2】 “三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图， 公路上A、B 两点相距50km，C、D 为两村庄，𝐷𝐴⊥𝐴𝐵于A，𝐶𝐵⊥𝐴𝐵于B，已知𝐷𝐴= 30km，𝐶𝐵= 20km， 现在要在公路𝐴𝐵上建一个土特产品市场E，使得C、D 两村庄到市场E 的距离相等． (1)求市场E 应建在距A 多少千米处？ (2)此时△𝐷𝐸𝐶的形状是 三角形，请直接写出答案，无需证明． 【变式3-3】（25-26 八年级上·陕西汉中·期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力． 【知识运用】 (1)如图，铁路上A、B 两点（看作直线上的两点）相距40 千米，C、D 为两个村庄（看作两个点），𝐴𝐷⊥𝐴𝐵， 𝐵𝐶⊥𝐴𝐵，垂足分别为A、B，𝐴𝐷= 35千米，𝐵𝐶= 5千米，则两个村庄的距离为 米． (2)在（1）的背景下，若𝐴𝐵= 40千米，𝐴𝐷= 24千米，𝐵𝐶= 16千米，现要在𝐴𝐵上建造一个供应站P，使得 𝑃𝐶= 𝑃𝐷，请用尺规作图在图中作出P 点的位置并求出𝐴𝑃的距离．
